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Full text of "Exercices de calcul intégral sur divers ordres de transcendantes et sur les quadratures"

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EXERCICES 



DE CALCUL INTÉGRAL 



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V « 



EXERCICES 



DE 



CALCUL INTÉGRAL 



SUR 



DIVERS ORDRES DE TRANSCENDANTES 

ET SUR LES QUADRATURES j 

Par a. m. LE GErn)RE , Membre de FAcadémie royale des 
Sciences et du Bureau des Lougitiides , de la Société royale de 
Londres, etc. 

TOME TROISIÈME. 



PARIS, 



l^m ^B COURCIERi IMPRIMEUR -LIBRAIRE POUR LES MATHÉMATIQUES, 

rue da Jardinet > n* i9> quartier Saint- André-des-Arcs. 

1816. 






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I 



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<m'9' 



EXERCICES 

DE CALCUL INTÉGRAL. 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 



} 



Vi oxjs avons fait YOir dans tout !« cours de cet Ouvrage , et 
principalement dans la première Partie y que la théorie des fonctions 
elliptiques mérite d'être cultivée plus qu'elle ne Ta été jusqu'à pré- 
sent^ non-seulement a cause des belles propriétés dont jouissent 
ces fonctions et qui leur assignent un rang distingué dans l'analyse , 
mais k cause des applications nombreuses que cette théorie peut 
recevoir y et qui contribueront au perfectionnement du Calcul inté- 
gral y en donnant aux Géomètres les moyens de continuer leurs 
recherches sur beaucoup de questions importantes^ sans être arrêtés 
par cette espèce de barrière qu'ils n'osaient plus franchir quand ils 
avaient dit que le problème était réduit aux quadratures. 

Mais cette nouvelle branche d'analyse ne pourra rendre tous les 
services qu'on peut attendre d'elle, que lorsqu'on aura construit 
des Tables au moyen desquelles les fonctions elliptiques pourraient 
être évaluées dans tous les cas avec un degré d'approximation coa^ 
venable y et sans exiger des calculs trop pénibles. 

Il ne peut être question de réduire en Tables les fonctions de la 
troisième espèce y puisqu'elles contiennent deux constantes arbi- 
traires^ outre la variable principale, et qu'ainsi il faudrait que ces 
Tables fussent à triple entrée y chose tout à fait inexécutable. Il 
suffît d'avoir prouvé^ relativement à ces fonctions, i"*. que le cas 
4es paramètres imaginaires se réduit toujours à celui des paramètres 



4 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 

réels; a"", que les fonctions complètes de ce genre s'expriment tou- 
jours par des fonctions de la première et de la seconde espèce ; 
3^ qu'il y a une infinité de cas particuliers^ déterminables algébri- 
quement^ où une semblable réduction peut avoir lieu ; 4''- qu'on peut 
pareillement trouver une infinité de cas où une fonction donnée de 
troisième espèce, est réductible indéfiniment à la première espèce ; 
S*", enfin que dans tous les cas y la valeur aussi approchée qu'on 
voudra de toute fonction de troisième espèce, peut être trouvée par 
des séries régulières et toujours convergentes (*). 

Toute la difficulté se réduit donc à construire des Tables qui 
représentent les fonctions de première et de seconde espèces , cal- 
culées pour un nombre déterminé de valeurs , tant du module c que 
de Tamplitude (p j afin den pouvoir déduire par interpolation, les 
valeurs des mêmes fonctions correspondantes à toutes valeurs don^ 
nées des quantités c et ç. Le calcul d'un pareil système de Tables, 
et en général le perfectionnement des formules d'approximation, 
sont l'objet des recherches suivantes, que nous allons indiquer 
sommairement. 

Dans le § I on donne les formules nécessaires pour calculer 
jusqu'à i4 décimales , les logarithmes des fonctions complètes 
Ë't?, F'^, et on explique la construction de la Table L Ce même 
paragraphe contient quelques théorèmes nouveaux sur les fonctions 
complètes , etsur 1 échelle des modules dont elles dépendent. 

Le § Il offre deux méthodes générales et entièrement nouvelles 
pour réduire en Table toute intégrale proposée de ta forme fud^. 

Le § III contient l'application de ces méthodes aux fonction» 

elliptiques E =/Adp , F = / ^. On a pris pour exemple la cons- 
truction de la Table II qui se rapporte au modulé c = sin ^5^*. 

Le § IV contient une autre méthode purement trigonométrique 
pour construire les Tables des fonctions £ et F. 

Dans le § V on donne des formules qui expriment d'une manière 
très-simple les valeurs dess fonctions E(c,^), F(c,^), lorsque 
l'amplitude (p n'excède pas une limite donnée. 

(♦) Voyez première Partie , S XXIII, XXIV et XXV. 



CONSTRCrctiON DES TABLES ELLIPTK^îtJES. ^ 

Dans le § YL on indique divers moyens d^ëtendre à un plus 
grand nombre de cas Tusage ^es formules précédentes; mais les 
calculs deviennent quelquefois plus longs que ceux qu'exige la 
méthode générale d'approximation. On fait voir comment lea 
formules de celle - ci peuvent être simplifiées dans un cas fort 
étendu. 

Enfin dans le § VII, on donne quelques développemens nouveaux 
sur la méthode connue qui consiste à exprimer les fonctions F et E 
par des séries ordonnées suivant les sinus des angles multiples de 2(p. 

§ I. Zfu Calcul des Fondions complètes F*c^ E'c. 

I . Nous avons déjà donné dans la première Partie y art. 82 et suiv.^ 
des formules pour simplifier le calcul des fonctions complètes y 
lorsque le module est peu éloigné de Tune de ses limites ; nous 
allons faire voir maintenant quels sont les moyens de faire ces calculs^ 
dans tous les cas y avec un degré d'approximation déterminé. Nous 
supposerons en général qu'on veut calculer les logarithmes des 
fonctions dont il s agit jusqu'à 14 décimales y parce que ce nombre 
est celui que comportent les Tables les plus étendues qui aient été 
publiées jusqu'à présent y savoir , Yjirithmetica Logarithmicade Briggs, 
et la Trigonometria Britannica du même auteur. Les exemples que 
nous apporterons dans cette hypothèse feront juger aisément des 
simplifications dont les calculs sont susceptibles , lorsqu'on ne voudra 
obtenir que dix ou un moindre nombre de décimales exactes. 

On verra bientôt que les mêmes données qui servent à calculer 
les fonctions F'c, E'c, servent aussi à calculer leurs complémens 
F'& , £'^. C'est pourquoi nous ne considérerons que des valeurs de c 
moindres que V^| ^ c'est-à-dire que nous supposerons toujours 
Tangle du module plus petit que 4^*'. S'il était plus grand ^ on échan^ 
gérait entr'elles les quantités c tib y afin que e désignât toujours la 
plus petite des deux. 

Mais avant de nous occuper de ces approximations y nous croyons 
devoir ajouter quelques théorèmes nouveaux à ceux que nous avons 
donnés^ pag. 98 et suiv. de la première Partie y sur les fonctions 
F'c, E'c, et leurs complémens F*i , E*ir 



,-^ 



■t ' 



6 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 

2. ConsideFODS les deux suites correspondantes 

I c'", £?", c', c^ c% c**, c*»* o, 

o i'", A", A', by b% b^% *-« I. 

D.'Uis la première on distingue deux parties ; l'une à compter de c 
vers la droite , se compose des modules décroissans c, c% c*% c*^%.,., 
dont la limite est zéro; l'autre à compter de c vers la gauche y offre 
la série des modules croissans c y c', c'', d^\. . • . dont la limite est 
l'unité. Ces deux parties ne forment qu'une seule et même suite de 
termes liés entr'eux par une seule et même loi qui consiste en ce 

que $i X yj' sont deux termes consécutifs, on a a; = -~^, et réci- 
proquement jr = T )//t ^ {• On peut donc en parlant d'un 

terme quelconque de la série , former successivement tous les 
autres termes , tant dans le $ens où la série est décroissante que 
dans le sens contraire , la limite étant zéro dans le premier cas , 
et I dans le second. 

La seconde série qui répond lerme à terme à la première , est 

composée des modules complémentaires , ensorte que si c^ et i^ sont 
deux termes correspondans dans les deux séries , on aura toujours 

Au reste la série inférieure est formée suivant la même loi que 
la série supérieure, avec cette seule différence qu'elle est croissante 
dans le sens où l'autre est décroissante , et réciproquement. Nous 
avons adopté le signe ^ pour indiquer la diminution des c; ainsi 
on a c' < c , c*' < c% £?***** < c*»* , etc. De même nous avons adopté 
le signe ' pour indiquer l'augmentation des c , de sorte qu'ion a 
c'> c, c*' > c\ etc. Ces signes auront un effet contraire sur les 
complémens ; ensorte qu'on aura b" ^ b ^ *•• > i% etc. , b' <,b ^ 
V <Cb\ etc.; et d'après cette observation, toutes les fois qu'il y 
aura lieu d'échanger entr'elles les lettres c et ^, on devra en même 
tetrips changer les signes ** en ' , et réciproquement. 

3. Il résulte de la loi de nos deux suites^ que si jr et^ sont àenx 
lermes consécutifs de la première ^ p çl q Içs deux tf^rmes çorres-» 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. ^ 

j)ondans de la seconde , on aura généralement xq =22 \/py ; ce qui 
donne dans un sens et dans l'autre^ ces deux séries d'équations : 

cft* = a /(c**) , C'A'* = 2 t/(c**A*) , c*'***^ = 2 \/((f'^b^) , etc. , 
V* = a/(c*'), c" A' = 2 v/(c' 4") ^ ^'"*" =2v/(c"4'''>, etc. 

On remarque d'ailleurs dans celle-cî que l'éctiange des lettres cet 6^ 
peut se faire en même temqps que celui des signes "^ et ' ^ et qu'alors 
l'une des deux séries se déduit de l'autre. 

4. La fonction F'c peut s'exprimer de deux manières; l'une au 
moyen des modules décroissans c , c% c''^ c^''% etc. ; lautre au moyen 
des modules croissans c y c', é\ etc. 

La première expression est ^ suivant l'art. 65^ F'c=:~K^ où 

Ton a 

•, fl|/c® flV^c®** ^y/e^ av/^o^*'* 



I 

1 



C ^ c"* d''' * c"^ 



Mais les formules de l'article précédent donnent ^^— s: -^r , 
^*^^ = -^T^ ^ etc. ; ainsi on aura plus simplement 

K = i/(y.ô^4^**i**'^.. etc.V 

* 

ou l'on se souviendra que la suite 4, ¥ , }f^ y i***, etc. converge 
rapidement vers une limite égale à l'unité. 

La seconde expression y d'après les formules des art. 4^ et 68 ,■ 
est F'^ = — log —, où f on a 

et où l'on suppose ^ assez petit pour que 1 — c^ soit négligeable. 
Egalant entr'elles les deux valeurs de F' c, on aura cette formule 
générale 

où l'on voit que la suite b''''*b''^b''bW . . . . doit être prolongée à 



8 EXERCICES DE CALCtJL INTÉGRAL. 

gauche > jusqu à un terme V qui ne diffère pas sensiblement dé 

l'unitë, et à droite jusqu'à un terme V*^^ assez petit pour que 

le suivant V^^ ou au moins son quarré, appartienne à Tordre de 
^lécimales qu'on peut négliger. 

Si on change b en c, on aura semblablement 



r l/c • . . . 



) = log^, 



fonnule qai ne difiêre pas esseùtiellèment de la précédente \ elle 
aappose que ( c'* )* est négligeable ainsi que i — c'. 

5. Lorsque c := sin 45°^ on a trouvé (pag. 99^ première Partie) 
- =: — log — j donc alors on a 

En bornant Tapproximation à i4 décimales, on peut faire /x = 4 
et p =:5 ^ ce qui donnera 



^jOOOO 



?=4S 



et on aurait en même temps e^d'cf" == b^b^b''''''. 

En faisant fji=:5 ^ y = 4> l'équation serait exacte jusqu'à la 
a8"* décimale. 

Lorsque c = sin i5% on a trouvé (pag. 102 )î^ == —log ^; 
donc 9 dans ce cas ^ le tb lorème précédent donne 






— »1 



= 5. 4'*. 



6. Si on considère les équations successives 
b''c=s2]/(bel'), b'"à' = 2\/{b'ti"), b'^à" su 2\/ (b'-'c'^) , etc., 

et qu'on les continue jusqu'à ce que leur nombre soiit f( , le produit 
de toutes ces équations donnera 



( b'b"b'>^...ir) (cc'c*' . . . (/*-')= y y/(bb'b*' . . . bf^') . |/(fcV . . . c^) , 

d'où 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 9 

d'où Ton tire^ en supposant i — ^ négligeable , 

changeant c en 6 et réciproquement, ce qui oblige d'échanger en 
même temps les signes " et ', on aura 

(«'cv^ ..<r~') (hb'b"...ir" ) = £.4'*^. 

Multipliant ces deux équations entr'elles , il viendra 

\ 7 )\ y^ ; = 4 . 

Multipliant de même les deux équations du n*" 4 > ^t comparant lea 
deux produits ^ on en tire ce théorème remarquable ^ 



-7 = —.log-4-.log -4-. 



Ainsi c^ et b^ étant deux termes très-petits, pris dans les deux 
suites générales à égales distances des termes moyens c ei b, la, 

relation entre ces termes est telle que le produit de log ~ par 



4 * ' 1 ^ ^ /f* 



c^ 



log-T- est égal à 7.4'*. Cette équation n*esl qu'approchée; mais 

Terreur diminuera de plus en plus à mesure que ft augmentera , 
et en général elle sera du même ordre que le quarré des quantités 

Dans le cas de c = i = sin 4^% on a également c ^= ^^ ^ et 
de là résulte log -^=: -.a'*, comme dans lart. 4- 

c 

7. On peut parvenir plus directement à Téqualion de l'article 
précédent. En effet faisant 



lo EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 

on a 

FV = -.K = i^'log-^, 

F'^ = -.K'= — log-^; 

« 

donc en multipliant ces équations y il viendra 

8. On peut , pour plus de simplicité , supposer que c «st déjà 
assez petit pour que i — ^ ou ^ c* soit négligeable. Alors l'équa-' 
tion de l'art. 4 donnera 

Cette formule offre le moyen d!exprimer directement le logarithme 
d'un nombre quelconque par le rapport de la circonférence au dia- 
mètre ^ savoir , en multipliant ce rapport tt par ^ i/f - dé^d^\ etc. jy 

quantité qui se déduit du nombre donné ^ au moyen de quelques 
extractions de racine quarrée. 

g. Veut-on y par exemple y avoir l'expression de log 2 ^ on fera 

3 := ^^ ayant soin de prendre m assez grand pour que les quan- 

tités de Tordre c* ou (i)'""^ soient négligeables, 
^ Ainsi en faisant 771.71= 10^ les. erreurs de la formule seront de 
l'ordre (j)'"j on auradonc^.à.moins d'un 6000.0*".% la valeur de 
log 3 par l'équation 

,ologii = -Y/(— ^— ), 
dans laquelle il feut substituer les valeurs c = ( ^ )% c' = ^^ = -^ , 

c" = ^ = ^, c'" = ^, c" =: ^.. On borne ceUe 

suite à ç^^j parce que la différence i — c^ est beaucoup plus petite 
que l'erreur de la formule. 

Le résultat donne en effet Ibg 2 = 0.693 i5o y ce qui est conforme 
au degré de précision qu'on voulait obtenir. 



C0]?rSTRUCT10N DES TABLES ELLIPTIQUES. 1 1 

En faisant m = ao ^ on aurait un terme de plus à calculer y et o& 
obtiendrait au moins dix décimales exactes. 

10. Puisqu'on a F'c = - K et F*i= — log —, il est facile do 

trouver la valeur du module c , tel qu'on ait F'fr = riS^c ; pour cela 
on aura Téqualion ^ttfi.^^ =ïog 4r > ^"^ exprimée en logarithmes 

c 

des Tables y donne 

log — s= I i/tmn.ir. 

Cette équation déterminera directement c^^ si toutefois fi, est connu; 

or (f^ étant connu ^ on en déduira aisément les modules précédens 

^""* , c'*""^ , et enfin c , par la méthode de Tart. Sg. 

^ Quant à la valeur de yc« ^ elle sera égale à 4 9 depuis e = sin 45^ 
jusqu'à c = sin ^6'' 34^ c'est-à-dire depuis n = i jusqu'à /»== i -^ 
à peu près. 

Elle sera égale à 3 depuis c = sin 26"* 34' jusqu'à c = sin 3"* 1 1', 
ou depuis nz=>\\ jusqu'à n = 3 f. 

Enfin on aura /t = ^ depuis n =s s | jusqu'à n=5y^et/x=z 
si on a /^ >> 5 ^. 

Ces résultats sont fondés sur la limite jusqu'à laquelle il convien t 
de prolonger la suite des modules c y <;% e''^ etc. y pour obtenir un 
même nombre de décimales exactes que nous avons fixé à 1 4* Nous 
allons Élire voir comment On détermine cette limite. 

a 

II. Si l'on est parvenu dans l'hypothèse dont il s'agit^ à un terme 
b^ tel que — log^ ^oit moindre qu'une demi-unité décimale du 
14* ordre , alors on pourra regarder log b^ comme nul ; et à plus 
forte raison^ les termes suivans log b^^^y logi^"^^, etc. Ainsi 
if*^^ sera le dernier des modules b dont il faut tenir compte. 

La série des modules c, c**, c***, etc. comprend toujours tin terme 
de plus : elle devra par conséquent être terminée au module ^. La 



12 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 

—^j . — ZT* ^* qu'ainsi le log 

de bf* * est nécessaire pour composer la valeur de log c^. 

Passé le terme c^, il n'y a pas lieu de considérer le suivant c^"^* , 
parce qu'on aura sans erreur sensible c/*"'"' = (î^)*> ^* qu'ainsi 
la quantité — log — ne change pas en mettant ;i. + i à la place de/i. 

Cela posé , il est facile de voir qu'on connaîtra les limites des 
difTérens cas y en commençant par déterminer la valeur du module c 
qui donne pour son complément log i = — ï ( lo )'"*^. 

Le module supposé c étant extrêmement petit, on a d'une manière 
suflisamment exacte b = i — j c* et log i =: — ^ "^^^ i ^^^^ 
c* = M(io)-*^ et ^=(io)-' v^M, ou 

log c = 5.i8ii07&<r 

Si on assimile c au sinus d^un arc , on trouvera que cet arc n'est 
qu'une fraction de seconde et qu'on a c =sin o"o5i3. 

Il faut maintenant partir de ce module très-petit pour former la 
suite des modules croissans c, c^, c'^, c'", etc. ; c'est un calcul qu'on 
pourra faire d'une manière suffisamment exacte pour notre objet ^ 
par une Table à sept décimales seulement. 

On aura d'abord c' =5 \^ , ou simplement c'=2j/c, ce qur 

donne log c' = G-SgiSSSg et c' = sin o' a' 40" 70. 

Pour avoir c" je fais c' = tang*7fl, j'ai / tang^0=: 8.44^79^9 > 
\ 6 = i*» 55' 55" 78, fl = 5' ii'5i"56; donc c"=sin S^ ii'5i"56 et 
log £?"= 8.7464836. 

Si on fait de nouveau c"=tang*^ 6', on aura /lang^ô'=9. 575341 8, 
\ Ô' = i3^ 17' i8"84^ fl'=26*^34'37"68; donc c'"=;= sin 26^54' 57"68 
et log c'" = 9 . 550698 1 . . 

Soit enfin c"' = tang^j ô", on aura / tang 78 = 9.8255490 , 
i 6"= 55* 46' 40" i5, S"=67^55' 20" 5o; donc c'^=8in67» 55'ao"5o 
et loge»' = 9. 9657898. 

12. Il résulte des calculs précédens^ i"". que depuis c=8in67'' S5r 



CONSTRUCTION DÈS TABLES ELLIPTIQUES. i5 
)asqu a c=sin 26** 54', on devra se bornera calculer les quatre termes 
b, b% b^, b^\ et les cinq c, c% c'% c-% &^' j 

a**. Que depuis c = sin a6* 54' jusqu'à c =sîn 5* 1 1', on n'aura à 
calculer que les trois termes *, *% ***% et les quatre c, c% c***, c*»***»; 

5*. Que depuis c = sin 5** 1 1 ' jusqu'à c = sin o** 2' 4o"> îl suffira 
de calculer les deux termes i, A% et les trois c, c% c**; 

4^ Que depuis c = sin o"" 2i'4<>'' jusqu'à c=sino''o5i5, il suffira 
de calculer le terme A, et les deux c , c**; 

5"*. Enfin qu'au-dessous de c= sin o"o5i5 , on n'a besoin que du 
seul terme c. 

Tel est le nombre des termes de la série des modules et de celle 
de leurs coraplémens , qu'il sera nécessaire de calculer dans les 
diflférens cas, pour obtenir i4 décimales exactes dans les logarithmes 
des fonctions F'c, E'c, F'&, E'£. Nous allons faire voir maintenant 
comment les calculs de ces modules peuvent être effectués de la 
manière la plus facile. 

Formation de P échelle des modules» 

i5. Connaissant les logarithmes de c et £, il s'agit de trouver 
ceux des termes suîyans c"* et b"". Pour cela, soit c^'sâri l'équation 

b^c = 2v/(ic*) donnera x = ^*i ^ (i — jc*) , et en faisant ;?= l 9 

la valeur de x développée en série régulière sera 

Mais il importe de calculer directement log x ^ or la valeur 

^^i^i±^:)jZi donne 
ap 

d'où Ton tire en intégrant, 

logar — jog;» p ^ ^.p ^ -^. ^ ^—^,- etc. 

Ces logarithmes sont hyperboliques ; pour les changer en loga- 
rithmes vulgaires, il faut multiplier les parties algébriques par m; 



i 



Î4 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 

<r'est pourquoi faisant 

P = nip^ — \ mp^ -I- ^ mp^ — etc., 
6q aura log ^ ou 

log c** = log p — P et log i' = — 7 P ; 

ainsi on connaîtra à la fois log d^ et log &**. 

La même formule servira à calculer les termes c** et i**, au 
moyen des deux précédens <;% &% et ainsi de suite j jusqu'à ce qu'on 
ait formé l'échelle entière des modules dans les limites déterminées 
par lart. la. 

Nous remarquerons qu'en supposant toujours qu'on veuille obtenir 
i4 décimales exactes^ la valeur de P ne comprendra jamais plus de 
trois termes; on trouvera même que le troisième ne devient nécessaire 
que lorsque c est peu éloigné de la limite sin 4^''; dans les autres 
cas , il suffira des deux premiers termes mp^ — \ mp^y et souvent du 
seul premier terme mp^. 

i4- Si la première valeur du module c est donnée sous la forme 
c = sin6^ et qu'en même temps l'angle 8 , ainsi que sa moitié^ 
se trouve directement et sans interpolation dans les Tables^ alors 
on aura immédiatement les quatre modules c y b ^ c% 5% par les 
formules 

c = sin6, i = côs9, c* = tang*iÔ, 1^=:^^^^. 

On calculera ensuite les termes c''**, 4*" en les déduisant des termes 
précédens c% £% par les formules de l'article précédent. C'est ainsi 
qu'on a procédé dans les calculs qui ont servi à former la Table gé- 
nérale des fonctions E'c?, F'c dont nous parlerons bientôt. 

i5. Si la valeur de c est donnée en nombres rationnels assez 
sin^ples y il pourra être facile de trouver les valeurs logarithmiques 
de' î , c% b"" au moyen des formules 

et pour cet effet on emploiera la Table connue qui donne jusqu'à 
i5 ou 20 décimales^ les logarithmes des nombres de i à i i6i , ou 
même de i à 1 200. Les calculs seront encore plus faciles si la valeur 
de b est. donnée immédiatement en nombres simples. 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. i ^ 

Si on ne connaît que log c ^ dont le double sera log c^y on cher- 
chera daès une TaUe ordinaire à sept décimales , un nombre qui 
approché de c* jusqu'à la sixième ou la septième décimale ; on 
transformera ensuite cette valeur en fraction continue y afin d'obtenir 
une fraction o.rdinaire exprimée en nombres assez simples qui 
approche beaucoup de là valeur de c\ Cela posé. ^ on appliquera la 
formule suivante qui sert k trouver fadlement Jbg ( i* -rf* A ) ou 
log (i -^ A) > lorsqu'on connaît log A : 

log A = log a + r, 
log(i=±=A)=xlôgCirta)=fc:pf^(, + i|l)j 

et pour faciliter le calcul de cette fornîule , on fera 

et on aura 

log(i±A) = log(i±ûi) dbR. 

Par le moyen de log c*, on connaîtra donc log (i — c*), ou alog^; 
ensuite il faudra trouver log (i+^) > ^^ <J^i se fera par l'application 
de la même méthode. Enfin connaissant log ( i +^) 9 on aura immé- 
diatement les logarithmes de c"" et i% par les formules 



*• = ^»^* 



16. Si on ne veut pas pousser l'approximation au-delà de dix 
décimales , le calcul des premiers modules se fera sans difficulté par 
les Tables de Ylacq ou de Wega , en faisant les interpolations 
nécessaires^ et ayant égard aux secondes différences. On peut à cet 
effet suivre deux méthodes différentes. 

i"*. Etant donné log c ou log sin ^ on cherchera l'angle 9 avec tout 
le degré d'exactitude que la Table comporte y c'est-à-dire en calcu- 
lant les fractions de seconde jusqu'à la cinquième décimale au 
moins; 8 étant connu ^ on aura par les interpolations ordinaires, 
leslogarilhmes des quantités i^ c% i%savoir: ^=:cos6^ c^=tang'iô, 

c 

Ces calcula pourraient être faits de la même manière , lorsqu'il 



i6 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL- 

s'agira de trouver c'* et b"^; mais ils deviendraient plus compliques, 
et les interpolations moins exactes à raison de la petitesse du nouvel 
angle €. Il sera donc préférable alors de se servir de la méthode 
de l'art. i5. 

^•. Pour éviter les interpolations assez péqibles qu'exige la mé- 
thode précédente y on peut opérer comme il suit. 

L'angle 6 auquel répond / sin 0, tombe toujours entre deux angles 
de la Table ^ qui né diffèrent entr'eux que de lo". Soit a celui des 
deux qui est multiple de W, et soit 

/sinG = Isina + r; 
on déduira de là , 

/ cos fl = / cos et — r tang* * M H ^ f 

/tangifl = /tangua 4.^ (i+^Mrtang-ct). 

Ainsi on connaîtra les logarithmes de b et de c"*; ensuite on aura 

celui de i^ par la formule h"" = iilS-îi. 

Si l'on fait / cos 9 = / cos ât — R , / tang 56=/ tang ^ a + S , 
le calcul des corrections R et S deviendra fort simple par le moyen 
suivant. Soit / =: r tang*â& , on aura 

log R = log /•' + r' + r, 
logS = log^ + i/; 

Au reste il n'est point à craindre que les erreurs se multiplient dans 
ces calculs, puisqu'on suppose toujours 8 ou ât < 4^*. 

Formules pour le calcul des quatre fonctions F*c,E*c,F*b,E*i. 

17. Nous partons toujours de l'hypothèse que l'on veut avoir 
le3 logarithmes de ces quatre fonctions, approchés jusqu'à la qua- 
torzième décimale; d'ailleurs on peut toujours supposer c •< sin 45^. 
Cela posé, nous commencerons par le cas qui exige les plus longs 
calculs , celui où le module c est compris entre sin 45* et sin 26* 54'; 
filors l'échelle des modules doit être prolongée jusqu'aux termes 



CONSTRUCiriON DES TABLES ELLIPTIQUES. 17 
jMo ^ ^o»«o ^ inclusivement. Les autres cas seront susceptibles de 
diverses simplifications à mesure que le module c deviendra plus 
petit. 

Les valeurs de F'<? y E'c se trouvent d abord immédiatement par 
les formules 

E'c = LF'c , L = ^ (i — i <f*tr— \ d'^o'^c'^). 

Pour simplifier le calcul du coefficient L , j'observe que les deux 
termes ï-c'V" (i +î c"") peuvent se réduire à un seul ; car on 
a d'une manière suffisamment exacte » i + • o*^ = V^( i + f^ ) 

= v/(^^^?-)» ^'^^ ^^^^ c^'é, 2^^ = -^. Donc 



"" >oo 



V/A' 



Ainsi faisant r=5 c*«c'*.^j — , on aura 

Lorsque c est donné sous la forme sin j et que Tangle ainsi 
que 4 6 9 se trouve immédiatement dans les Tables ^ on a plus 
simplement 

i- = cos^^9. 

Tout se réduit donc a trouver log ( 1 — r) , ce que Ton fera par 
la formula log (1 — r)= — mr — 5 wir* — j /w/^, dont il sufGra de 
calculer trois termes au plus. 

Le premier terme mr de cette valeur peut être calculé avec une 
précision suffisante par des Tables à dix décimales; car il ne peut 
avoir au plus que dix chiffres significatifs : et quand même il y 
aurait une erreur d'une ou de deux unités sur le dixième chifTre 
significatif, qui sera au rang delà quatorzième décimale , cette erreur 
sera confondue avec celles dont les autres logarithmes sont suscep- 
tibles ; car en poussant l'approximalioa jusqu'à la quatorzième déci-r 

5 



X 



i8 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 

maie ^ on ne peut prétendre qu<9 la quatorzième décipaale sera 
toujours exacte. 

i8. Venons maintenant au calcul des fonctions complémentaire» 
F'i, E'&. Les formules des art. 68 et 78 de la première Partie 
donnent , après avoir échangé entr'elles les lettres b et c ^ et en 
supposant /u = 4 

E«4 = LT^b + ^,. 

On voit d'abord qu'on a exactement K' = K, et qu'ainsi R' est déjà 
connu ; ensuite pour changer les logarithmes compris dans ces for- 
mules en logarithmes vulgaires ^ soit A s=: -^ log -é^} ce logarithme 

tiré immédiatement de la série des knodules ^ sera un logarithme 
vulgaire ^ et on en conclura 

F'i = KM*. 

Pour calculer E'£ , il faut connaître le coefficient U; or les formules 
des articles cités , donnent ^ après les permutations convenables ^ 

: L' = o. - c» [v'c- + ^{^ + v/(2g:) + e.c.]. 

■ Mais on a 1 — i = cy/c*, i + i = -— • , c* — cb\/c^ = e^c^f 

' donc 

L' = cv^é-- cVibd'ir)- c s/(^^^^ - etc. 

^ Celte suite est fort convergente , mais on peut lui donner une forme 

plus commode; en effet on a les équations 

y/^bd") == \ b^c^ d'où résultent v/(i^'c***) = J b^c\/(f% 

etc. ctCr 

donc 

L' = c |/c* — ^ c*l^ /c"* — i c'c"'*** ^^^ — 4 c Vc«*^**>^ i/c**«' — etc. 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 19 
Pour rendre cette expression toat à Êtit rationnelle, on substituer* 

les valeurs »^c* ace - (i+^O , V^ ^* "" ( "^"f^**) ^ c^^* J ^* ^^ obseiv 
vant qu'on a i* = . ^ , i** = i^ ,^ , etc., il viendra enfin 

L' = - (,4-c*») **-.ic*c* (i — t?*») _ic*cv(i-— {?•••) — elc. 

ou 

L' = 5^ c* + ^ c*c» + ^ €?Véî- 4. î^ ^•(^•©••c— 4- etc. 

Comparant cette expression avec celle du coefficient L qui sert à 
déterminer E'c^ on trouve exactement L^= i — L. 

Ce résultat aurait pu se déduire directement de notre théorème 
sur les fonctions complémentaires y savoir^ 



car en substituant dans cette équation les valeurs F*i? = ~K^ 
E*c t= LF'c , E'* =i LT'* + g, du trouvé imttiédiateâieul 

L' = I — L ; 
ainsi on a une nouvelle vérification du théorème dont il s'agit. 

ig. Il suffit^ pour Tappro^imation que nous voulons obtenir ^ de 
prendre 

L'= ic*(i +i£?* + ^c'c** + ^c*c«'c*''*); 

mais ces quatre termes seraient peu tK>mmodes pour le calcul loga- 
rithmique , et on va voir qu^ils peuvent être réduits à deux. 
En e£Fel soit j-=:.i +ïC*+^cV*-f-8 c*^**^", f observe d'abord 

qu'où a I -f- £?*»*c=^î^ j donc i + ^^ c* (i -^-c**) = i + v/^*% et 

La seconde partie de cette valeur se réduit à un seul terme ^ parce 
qu'on a avec une exactitude suffisante y 

. V/(i ^.:- ) = )/(-^) = ^( b"' »/*- ) i 
il en résulte 



1 „ i c**' 



ao EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 

Mais on a 

et celle valeur se réduit ultérieurement à -yr . -rr » donc si on 

fait i+»/c-=C, on aura C* = ^.A"==K-.^„ et C=K^(^)'. 
Gela posé ^ la valeur de jr devient 



•/«oo 3 



ce 



Cl le second terme se réduit à ^'Tt^ (A*****)*; donc enfin on aura 

Par ces transformations non*seuIement la valeur de L' est réduite a 
deux termes ^ mais le second de ces termea reste toujours très-petit 

par rapport au premier; j'observe d'ailleurs que le facteur (&**•• )*^ 
très-peu différent de Tunilé , peut être omis sans qu'il en résulte 
une erreur d^ine unité décimale du quatorzième ordre sur le log> 
de U y et encore moins sur celui de E'^. 

ao. Cela posé> le calcul de E'i se fera par les formulea^ 

Nous avons fait voir d^ailleurs comment du log. connu de A on 
déduit log (i -f-A) ; ces formules jointes à. celles que nous avons- 
déjà trouvées, savoir. 



F4 = KMA, i = -nslog:i 



,^«3 h- 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. ai 

sont ce que lanalyse parait offrir de plus simple pour calculer 
jusqu'à la quatorzième décimale, les logarithmes des quatre fonc-* 
lions F'c^ E'i?, F'i, E'^, dans le premier cas de Tart. 12, c'est-à- 
dire lorsque le module c est compris entre sin 4^'* et sin 2&* 34^ 

21. Ces formules se simplifieront encore lorsqu'on voudra obtenir 
une moins grande approximation, ou lorsque c sera plus petit 
que sin 26'' 54', parce qu'alors il y aura moins de termes à calculer 
dans la série des modules. 

Ainsi depuis c = sin 26'' 34' jusqu'à c = sin 3* 11', ou depuis 
c = 0.447 jusqu'à c=:o.o558, on pourra faire i*** = i , et prendre 
c"^"" pour le dernier terme de la suite des modules , ce qui donnera 

Ces formules conviennent au second cas de l'art. la. 

22. Le troisième cas à considérer est celui où c est compris entre 
sîn 3* II' et sin a' 40", c'est-à-dire entre o,o558 et 0.000776. Alors^ 
on pourra faire 4'* = 1 , et prendre c*' pour le dernier terme de la 
série des modules; on aura donc pour déterminer F'€? et E'cr, les» 
formules 

Dans la dernière^ le facteur 1 -— -j c'*c** qu'on peut représenter 
par {b'^'^Yy ne peut produire au phis que deux unités dansr le qua- 
torzième ordre de décimales ; car la limite supérieure de c est dé- 
terminée par la condition que log &** n'est que d'une demi-unité de 
cet ordre* Ainsi , peu après cette limite , on pourra négliger tout à 

fait ce facteur , et faire E'c = r^ j. ce qui s'accorde atec la formula 

du n"" 85 , première Partie ; mais elle est réduite ici à une expres- 
sion encore plus simple. 

Dans le même cas,, les fonctions Y'b y^'b se calculent par les^ 



éà ÉtÈftCÏCÉS DÉ CALCUL INTÉGRAL. 

formulés 

et on remarquera que le facteur i — ^ ne peut donner au plus 

qu'une unité défeimale du onsiètne brdre : ainsi il devra être né-^ 
gligé si on se borne à dix décimale^; alors on aurait simplement 

E'i = K C ^ "^ • ^"^* ^'^) > ^® V^^ 8*accorde avec les formules des 
art. 79 et 8a ; mais cette nouvelle expression est encore la plus simple. 

a3. Ces formules sont déjà réduites à un tel degré de simplicité, 
qu'il serait presqu'inutile de faire mention des , deux derniers cas 

de l'art. la; l'un où l'on peut faire A*=s t , K=s -ij, hz=:jl^ 

= /- + x/t; l'autre où l'on peut fiaiire A=i,K = i, A ==log -. 

Il ne reste plus qu'à faire voir dans quelques exemples y l'appli-- 
cation des formules précédentes; nous commencerons par le cas où 
il faut apporter le plus de précision dans les' calculs , mais qui offre 
plusieurs moyens de vérification; et pour mieux juger de l'exaclitude 
des. formules j nous ne négligerons les décimales qu'au*delà du 
quinzième ordre. 

Exemple I. c= sin 4^*. 

24. On aura c* a= tang* aa" { = ( ^/a — 1 )' , 6" = a t/~> ce qui 
donne d'abord les logarithmes suivâns , 

Cyb... 9.84943 5ooai 68010 
tangaa*|... 9.6i7aa 43^46 ôatSy. . .i*. .. 9.99351 1809a 4aii5 
c^ 9.a5444 86395 34274. 

Pour trouver les termes suivans c** et i**, on calculeîra par la 
méthode de l'art. i3 , d'abord ;?, ensuite les différens termes qui 
composent P, et que nous désignerons ici par 1) , a) , 5). 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. a^ 



4 c« 8.93541 86356 60293 

(iC)»... 7.86685 73675 2o586 

hP 9.9955 1 1809a 4^115 

p 7.87552 54580 78475 



m. 





1 

• 



2) 

T 

5) 



• • 



• • 



• • 



• * 



• • 



« • 



• • 



5.74665 09161 Bj 

9^63778451 1 5 OOr 

5.58445 52^74 57 
5.74665 0916 
0,17609 la Sg 
1.30717 74 
5.74665 09 
0.54678 7 
7T4006T5* 



D*après les logarithmes trouvés des trois parties de la valeur de P y 
le premier terme 1 ) se trouve par des Tables à dix décimales , 
0.00002 4^545 649^5; mais comme on pourrait craindre^ dan^ 
ce cas y que la quatorzième décimale oe f&t pas exacte ^ et encore 
moins la quinzièiQe , voici le moyen 4'obftenir une plus grand» 
précision. 

* « 

25. 11 s'agit de trouver le nombre A d'après son logarithme 
5.38445 52274 57 ; je trouve dans les Tables qu'en faisant. ..* 
a == 0.00002 4^5^ on a 

log a s=z 5.58435 54i4i 87 

logA == 5 > 5844 5 52274 57 

r =?: 8 i8i35 ao 

ce qui donne log A=Iog û-{-r| donc AssoeW**, A«^-a==:a(tf^-^i)i 

\ ' D 4 ' lao 16 / 
et enfin ^ 

Voici le calcul de cette formole : 

r. 5.9128a ^o\G& 

a 5.58455 54141 

M o. 56221 56887 

ï/-. 409067 

ïV Mr». . . 6 

A— -a... 1.65943 493^ A — <t = 0.00000 00045 649^ 

Ot. . 0.0000a 425 

A 5=: O^0€K>O2 4^945 64929 



ae^ (e* — e ' ) 



a4 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL; 

On voit que la formule pourra y dans des cas semblables , être 
réduite aux deux premiers termes^ de sorte qu'on aura log(A — a) 
= IÇaMr) + ir , et l'usage en sera extrêmement facile; d ailleurs 
il suffit de calculer Ipg (A — a) avec sept décimales y pour en tirer 
la valeur de A exacte jusqu'à la quinzième décimale. 

26. Nous venons de trouver la valeur du premier terme i) de P ; 
les termes 2) et 3) s'obtiennent sans difficulté par leurs logarithmes : 
ainsi on en conclura 

i)«.. o. 00002 4^343 64929 
a) — ao aSSii 

5) + aSa 

P =: o.ooooa 4^325 36670 -^P.*.. o.ooooi 21162 68335 
p.... 7.87332 54580 78473 *•• 9-99998 78837 5i665 

€••... 7.87330 12255 4i8o3. 

Connaissant c"*"* et &*% on se servira de la même méthode pour en 
déduire c'*'''' et i*''^ ; mais la quantité P se réduisant à son premier 
terme mp*, le calcul se simplifie beaucoup. 

^c*'.... 7.57227 12298 7782a p^ 0.28910 9i5 

(^^••)\.. 5.14454 24597 55644 m 9.63778 431 

1:*-... I 2n6a 68335 p 9.93689 346 

p 5. 1445^ 45760 23979 

P...... . 84507 ^P.... 0.00000000004^254 

^•^* 5.14455 45759 59472 A^-%.. 9.99999 99999 57746 

Il ne reste plus qu'à calculer le terme (f**^y ce qui se fera simplement 
par la formule o'*"'» = ( i c?*-)* ji^,. 

ic••^.. 4.8435a 45802 75491 

9.68704 91605 50982 

- 4^354 
c'**'.... 9.68704 91605 93236 

27. Ayant formé ainsi l'échelle entière des modules, nous cal- 

culerons 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. a5 
Cillerons d'abord K et Y'Cy comme il suit : 



1 



....... o. i5o5i 49978 31990 

b"" 9-9935i 18093 42ii3 

*^-..--- 9-99998.78837 3i665 

*"'•••• 9-99999 999 99 577^6 
K* 0.14401 46907 635i4 

K..... 0.07300 73453 81767 

{"X.... 9.1 9611 98770 3 oi55 

F'<?.... o.a68ia 7323^^ 11910 

Pour calculer ensuite E'^, on commencera par former le logarithme 
de r qu'il suffit ordinairement d'exprimer avec dix décimales^ mais 
que pour pins de sûreté on peut porter jusqu'à douze ; ensuite on 
en déduira les différens termes de log( i — r) que nous désignerons 
à l'ordinaire par 1 ) > ^) > 5) , 

c** 8.46889 73686 485 r 6.o4ii7 16176 7a 

ià^ 7.67337 13398 778 m 9.63778 45ii5 00 

1 : !/*••. . • 30390 671 1) 5.67896 58a88 7a 

!/*••• ■— âii 7 r. . . . . 5.74014 i5 

r 6.o4ii7 16176 7a a) 1.41909 75 

fr. 6.86608 o 



5) 7.38417 7 

La valeur du premier terme i) se trouve par les Tables à dix 
décimales, 0.00004 77480 7077 ; pour la déterminer avec plus de 
certitude^ et jusqu'à la quinzième décimale^ on fera usage du moyen 
indiqué art. a5. 

Soit a = 0.00004 776, on aura 
log a = 5.67897 33769 30 
log A = 5.67896 68388 73 

r =5 1 76470 48 log A = log a — r. 

r 6.a4430 4o64i log (a — A) = log (aMr) — {r 

M 0.36331 66887 a — A = 0.00000 00019 ^9^33 

a 6.67897 33769 a = o.oooo4 776 

^r. ....... — 87735 A =s 0.00004 77480 70768 

a — A.,.. 1.38538 43563 4 



:jÇ lïXERCICES de calcul intégral. 

On Toit combien la première détermination de A^ par les Tables à 
dix décimales^ était approchée, et on en conclura que l'usage de ces 
Tables sera toujours suffisant dans les cas ordinaires, lorsqu'on ne 
veut pas obtenir plus de quatorze décimales.. 

Les deux autres termes 2) et 3) de la. valeur de log ( i — /*) > se 
trouvent sans difficulté par leurs logarithmes, et on en déduit le 
résultat suivant pour log E'c. 

i),.. o.oooo4 77480 70768 F'^... 0.26812 72224 11910 

26 24807 pi 



K^ 



a). . . 
5)... 



• • • 



192 



9-86246 i5836 83782 

o.i3o58 86060 96692' 
4 77606. 96767 



.oooo4 jj5q6 96767 

E'c... o.i3o64 08663 99926 

28. On peut vérifier la valeur trouvée pour E'c par l'équation 
des fonctions complémentaires qui devient dans ce cas ^'^^=::2FE — ^F*,. 



et d'où résulte E 



1 +KF 



aR 



( I 4- A) , en faisant A = RF : 



K.... 0.07200 75463 81767 
F.... 0.26812 72224 11910 

A.... 6.34oi3 46677 93667 

D'après^ cette valeur de log A , on trouve aisément une fraction 
exprimée en nombres peu considérables qui approche beaucoup 

de A; cette fraction est =^ := a* Prenant son logarithme avec 

quinze décimales , ainsi que celui de i + ^^ = -=-^ , et appliquant 
la formule de l'art. i5^ on trouve ce qui suit : 

871... 2 ,94001 81660 07663 1269.... 3«io346 1622094706 
598. •. 2.69988 30720 73688 598.... 3.69988 50720 73688 

i-^a... 0.60367 86600 21017 
i) — 3636 65364 

i+A... 0.60367 81964.46663 
2K 0.37303 73410 46738 

E'c o. i3o54 08653 99926 



a o.54oi3 60829 53976 

A . . , . 46677 93667 

r = — 6i5i 4o3o8 

log A = log a-^ r 



CONSTRirCTIDN DES TABLES ELLIPTIQUES. 

r 5.7119a 55533 

i-f-£Z.... o.5o357 855oo 

1^ 5.ao834 69833 

a o. 54oi3 50829 

ii^ — 808 

(1).. . .... 3.5^848 19854 

Où Toii que la valeur trouvée pour log E'c s'accorde jusqu'à la 
quinzième décimale avec celle que nous avions déjà trouvée ^ ce 
qui confirme pleinement tous ces calculs. 

Il n'y a pas lieu de calculer dans cet exemple les valeurs des 
fonctions F'é, E'^^ puisqu'elles sont les mêmes que celles de F'c 
et E'c; mais si on exécute ces calculs par les méthodes indiquées^ 
on obtiendra deux nouvelles térifîoations de nos formules. 

Exemple II. c = ^/a — i = tang \ n(. 

29. Cet exemple est compris dans lé second cas de l'art. 12; 
ainsi il ne faut prolonger l'échelle des modules que jusqu'aux termes 
P"^ eld*'"'*', et d'abord nous supposerons qu'on connaît seulement 
log 6* = 9*617:12 4^146 6ai4 y qui donne 

log c* ^ i9'.ii3444 86293 d4i^. 

De celte valeur il faut déduire log b ; pour cela on trouve d^abord 
la valeur approchée c* s= o. 1 71573 ^ laquelle , par les fractions coiv 

tinues ^ se transforme en ^ j soit donc c*=A et —Â =a^ on aura 

816 
I — a = -^. Or par fe Table a vingt décîmules , on trouve les 

logarithmes de a et de i — a comme il suit : 

169... 3.23788 67046 13673 816.... 3.91169 01587 5386i 
985... 2.99343 623o4 97611 985 3.99343 625o4 97611 

a 9.33445 04741 16063 I— «a... 9.91835 39283 5625 

A 9.23444 86293 2428 

r ;=s 18447 9178 



28 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL.' 

Ensuite il &ut appliquer les formules de l'art. i5 , savoir : 

logA = loga— r, /si^-L-, 

log(i — A) = log(i — a)+R; l6gR = log(a/)-.ir'; 

en voici le calcul : 

r 4.265g4 73549 i— a.... g.giSaS 59282 SGaS 

I — a.... 9.91825 39283 !!••• 3820 6987 

/ 4.34769 34266 1 — A.... 9.91825 43io3 261a 

a 9.234<i!5 04741 b 9*95912 7i55i 63o6 

— xr'.... — iii34 

R.. 3.58214 27873 

II est aisé de yérifîer celle valeur de log b ; car puisque c=(/2-— ^i-, 
il en résulte b^=z2 y/a — 2 = 2c; 

c 9.61722 43i46 6214 ; 

a o.3oi02 99956 6398 

i*.... 9.91825 43io3 261a ' 

b 9.95912 7i55i 63o6 -^ 

ce qui s'accorde parfaitement avec le résultat précédent. 

Maintenant il faut avoir le log de i +by pour en déduire ceux 

de C* et i*; or par la valeur approchée A = -g-, on trouvera les 

logarillimes suivans qui répondent à la valeur exacte dé b. 

i-f-i... 0.28107 423oi 9o5i5 2\/b... 0.28059 3573^ 456i 
c....... 9.61722 43i4& 6214 ï-f-*---^ 0.28107 423oi 9o5i5 

l/€?*... 9.3561 5 00844 71625 i* 9.99951 93450 54995 

c* 8.67230016894525 

Maintenant le calcul de c"** et b"^, et ensuite celui de c^*% se feront^ 
par la méthode ordinaire comme il suit :. 






CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 3g 



ê 
«k. 



J<?*.... 8.37137 0175a 7937 

iic-y... 6,74354 o5465 5854 
I:A^..• O.00048 06569 4 5oo5 

p 6.74303 ioo35 03546 

P 1539 93184 

c^ 6.74303 08705 ii36 

o.3oio3 99 956 6398 

6.44199 08748 4738 

3.88398 17496 9476 

664 9609 



p*.'.*.. 5.486o4 30070' 

m 9.65778 45ii5 

mp*. ... 5. ia58a 63i83 
împ\,. -- 1995 



P 3.1338a 61188 

7 P.... 0.00000 00664 9609a 
• 9-99999 99335 03908 



*• 



jc" 



» « 



toeo 



* • . . 



i 
b 



3.88398 18161 9085 

3o. L^ëchelle des modules étant ainsi formée y on procédera a 
l'ordinaire pour avoir K et F'c : 

0.04087 38448 5694 

h* 9 «999^^ 93430 54995 

*"" 9-99999 99555 03908 

0.04039 ^^^^5 958^ 

K 0*03019*60606 9792 

j^ 0.1961 1 . 98770 5oi5^ 

F"€?.... o.3i63i 59377 3807 

Pour avoir ensuite. E'c, il faut chercher log (1 
valeur r =s î C'^c*** y/r^. Voici le calcul j 

^v. ...... 7.34460 03379 ^^{^—^ = — R 

log R = log mr'\-\mr 



r) d'après 1» 



le**» 6.44199 08748 

i:\/b^... 166 

r 3.78659 13393 

m 9.63778 43ii3^ 

mr. 3.43437 55406 

b^ 



log mr 



f mr 



3.43437 554o6 
i329 



logR = 3.43437 56735 

R s=3 0.00000 03656 90384 



9.96008 84690 63o7 

F'c o.3i63i 59377 3807 

( I — r) — 3656 9038 

E'é? • r . . r . . . r o ..17640 4i4io 9086^ 



5o EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 

3i. Maintenant le calcul de Y'b doit être fait par la formule 

T'b = KMh , où Ton a A rz= | log -^; voici ce calcul : 

■ 

4 o.6oao5 gggiS 3796 h. 9*98441 91861 62678 

if'\.. . a. 88598 18161 9085 M 0.36221 56886 99^6^ 

3A = 7.71807 81761 3711 K 0,02019 60 606 9792 

h = 0.96475 97718 9214 F'^.... o. 36683 og355 6006 

On peut vérifier celte valeur de log F*i, par la propriété des fbnc*- 
tions V'b , "F'Cy démontrée art. 64 > laquelle^ en échangeant les 
lettres i et c de cet article, donne F'i = [/^.V'c. En eflFet, si on 
prend la différence des logarithmes des deux fonctions^ on trouve 
que celle différence répond à ^ log a. 

V'b o. 56685 09355 6006 

F'c... o.ai63i 59377 2807 

o.i5o5i 49978 5199 = { log 2. 

Le résultat est donc exact jusque dans la dernière décimale. 

Sa. U reste à trouver log E'b, et pour cela il Êiut calculer log A 
par la formule A s= ^ c*R^F'i (i^')* ^i — ^^^); naais d'abord faisant 

r = ^ ^ , nous chercherons log ( i — r) = — R , ce qui se fera par 
réquation log R = log (mr) + j mr. 

^c* 8.37127 01752 8 ic* 8.95341 86556 6o5o 

i c**. • . . 6 .441 99 08748 5 R 0.02019 60606 979a 

4.8i5a6""io48i 5 v/K 0.01009 8o3o3 4896 

V/K 1009 8o5o5 5 V'b o. 56685 09555 6006 

r 4.8o5i6 50178 v/A«* — 166 a4o2 

m 9.65778 45ii5 9.55054 56^56 432a 

mr 4.44094 73291 R — 37602 5] 85 

i mr i58oi A 9.53o54 o8833 9137 

logR = 4.44094 8709a ^ 

De celte valeur de log A, 11 faut déduire log ( i + A) ; c*est ce qu'on 
obtiendra aisément au moyen de la valeur approchée a = ^^ qui 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. ^i 



d'onne i + ^ = gx^- Voici le calcul d'où Ton tire ensuite log E'b. 

iSy,... 3367a 06671 564o7 777.... 89042 10188 oogi4 
640.-. • 80617 99769 83887 640 80617 99759 83887 

m 9.33o54 06931 7262 i-f-a... o.o8434 io448 17037 

A 88339137 i) 61171163 

r = 3909 1886 i-f-A... o.o8424 10969 8819 
log A ==log a ^ r K ^019 60606 979a 

s. ' 

£'&. • » • o.^o64o4 5o35a 9027 

r 3.46272 66169 

i+fl. .. o.o8424 io448 

/ 3.37848 46721 

a. .... • 9.33o64 0693a 
îr' 1196 

]) 2*70902 52848 

ExEMPLS III. £? = sia8y sin 29=: tang* i5\ 

33. Cet exemple se rapporte au troisième cas de Tart. 12; il a 
été déjà traité dans l'art. 84 , première Partie ; mais nous allons le 
résoudre plus exactement en calculant les quatre fonctions jusqu'à 
quatorze décimales. 

Dans ce cas on ne donne directement ni la valeur de Cj ni celle 
de & ; il faut les déduire de Téquation sin 2â=:tang*i S^'ou 2&c=tang* 1 5"*. 
Voici la méthode que nous choisirons pour cet objet. 

De l'équation sin afl = tang'A, on tire cos*fl= llkESi^, SoU 
donc A = a^ Ko 9 on aura cos* Ô= ^ ( i + A ) : connaissant par 

cette équation cos ou i, on aura ensuite cpar l'équation c=: — ^~ — • 
Voici le détail des calculs. 

sin i5*... 9-4i299 62306 6934 v^(cos3o*). 9.96876 53i58 47926 
cosiS*... 9.98494 37781 oa7o cos*i5... 9.96988 7656a o64o 

tangiS*... 9.43806 a45a4 6664 A 9*99^87 77%6 4a5a5 

ung*I5^.. 8.â56io 49o4g 53aa 



\ 



■» 



. » 



5a EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 

Une valeur approchée de A est a = =g~ ; elle servira à calculer 
Jog ( I -f- A) , comme il suit : 

587... 68771 09660 18911 775.,,. 88950 17026 o63io 

388,.. 58883 17266 94207 588.... 58885 17266 94207 

• , ■ 

a 9»99887 92394 fi47o4 i-f-a. .. o,5oo^6 99769 i2io5 

A • . . . 7^96 42626 i) 7389 35761 

r = 14797 82179 I + A. o.3oo4i;6 92379 76342 
logA=:loga — r. 2 o.3oio2 99966 63981 

r 4.17019 77928 b* 9-99943 92425 1236 

i+fl... o.5oo46 9976 9 b , 9*99971 96211 6618 

r' 5.86972 78169 2b 0.50074 96168 2016 

a 9-99887 92594 tangM5% 8.86610 49049 5528' 

i/'' — 5704 c 8.66636 62881 i5i2' 

1) 4.86860 66849 

Connaissant les logarithmes de ^ et & , on trouvera par la méthode 
ordinaire ^ ceux de c% £*, puis celui de c'*% ce qui suffit dans le cas 
présent pour compléter la série des modules. Voici le calcul. 

^c.... 8.25452 62924 4914 

(jcy... 6.60866 06848 9828 p* 5.01786 195 

i:b... 28 05788 4582 m 9.65778 45i 

p 6.60895 09657 4210 mp*.... 2.66664 624 

P = 462 62874 I mp*. . . — 7 

(f 6.50893 09184 89226 logP = 2.66664 617 

o.5oi02 99966 65981 7P = 0.00000 00226 26457 

i^.... 6.20790 09228 25245 *^ 9 • 99999 99773 73565 

(ic°)»,. a.4i58o i8466 60490 
I:i^.. 22626457 

c**'.... 2.4i58o 18682 76927 

54. L'échelle des modules étant terminée , on calculera comme il 
Bini les quantités F'^ , E'c, 



/ 



..oo 



CONSTRUCTK)N DES TABLES ELLIPTIQUES. 55 . 

j.... o.oooaS o3562 xySSa îr--** ^'^9^97 96989 3i46a 

K.... o.oooi4 01781 08691 A 526 a6437 

Itt... 0.19611 98770 5oi55 iogE'cï= 0.19697 973x5 4790 
logF'£>= 0.19636 oo55i 38844 

Venons maintenant au calcul de F'/^ , il &e fera par réqualion . 
F'* = KMA, où Fon a A = ^ log ^ 

3og-^ = 8.i86a5 8ia5o 5io35 h..... o.3iioa 5443o 5o355 

^= 3.04656 45307 6276 M.... 0.36331 56886 99465 

K.... i4 01781 08691 

log F'i = 0.67538 15098 585o9 
log F<? = 0.19636 oo55i 38844 

' M il , - ■ 

log 5 = 0.4771a ia547 19666 

On voit qu^entre les logarithmes calculés de F'^ et F'r , la diffé* 
Tence répond exactement au logarithme de 3 ^ ce qui s'accorde avee 
3a propriété de ces fonctions. 

On peut encore faire voir que la valeur trouvée pour F'c satisfait 
exactement a l'équation F^c= ^ ^^^ ^ F' (sin45*), donnée art. 1 55^ 

première Partie. 

* 

F'(sîn45*). .7 o.a68ia 7aaa4 11910 

:à G. 3oioa 99966 ~6398ji 

iCos i5" ...... 9.98494 57781 0370 

,o.554io 09961 78691 
y2j. .... o. 36784 09410 39747 

log F'c =r 0.19636 00661 38844 

Taleitr qui s'aecorde parfaitement avec le résultat du calcul précédent* 
Jl ne reste plus qu'à calculer le log^ deE'3 ; pour cela nous suivrons 
la formule .de Tart. aa> . 

5 



S4 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. . 



1 cV 



F'b 0.67538 15098 585i i(i— r) = — mr. 

ic' 6.80968 o58o5 6aîi6 

R. i4 01781 0869 i ^^ 6.20790. 09 

|/R 7 00890 54346 jc"^ a. 11477 19 

mr — 915 m 9.6377845 

A 7.483a7 ai575 8289 1 : ^/K.. — 7 01 

mr. 7.96038 70 

Une Talear approchée de A est gix- = ^ 1 i 4- ^ = ggg^* 

. 17.. a3o44 89313 7827 5604. '. 74849 81366 J374 
5587.. 74717 86713 6017 5587... 74717 86713 6017 



7.48337 03600 1810 i-f-^"*- o.ooi3i 94563 5557 

A 316768389 R 578670 



r= 19076 6479 i+A. .. o.ooi3i 94610 4037 

R i4 01781 0869 

r...». 4.38047 93976 logE^b s=s 0.00117 93839 3i5S 
i-f-â... i5i 94555 
r'... .. 4.37915 9843a 

a 7 .48337 03600 

à/...^ 9609 

R....* 1.76343 io43i 

Consiruciiofi et usage de la Table des Fondions complètes. 

55. Au moyen des méthodes précédentes , on a calculé pour 
toutes les valeurs de 6^ de dixième en dméme de degré , les loga- 
rithmes des quatre fonctions ¥'Cy E*c, ¥'b, E'i, approchés jus- 
qu'à la quatorzième décimale. On a continué ainsi Jusqu'à i5^; 
depuis 15"* jusqu'à la limite 4^% on s'est borné à calculer ces loga« 
rithmes de demi*degré en demi-degré ; on a ensuite interpolé les 
termes trouvés , en insérant quatre moyens entre deux termes con- 
sécutifs^ de sorte que la Table . s^est trotrvée construite dans son 
entier pour tous les dixièmes de degré de l'angle du module. • 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 55 
Qaoique les logarithmes calculés directement doivent être en 
général eiacts y au moins jusqu'à la treizième décimale inclusiyer 
iiient^ on 5'est contenté de marquer les différences comme si les 
fon%.âbns F et E n'étaient calculées qu'avec la décimales. L'inter-. 
polation de iS"" a 4^* a été faite dans le même principe. 

Les formules dont on s'est servi pour cette interpolation , sont 
aissez connues; cependant nous les rapporterons icr^ afin qu'on 
puisse plus facilement vérifier nos calculs. 

36. La Table ayant été calculée pour chaque demi-degré ,' de i5 
à 45 degrés y supposons qi:fe pour une valeur déterminée ^z=ztty le 
terme A représente log F' ou log £'^ avec ses différences succès^ 
sives y comme il suit : 



cTA 



cT^A cPA 



J^A 



Pour insérer quatre moyens entre deux termes consécutiÊ A y 
A + J^A y qui répondent aux variables ot.y tt^ j y eia, prenant pour 
unité des variables un demi-degré ^ je forme dizboràX^s différences 
moffennes successives y ^voir y 

lo ' 100 ' 1000 ^ lOOOO '. 

désignant ensuite par dk. y d^K, d?K y d^k y les nouvelles différences 
de A qui auront lieu lorsqu'il y aura quatre moyens insérés entre 
A et A -4- ^k y on aura les valeurs suivantes de ces différences : 

d^k = fl*% 

d^k = (a'''— 4a'^) ^ M'% 

^•A = a" — 4(a'''^4fl'-), 

dk = û' — a'^— aCrf'A+rf'A), 

Connaissant les différences dk y d^k y d^k y d^k , on formera santf 
difficulté les quatre termes qui suivent A ^ et le cinquième qui devra 
être le même que le terme connu A + J^k y et qui servira ainsi à 
vérifier les calculs. Ces termes étant trouvés , on les terminera à 
la douzième décimale, en rejetant les deux autres , et on les insé- 
rera dans la Table formée de dixième en dixième de degré ; on y 
joindra en même temps les différences premières , secondes ^ troi-> 



36 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL: 

sîèmes et quatrièmes (s'il y a lieu) de ces nouveaux termes ^ lesquelles 
doivent s'accorder suivant une lot convenante ^ avec les différence9 
précédentes; et si quelqu'anomalie s'y faisait remarquer^ on en 
conclurait que dans le calcul d'interpolation il s'est glissé une erreur 
qu'il faut rectifier. 

. Sy. Je remarquerai que lorsque les différences quatrièmes cT^A 
sont assez grandes pour que les différences suivantes «T^A aient 
quelqulnfluence dans les interpolations y il conviendra de prendre 

«T^A — ^ «T^A au lieu de S^A. En effet, les termes A et A + ^TA 

étant censés répondre aux indices a:=o, a:=i,sion calcule le 
terme intermédiaire qui répond à l'indice x y la partie de ce terme 
due aux différence^ J^^A y S^A , sera 

d'où Ton voft qu'on peut tenir compte des cinquièmes différences,- 

or— ^ 

en prenant «T^A H ^ J'^A au lieu de J^A. Mais comme cT^A est 

censé très-petit par rapport à cT^A, si l'on donne à x une valeur 
moyenne f y le terme ^T^ <f^A se réduira à — -2- J^A; ainsi' au 

lieu de cT^A, on pourra prendre cT^A — — cT^A, ce qui sera suffi- 
samment exact pour les valeurs de x qui répondent aux quatre 
moyens , savoir , ^, f , |,|. 

Ce moyen a été employé surtout pour les valeurs de F'c, depuis^ 
45'' jusqu'à 65**; passé 65** il a fallu tenir compte plus exacte- 
ment des cinquièmes différences^^ ce qui a été pratiqué de la ma-- 
nière suivante. 

58. On a fait d'aBord le calcul entier de nntèrpolairon , en ayant 
égard seulement aux quatrièmes différences. Ensuite pour tenir 
compte des cinquièmes différences , et jusqu'à un certain point 
des sixièmes , on a ajouté des corrections* aux différens moyena^ 
insérés^ savoir^ 



ELLIPTIQUES 



57 



Au !•' moyen.., + a! (J^^A — ^ cT^A) , loga' = 8.4071529 

Au 2* i + *" (cT^A — \ J^^A) , log a" = 8.4764a58 

Au 5*.... +a'^'(cf«A — IcT'A), loga'^' = 



= 8.358448a 
Au 4*. . • - + a" (cT^A — I cT^A), loga»^ = 8.0516926 

Dans ces expressions^ la quantité <'— | J^A esi la valeur moyenne 
de H J'^A y laquelle s'obtient en faisant or = |. Quant aux 
<;oefficiens a! , ei!', a'", a*', ce sont les valeurs de la quantité 
ar.a? — i.jE?— a.iT— ,.r— 4^ lorsqu'on y fait successivement x = |^ 



1 •2.3.4-B 



£34 
5 ^ 5 > 5' 



' 39. Pour donnef un exemple de ces interpolations ^ supposons 
qu'il s'agit d'insérer quatre moyens eiâtre les deux valeurs de log F' 
qui répondent aux angles 0= 57'' 5 et fi =58''o. 

La Table des valeurs de logF'^ calculées de demi-degré en demi- 
jdegré y donne les résultats suivans pour le cas de 6 = 57'' 5 : 



ê. 



Log F' 



57® 5| o.3qo 640 398 695 



DifF. I. 



IL 



39 775 335 



III. 



853 935 



IV. 



38 6G0 



V. 



vr. 



a 39820a 



2 541 i65 3r5 

D'après ces données^ les différences moyennes jusqu'au quatrième 
ordre , seront 

ii'=5o8253oG5.oo,a"i=i5gi oi3.4o, a'"=685i,48,û''=6i.8656; 
on en tire par les formules précédentes^ 

« 

JA=:5o5 090 735.90, </*A=i564677.53,^A=:646o.29,rf*A=6i.87^ 

Au moyen de ces différences, on calculera les termes intermédiaires 
comme il suit : 




57,5 o.3qo G40 39 8 695.00 
67.5' o.3ai 145 589 4^0.90 

57.7 0.321 65a 044 824.13 

57.8 0.32a i6o 271 364.08 
57.5^ 0.322 670 075 565. 61 
58rO 1 o^SoS i8i 4^4 oio.oS 



505 090 735.90 

5 06 655 4o3.a3 
5o8 aa6 54o.85 
609 804 aoo.63 
5u 388 444.44 



iPA. 



i 564 677.356 460. a 



1^ 571 137.6a 
577 659.78 
584 243.81 



*A, 



6 5aa.i 
6 584.03 



61.87 
6i.8jr 



\ 



t58 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 

Poar calculer ensuite la correction due aux cinquièmes et sixièmes 
différences^ on aura cf*A — fcT^Ass 22465, ce qui donnera les 
corrections à appliquer aux dernières figures des moyens insérés ^ 
comme il suit : 

i**... 420.90 2\.. 824.15 5*..- 564.98 4\.. 565. 6i 
Cor. H- 57.57 + 67.29 4- 5i.53 4-25.50 

478.27 ^91*4^ 4^6. 5i Sg(x.gi 

Les moyens ainsi corrigés sont y en supprimant les deux décimales^ 
tels qu'on les voit dans la Table générale construite pour chaque 
dixième de degré. 

40. Si on voulait allerplus loin et étendre la Table à tous les centièmes 
de degré , ce qui en rendrait les différences plus petites et l'usage 
beaucoup plus facile , il faudrait commencer par insérer un moyen 
entre deux termes consécutifs de la Table actuelle. On aurait ainsi 
une nouvelle Table calculée pour tous les demi-dixièmes de degré ; 
il faudrait ensuite diviser chaque intervalle en cinq parties égales 
par quatre moyens y ce qui se ferait par les formules que nous avon& 
rapportées. Ces interpolations cependant ne pourraient être prati^ 
quées avec succès que jusqu'à 80 ou 85 degrés au plus ; elles pour* 
raient être prolongées plus loin pour log E' que pour log F' qui 
augmente rapidement vers la fin de la Table. Mais comme la Table 
sera toujours de peu d'usage dans cette extrémiste, et qu'il est facile 
d'y suppléer par le calcul direct , on pourra laisser subsister la 
Table actuelle, calculée pour chaque dixième de degré, dans ^ 
petite partie qui ne se prêle pas facilement aux interpolations. L'in* 
convénient que nous remarquons ici dans la Table des log. des 
fonctions V'b , E^b , a lieu également , ou même à un plus bajat degré , 
dans la simple Table des logarithmes des nombres , vers le com- 
mencement de celte Table , et jusqu'à une assez grande distance. Il 
a lieu également , et par la même raison , dans la Table des loga- 
rithmes-sinus , pour les petits arcs ; et dans celle des logarithmes- 
tangentes, il se fait sentir tant pour les petits arcs que pour ceiix 
qui diffèrent peu de 90''. Dans tous ces cas , les interpolations ne 
peuvent être faites avec sûreté, et il faut recourir à des moyens par^ 
ticuliers pour y suppléer» 



CONSTRUCTIOlï IffiS TABLES ELLIPTIQUES. Sg 
..4i« Pour avoir le milieu entre deux termes consécutifs A^Ai 
d'une suite dont les différences deviennent progressivement plus 
petites qu'une quantité donnée , il est bon d^avoir recours aux termes 
qui précèdent et qui suivent les deux termes proposés. Supposons 
donc que la suite dont il s'iaglt soit représentée comme on voit ici ; 

...A( — 5), A(— a), A( — i) , A^ Ai^ Aa, A5, etc.; 

et soit le moyen cherché A (t) y on aura 



^^-^J — """5 5 • § ^ "^ • Zl ' 



1.3.5 /«A(— 5)+^ A(~a) , 

eic 



a. 4. 6* iflS 

Cette formule suit une loi très-simple dont voici la démonstration^ 

Un terme quelconque A {x) peut en général être représenté par 
A ( 1 + cT )*9 pourvu qu'après le développement de cette puissance ^ 
chaque terme AcT" soit remplacé par cT'A. Gela posé ^ on aura , 
suivant cette notation^ 

A-*-Ai=A+A(i4-/)=A(i+/)"^[(i-(-/)»4-(i+«rr'], 

^A(-i)H-«r'A=A/*(i+«r)-'-HA«r'=A/'(i4.«r)" ^ [(i+J')'-K»-H')" h 

J^*A(-aH-«r<A(-i)= A/<(H-«fr • [(i+Zf+Ci+cT)' •] > 
elc. 

Si donc réqnalion ^apposée a lieu , c'est-à-dire , si en général 
A (^) est de la forme 

Aa)=;'(A4-Ai) + /7'[/*A(-i) + /*A]* 

-f.^"[xrU(-a)+JÎ*A(-03 
+ etc., 

p y p'y p"y eic. étant des coefficiens constans ; il fiiudra . en substf* 
tuant les valeurs précédentes j qu'on ait l'équation identique 

• $oi* r+7 =î * ^ •î ^^^^ ^lè ve au quarré le premier membre d« 



4o EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 

cette équation, il deviendra . / jT . 7 : = . ! ; donc on doit avoir 

^(4 ^. ^) =p+p'z +;»V + f'z' 4- etc. ( 

or cette ëquatioa est satisfaite généraleipent au moyea des valeurs 
suivantes » 

Ces coefficiens donneront donc aussi la loi générale de Fexpres* 
sîon de A(ï). 

Au reste celle expression sera toujours si convergente, qu'il 
sufBni de prendre les deux premiers termes^ ou tout au plus les 
trois premiers. 

43. Veut-on, par exemple, calculer la valeur de log F' qui. 
répond à langle du module fi = 6i®o5 ? On prendra dans 1^ ^ÙA^ 
)es valeurs suivantes : 

A = 0.539 295 o3o 747 
Al == 0.559 869 Î46 462 

s = 0.679 i54 177 209 j$ zsu 0.S59 577 088 604.5 

/•A(— i) =2 I 8ai o5o * 

cT'A =5 I 839 864 



s' 



'3 65o 694 ^ / =5 P-v 228 180.9 



Milieu cherché A(i) = 0.559 576 860 425.6 

45. Soit encore proposé pour exemple de trouver log F* pour 
Tangle 6= 77^*25; on fera le calcul d'après les élémens pris dans 
la Table ^ .comme il suit ; 

A. p»; 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 41 



A 0.464 973 191 06a. 55 

Ai 0.466 078 604 931 «93 




s = o.gSi 


o5i 


795 984.37 


i* = o 


/•A(— 1)... 
«T'A 




6 555 790 
6 643 169 




- s'... 




i3 198 969 


16* • • • 


cT^AC— a) . . . 
/♦A(— 1)... 




I 894 
1 957 




s". . . 




5 85i 


• 5 « * • • • 



0.465 5^5 897 992.13 



824 934.94 



+ 45. i5 



Milieu cherché... A(^)=o.465 5^5 07S 100.32 

44* Ayant expliqué la construction de la Table des fonctions 
complètes y et les moyens de Tétendre jusqu'aux centièmes de degré, 
ce qui serait un travail fort utile, sans être bien considérable , il nous 
reste à montrer les usages de cette Table j c*est-à«dire à faire voir 
comment^ pour une valeur donnée de Tangle 0, non comprbe dans 
la Table^ on trouvera les logarithmes des fonctions F' et E% appro- 
chés jusqu'à la douzième décimale; et réciproquement , comment 
du logarithme donné d'une de ces fonctions^ on déduirait l'angle 
du module 6, et le module lui-même c. 

Et d'abord y si au lieu de donner Tangle 8 ^ on donne le module c 
ou son complément b y\\ faudra en déduire l'angle correspondant 
avec toute la précision nécessaire y pour que les quantités négligées 
n'influent pas sur la douzième décimale de log F ou log E. Cetobj^ft 
mérite un examen particulier. 

Comme nous supposons toujours c<Cby il sera plus exact de 
déterminer l'angle par le moyen de son sinus c que par le moyen 
de son cosinus &; cela est vrai surtout si l'angle est d'un petit 
nombre de degrés , parce qu'alors une petite erreur sur cos en 
produit une assez grande sur 0. Ainsi en général si on donne 
à la fois log c et log b yi\ faudra déterminer l'angle par le moyen 
de log e. 

Si l'on veut déterminer à dix décimales seulement les fonctions 
F'^ E', en négligeant les deux de plqs que donne la Table ^ il suffira 

6 



43 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 

de chercher l'angle 9 par les Tables de Vlacq ou de Wega , et eir 
ayant égard aux secondes différences. Ce calcul n'a pas besoin 
d'autre explication ; seulement après avoir trouvé l'angle en degrés^ 
minutes et secondes , il faudra tout réduire en dixièmes de degré , 
et parties décimales du dixième de degré ^ puisque le dixième de 
degré doit servir d'unité dans les calculs d'interpolation. 

45. Mais si on veut exprimer les logarithmes avec douze déci- 
males^ comme sont ceux de notre Table ^ alors l'angle ne peut 
plus se trouver avec une précision suffisante par des Tables à dix 
décimales^ telles que celles de Vlacq ou de Wega. 

Dans ce cas , il faudra employer les Tables de la Trigonometria 
Britannica ^ qui sont calculées pour chaque centième de degré avec 
quatorze décimales. Soit a l'angle de cette Table le plus approché 
de l'angle cherché 6^ et soit 

/ sin ô = / sin a -f" ^• 
De là il faut tirer la valeur de d — a. Or en regardant et r comme* 
seules variables, ou a J' =M tang fl ^ _ Jl. . * ^ M* sin # 



cos^ ê 



:ié r 



5? = Z^é • dr = ^^* **"S ^ '• ^*»««"^ ««suite 

dans ces coefficiens = a , on aura par la formule de Taylor 

e = a + Mrlangari+l.J^H-l+^*J?.^+etc^ 

Et pour évaluer fl en degrés, soi* 6=« + Jc, et RMe nombre de 
degrés compris dans le rayon , on aura 

» \ '^ a cos»a^^ a. 3 cos^a^^^^^'J' 

Cette formule se réduira le plus souvent à ses deux premiers 
termes , et alors le calcul en sera très-facile. Quelquefois la diffé- 
rence r sera assez grande pour qu'il faille tenir compte du troisième 
terme; mais pour avoir besoin du quatrième, il faudrait que a 
iut très-petit , et alors il y a un autre moyen de déduire Tare de 
son sinus^ 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 45 

46. U conviendra dans ce cas d employer la formule 

log ô === log sin 6 + ^ sin* fl + i— sin^fl + ^ sin^^ 

ouj en convenant que les nombres renfermes en parenthèses sont 
les logarithmes des coefficiens ^ 

log 9 = log sîn ô H- sin*fl [8.85963 30609] 

+ sin^fl [8.43390 45o] 
H- sin^fl [8.16525 46 ] + etc., 

et pour que soit exprimé en degrés , il faudra ajouter à ce lo- 
garithme la constante K*" = 1.75812 263a4 9 <iui est le logarithme 

j 180 
de — • 

Il faut maintenant montrer par quelques exemples ^ l'usage de 
ces formules. 

47. Exemple /. Etant donné le module c=:sind= v^2— -i, 
dont le logarithme = 9.61722 4^1 4^ 6^i4> <>ti demande l'angle 
correspondant exprimé en degrés et parties décimales de degré. 

Par la Tngon. Briian.y on trouve l'angle approché «( = 24''47i 
qui donne 

/sin« = 9.61722 76571 2662 

/sin = 45146 6214 

r = — 55224 6448 

Il faudra ensuite calculer les difierens termes de la valeur àe x , 
d'après la formule de l'art. 45- Voici ce calcul : 

r. • • é^.S^i/fi 03467 
M... o. 56221 56887 

Mr. . . 4^88567 60554. 4.88567 60 

R'..# 1. 75812 26524 cos*a... 9.91825 29 

tangû... 9.65810 11701 4.96542 5i 

a)... 6.29989 98379 2.., o.5oio3 00 

4.664^9 3i 
1)... 6.29989 98 

a).,. 0.96429 29 



44 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 

On voit par la pelitesse du second terme 2) de la valeur de x ^ 
qu'il est inutile d'avoir égard au troisième ; ainsi des deux premier» 
on conclura la valeur de 6 comme il suit : 

a.*. 2^^*4^000 00000 000 
x) — 0.00019 g48oa 197 
a) H- 9J}J^ 

6 ==: :24' 46980 06207 020 

Cette valeur de 9 est plus exacte qu'il ne faut pour que Finterpa* 
lalion de la Table donne douze de'cimales exactes. 

On aurait trouvé la même valeur de 6 par la simple interpola-* 
tion de la Trigon. Britan. , en ayant égard aux secondes différences* 

48. Connaissant la valeur de 9 ^ si l'on veut avoir la valeur cor^ 
respondante de log F'^ on prendra dans notre Table les données 
suivantes qui répondent à l'angle a = 24"* 4* 



a 


A 


M. 


^»A. 


/^A. 


^A. 


34.4 


o.ai6 igS 56i 343 


i68 273 307 


745 71 5 


768 


5 



et on aura à calculer la formule suivante dans laquelle*. •• . 
a; = 0.69800 52070 2 y 



a 



0.454 



A (x) = A + x (cTA — i=^ (cT-A — ^ (/«A — ^J^^A. 

Voici ce calcul où nous suivons la même notation que dans l'art. 8i ^ 
quatrième Partie. 

^cl^A = a.g 

J'^Ax = 768 —.3.9 = 765. 1 , 
iÇ^cT^Ar = 55a .0 

3 

tf^Ax — 745 585 , 

"" J*Ax =112 550.9 

J'Ax = 168 159 756.1 
xSAx = 117 576 585.4 

A = o.ai6 198 56i 545 
log F' = o.ai6 5i5 957 728.4 



I — X 



= o.i5o 997 4 



CONSTRUCtiON DES TABLES ELLIPTIQUES. 4I 
tësultat qui s'accorde pacfaitement avec celui que nous avons trouvé 
ci-dessus y n*" 3o. 

49. Ex. II. Etant donné log c ou log sin = 8.55535 52881 iSrs, 
OQ demande Fangle exprimé en degrés et parties décimales de 
degré. 

On peut eûcore trouver cet angle d'une manière suffisamlnent 
approchée par la Table de la Trig. Brit. ; on a d abord a = a* 06 ^ 

log sin a = 8.55565 10170 2887 
log sin fl = 8.55555 5^881 i5i:i 

r = — :a9 57289 1575 
On fera ensuite le calcul de la formule de Fart. 45 ^ comme il suit : 

« 

r..,. 6.47089 57910 

M... 0.36221 56887 

Mr... 6.83S10 94797...... 6.853IO 94» 

tanga 8.55593 17782 cos*a 9.99943 848 

R*... 1. 75812 26324 ^. 6.83367 loo 7=i±~î^=o.334^ 



(i)... 7.14716 38903 o.5oio3 000 q,.... 9.52400 6 

a.... 6.53264 100 a.». 6.53264 100 — ^... 6.83367 X 

■■■ ■ ' ■ • 

(2)... 3.67980 489 b.... . 6.35767 7 

b . . . . 6 . 35767 7 

(3)... 0.03748 2 a-f-(2)... 2^06000 04784 i5o 

(i) — 140 33431 862 

(3) — 1 090 

6 ac= 2.05859 7i35i ig8 

Diaprés ceUe valeur de 0^ nous chercherons par interpolation ta 
valeur de log F' ; pour cela nous prendrons dans la Table les nombre» 
suivans correspondans à 2"* o. 

A = o.igô a5a 187 490'^4> ^^ =*= i3 563 730 
/•A = 66a oa5, «T'A =a 54 

J^A » a 



46 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 

Cela posé il faat faire jr =:î: 0.58597 i55i2j et on aura 

^=:îcf^A=i.2 
4 

cT^AjpssîSa.S, 2^=10.471 3, ^^^ J^'A-r = 34.9 

/•Ax=:662 000. I^ =;= 0.207 Ol4-32, 



9 



1— X 



cT'Aorss 187 045,5 



SAx = i5 4^6 676.5 

xd^Aa: = 7 867 547.77 

A = 0.196 252 187 49<>«54 



logF'c = 0.196 260 o55 i58.3i 

Cette Taleur s'accorde dans les douze premières décimales avec 
celle que nous avons trouvée directement , n"" 34* Delà on voit 
que l'interpolation , même pour des angles assez petits , donne des 
résultats suffisamment exacts. 

En général y dès qu'on aura déterminé Fangle avec une précision 
suffisante , soit par la formule de Part. 45 , soit par celle de l'art. 46 ^ 
l'interpolation de la Table des fonctions complètes ne souffrira de 
difficulté que vers la fin de la Table y lorsque l'angle du module 
est très-près de l'angle droit. On peut y suppléer alors par les for- 
mules directes dont le calcul est d'autant plus {acûe que l'angle du 
module est moins différent de l'angle droit. Mais si on veut résoudre 
le cas dont il s'agit par des interpolations qui ne soient sujettes 
à aucune difficulté > on y parviendra par le moyen que nous allons 
exposer. 

5o. Il s'agit en général de trouver les logarithmes des fonctions 
"F^b y E^by lorsque b diffère peu de l'unité ou lorsque son complé- 
tnent c est le sinus d'un angle d'un petit nombre de degrés. Dans 
ce cas on trouvera aisément y par les interpolations y les fonctions 
complémentaires FV, E*c, et c'est par le moyen de F'^ qu'il faut 
déterminer F'i et £'&. 

Potir cela j'observe d'abord que dans le cas dont nous nous oc- 
cupons y on pourrait supposer b'^^ssi; mais nous nous oontenterons 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 47 

de supposer &''''*' = 1 , afin que la solution s'applique à un plus grand 
nombre de cas ; alors les formules générales donnent ( art. 21), 

H faut donc chercher si Ton peut exprimer F'i par les seules données 
by c, F*c, sans avoir recours aux auxiliaires 4% i*% c"^. 

D abord K est connu par la valeur K = -7— Soit ensuite €î**=ar, 

c''''=y , des équations 4K»=5'i°% ch'';=a{/(bc'') , c*i"* = 2^/(*«c*'*), 
c"^ = 2 \/(b'^c'*'^) , on déduira 

Cette dernière étant quarrée donne K^c*iaF;= i6J^; quarrant de 
nouveau et substituant la valeur de i% on aura K^c^b^x* =r^».l-~ ; 

donc ^* = —^ bx. Cette équation ne suflSt pas pour déterminer x 

eij-} mais ou a d'ailleurs i*»" = (i — jr^y^ = — ^ . /- j de là on tire 

Soit K*6 = a* , cette dernière équation donnera - = (-4- J 6** ; 
mai» ,4 = (^y i~ = (j J *- = 04;)* (*••)' i do^°<^ 

a 

Soit € = (tto) i et on aura enfin 

'^^^ Kc = |log,-L = |M(logi)\ 
Ainsi on voit que dans le calcul de log F'^^ il n'entre que les> 



48 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 

quantités b y CyKy dont on a les logarithmes y de sorte qu'on évité 
ainsi l'interpolation directe pour F'^^ laquelle est ramenée à l'inter- 
polation de Y'c qui n'a point de difficulté. 

5i. Pour juger de l'exactitude de cette formule, nous prendrons 
c = sin iS'^j et nous donnerons à log K la valeur exacte jusqu'à 
quatorze décimales , qu'on trouve par le calcul direct , et que 
d'ailleurs la Table donne immédiatement. On aura donc les données 

r... 9.41299 625o5 6934 

b... 9.98494 37781 0270 

K . . . o . 00749 54886 8247 

Au moyen de ces données ^ le calcul de A=r g log -^ se fera comme 
il suit : 

4... o.6o2o5 99915 2796 \/b... 9.99347 18890 5i55 
c. . • 9.41299 623o5 6954 K. . • 749 54886 8247 

!.. 1.18906 57607 5862 «•••• 9-99996 75777 5382 

^ ^ ^ A... 9.99998 56888 6691 



log- = o.ooooi 65iii 5509=3=/? 



c 

R. .. 0,00749 54886 8247 

^... i.i8i56 82720 7615 • log€==fM/;* 

^••* 9-9999^ 56888 6691 p... 5.21248 4^5 

A TTr"Tii^ 1 /?•... 0.42406 826 

A... ,. 18.58 4583. 09.4 3Ï1... o.ts^^ 695 

^- ' • 45946 iç ^ ^ 0.66224 53 

h... i.i8i58 45827 4978 

Cette valeur de h s'accorde ei^aclement avec celle que donnerait 

i log _±.^ calculée par la méthode directe , jusqu'à la quatorzième 

décimale. Ainsi en la substituant dans la formule F*b=:KMh^ on 
aura de même une valeur de log ¥'b exacte , jusqu'à la quatorzième 
décimale, et qui satisfera à Téquation F'^= \/5F'c, exprimant une 
propriété particulière de ces fondions. 

52. Si notre formule donne des résultats aussi exacts que la 
méthode directe lorsque Tangle du module est de i5% à plus forte 

raison 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 49 

raison aura-t-*elle cet avantage lorsque l'angle du module sera 
znoindre; en général le degré d'approximation avec lequel F'^ sera 
déterminé , dépendra de celui avec lequel on connaît la quantité K ; 
et comme K peut toujours, par l'interpolation des fonctions ¥'c , 
être déterminé jusqu'à la douzième décimale ^ il s'ensuit que h et 
par conséquent /F'& sera déterminé avec la même exactitude. 

Connaissant F*c , E"c par l'interpolation directe j F'i par le calcul 
précédent 9 il restera à déterminer E'b^ce qu'on pourra toujours faire 

par l'équation des complémens ^ = F"cE»* + F'4 E'c— F'iF'c. 

Ainsi on a les moyens de suppléer à l'interpolation qui ne peut 
se pratiquer que difficilement dans les dernières colonnes de la 
Table* 

Il est remarquable que la valeur h = log -^-g offre successive- 
ment les différentes opérations à faire suivant les différens cas indi- 
qués dans l'art. 12. 

Ainsi dans le cinquième cas ^ si ^ est tellement petit qu'on puisse 
négliger i — b ou log &^ on aura simplement h=i]og-; dans le 
quatrième cas ^ où i — b"" seulement est négligeable ^ on aura 
h = log -^ ; dans le troisième cas , oii l'on ne peut négliger que 
I — b'*'*^ il faut un facteur de plus dans la valeur de h , et on a 
h = log — ; enfin si on tombe dans le second cas , où i — ^^'^r 
seulement peut être négligé^ il faudra encore ajouter le facteur Cj 
et on aura h = log ^^^ 

53. U nous resterait à faire voir comment on peut trouver langle Q 
qui répond à une valeur donnée d.e log F'<? bu de log E'^?; mais les 
calculs de cette sorte étant entièrement semblables à ceux dont nous 
avons donné le développement dans les art. 85 et suiv. de la qua- 
trième Partie^ nous pensons qu'il est superflu d'entrer dans de nou^ 
veaux détails à ce sujet. 

Nous ferons observer en finissant que .la Table des fonctions 
complètes offre 90a valeurs de quarts di'ellipsès^ et un pareil 

7 



5o EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 

nombre de valeurs de la fonction analogae F% dont ^ao au moinf 
ont été calculée» directement jusqu'à quatorze décimales , et lea 
autres jusqu'à douce. Ces ti*anscendante8 sont donc maintenant 
connues plus exactement que ne Tétait la circonférence du cercle 
avant Ludolph van Ceulen. 

§ IL Méthode générales pour former une Table des i^aleurs 

de V intégrale U c= /ud^p. 



54- Nous supposerons que u est une fonction donnée de la 
variable (p ^ et que cette fonction est telle qu'en faisant varier ^ d'une 
quantité constante a, les différences successives de la fonction u 
diminuent continuellement et finissent par être entièrement négli- 
geables. On peut toujours prendre (t assez petit pour que cette 
supposition soit admissible , quelle que soit la fonction m ^pourvu 
qu'elle reste toujours finie dans toute l'étendue des valeurs de ^ que 
Ton considère; et la différence ol pourra être fixée dans chaque cas 
particulier , suivant le degré d approximation avec lequel on veut 
exprimer les fonctions U. 

55. Nous désignerons par U , U'^ U'^, etc* les fonctions qui ré- 
pondent aux variables croissantes ^^ ^4~^> ^+2^^ etc.; et 
semblablement nous désignerons par U, U% U*% etc. les fonctions 
qui répondent aux variables décroissantes ^, ^ *— a, ^•— aa, etc. 
Cela posé , la Table qu'il s'agit de construire pour la fonction U et 
ses différences successives^ pourra être représentée , dans l'une 
quelconque de ses parties y comme il suit : 



'Variable. 


Fonction. 


Diff. I. 


II. 


m. 


IV. 


• 
• 
• 


• 
• 

• 

TJooo 


• 
• 


• 
• 
• 


• 
• 

/v?û«>o 


• 
• 


f — > flflt 


u«» 


/u- 


^u« 


/aijoo 


l\^^ 


^ — « 


u» 


/U' 


J..|JO 


/^U* 


/^U» 


^ 


u 


iM 


/•u 


/•'U 


/♦u 


f + « 


U' 


tv 


/»U' 


l'xy 


^^U'' 


^ + fl* 


u* 


/U' 


/"U* 


/JU» 


/^u^ 


f + 3* 


u* 


iV 


/•«• 


r^vr 


/4U^" 


• 


. 


m 


• 


* 


» 


■ 


• 


m 


. 


• 


« 


• 
• 


• 


• 


• 
m 


• 


• 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 5i 
La première colonne contient les valeurs de f , formant une pro** 
gressîon arithmétique dont la différence est cl; la seconde colonne 
est celle des valeurs correspondantes de la fonction U. On a placé 
sur la même ligne que ^ et U > les difierences successives JU ^ ^U^ 
S'^U y etc.; et par cette disposition , chaque ligne sert à former la ligne 
inférieure^ au moyen de la Ipi connue U'=U-|-<ri7, JU'=/U+J^*U, 

cr*u'=cr'U+cr^u,eic. 

u s'agit maintenant de faire voir comment ^ étant donnée la fonc^ 
tion Uy on peut calculer les différences successives qui servent à 
former la Table des valeurs de U. Pour cela nous ferons usage d'un 
algorithme qui a l'avantage de conduire rapidement aux résultats 
que nous voulons exposer ^ et qui a surtout celui d'eo faire coo^ 
naître la loi de la maoière la plus simple et la plus générale. Cette 
notation , au reste y qui ne s'applique qu'aux sommes et aux diffé- 
rences y considérées dans leurs combinaisons linéaires seulement , 
est fondée sur les mêmes principes que celle qui a été indiquée par 
Lagrange dans les Mémoires de Berlin^ ann. 177a > et qui a été 
adoptée par d'autres auleurs. 

56. On a immédiatement y par la formule de Taylor , 



U' 






ddv 



«PU 



+ STS • 5^ + ®**^- » 



et puisque les coefficiens de cette formule sont les mêmes que 
ceux de VexponentieUe 

c» = 1 ■+ a? 4- i «• -f- ^ jp* 4. etc. , 

il «'«naiiit qu'on p$ut mettre U' aous la ^me 

U' = Uc-^, 

pourvu qu'après avoir développé le second membre sijiivant les 
puissances de eul , on convienne que chaque terme UA''à* sera rem- 

place par a-. ^. 
Dans .cette liypQlhèse , on aura successivement 

U' = -|Je-^, V"=^V'e*^, U'"=U"c-'', etc.; 



5a EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL, 

de là résultent les différences premières, 

«TU = U(c-^— i), 

crU'=U'(e-^— l), 

etc.; 
celles-ci donnent les différences secondes, 

J^»U = «TU (e**— i) = U (e«»— i)', 

etc.; 
et en général on aura 

Au moyen de cette formule, la différence finie d'un ordre quelconque 
de la fonction U peut s'exprimer par les coefilciens différentiels de- 
cette même fonction. En effet si on suppose 

( e» — I )• = X' ( i H- A'x + A"jc* -h A'"«» + etc.), 

on aura en même temps 

57* Réciproquement on peut exprimer les coeflficiens différentiels 
d^ • j^ I ^T y etc. d'une fonction U , pair le moyen des différences 

finies de cette fonction^ prises en donnant à la variable Ç Taccroisse-* 
ment constant a. 

Pour cela je réduis Téquation symbolique JV =:U (c*^— u) 
à la forme 

j'en tire 

«ui = log ( 1 -jr J^) • 



et aJJd ou 



«.g=:U106(l + /), 



dç 

Cette nouvelle équation suppose qu'après avoir développé^le second 
membre suivant les puissances de «T ^ chaque terme U/" sera rem- 



CONSTatlctlON DÉS TABLES ELLIPTIQUES. 55 
placé par la différence J^XJ j on obtiendra ainsi 

• ^ = cTU — i /'U^ i <f »U — i J'^U 4- etc. 

C'est la formule connue qui sert à exprimer le coefficient différen-' 
tièl d^une fonction par les différences successives de cette fonction^ 
Ainsi oL étant assez petit {four que la suite des différences JU , J^*U y 

J^'U,etc. soit très-convergente, on déterminera le coefficient ^ avec 
toute Texactitude qu'on peut désirer. 

S%. Si dans l'équation symbolique «^- = 17 log ( i + «T ) , o» 
met ^ à la place de U, on aura 

d'où résulte 

On aurait de même a' ^ =: U /^ ( i + cT ) , et en génér9l> 

de sorte qu'un coefficient différentiel quelconque -r^ peuts*exprîmetr 

facilement par les différences finies de la fonction U , en supposant 
connu le développement de /" ( i -f- x ) , qui désigne la puissance » 
de /(i H- or). 

En effet si l'on a /*( i + x ) ou 

on pourra en conclure 

. ^-^?= cf-ir— N' J^+'U +N"J^-^*U — etc. 

59. Supposons maintenant qu'on ait U = fud^ ou -j— = u , la^ 

valeur de olu exprimée par les différences successives ^U , cT'^U y 
J'^U , etc. , sera 

au=: SU -^i J^'V + i <^'U — etc. 



54 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 

Dans le cas où Vo^ veut consimire une Table des Taleurs de V , 
la quantité u est connue pour chaque valeur de ^^ et en faisant 
varier <p de a , on connahra les différences successives de u. 
D après ces différences ^ il sera possible de déterminer en général 
la valeur de J^U. 

En effet, soit au=:p et ^^^^^^ ou 

: L = i+^far + A^jr^ + ^'x^+etc, 

1 — ix + jx* — etc. 

réquation précédente donnera 

cTU = ;? + A'J> + kf'J^'p -f- A'VV + etc. 

Ainsi J^U se déduit des quantités données p ^ J'p ^ i'^p y etc., par 
une suite dont la loi est connue. 

Celte même suite donnerait les différences ultérieures cT'U ^ 
J^^U, elc. par les formules 

cT'U == cP;i -+. ki'y 4- A'^J'V 4- etc. , 
J^3U — J^.^ ^ ïc^^sp ^ etc. 

Maïs ces suites, pow: déterminer JtT, cT'U, cT'U, etc., peuvent 
être rendues plus convergentes par un moyen très*simple. 

6o. Soit if ce que devient la fonction u, lorsqu'au lieu de ^ on 
met «r + T ^9 on aura suivant la notation précédente, 

pourvu qu'après avoir fait le développement du second membre 
suivant les puissances de J^^ on remplace chaque terme i^^par ^^ 

De là résulte «t^ = «m ( i-j^J")*, et parce que cm =U '(i+J^), 
on aura 

Mais en effectuant le développement jusqu'aux a?% on a 

(i+xyi{i+x) =jc—-.x' + -^ x4 _ .II. ^5 ^ 3l a:« _ etc. ; 
donc 

<tf; = <fU— L cf3U + ~ J^^U — -^ J^^U + ^cr«tJ — etc. 

a4 34 1920 ' gGo 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTkJûES. 55^ 

Conservons le premier terme cTU de ce développement , mai» 
substituons dans les termes suivans la valeur U = U"" + cru% nous 
aurons 

ai.=i JtJ — ^J^U'H-^ cT^U- — J- c^^-+ etc. 

sk4 040 640 ' 

Dans cette suite, conservons les deux premiers termes J^U— -^ J^'U^y 

et substituons dans les suivans U*''-f" <fU** à la place deU% nous 
aurons de nouveau 

«i; ^ cTU — -^cr»U' + 4- ePU-— etc. 

Cette suife prend ainsi une forme très-convergente , mais il reste 
à s'assurer de la loi que paraissent indiquer les premiers termes , 
et à déterminer d'une manière générale celle de leurs coefficiens. 
11 faut donc faire voir qu'au moyen des coefiiciens /i', n!\ nf^^ eic. 
dont la loi sera déterminée , on aura généralement 

au=SV— n'S'V^ + nV^U- — /i"'cf ^- + elc. 

6i. Reprenons pour ceteffeiréquatîon symbolique a^ = U/(i+J^} 
ou ru« = U / (i + J^) , on en tire 

Mais d'un autre cô^té on a 



IT»_ ^ TT»o " TT.M ^ ~t~. . 



donc 






fv/3 



JV5TTM ;î^£: 

«le. 
De là on voit que la saile JV — n'iT'U" + nPS'^*' — • etc. est 



I 



56 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL, 

représentée par 

«u/ f Mui^ , ^f mu^ fff Mii^ , ^- 



/(l+-^; (i+^)/0-K)^ •(t+^)^/(t-K) (i+^)^'(i+^) 

Si donc on veut que cette suite soit équivalente à ap qui est repré- 
sente par au ( i +^)^9 il faudra qu'on ait l'équation identique 

(1+/)* (1+^)* (1+^)» (i+iTf 

Soit K = z*, le second membre devient z — nV -+- «V — elc. , 
et le premier se réduit à aZ [ ^ a + v/(i + ^ 2* )]. Or on sait que 

1 r- • /r 1 N-i • Z' ^^ 1 x^ . 1.3 x^ 1.3.5 a:^ , ^ 

^ *- ' •^ J |/(i+xa:) a 3 a. 4 5 2.4.0 7 

et qu'ainsi la quantité 2 log [î«+l/(i + ?^*)] se développe en 
cette suite , ^ 

^ a • 3.2* "•" 2.4 • 5.2* ~ 2.4.6 * ^ **" ^•^- ' 

donc l'équation supposée a effectivement lieu en donnant aux coefii- 
eiens n'y ri\ /*'", etc. les valeurs 

„A 1 1 „fA 1-5 1 ,„ 1.3.5 1 

2 3.2»' 2.4 5.2*^ 2.4.6 7.2®'' 

donc on a en général^ 

,,TT 1 ^^U , 1.3 ^U<« 1.3.5 l^7U*»«»/, 

2 3.2* ' 2.4 5.2* 2.4.6 7.2* ^^ '' > 

série qui procède suivant une loi évidente, et dans laquelle chaque 
coefficient est moindre que le quart du précédent. 

63. Si on fait ap = P , et qu'on désigne par P% P*% elc. ce que 
devient la fonction P lorsqu'au lieu de (p on met (p — a, (p — iiety etc.^ 
on déduira de l'équation précédente une valeur de ^U de la forme 

cTU = P + /w'cT'P* + m V^P** + /w' VP*-»^ + etc. , 

et les coefficiens m'y ni*, m!" y etc. se déduiront des coefficiens »', /»", 
n'"y etc., au moyen du développement de la fraction 

-; , .,^ — » . . . ;= I + nJx 4- /7/'j:' 4- /w'"^' ^ ç^c. : 

de 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. Sj 
de sorte qu'on aura 



0760' 






967680 
etc. 

Ainsi la valeur de ^U s'exprime par la fonclion P ^ au moyen de 
l'ëquation générale 

/U = P + ± J^'P- - gi^ J^^P- + ^^ /«P- _ etc. , 

laquelle pourrait être continuée ^ suivant la même loi , aussi loin 
qu'on voudra. 

63. L'équation par laquelle la fonction at/ se déduit de U, peut 
être représentée ainsi ^ 

pourvu qu^après avoir développé le second membre suivant les 
puissances de J^, on change U<f, UJ^% UcT^etc, respectivement^ 
en /U, cr^U%cf*U- etc. 

Au moyen de cette équation y on en peut former d'autres non 
moins remarquables* 

Désignons par U (^+t a ) ce que devient la fonction U ou U(^) , 

lorsqu'au lieu de ^ on met ^+ï*; alors on aura p == — ^^ "^^ ^LJ ^ 
et l'équation précédente donne 

I 

Dans celle-ci mettons encore ^ + t ^ au lieu de ^, nous aurons 

différentiant de part et d'autre par rapport à ^ ^ et observant que 
U (f -{- a) n'est autre chose que U'^ on aura 

d 



S8 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 

ou en substituant dans le second membre la valeur de — • j » 

a-^' = 4U l' [4 J^+ v/(i +i «T-)]. 
Mettant dans celle-cî ^ — * et au lieu de f , on a enfin 

Supposons donc quon ait 4'* [^ J^-f» V^( ^ +i J^*)]> <^* 

V â • 3. a» **" a.4 ' B.a* "" a. 4.6 * y.aO 

= cf* — N'cT^ + N"cf • — N'"cr* + etc. ; 

et la Traie valeur de a* ;£ > déduite de notre équation symBo--^ 
iique^ sera 

64* Réciproquement on tirera de celte équation la valeur de 
<r*U* exprimée au moyen de la fonction donnée cl* -j- que nou» 
désignerons par Q; cette valeur sera de la forint 

<f ^U* :^ Q 4- M'cTHJ^ + M V<Q- 4- M'"/«Q-'^ 4- etc. , 

dans laquelle les coefficiens M', M'\ M^'', etc. se déduisent des eoeflS^ 
eiens N'^ N", N'^^ etc. y au moyen de Féquation 

On voit aussi que ces mêmes coefficiens pourraient se former par 
le quarré de la suite déjà connue , au moyen de Téquation 

( I + m'a: + m''x* -f- w"V4- «le.)^ = 1 -+• M'a: + M V+M' V+ «le. 
On aura de cette manière , 

M':^-, M" = — 4-f M"^^^, etc.! 
ce qui donne enfin, 

<r-U- ;= Q + ^ /^ ^ 5»-^ ^Q.. + g^ /«Q... - etc. 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. ^9 
65. L'analyse précédente nous a conduits k deux formules très- 
remarquables ; Tune pour calculer la valeur de «TU par le moyen 
de la <{uantitë connue Ps=£«t^9 où p est ce que devient Uy en 
mettant ^ 4* 7 « au lieu de 9 ; l'autre pour calculer la valeur de 

J^'U"* par le moyen de la quantité connue (^=:a^ j-. 

La première formule est 

«ru=p+^/-P'-5-^ «r^p- H- ^. /*?•-- etc., 

et la loi générale de ses coefficiens est la même que celle de la 
suite 

qui vient du développement de la fonction 
T = 



"*" 1 X _, 1 .^ JC* 1.5.5 xr^ ' 

la seconde formule est 

et la loi générale de ses coefficiens est la même que celle de la suite 

, + ±a:_-4-x'4-ff%-x»-etc., 

• ' 13 a4o • 60480 ^ 

qui est le quarré de la suite précédente 1 •+• "7 ^ — g^g" ^^ + ^^^'f 
ou qui vient du développement de la fonction T*. 

66. Les deux formules dont nous venons de parler fournissent 
deux méthodes différentes pour construire une Table des valeurs 
de rintégrale U == fitdp y correspondantes aux valeurs de f ^ for- 
mant la progression Oy Ay ^a ^ 5^^ etc. 

Suivant la première formule , il faut calculer les valeurs succès- 
cives de la fonction donnée P = et(^ , (^ étant ce que devient u lors* 
qu'au lieu de ^ on met ^+~ «• Par celte substitution, P est toujours 
regardé comme une fonction donnée de f ^ qu'il faudra calculer 
pour chaque valeur de ^ comprise dans la Table. Ainsi pour les 



6o EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 

valeurs successives ^y^+^y^-h^^» etc., on aura les Vfi^Ieurs 
correspondantes P, P'^ P'', etc.^ et ces valeurs étant portées dans 
la Table y chacune sur la même ligne horizontale que la valeur de ^ 
à laquelle elle correspond , on en déduira leurs différences pre- 
mières, secondes , troisièmes et quatrièmes, dont on fera autant de 
colonnes séparées , comme on le voit dans le tableau suivant : 



poo 


jvp.. 


j\.p.. 


j^sp.. 


p. 


<rp' 


jv.p. 


/'P 


p 


«TP 


<r'P 


/»P 


P' 


«TF 


cT'P' 


jvsp/ 


P" 


«TP" 


/•P" 




pw 


JVpW 






P" 




; 


1 



«r*p* 



<p — a* 
^ ^ et 

(p -^ CL 

^ + 5a 
Ç + 4* 

Chaque colonne se forme de la précédente par soustraction,, efe 
renferme un terme de moins , de sorte qu'il faut que la colonne 
des P ail été prolongée jusqu'aux P*% pour que la difiërence J^^P 
puisse être connue et placée sur la ligne des ^ et P. 

Lorsqu'on aura formé pour chaque valeur de la variable ^, les 
quantités P^ cTP , cf *P , J^P, cT^P , on en conclura pour la même 
variable ^, la valeur de la différence cTU^ laquelle sera 






J'^P^ + etc.* 



67. Il faudra faire attention aux indices qui affectent les différent 
termes de cette formule, et en vertu desquels le cT'P** doit être pris 
dans la ligne immédiatement au-dessus de celle où est P^ le J^P'** 
une ligne encore au-dessus, et ainsi de suite. 

En général l'intervalle a doit être pris assez petit pour que Ta 
suite précédente soit très-convergente et qu^on n'ait besoin que de 

ses deux premiers termes P + -— cT'P* : le troisième — r— «T^P^' 

servira seulement à diriger l'approximation pour savoir précisément 
sur combien de décimales on doit compter , et il faudra par con- 
séquent que ce terme soit moindre qu'une demi-unité du dernier 
ordre de décimales auquel on veut s'arrêter dans la valeur de J'U. 
Il pourra arriver cependant que dans quelques parties de la Table 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 6i 

qu'on veat construire , le terme dont il s'agit soit d'une ou de plusieurs 
unités décimales du dernier ordre; alors il faudra en tenir compte , 
et juger de ce qu'on néglige pât le terme suivant de la série qui 

est •f. — r"^-TS J^^'***^ ce qui obligerait de prolonger la colonne des 

différences jusqu'au sixième rang. 

68. Ayant fixé d'avance le nombre des décimales avec lequel on 

veut exprimer les différences J^U, on calculera -^ cT^P* en se bornant 

au nombre de décimales fixé y et négligeant le reste de la division 
par 24 ; mais pour plus d'exactitude^ il sera bon de prendre toujours 
l'entier le plus approché du quotient^ et de tenir compte du reste 
dans l'opération suivante. Supposons ^ par exemple , que «T'P'' divisé 
par 2^, donne le quotient ^ et le reste r; alors dans l'opération sui- 
vaîite , pour former J^U', on divisera cf*P-f-rpar 24, ce qui donnera 
le quotient q^ et le reste r^,.ei ainsi de suite. Cette manière d'opérer, 
dont nous avons fait l'épreuve y donne des résultats plus exacts et 
empécbe les erreurs de se multiplier. 

69. Cette première méthode suppose que la quantité P est calculée 
pour chaque valeur de ^ , avec une grande précision y et même avec 
une ou deux décimales de plus qu'on n'en veut avoir dans la valeur 
de U ; or la quantité P y peu différente de la différence première cTU, 
est souvent d'une grandeur telle qu'il faudrait la calculer par des 
Tables de logarithmes à dix décimales y ce qui rendrait les opérations 
fort longues. Si l'on se propose y par exemple y de calculer les fonc- 
tions elliptiques E et F avec dix décimales, et pour des amfplitudes 
croissantes de demi-degré en demi-degré y les différences cTF , cTE 
devront être calculées avec douze décimales y et elles contiendront 
le plus souvent dix chiffres significatifs y ce qui exigera Temploi de 
logarithmes qui aient au moins dix décimales. 

70. On pourra ordinairement obtenir des résultats' aussi exacts et 

avec moins de peine y par le moyen de la fonction Q =: et* -7^ qui 

sert à déterminer les différences secondes J^^U. C'est l'objet de I» 
seconde méthode que nous avons à exposerr 



€a EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 

Il fiiudrâ aloK ùirt «sage de ta formule 

J"U- :^ Q + ^ /-Q» - ^ «T^Q" 4- g^ J^'Q"' - etc., 

et on prendra a afisM petit pour que la suite se réduise sensible^ 
ment aux deux premiers termes^ ce qui aura lieu si le troisième 

^y J^^°* est partout moindre qu'une demi-unité du dernier ordre 

de décimales auquel on s arrête dans le calcul des quantités J^'U. 

On Toit qu'en attribuant une valeur déterminée à f* ^ et prenant la 
quantité Q sur la même ligne , il faudra prendre J^^Q^ sur la ligne 

6upérieure pour former la somme Q-i — - ^*Q^ ; celle somme re- 
présentant cT^U", devra être portée également sur la ligne supérieure 
qui répond à la variable ^ -^ a. 

La colonne des J^^U étant ainsi formée , il restera à avoir la valeur 
de cTU correspondante à (p = o , et c'est ce qu'on obtiendra immé- 
diatement par la première formule. Au moyen de cette valeur et 
de la colonne des différences secondes ^ on formera la colonne des 
différences premières SU y «t de celle*ci on condura de même par 
addition , les valeurs successives de U. 

71. Cette seconde méthode sera en général d'une pratique plus 
facile que la première , parce que la fonction Q est beaucoup 
plus petite que P et n'a pas besoin d'être déterminée avec un 
aussi grand nombre de chiffres signiRcatifs , ce qui permettra 
d'employer pour ces calculs des Tables de logarithmes moins 
étendues. 

Cependant comme les erreurs des différences secondes s'accu-* 
mulent suivant la progression des nombres triangulaires ^ dans les 
résultats qu'on en déduit pour les fonctions principales , il Ciudra 
en général exprimer les quantités Q avec une décimale de plus que 
les quantités P ; il faudra aussi y dans le cours de l'opération, cal- 
culer directement à des intervalles déterminés , la différence pre- 
mière cTU, afin de vérifier et de pouvoir corriger les résultats 
produits par les différences secondes. 

Nous donnerons ci-après quelques autres préceptes pour tirer de 



CONSTRUCTION DES TABLES EtLiPTIQUES. 63: 

CM métbodas 1^ plw grand degra d'approximation qu'aUaa pevvaQÏ 
offrir. Nous n'ajouterOQS ici qua U tableau de ropé^atioa qu'il fa^l 
«xeculer pour ajouter uo terme à la coloona dea U^ 

7^. Voici y dans la première nélliûde , le tableau HgBté de T^tal 
où le calcal est resté » après avoir trott^é la valeur de b fôocûon II 
qui répond à la variable ^. 



Variable. 


FonctioB. Diif. 1, 1 


Auxiliaire. 


Diff. I. 


II. 


4> — 5* 


u— 

U" 

u« 


«TU"** 

/U" 
JU» 

J*U' 


P<m4 

P- 

P* 

P 


J\po, 

«TP» 


^.pM. 

, «r»p- 


Ç — et 


j'P» 




u 


«TP' 




U' 


Mp 





t>ans ce dernier état^ leseolonnea sont ternoinées^ comtne kaWres^ 
rindiquent , par les termes <)> , U , J U% P, cTP^, J •?••. Pour aller 
plus loin^ il faut calculer l'auxiliaire P' ou as^' qui répond à la va- 
riable ^+CL\ connaissant P^^ on formera dans les colonnes suivante» 

les termes <^P, <r*P^; d'où Ton tirera crU=ï=P+ -^ <r*P% et ensuite 

U'=U+ i'IJ y ce qui ajoutera un terme à toutes les colonnes.; 

75. Nous avoua sui^Qaé qua fe troisième teriM — f^ /^P**' est 

négligeable dans la v^eur da /U ; s'il fallait en tenir compte y b 
colonne des P et les colonnes suivantes devraient être avancées à'\xn 
terme de plus, pour qu*on pût connattrela différence J^*P^*qui entrer 
dans la valeur de /U''. Voici donc quel serait alors le dernier état du 
calcul y après avoir déterminé J^U'' et U. 



Yariable. 


Fonction, 


Diff. J. Auxiliaire. 


Diff.I. 


n. 


III. 


IV. 


^ — 5« 


U*'* 

U»* 


/u- 
/u* 
<ru 


po4* 
p»e 

P* 

P 

P' 


j>po«« 

J'P- 

J^P» 

/P 


jv.p... 

«r*p« 


/>p— 

J\3p., 


/<P^ 


^ — a« 


^^^' 


<p — * j U* 


J»P« 


« 


<P 


u 


j»p 

» 


1 


q> + » 


U' 

> 


J^P' 

1 




f 4- a* 


P" 


• 



64 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 

Pour ajouter un terme au-dessous des barres qui marquent le der- 
nier état des choses j il faut commencer par calculer l'auxiliaire 
P'' = tttf'^ qui répond à la variable ^ + aa ; connaissant P", on for- 
mera les différences cTP', cT^P , cT^P*, iT^P''', au moyen desquelles on 

connaîtra ^Uz=P + ±. /-p»— JLZ. jN^p- et ensuite U'=U+crU. 

24 0760 ' ' 

74. La marche de l'opération est à peu près semblable dans la 
seconde méthode. Supposons d'abord qu'on s'est assuré que les 
<r^Q sont négligeables et qu'ainsi on a ^ avec une exactitude suffi-- 

santé , J^^U** = Q + — J^*Q** ; on pourra représenter comme il suit 

l'état des choses y lorsque le calcul a été conduit jusqu'au terme J'^'V^ 
qui fait connaître cTU'' et ensuite U. 



Variable. 


Fonction. 


Diff. I. 


n. 


Auxiliaire. 


DifF.I. 


II. 


!p 2X 

f — a 


TJooo 

U* 

u 


«ru»* 
«ru» 




r^ooo 
Q.. 

Q" 
Q 




J\.Qoo, 
cf»Q»* 


<P 


JU 


J^q 




Ç + a 


U' 


Q' 





Pour aller plus loin y il faut calculer l'auxiliaire Q' égale à ce que 

devient la fonction et' -r- en y substituant ^ + a au lieu de 9 ; con- 

paissant Q', on connaîtra cTQ, cT'Q* et «T'U*; enfin au moyen de 
cr*U% on connaîtra cf U et U', ce qui ajoutera un nouveau terme a 
toutes les colonnes. 

75. S'il fallait avoir égard aux quatrièmes différences , on ajoute- 
rait un terme de plus à la colonne des quantités Q et aux colonnes 
suivantes. Voici alors quel serait le dernier état des choses ^ lors- 
qu'on est parvenu à déterminer U au moyen de la valeur 



Variable, 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 65 



Variable. 


Fonction. 


DifF. I. 


n. 


Auxiliaire. 


Diff. 1. 


II. 


III. 


IV. 


^ — Set 


Uo»o 


JsiJooo 


^^J]o.o 


/^ooo 


J\Q.., 


J\.Q... 


J^SQ... 


^■•Q'»* 


(p ^^ :ia 


U«o 


cTU- 


Jv.U-» 


Q.O 


/Q" 


JV.Qo. 


«rsQ" 




^ — a 


u« 


<ru* 




Q- 


/Q- 


J^»Q« 






^ 


u 






q; 


J^Q 








^ -f. a 








Q' 











Pour aller plus loin y on calculera Tauxiliaire Q" qui répond à la 
variable (p-f*:2£&; on en déduira les différences successives cTQ'y 
cT^Q , éT^Q", er^Q^% au moyen desquelles on connaîtra cT'U* = Q 

+ — /•Q* ^ €r*Q*% ensuite cTU el U', ce qui ajoutera un terme 

à toutes les colonnes. 

Dans cette méthode ^ on ne néglige que les différences J^^Qv 
lesquelles sont de Tordre a^j puisque Q est de Tordre a* ; on pourra 
donc fixer a priori le nombre de décimales qu'on devra admettre 
dans l'expression des fonctions U ; mais nous ayons déjà fait observer 
que les erreurs sur les différences secondes se multiplient comme 
les nombres triangulaires; ainsi il faudra se procurer, à des inter- 
yalles déterminés, des valeurs exactes de la fonction principale U 
ou de sa différence première S\J y afin de connaître et de corriger 
les petites erreurs qui auraient pu s'accumuler par le progrès des 
opérations. 

§ m. Application des méthodes précédentes aux fonctions 

elliptiques £ et F. 

76. Les méthodes précédentes s'appliquent immédiatement aux 
fonctions E et F , puisque ces fonctions sont exprimées par les 

intégrales E = f^d^ , F = T^ , où Ton a A = ^/(i — c'sin*(p ) ; 

on- construira donc, par leur moyen , les Tables particulières qui 
conviennent à une valeur déterminée du module Cy ou de Tangle 9 
dont ce module est le sinus. Mais il faudra former un système de 
Tables semblables , qui correspondent à une suite de valeurs de 
l'angle 0^ aussi peu différentes entr'elles qu'il sera possible, afin qu'on 

9 



66 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL* ^ 

-puisse MSI gner ^ ûûbs chaque cas partîevJier y les valeurs de £ et de F 
qui répondent à des talenrs données des angles et (p. 

77. iPonr expliquer plu^s clairement Tusage de nos forimules, iroûè 
les appliquerons a la fonction E , dans le cas de c =f= sin 4^% qui 
tient Ils milieu entre les linailes c = o , c =t sin 90"*. Nous supposç- 

rons en même temps qu'on fait dt t=à un demi-degré = ^^y c^est-^ 

'^-dire que k Table des fonctions Ë ±='/A^ doit être cotistmîte 
pour toutes les valeurs de ^ ^ de deim-^degré en demi-^degré ^ depuis a* 
jusqu'à 90*** 

Des deux méthodes que nbw^ avons données pour construire 
une semblable Table ^ nous choisirons celle qui sert à calculer les 
différences secondes delà fonction Epar le moyen dune auxiliaire 

Q « «* ^ a= — ^ c'd' ^ y d'où l'oti déd«it 

Cette valeur suppose que le terme suivant de la série ^ contenant 
J'^Q^^'y est négligeable ; or c'est ce qui a lieu dans le cas présent^ 
et ce qui aura toujours lieu k l'égard de la fonction E ^ à moins 
que les quantités c et sin ^ ne soient toutes deux très-rapprochéee 
de l'unité.* 

Pour calculer les valeurs successives de Q, soit ^=ic*a% et soi! A 
un angle déterminé par la valeur sin X =c sin ^^ on aura A=cos A^ 
et en omettant le signe de Q , 

QC sîn Qp • 
COS A ' 

dans l'exemple proposé^ ou aura f = ^ «• = (j^-), et 

iog ^ s:=: 5.37^5 47486. 



78. Ntas tvous proposent de «calculer jusq«'à dmiEe décimai^sies 
"Valeurs de E<; alors les quantités Qa^ifbni huit chiffres significatif 
«u plus > de sorte qu'elles pourront être calculées parles Tables de 
logarithmes à dix décimales , qu'on réduira à huit^ et nE»éaie quelque- 
fois par les Tables a sept décimales aeulement^ JL'iopéradçii jffia'^ 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. Sf 

tripale, pour avoir log Q , est d^ déduire log CQSi A de la valeur 
connue de log sin A ; il suffira le plus souvent y pour cet objet , de 
tenir compte des premières différences données par les Tables , 
dans Thypothèse de huit décimales seulement. Soit A la difierc^pcq 
qui repond a l sin 0, et B la différence cpii répond à /cûs a^ a éUni 
Tangle de la Tabl^ y immédiatement plu9 petit que A ; ai l'on £ai^ 

/ 5În A =; / sîn fl -f- r , on aura / cos A = / cos « *— -r-' 

Celte formule sera suffisante preaque dans tous les cas ^ et le calcul 
n'en sera pas bien compliqué , parce que les différences B et A ^ 
ainsi que r y peuvent être prises en bornait les logitrithmes à huit 

décimales. 

Cependant si on voulait calculer / cos A de manière que le résultat 
fut exact jusqu'à la dixième ou la douzième décimale^ voici le moyen 
qu'on pourrait employer. 

Soit l'angle de la Table qui approçLe le plas de l'angle A ^ et 

supposons qu'oa aU à la fois 

/«in A^ss/sin^dsTy 2qQ9 A?;:? Zco3 «iqpR; 

il s'agit de trouver la différence R par le moyen de la différence 
donnée rj pour cela on aura la formule 

R=:prtang-a(i±^-^), 

pu 

log R = log (r tang* a) db (r + r lang*a). 

79. Lep règles précédentes pour calculer log Q , s'appliquent à 

toutes les valeurs de <p dans l'exemple proposé y parce qu'on aura 
toujours tang a < i ; mais si c et sin ^ étaient tous deux très-proches 
de Tupité y tang a pourrait devenir trèa^grand | et il faudrait em- 
ployer un autre moyen pour calculer la valeur de A qui Eût connaître 
celle de l'auxiliaire Q. 

Alors A devra être mis sous la forme A x= y^( à^-f- e^ cos* qi) y et 
61 on prend un angle fe tel qu'on ait 

M. CQOS0 ^ A 

tang fjL = — 7-^ = tang 9 coa cp , 

'h 

)) ça réapilera A ;;i; — - , et de là Q :== jr siq 2^ cq§ u^ en fojsaqt 



6a EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL» 

y = -2-- — • dans l'exemple proposé , on aura 

log3.= 5.45014 97464. 

Il s'agît donc , pour avoir Q ^ de déduire log cos (ul de la valeur 
connue de log taDg fi ; c'est ce qu'on peut faire , comme ci-dessus ^ 
avec une exactitude presque toujours suffisante y par le moyen des 
différences premières qui répondent a log cos fe et log tang /jl. Si on 
veut obtenir une plus grande précision , soit a l'angle de la Table 
le plus approché de /^ ; si l'on fait à la fois 

/ tang fe = / taDg adtz r, l cos /jlzzz l cos a qr R^ 
on déduira la différence R de la différence connue r^ par la formule 

R = r sin'^i ( i ± Mr cos^a) , 

ou 

logR = log (r sin* a ) db r =fi r sin* a. 

Celle manière de calculer / cos ft qui fait connaître A et Q , n'est 
sujette à aucune exception ; elle peut être employée dans toute 
l'étendue des Tables qu'on veut construire^ quels que soient les 
angles et ^ ; en effet , on voit que l'angle fc qui est 6 lorsque 
(pz=LO y diminue continuellfsment à mesure que ç augmente^ et finit 
par être nul lorsque ç = 90**. 

80. Par la formule Q = 7^ sin 2^ cos A^ , on voit que l'auxiliaire Q 
est nulle aux deux limites de la Table ^ savoir , lorsque ^=0 ef 
lorsque ^=:90''; il y a donc entre ces deux points une valeur de Q 
qui est un mojcimum; ce maximum se détermine par l'équation 

tang ^ = 1/ ■— " = \/t ( ^'^^' ^® point remarquable où l'on a 

F(p = i F*) ; alors Q = ^^,^ . Dans le cas de fl = 4^^ que nous 

avons pris pour exempte, on trouve le /7iAr///2i/mQ=o. 00002 23o5o94^ 
il répond à l'amplitude (p = 49* 56' à peu près. 

Pour la fonction F on a l'auxiliaire Q= y' sin 2^ cos^/jl y en faisant 

pour abréger y' zzn^; elle s'évanouit encore aux limites (p = o , 

ç ;-. qqo^ et son maximum a lieu lorsque tang* ^ = tang* & 
^1/^1 + tang'6-i- tang*!). Dans le cas de fl = 4^% <^^ * 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 69 

iang*^= 1 + v^5, ou à peu près ^ = 58*5o% ce qui donne le 
maximum Q = o.ooooS 34o8:i 54* 

« 

81. Voici deu^t exemples du calcul de Tauxiliaire Q relative à 
là fonction Ë, que nous résoudrons chacun par les deux méthode» 
que nous avons exposées. 

Soit 1*. ^ = 35* 3o'; suivant la première méthode, on fera le 
calcul comme il suit y en supposant toujours c = sin 45*. 

/ sin A = / sin a — r 
c.^. 9.84948 5o022 cos £2. . . 9.9641 1 53965 
sin <p... 9.74188 94971 ^ + 12845 

■ ■ ■■ - ■ «^ fc ■ ■■ ■ ■ ■ ■ ■ fc 

. sinA... 9#59i37 44993 côsA... 9.9641 1 66810 
sina... 9.59138 16478 C... 5.27963 .4748& 

r= 71485 ~... 5.3i55i 80676 

eus A 

r... 4*85421 49 sin2^... 9.96402 60827 
• tang»^. . . 9.25453 25 i^g Q ^ 5 . 27954'475^ 

/(rlang*^) = 4*10874 74 Q = 0.00001 90346 i5 

r. . . — 71 .5 
r tang*flf. .. — 12.8 

logR = 4.10873 96 

Par les formules de la seconde méthode , on procédera ainsi : 

tang/u... 9.92110 65899 cosâ.... 9*88536 35668 

tanga... 9.921 11 8i8i3 R+ 47544 



r = — I 15914 cosft... 9.88536 83212 

7... 5.43014 97464 
r. .. 5.o64i3 6 sin2^... 9.96402 60827 

sin*a. . . 9-61:^96 4 log Q = 5.27954 4i5o3 

/(rsin*a) == 4*677^0 o Q = o.ooooi 90346 18^ 

r — rsin'a... '7 

logR = 4*67709 5 
Supposons 2''.^ ^ = 70"*; le calcul ÊiU par la première méthode 



> EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL, ^ 

donnera les résultats suivans ; 

c... 9.84948 5oo2a 
%m^..^ 9.97298 58i64 Z3in A5= i «în 41-^r 

sinA. .. 9.82247 08186 cosâi... 9.87350 57415 

sina... 9.82247 52805 R... 55274 



^r 



r= 44^*9 cosA... 9.87350 72687 

f . . . 5.27965 47486 

r. . . 4*649520 5.40612 74799 

tang*â... 9*897945 sîn2^... 9.80806 74967 



i(rtang*a) == 4*547465 log Q = 5.21419 497^6 

r... -^ 4*5 Q =5 a«ooooi 65755 i5 
rlang*^.». — ^ 5.5 

log R = 4.547455 

Par U seconde méthode on trouvera ce (jui suit : 

l tang /M ^9 i tang a h|- r 

tang/^*.* 9.55405 16846 cosa... 9.97598 Q755S . 
tang a... 9.55402 28281 R... 50219 

r =3 2 88565 cos^ — 9.97597 77534 ' 

7... 5.45014 97464 
r. . . 5.46024 56 sîn 29. . , 9.80806 74967 
8m*a. . . 9.02000 7a i^g Q ^ 5.21419 49765 
/(rsîa'^) = 4.48025 08 Q = 0.00001 65755 i5 

r — r sin*û. . . 2 59 

log R = 4.48027 67 ' 

On Yoit que ces deux méthodes s'accordent parfaiteosent. liCS calculs 
ont été faits avec la même précision que si on voulait avoir lavaleur 
de Q exacte jusqu'à la quatorzième décimale ; on pourra donc le; 
faire avec deux décimales de moins y lorsqu'on ne voudra avoir que 
douze décimales exactes. ' ^ 

82. Il est facile^ par les moyens indiqués , de former la colonne 
âe9 aiuiHaires Q et celles dé leurs 'différences premîèfes et aecppdès ^ 



CONSTïltJCTîON Ï)ES TABLES ELLIPTlQtJES. ^V 
ksqtiell«è s«rviroAl à former la coloûn« des differeoce* «ecottdes /'E, 
d'aprèt la formule 

J^»E'=s=Q-h^/»Q'. 

Mais pour avoir les différences premières cTE y el ensuite lee foac-» 
iioifis E elles-mêmes , il faul connaître le premier terme cTEo qui 
répond à (p=s:o; et ce premier terme est la même chose que Eup. 
puisqu'on a £o = o. 

Or la quantité A = v/( i — c*sin*^) étant développée en série ^ 
on en tire fùkd(p ou 

E(^)s=(p — \ €* fdpsin^ — ~ c^fd(f sin*(^ — etc. 

2.4 

Soit sia ^ = o:^ on aura 
/rffsio'f «/jc**ir(i— *»)-î*«^ +^ .^ 4^i^.Ç + etc., 

fd(p sin*^ z=/x^dx (i— j:»)'*î= ^4.1.1. + i^.^4. etc. 

Ces suites sont très-convergentes lorsque or est très-petit; si on fait 

AT 

donc ^s£=«âe^ j 6n aura les valeurs suivimtcs^ exactes jusqu'à 
la quinzième décimale : 

E(^) c= a — ^c* (5-54541 42464)~ic<(9.oo5a5 ii), 
F(a)=a-|-^c*(5.5454ï 42464) -h |^*(9.co525 11). 

Les nombres en parenthèses désignent les logarithmes des coefficiens^ 

et la caractérisiique 9 9 qu^on voit dans le troisième terme, indique 
une fraction décimale dont le premier chiffre significatif est au 
'onzième rang. On a d'ailleurs 

A = 0.00873 66462 59971 65. 

83. Connaissant ainsi Ea qui est la même chose que cTEo^ on 
pourra 9 comme nous Tavons dit y construire la Table dans son entier 
au moyen de la formule cT^E' = Q +7t <^•Q^ Mais pour empêcher 
autant qu'il est possible y les erreurs dues au terme -^i cT^Q'' de s'ac* 
cumuler , nous avons tenu compte des restes que donne la division 
de /•Q' par 12. 

Pour cela nousavons joint àla colonne des sccondesdifférences/*Q, 



72 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL, 

une autre colonne contenant deux nombres que nous désignons par q 
et r y et dont voici Tusage. Soit r** le terme qui précède r, et supposons 
qu'en divisant i^C^^r^ par 12, le quotient soit q et le reste r, 
on fera constamment /Œ = Q'-f- 9^ 9 ou dans la ligne précédente , 

84* Nous joignons ici la série entière des calculs faits diaprés ces 
principes^ pour obtenir ^ dans le cas de c = sin45% les valeurs de 
la fonction E y correspondantes à tous les degrés et demi-degrés de 
Tamplitude ^. 

On peut observer que pour les mêmes valeurs de c et de cp^ l'auxi- 
liaire qui est Q pour la fonction E^ devient ^. pour la fonction F; 

d'ailleurs A est toujours donné par l'opération même qui sert à trou- 
ver Q y puisqu'on a dans la première méthode A =cos X, et dans la 

seconde A = . Ainsi en construisant la Table des fonctions E 

cos^ 

pour un module donné y on peut construire simultanément la Table 
des fonctions F qui se rapporte au même module. 

Comme le mode de procéder est le même dans l'une et/ l'autre 
Table, nous n'avons pas cru devoir joindre ici la Table particulière 
qui concerne la fonction F y d'autant que cette Table et celle des 
fonctions E, ont besoin d'une dernière rectification qui leur donne 
toute l'exactitude dont elles sont susceptibles. 

(*) Peut-être serait-il encore plus exact d'ajouter à ^*Q , non pas le reste pré- 
cédent^ mais la somme de tous les restes précédens. Soit cette somme :=^s^y on 
prendrait pour q le quotient J^'Q + aj° divisé par la , et pour^ le reste , ayant 

«oin de «rendre ^ . nositif ou négatif. ^ 6 . ou tout au nlns =r fî. 



prendrait pour q le quotient J^'Q + aj° divisé par la , e1 
soin de prendre s , positif ou négatif^ ^ 6 , ou tout au plus 



o*oo' 



•?' 



^w* 



♦• 



o*oo' 

o.3o 

i.oo 

i.3o 

a.oo 

â.5o 



3.00 
3.3o 
4.00 
4.3o 
5.00 



5.3o 
6.00 
6.3o 
7.00 
7.3o 



8.00 
8.3o 
9.00 
9.30 
10.00 



o.3o 
1 .00 
1 .3o 
a. 00 
a.3o 



3.00 
5.3o 
4.00 
4.30 
5.00 



5.3o 
6.00 
6.3o 
7.00 
7.30 



8.00 
8.3o 
9.00 
9.30 
ao.oo 



ao.3o 
ai .00 
ai.3o 
22s. 00 
aa.3o 



£. 



0.00000 
0.0087a 
0.01745 
o.oa6i7 
o. o34qo* 
o.o43Da 



00000 00 



08 7< 
y4 85 



66908 

â84Mi 
844^6 ao 
3o4ii 95 
63io3 aa 



o.o5a34 79153 63 
0.06106 73369 97 
0.06978 483aa 



0.07849 s4742 
0.087Q1 11343 



a 
ao 
ao 



o.ogBoi 
0.1046a 
o.ii33a 
o.iaaoa 
o.i3o7i 



94816 61 

41879 54 
4<)a5i 09 
13667 94 
3i835 04 



o .13940 
0.14808 
0.16675 
o. 16649 
o. 17403 



oo6a6 aa 
16484 81 

7^474 3» 
77369 o3 

16654 ^9 



o.i8a74 
0.19139 

o.aooo4 
o. 30867 
o. 31780 



88439 11 
92403 84 

24309 77 
81357 83 

B9839 68 



o . 33693 
0.33453 
o.a43i3 
0.36173 
o.a6o3i 



66983 Ql 
69601 d6 
94686 a4 
38854 36 
69341 61 



o.a688q 
0.37745 
o. 38600 
o. 39466 
o.3o3o8 



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0.8^7 
0.83738 
0.84456 
0.86181 
0.8&906 



86oa3 08 
o66fl8 98 

0434347 
79 
99 



o.866a6 
0.87345 
0.8806a 
0.88777 



60390 60 

71 
08 5o 

7139a 93 



0.9019Q 
0.90008 

0.gi6i3 
0.93317 
0.93019 



06696 30 
971 ji 17 
70546 49 

^7979 »9 



0.93718 70461 44 

0.94416 

0.96111 

0.96804 

0.96495 



»'*> 90 
16161 07 



19861 69 

14578 6a 



0.97184 
0. 97870 
0.9^8565 
0.99338 

<>-999»8 



00744 56 
||9|9 

33418 5i 
91347 90 



.00697 
.01374 

•0*949 
.0^601 

.03393 



68645 
38108 

OlOOû 17 

79698 16 

6Sdo3 53 



^3q3 
.06967 
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71160 4a 
9455a 63 
39040 o5 
96140 oa 



^E. 



754 64560 16 
76a 44&07 98 
760 33619 36 
748 oao46 76 
745 80163 96 
743 67904 96 



741 3636^ S9 

jo% 89673 33 
734 66663 08 
733 43608 Si 



730 30606 

in 977»4 
735 76003 

733 6â54a 

731 3o4oi 



710 08663 
716 87366 
714 66614 
713 46470 
710 37006 



708 08096 
706 90414 
703 73435 
701 67433 

699 4^48» 

697 08669 
696 16040 
693 04700 

18 8( 



79 



.<î47»6 
I6166 



686 79104 

684 70670 
683 69879 
680 67800 
678 67698 



676 69060 
^'jé^ 70900 
67a 78668 
670 88406 
668 96406 



667 08730 
669 o3^o 
663 40489 
661 60097 
669 8009D 



13 



/'E. 



00440 18 ; 
00988 73 

01470 i9 
0189D 81 
00348 
oo54o 



0^766 
00906 
o3oi9 
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o 00891 
007*11 
00461 
00140 
o 01749 



01386 

3 00761 

O 00144 
10463 
o 18709 



178S1 
o 16979 



Q- 



fl 19838 
00447 
00993 
oi472 
01808 
o 00054 



00645 
00771 
o 00931 
o o3o34 
o o3o5o 



o3oo8 
00897 
o 00716 

^ 00466 
00146 



o 01766 
o 01090 
o 00757 
o 00160 

a Ï94S9 



18716 
17888 
16986 
o 16008 
14966 



10619 
o 11339 
o OQ983 
00660 
o 07041 



o 06464 
03790 

o 00049 

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1 98356 



43 



96360 
94311 
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'8 



86337 
80900 
80091 
77804 
76141 



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o io6a6 
o 11346 



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4^ 37 
366 04 
091 43 



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6645 



10 



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180 19 
060 00 
3oo 39 
391 34 



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607 39 
680 40 
753 90 



807 83 

900 00 

97697 
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107 64 



586 61 
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8687 10 
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6676 

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7^ 

755i 
76^4 



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7700 

7737 
7740 

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7613 



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7705 



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77*7 

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7846 

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3i8~5 
6o3 ~3 
639 —6 

540 -f o 
545 4-6 



56a -*6 
556—3 
S6i 4-6 
667 +0 
670 +^ 



600 —4 

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609 —.5 
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«44—3 
«44 4-6 

645 4-6 

646 —5 



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644 4-a 
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641 4- a 
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634 4-4 
633 —3 
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68. 3o 
69.00 
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70.00 



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71.00 
71.50 
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74. 3o 
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76.00 
76.30 
77.00 
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78.00 
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79.00 
9.3o 

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s 



80. 3o 
81.00 
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8a. 00 
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83. 00 
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85. 00 



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87.30 



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'88. 3o 

89 . 00 

89.30 

^90 . 00 



06618 
07378 
07906 
08*593 
09347 
09900 




oa 
5 



1953a 07 
84485 91 
83933 



10 



o553 17639 18 
laoi 91608 11 
i85o 07Q71 53 
3496 6989a 96 
3141 8o6i5 9a 



3785 43453 01 
37 61784 90 
068 3qo59 03 
5707 78789 90 
6345 84555 04 



5o< 



6983 59996 64 
7618 08818 ^4 
8353 34786 64 
8885 417^4 48 
9517 335i4 78 



30148 14096 39 
30777 87463 99 
31406 57661 41 

3so34 38780 q5 
33661 04996 59 



33386 Q0477 16 

a3Qii 89473 46 
34536 06371 33 
35 159 4^ ^98 5g 
35783 10633 14 



36404 o6q5o 74 
37035 38633 95 
37646 10114 g3 

38366 35933 31 

38885 go6i3 47 



sg5o5 
Soi 33 
30743 
3i36o 
31978 



31 



08718 

84834 44 
33571 3i 
3g557 73 
07439 93 



3a595 

35213 

33850 

54447 
35o64 



61879 11 

9754» 87 
igi33 83 

5l333 06 

388 13 68 



65q 83393 57 

650 07151 69 
656 34746 8g 
654 65i53 84 
653 98^46 10 

65 1 34097 08 




64g 7 
[8 1 



7895 
648 16363 4a 
646 61931 43 
645 1072a 96 
645 63837 09 



643 i833i 89 

640 77374 4^ 

63q 39730 58 
638 08765 14 
636 75441 60 



635 4883a 30 
634 ^5967 80 
633 06937 84 
63i 91790 3o 
63o 8o58i 61 



63Q 73366 60 
630 70198 43 
637 71138 54 
636 76306 64 

635 85480 57 



624 98996 3o 
634 16797 86 
633 38937 37 

633^65434 55 
631 96337 60 



631 31673 31 

630 71491 98 
630 i58i8 38 
619 6ASS0 36 
619 18104 74 



618 76116 33 
618 38736 87 
618 o5q86 41 

617 77883 31 
617 54439 18 



617 3566q 76 
617 3i585 g5 
617 13189 34 
617 07490 6a 



75141 98 
73404 70 
60593 o5 
66707 65 
6374g 11 
60718 i5 



57615 5i 
54441 99 

51198 4? 
47885 87 
445o5 3o 



4io5; 
3754; 



84 



33g65 44 
3o533 54 
3661g 40 



33854 4o 
1Q039 06 

i5i47 54 
11 308 6g 
07315 01 



b3i68 18 

ggo6g 88 

949^^1 90 
90736 07 

86484 37 



83198 44 
77870 59 
73503 73 
69096 95 
646^5 39 



60180 33 
55673 70 

5ii38 03 
46575 53 
4ig88 5i 



57579 56 
5375b 46 

38104 30 
33445 o5 
1876g 43 



i4o85 81 

9^94 71 
4698 63 



77810 68 
75148 33 
73410 89 
bgSgo 30 
66713 74 
63755 i5 



60734 i5 
67631 41 

54447 Sa 

5i3o4 a3 

47891 55 



44510 78 
41063 g7 
5754g 35 

55070 74 
00338 73 



3285g 36 

19034 79 
i5i53 34 

113l3 36 



07319 45 
00173 46 

99074 03 

949^5 89 
90739 90 



86487 94 
83301 g5 

77875 9 a 

755o5 '88 

6gogg g3 



64658 10 
60183 85 

55676 13 

5ii4o 36 
4^577 56 



41990 56 
57581 01 
53761 90 
38io5 44 
35444 07 



18770 sS 

14086 44 

9595 i5 

4698 83 

0000 00 



366a 46 
3757 55 
a8ii 6q 
3885 46 
ag58 5g 
5o5i oa 



5ioa 
5175 og 
5345 59 
33ia 68 

558o 77 



5447 81 
55i5 74 
557849 

5643 03 

5704 35 



11 



5765 
5824 57 

5883 55 
5g38 08 
5995 81 



4046 gg 
4og8 44 
4148 i5 

4>95 9 
4^4^ 9 



4385 9 
4538 b 
4S68 04 
44o5 g5 
4441 74 



4475 54 
4506 75 
4535 86 
4563 70 
4587 20 



46og 35 
46âg 11 

4646 46 
4661 57 
4675 83 



4685 81 
4691 5i 
4696 5i 
4698 83 



7456 

75i5 
7345 
7170 



7087 
7000 

600g 
6704 



6593 

6475 
6353 
6335 
6086 



5g46 
5798 
5645 
5485 
55i8 



5 145 

4969 
4786 

4597 

44o5 



4304 
iooi 

5579 
556o 



5i3g 
3g id 
3684 
3450 

33l5 



1976 
1735 

1491 
1345 

999 



750 
5oo 
a5i 



634 — 4 

619+4 
6i5+i 

60g -j- 6 

604+ 1 
5g8 — 5 



5qo + 3 
583 + è 
576 + 5 
568 — 4 
558 + 4 



55o — 5 

53g +4 
53o — 5 

5i8 + 4 

607 + 6 



496 o 
485 + 3 

470 + 5 

457 + 4 
444-6 



438 

414 

399 
583 



3 

4 

3 

5 

3 



55i— 6 
355—1 
5i6 — 2 
398 + 1 
0+ 1 



38 



363 — 4 
343 + 5 
324+ 1 
3o4+5 
i85 — 3 



i65 — 6 

144+1 
134+4 

104+ 1 
83 + 4 



63 — 3 
43 — 6 
30 + 5 



85. Mous 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 77 

85. Nous avons déjà dit que pour remëdier k raccumulalioh des 
erreurs qui peut résulter de la mélhode précédente , il était néces- 
saire de calculer parles formules rigoureuses , les valeurs de la 
fonction qui correspondent à quelques-unes des valeurs de la va-, 
riable 9: On aurait pu^ pour cet objet , se borner aux quatre valeurs 
qui terminent les quatre parties de la Table ^ savoir, ^ = :22''';^y 
9 = 45% ^ = 67**^, ^==go**; mais nous y en avons joint trois 
autres , et voici les erreurs en plus qui se sont trouvées dans les 
résultats de notre Table. 

Variable ^ aa^i , 26, 45, 49 ^ , 67 i , 70 i , goV ' 

Erreur sur E (^)..- +62,+9S, +173, +i85, +2^3^ +227^ +220. 

' . • * 

Il s'agit maintenant de corriger les erreurs de tous les termes de 
la Table p d'après les erreurs connues de ces sept termes ; et le 
principe auquel il faut s'attacher dans cette opération délicate, est 
d^altérer le moins qu'il est possible les différences premières de la 
fonction , parce que ces différences , telles qu'elles sont portées 
dans la Table , sont nécessairement très-approchées des différences 
exactes. 

On pourrait aisément construire des formules algébriques qui 
embrasseraient une certaine étendue de termes, dans l'interpolation 
des erreurs ; mais l'usage de ces formules serait pénible et souvent 
peu exact. Il nous a paru plus simple de faire l'interpolation à vue^ 
en s'écartant le moins qu'il est possible de l'ordre linéaire indiqué 
successivement par les côtés du polygone, dont les angles sont les 
extrémités des ordonnées qui représentât les erreurs connues. 
L'inégalité dans la distribution des erreurs sur un même côté^ n'aura 
pour objejt que de rendre moins inégales les différences en passant 
d'un côté à l'autre ; et les anomalies à cet égard ne pourront jamais 
être bien considérables , parce que la méthode suivie pour la cons- 
truction de la Table , est de nature à ne permettre aux erreurs de se 
multiplier que par des degrés presqu'insensibles. 

86. C'est par ces procédés qu'on a rectifié la Table des fonc- 
. tions E, et en y joignant celle des fonctions F , composée et rectifiée 
. semblablèment , on a formé la Table II ci^après, qui servira à trouver 



/ 



7» EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL, 

jusqu'il dottse dtf cimAlvs ^ les valeun des fôuclîons F et E pour iûùXe 
valeur de Taitiplitude f ^ lorsque TAtigle du module est de 45*. Elle 
seryiraîl aubsi à faire l'opëraiion iarerse > c*est-à«^dire ii trouver 
rampUtude ^ lorsque l'une des foucdons est dounée. 

Ou voit asse^ par les Opérations dout nous avons donn^ le détail , 
qu'on ne peut répondre de Texatlitude de la douzième décimale j et 
que même la onzième pourrait , dans quelques cas , être en erreur 
d'une ou de deuic unités; mais au moins on pourra toujours compter 
sur l'exactitude de la dixième décimale j et l'emploi des deux autres 
dans les calculs d'interpolalion^ garantira les résultats de toute erreur 
sur la dixième décimale. Si on n'a besoin que de sept décimales 
exactes dans le résultat y il suffira d'en admettre huit dans les calculs 
d^Interpolatiou y ce qui les simpUfief^ beaucoup. 

87. Maintenant pour avoir un système complet de TaUes ellip- 
tiques , il ne s'agit que de construire^ par les mêmes méthodes^ des 
Tables particulières analogues à la Table II y qui répondront à tous 
les angles du module de demi-degré en demi-degré. On pourrait^ 
après les calculs faits, réduire toutes les fonctions à dix décimales^ 
et alors chaque Table particulière analogue à la Table II, n'occu- 
perait que trois pages ^ç\\\, in-folio y ce qui ferait pour les 181 Tables, 
un volume de grosseur médiocre. J'ose espérer que cette entreprise 
dont Tulililé se fera sentir de plus en plus y sera mise un jour a 
exécution par quelqu'un de ces hommes laborieux qui apparaissent 
de temps en temps dans la carrière des sciences , pour laisser des 
'monumens durables de leur patience et de leur zèle. 

Dans le recueil dont nous venons de parler , la première Table 
particulière, celle qni répond à Tangle du module 0=o^se cons- 
truira immédiatement^ puisqu'alers on aura F = E=3:^ , et qu'ainsi 
il ne s'agira que de mettre à côté de chaque amplitude ç , la loi^ueur 
. absolue de cet arc exprimée avec douze ou un plus grand nombre 
de décimales ; il ne sera pas même nécess£Ûre d'y joindre les difTé-- 
rences premières , puisqu'elles sont constantes. 

La dernière des Tables particulières est celle qui t^époad au 
• nodule c 3= 1 , ou à un angle 4u module égal à 90''; elle se cons- 
'Irum encore d'une manière très4acile^ au moyen des T^lesceo'nmeft^ 



CONSTRUCTION PES TABLES ELLIPTIQUES. 79 

puisqu'alors on a £ ((p) ?:;* aio ^ cl F (*) ï^p log tang ( 45** -+■ î ^ )• 
Les Tables III et IV oi-après soot desiiaéQS k r^préfieoter c» 
£[>nctions. 

88. La Table IIT offre les sinus naturels et leur^ logarithmes pour 
chaque quart de degré du quadrant , savoir , les sinus naturels e^c- 
primés avec quinze décimales j et leurs logarithmes avec quatorze 
seulement. Ils sont tirés les uns et les autres de la Trigon. Britan- 
de Bricgs I publiée après la mort de cet auteur, par Gellibhand^ 
seul ouvrage où Ton trpuve un aussi grand nombre de décimales ^ 
car le Thésaurus Mathematicus de Pitiscus , ne donqe Içs sinus 
naturels qu avec quatorze décimales. Nous avons cru que cptte 
Table serait utile y ne fût-ce que pour mettre le lecteur à portée 
de vérifier par lui-même^ et sans le secours d'un livre qui devient 
dbaque jour plus rare ^ les calculs que nous avons développés dans 
différens endroits de cet ouvrage , et surtout ceux qui se rapportent 
Il la Table des fonctions complètes. 

La TableïV donne leslogaritfames hyperboliques de tang (45*-+-| ^), 
pour toutes les valeurs de ip , de demi-degré en demi-degré ; ces 
logarithmes sont en même temps les valeurs de la fonction F^, lors- 
que le module est égal à l'unité. 

Connaissant j par Ui Table III , les logarithmes «vulgaires de 

latig(45''+ T^) > il ^ ^uffi ^^ multiplier eeux-ci par le module 
Msssa.SoaS^ etc.> pour avoir les logarithmes coatenus dans la 
Table IV. 

Enfin nous avons cm faire plaisir aux caleulateurs en afoutant k ee 
^etit recueil y la Table V extraite des grandes Tables du cadastre ^ 
où Ton trouvera les logarithmes à dix^neuf décimales pour tous les 
nombres impairs de 1 163 à i5oi ^ et pour tous les nombres premiers 
4e iSoo à loooo. 

8g. La Table IV, dans laquelle npus avons inséré les différences 
anccessives de la fiipctÎDn y autant que le formai a pu le permeitre ^ 
fût voir 4fue ces difierences décroissent d une manière très-leoie y 
lorsque Tamplitude p •a|)pr0£he de 90""^ AIojrs l'interpolation de la 
Table devient très-^difidie ^ ou pe dooac 4]uWe approximation 
i«safinnte« 



s 



8o EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 

Pareille difficulté se rencontrera ^ mais à un moindre degré y dans 
les Tables particulières dressées pour des modules dont les angles 
se rapprocheront de l'angle droit ; il y aura alors une partie plus 
ou moins étendue de chaque Table y celle qui répond aux plus 
grandes valeurs de ç y dans laquelle les interpolations seront plus 
difficiles ou moins exactes; mais cet inconvénient ne se fera guère 
sentir qu'à compter de l'angle du module fi= 70"*, et seulement pour 
des valeurs ^ non moindres que 70 ou 75''. On remarquera au reste 
que les simples Tables de logarithmes des nombres et des sinus , 
sont sujettes à un pareil inconvénient , vers leur commençaient^ et 
que celles des logarithmes des tangentes le sont au commencement 
et à la fin ^ lorsque l'angle approche de qo"". 

Il serait superflu de parler ici de la double interpolation que l'on 
aurait à faire selon les diverses valeurs des angles 6 et ^ , lorsque 
le système de Tables dont nous avons parlé sera exécuté ^ ou ^ ce 
qui revient au même y lorsqu'on aura une Table à double entrée 
contenant les valeurs des fonctions E et F, pour toutes les valeurs 
des angles et ^^ de demi-degré en demi-degré. Mais il y a d'autres 
questions qui concernent la construction de 4a Table elle-même^ 
et qui méritent d'être discutées. 

go. On peut d'abord observer que l'interpolation est en général 
plus facile à Tégard des fonctions £ qu'à Tégard des fonctions F ; 
et si on se rappelle que toute fonction F peut s'exprimer exactement 
par la fonction E et une autre fonction de même nature , on en 
conclura qu'à la rigueur on pourrait se contenter de construire la 
Table des fonctions E, laquelle présentera toujours plus de facilités 
et moins de cas d'exception, dans les calculs d'interpolation. Cette ob- 
servation réduirait presqu'à moitié le calcul des Tables elliptiques , et 
ce calcul deviendra surtout d*une exécution assez facile ^ si on ne 
voulait avoir les fonctions E qu'avec sept décimales exactes^ 

Mais d'un autre côté y les fonctions F étant plus simples analytf- 
quement que les fonctions E, il y a quelque inconvénient à déduire 
la fonction la plus simple F ou F ( c , ^ ) de deux fonctions plus 
composées E(c,^)y E(c%^). Cet inconvénient n'est pas sim- 
plement idéal ^ il se fait sentir encore par la complication qu'il entralnie 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 8i 

dans les calculs^ puisque la détermination de la fonction E (c% (p"") 
suppose qu'on a calculé de nouveaux élémens c^'y tp""^ qu'on peut 
bien déduire trigonométriquement des élémens donnés c j ^^ mais 
qui rendent le calcul plus long et plus difficultueux. 

91 . U faut observer de plus que quand on détermine la fonc- 
tion F y soit au moyen des deux fonctions E(c, ^), E (c% (p^*) , 
soit au moyen des deux fonctions E(c^ (p) ^ E (c', ^')^ ce qui se 
fait par l'une ou l'autre des formules 

AF(c,«>) = KiH-*)E(^%r) — E(c,Ç))+i(i— i)sinr, 
^^•F(£?,(p) = E(c,ç))-.(i+o)E(c>') + csin<p; 

les erreurs sur les fonctions E se trouvent notablement augmentées 
dans l'expression de F^ à cause de la petitesse du diviseur b dans 
une formule^ ou -^ b* dans l'autre; de sorte qu'on ne pourra se 
flatter d'obtenir la fonction F avec la même précision que les Tables 
donnent les fonctions E. 

Enfin dès qu'une fois on aura déduit des données c^ f^ les nou« 
veaux élémens c% ip* ou o', ^', il n'en coûtera guère davantage pour 
continuer les suites c, o', d'y etc., et ^ , ^', ^", etc. , jusqu'au troi- 
sième terme environ^ comme cela est nécessaire pour obtenir 
directement une valeur aussi approchée qu'on voudra de la fonc- 
tion F {cy(p) , en la déduisant des formules^ 

F(c,<p) = Klogtai.g(45-+i*'), K.= v/(^). 

où O' désigne la limite des angles (p, ^\ (p^'y etc.; et dans ce cas^ 
on n'aura aucun besoin de la Table des fonctions E« 

9a. U résulte de cette discussion que^ quoique la fonction F 
puisse s'exprimer rigoureusement par deux des fonctions E ; ce- 
pendant cette propriété ne fournit pas des moyens de calcul assez 
simples pour être employée utilement dans les approximations. 
Il en est de même de l'usage qu'on voudrait faire de la formule 

F = E — ^j~> ouF=E — tango -t- ," en faisant c = sin 9. 

Car pour faire l'application de cette formule , il faudrait d'abord 
être en possession d*une Table complète des fonctions E^ calculée 



Bi EXERaCES DE CALCUL INTÉGRAL. 

pour toutes les valeurs de 6 et de 9 , de demi-degré en demi-degré; 
de plus ea appelant « la longueur d'un demi^egré , ou Cuisant 

et = ~- ^ le coefficient différentiel ^ devrait être tiré de la formule 

où les différences successives cTE , <P*E , J^E , etc. sont relatives à 
la variable seule. Mais on voit qu'à cause de la petitesse de « ^ 

la valeur de -nr ne serait déterminée en général qu'avec deux 

décimales de moins que la fonction £ , et la précision diminue- 
rait encore sur la valeur de E ^ à mesure que tang 6 augmenterait ; 
ainsi ce moyen d'approximation que nous avions proposé autrefois^ 
ïie saurait être adopté. 

g3. Ayant écarté plusieurs des moyens qui se présentent naturel- 
lement pour construire des Tables propres à faire trouver aisément , 
dans tous les cas » les valeurs des fonctions elliptiques E et F ^ 
ridée peut venir encore de remplacer une de ces fonctions par 
une autre qui serait plus facile à réduire en Tables. Telle est , par 

exemple , la fonction G = A ^^ ^ , dont la valeur complète , 

lorsque ^ = ^7r , sera J tT ou i , selon qu'on fait o=:ooa<?=i; 
de sorte que dans les cas intermédiaires cette fonction éprouvera 
peu de variations, et sera très-propre à être réduite en Tables. 

Et puisque la fonction F peut être déduite des fonctions E et G, 
au moyen de l'équation 

E — cH3r E — G , ^ 

— — p gr- + G, 

il semble au premier coup d'œil que la fonction G pourrait être 
substituée avec avantage à la fonction F ^ au moins dans la partie 
des Tables de celle-ci qui se prête difficilement aux interpolations ^ 
c'est-à-dire lorsque les angles 6 et ^ sont tous deux plus grands 
que 70 ou 75*. 

Mais en examinant la chose avec plus d'alientioa , on reconnaît 
qoc la difficulté u'est qu'éludée , et qu'on a'ohtieadca pas ua£ plus 



^ 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 8? 

grande approximation par ce moyen , parce que si on a , par exemple , 

b^ s= — y l'erreur de E — G se trouvera centuplée dans la valeur 

de F. U yattdrait donc tout autant ^ à mesure <pie 4 et ^ augmentent 
au-delà d'une certaine limite y diminuer le nombre des décimales 
qui entrent dans l'expression deF, afin que l'interpolation fût toujours 
également praticable , mais donnât pour résultat un moindre nombre 
de chiffres décimaux. 

Pour donner un exemple de l'usage de nos métbodes y lorsque 
l'angle du module est peu éloigné de go% nous joignons ici une 
Table des fonctions E et F ^ construite d'après ces méthodes pour 
le module c = sin dg*. Cette table n'est pas calculée avec auiant 
de précision que la Table II , et on ne peut guère compter sur 
l'exactitude de la dixième décimale j mais elle pourra être utile ^ 
surtout en fournissant des exemples qui serviront à apprécier ^li-» 
verses formula que nous donnerons ci-après pour les tas où le 
modale est très-peu différent de l'unité. 



•< 



84 



c = sin 89*. 



o*»oo' 

o.3o 

1.00 

i.3o 

2.00 

2.3o. 



3.00 
3.39 

4.00 
4*3o 
5.00 



5.3o 
6.00 
6.3o 
7.00 
7.3o 



8.00 
8.3o 
9.00 
9.30 

0.00 



o.3o 
1,00 
i.3o 

â.OO 

a.3o 



3.00 
3.3o 
4*oo 
4.3o 

5.00 



5.3o 
6.00 
S.3o 
7.00 
7.3o 



8.00 
8.3o 
9.00 
9.30 
so.oo 



ao.3o 
âi.oo 
ai.3o 
23. 00 

22. 3o 



o 
o 
o 
o 
o 
o 

o 
o 
o 
o 
o 



o 
o 
o 
o 

o 



o 
o 
o 
o 
o 



o 
o 
o 
o 
o 



o 
o 
o 
o 
o 



o 
o 



o 
o 
o 
o 
o 



o 
o 
o 
o 
o 



£. 

00000 
00872 
01745 
02617 

©3489 
04361 



00000 
65355 
24066 
69490 
94986 

959 1« 



06233 
06104 
06076 
07845 
08715 



59630 
855o6. 
64906 

67701 



09684 

10462 
11 320 

12186 

i3o52 



85ai3 
3287'^ 
94358 
63069 



13917 
14780 
i5643 
16604 
17364 



32390 
96768 

'466 10 

78376 
84482 



18223 
19080 
19936 
20791 

21644 



68388 
93658 
83464 
21691 

oiiP4 



22496 
23344 
24192 
26008 
26881 



16602 

6o3i5 
26406 

08322 

99^M 



26723 
27653 
28401 
29237 
30070 



30901 
31730 
32567 
3338o 
34202 



03887 
84703 
66676 
30429 
72600 

"85846" 
63838 

00268 
88847 
233oo 



35oao 
35837 
36650 
37460 
38268 



97376 
04843 
39488 

9^1 »9 
66568 



/^E. 



872 
872 
872 
872 
871 
871 



66365 
68711 

45424 
26496 

98926 

66719 



871 
870 
870 
869 
869 



26876 

79^99 
26294 
66562 
00210 



868 
867 
866 
865 
864 



27242 

47664 
61481 
68701 
69331 



863 
862 
861 
860 
858 



6337§" 

5e85i 

31767 

06106 

73906 



867 
855 
864 
852 
85 1 



36170 
89906 
38127 

16068 



849 
847 

845 
843 
841 



438i3 
66091 
81916 
91302 
94263 



839 

837 
835 
833 
83i 



00816 
00973 
64*763 

4^171 
13346 



828 
826 
823 
821 
818 



7799a 
36430 

88679 
34453 
74076 



816 
8i3 
810 
807 
8c4 



07467 
34645 
6663i 

70449 
79117 




F. 

o.oocoo 
0.00872 
0.01746 
0.02618 
0.03491 
0.04364 



o. 06208" 
0.06112 
0.06086 
o . 07862 
0.08737 



00000 
67670 

41784 

20200 
35739 
70790 



38ii3 
45391 

90322 

06620 
74022 



0.09614 
0.10491 
0.11069 

0.12247 
o.i3i27 



08286 
161 
0451 
80245 

5oi02 



0.14008 
0.14890 
o. 16772 
0.16667 
0.1764^1 



0.18429 
0.19317 
0.20207 
0.21090 

0-^1991 



2io53 
ooo55 
94102 

10234 
55540 

37160 
62286 
38167 
72110 
7i6o3 



0.22886 
0.23782 
0.24681 
0.26681 
o . 26484 




0.27388 
0.28296 

0.29204 
o.3oii5 
0.31029 



63719 
33624 
3o63i 
62833 
38423 



0.31946 
o.32iB64 
0.33786 
0.34710 
o. 36637 



66701 
53070 
09049 
4^267 

6 «479 



0.36667 
o . 37600 
0.38437 
0.39376 
o.4o3i9 



76661 
93622 
24607 

77796 
62820 



872 67670 

872 74^14 

872 07606 

873 07449 
873 34061 
873 67323 



874 07278 

874 53951 
876 07298 

875 67402 

876 34264 



577 9za»i 

877 88372 

878 76676 

879 69867 

880 70961 



881 79002 

882 94^47 
884 i6i32 
886 45306 
886 81620 



888 26126 

889 76882 
891 33948 
89a 99388 
894 72266 



896 62653 
898 40622 
900 36261 
902 39618 
904 60807 



906 69906 
908 97007 
911 32202 
913 75690- 
916 27278 



918 87369 
921 55979 
924 33218 
927 19212 
93o 14082 



936 30986 
939 53289 
942 86024 
946 26337 



c == sin 89*, 











85 


c = sin 89'. 1 


4>. 


E. 


w:. 


F. 

• 


i¥. 


22*^30' 

23. 00 

a3.3o 

24.00 

24.30 

25.00 


0.38268 65568 

0.35073 44^^^^ 
0.39875 26343 
0.40674 04440 
0.41469 72894 

0.42262 25649 


804 79117 

801 8i658 

7.98 78097 
795 68454 
792 52755 
789 3 1025 


o.4o3i9 62820 
o.4ia65 89167 
0.42216 6é546 
0.43169 o4883 
0,44^ 2b 14^36 
0.45087 04849 


946 26337 

949 77388 
953 38338 
987 09353 
960 Qo6i3 
964 83393 


25. 3o 
26.00 
26.30 
27.00 
27.30 


o.43o5i 56674 
0.43837 59959 
0.44^30 29020 
0.45390 59402 
0.4617b 43672 


786 o3285 
782 69661 
779 29882 
770 84270 
772 32761 


0.46061 87142 
0.47020 71728 

0.47993 69413 
0.48970 91206 
0.49962 48324 


968 84586 
972 97685 

977 3179^» 
981 57119 

986 03878 


28.00 
28.30 
29.00 
29.30 

3o.oo 


0.46947 76423 
0.47716 01778 
0.48481 63885 
0,49343 06920 
o.5oooo 75089 


768 75355 
765 12107 
761 43o35 
767 68169 
753 87534 


0.60938 62202 
0.61929 14600 
0.62*924 47^^2 
0.53924 62177 
0.54929 72081 


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1006 09904 

1010 17090 


3o.3o 
3i .00 
3i.3o 
32.00 
32. 5o 

33.00 
33. 3o 
34- 00 
34.30 

35.00 


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o.5i5o4 63785 
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io3i 79377 
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36. 00 
36. 3o 
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37.30 


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694 7<^^^7^ 
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iio3 58233 


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38. 3o 
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39.30 
40.00 


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41. 3o 
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42.30 


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ll6q 66949 
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43.00 
43.30 

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44. 3o 
45.00 


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o.88'i33 3oi85 


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1207 9100^ 

1218 isiS7D 
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12 



86 



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46.00 
46. 3o 
47.00 
47.30 



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49.30 

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52. 3o 



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54.30 
55.00 



55. 3o 
56. 00 
56. 3o 
57.00 
57.30 



58. 00 
58. 3o 
59.00 
59 . 3q 
60.00 



60. 3o 
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64.30 
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67.00 
67.30 



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0.70713 
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0.75730 



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38417 
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44684 

20222 
16978 



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0.77718 

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30667 
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II 16 

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0.79868 
0.80390 
o . 80906 
0.81416 
0.81920 



06160 
33925 

49878 
00098 

30712 



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o . 83394 
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87894 
17866 
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07458 



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o . 85370 
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o . 86609 



91773 
30714 

40706 



0.8704a 
0.87469 
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19913 

46497 
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o . 89 1 08 
0.89501 
0.89888 
6 . 90267 
0.90639 



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81094 
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04018 
41210 

9 1717 
^2728^ 

21486 
95290 

71491 
47497 



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53^ 3q436 
538 35608 



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5i6 15953 
5 10 00220 
5o3 80614 
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484 qgoSo 
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465 84314 



459 3894a 
452 90085 

44€ 3779? 

4^ 8aii5 
4^ 23io6 



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4i3 26584 
406 54753 

39979844 



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35 i 73804 
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33o 73274 



F. 



o.88i33 
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86633 

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.01061 



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93761 
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.o38o5 
.o5i99 
.06608 
.o8o33 



.09474 
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.i54i3 



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3ii37 
30334 
46o36 

53447 



. 16943 
.18493 

. 20064 
. 3 1 655 
. 33367 



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00229 
45317 
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28740 



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79164 



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.26560 
.28241 

•29947 
.31679 



58i53 
33885 
84751 
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446i5 



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.37035 
.58878 
.40751 



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89340 
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91741 



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.5o6i8 27122 



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.54824 

.56989 
.59198 
.61453 



27224 

6353o 
60739 
57639 



^F. 



239 
35o 
261 
273 
285 

297 



37437 
42392 

76709 

41673 

38214 

67420 



3io 
323 
336 
35o 
364 

578 

393 

409 
42S 

441 



458 
475 

493 
5i 1 
53o 



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344i3 
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13S73 
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59975 
54000 



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570 

591 

612 
634 



08013 
34664 
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57085 
78989 



667 
681 
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731 
757 



75733 
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08175 
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86413 



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971 
2007 

2044 
208S 



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88876 

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44260 

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2123 

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2208 

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971.99 
76900 

68190 



«7 






18. 



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68. 3o 
69.00 
69.30 
70. 00 

70.30 
71.00 
71. 3o 
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72 .80 

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73.30 
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75.30 
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76.30 
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77. 3o 

78.00" 

78.30 

79.00 

79.30 

80.00 



80. 3o 
81 .00 
81. 3o 
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83.30 

83.00 

83. 3o 

84.00 

.84.30 

85. 00 

85. 3o 
86.00 
86. 3o 
87.00 
87.30 

88.00 
88. 3o 

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89.30 

90.00 



E. 

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o.93o5a 
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47497 
20771 

88853 
49354 



■§7288 
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"855Î3" 

77554 
40904 

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23893 

4o524 



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40936 

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86763 



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18979 
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1 . 00040 
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1 . 00076 



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78062 
19846 
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16777 



c = sin 89". 



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35918899 



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244 633 
237 32888 
23o 00718 

223 66908 



216 31626 
307 94636 

aoo 663i4 

83 i663i 
5 75665 



78 33496 
70 90206 
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33 

20 
12467 
18 64327 
16093 



41 

33 
26 



11 



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96 20334 
fe8 73469 
81 27864 
75 84167 



66 43310 
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Ji4 56317 
37 4q945 



3o 71019 

M 4m4 
19 11666 

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F. 

.61453 37629 
.63766 00819 
^ 66 108 91390 
.68614 363Ô8 

•70974 59.509 
. 73493 60634 



.76073 17937 
.78716 94463 
.81428 386oi 
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.90008 04717 
.93o3i aio3i 

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2.36126*62766 
2.29396 44406 
2. 33853 17166 
2.385i2 91006 
a. 43396 53414 



2.48626 
2.53522 

d. 696 23 

2.65663 
2 . 72084 



01760 
41 114 
93954 
73269 
63810 



2.78958 
2.86286 
2.94306 
3.02753 
5.iai69 



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35888 
33338 
fôo68 
76783 



^ I r 



i?. 



23o3 
2362 

24o5 
â46o 
2618 
q579 



2643 
2711 
2782 
2858 
2938 



68190 
86574 

636oi 
60725 
57003 



76626 
44o38 
8827g 
40869 
37069 



3o23 
3ii3 
3209 

3420 



3662 

3797 
3943 

4100 



i63i4 
23868 
o65i6 
23577 
37885 



23160 
69553 
456&I 

9069 

2385 



3.32491 
3.33964 
3.46876 
3.61613 

3.7874a 



66453 
384o8 
49890 

3184^ 

947^5. 



3.99109 
4.a/(oo3 
4.55^46 
4.95366 

5.4H90 



63i39 
9217S 

9'ï92 
98713 

'98^96 



4270 
4466 
4669 
488*2 
5i3o 



91660 

73860 
4^409 

68336 



5396 39364 
6701 63840 
6039 7931 5 
64ao 89641 
6853 40807 



7348 ^322 

7919 96360 

8687 32820 

9376 11726 

io32i 80670 



11473 

1 39 1 3 
14*736 
1 7 1 39 

20*^66 



248q3 

3 1343 

40030 
48ia3 



71955 
11482 
719.1a 
7Q9Ci3 
68^^74 



29037 
99016 
075'îr 
99583 



«8 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 

§ IV. Autre^ méthode pour construire les Tables des 

fonctions F e/ E. 

94. On peut construire ces Tables par une autre métbode qui 
n^exige que des calculs Irigonométriques très-simples : voici ea quoi 
consiste cette méthode* 

Supposons qu'après avoir pris un module c à ydlonté , on veuille 
trouver l'amplitude ^ qui répond à une fonction F égale à -^ de 
la fonction complète F'; cette amplitude se déterminera par la mé- 
thode de Fart. 67 , première Partie^ si Ton a c*< f , ousi c* étant 
>> ^ 9 n'est pas trop rapproché de l'unité ; et par la méthode de 
l'art. 71^ si I — c' est très-petit. 

Soit dans l'un et l'autre cas ^ a ou a, 1^ valeur de l'amplitude qui 
donne F {(t) = -^ F'^ nous appellerons successivement ^«^ ^3, ol^^^ 
amplitudes qui donnent F(flt.)=: ^Fa, F(a3)=5Fa, F(fltJ = 4Fa, etc. 
jusqu'à F (tf.oo) = 200F (a) = F*. 

Cela posé ^ la Table que nous voulons construire contfendra ^ dans 
la première colonne^ les nombres i , a, 3. . . .200, qui représentent 
les fonctions F croissant par intervalles égaux , depuis la fonction 
F(ût) = -ôo F' jusqu'à la fonction complète F'; dans la seconde 
colonne seront les valeurs correspondantes de ^amplitude , savoir, 
a, ,tf^, ££3. jusqu'à a^.^ ou \ir. Cette Table sera en quelque sorte 
l'inverse de celle que nous avons construite par la première mé- 
thode y et dans laquelle tes amplitudes croissent par intervalles- 
égaux; mais la théorie des fonctions F fournit des formules très-' 
élégantes pour construire la Table dans ce nouveau système. 

95. Désignons par p un terme quelconque (t^ de la suite ol^ ^ 
it^y cL^y etc. , ensorte qu'on ait F^ = rîFoL; nous ferons par analogie 
F ((p') =:(n+i)¥eL,¥ ^' = (u'^ 2)FeLy et dans le sens inverse ,. 
F ((p") = (» — 1) Fflt, F <p^^= ( 71 — 3 ) Fa , etc. Cela posé , sort 
A (a) ou \/(i — ^ sin* a) =flr, l'équation générale de l'art. 22 ^ 
première Partie , deviendra 

tang (i ^'4- i r ) = <» lang ç. 



CÔN^TPRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 89 

Mais on a ^' -^ 2^ + 9* = <^^?'' f ^^^^^ équation peut donc se metlre 

sous la forme' 

tang (<? + i cf -r ) = « tang ^ ; 

on déduit de là ^ 

o » ^ 1 + a tang"*^ 

Soit ii=i~T ou A:= î-^, cette équation deviendra 

1 +« 1 + a' * 

et on en déduit ultérieurement, 

sîn I /«(p*» = — A sîn (2(p + ^ /•(?• )* 

Cette équation fait voir que i cT^^"* est toujours négatif; faisant 
donc X J^*?* = — û> , on aura 

sin e» = A: sin (2^ — cù)^ 

Or A est une quantité très-petite du second ordre par rapport ha, 

puisqu^on a c? sin a r= jf ^ y et qu'ainsi k se déduit de csin a^ 

suivant la même loi que le module c'' se déduit du module c. On 
voit donc que û» restera toujours une quantité très-petite du second 
ordre ; son maximum aura lieu à peu près lorsqu'on a ^ = 45% et 
ce maximimi sera à peu près = A = (7 c? sin «)^ = -^ c^a sin â&; 
dans les points extrêmes ^ lorsque ^ = oou^ = j7r^la quantité cé 
sera nulle. 

L'équation sin û» = A sin ( 2^ -— û» ) est facile à résoudre dans les 
difTérens cas^avec toute l'approximation nécessaire ; on peut d'abord 
négliger ea dans le second membre^ ce qui donnera sin a» =Asin a^^ 
ou simplement a» = A sin 2^ ; ensuite pour avoii' une plus grande 
approximation y on substituera cette valeur dans le second membre. 
Soit alors A sin (2^ — oà)t=py on aura sin càt=p; donc si on 
appelle R.'^ le nombre de secondes contenues dans le rayon , afin 
que R"â> exprime le nombre de secondes de l'arc a> , on aura 

R"« = R>(, + i.Ç + i^.^ + etc.> 

déduit aussi inunédiatement de la formule tang (^+7 ^'9'') 



90 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 

s= a UDg ^ , une autre valeur de ^ J^*^"* ou a» ^ savoir : 

a = — \ cT*?* = A: sîn a^ — -i A' sin 4(p + 1 A^ gj^ g^ _ ^^^^ 

Mais cette expression est en général moins convergente que la 
précédente y et elle parait moins facile à calculer , parce qu'elle 
exige de plus qu'on cherche dans les Tables les logarithmes de 
sin 4^^ sin 6^, etc. 

Les valeurs qu'on devra donner à ^ seront successivement a^^ a^y 
a^y etc. On calculera les valeurs correspondantes de ac^y qui seront 
en même temps celles des J"^^; et comme la première valeur de ^<Py 
celle qui répond à 9.= o y est égale à ât ^ on pourra former en entier 
la colonne des valeurs de^^. 

96. Mais pour vérifier les calculs et empêcher les erreurs de s'accu- 
muler ^ il sera bon d'avoir une formule qui fasse connaître directe- 
ment une différence première quelconque /^. 

Or on a vu (art. 18 ^ première Partie) que si l'on fait 
tang 4/ = A ( ât ) tang ^ et tang fe = A ( 9 ) tang a , on aura 

(f'^ï-vlz + ft; mais d'un autre côté,4 = ^ + ï J^*^* ^^ ^'=^"f"^^> 
donc )» =s J\p — 5 J"*^* = cT^ + d» ; donc on a pour déterminer 
directement tf^ , l'équation 

tang ( J^^ + û^) = A (^) tang a. 

On voit en même temps y par celte équation , que comme a» est 
toujours positif^ et A(^) toujours moindre que l'unité y on aura par 
ces deux raisons ^ S^ < et. Ainsi toutes les quantités qui entrent, 
tant dans la colonne des différences secondes if^<p , que dans celle 
des différences premières J'^y seront plus petites que des limites 
données y et ne peuvent par conséquent éprouver que de petites 
anomalies. 

On obtiendra enfin une vérification complète de tous les calculs , 
lorsque le dernier terme de la colonne des ^, savoir a„^, se trou- 
vera égal à 90*. On peut se procurer d'autres vérifications dans 
cet intervalle , en calculant la valeur de 9 qui donne F^ égale à la 
moitié ou à une autre partie exprimée exactement en 300^^°^^ de la 
fonction complète F'. 

97. Une fois qu'on a déterminé la constante cl par les méthodes 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 91' 

directes^ on Toit que la Table entière relative à la. fonction F^ peut 
être calculée par une seule formule trigonométrique simple et ri- 
goureuse y savoir , sin o» c= A: sin ( 2^ — a» ). En effet cette formule 
seul€ servira à former la colonne entière des différences secondes; 
et comme on connaît d'avance le premier terme des différences 
premières J^ , lequel est égal à ot , on formera de suite la colonne 
entière des différences premières J^^,ei de la celle des amplitudes <p y 
puisque le premier terme = o. 

Le problème est donc résolu complètement par la seule équatiorr 
mentionnée ; mais pour se procurer de loin à loin des vérifications ^ 
on a une seconde formule trigonométrique^ savoir, 

tang ( J^^ + a ) = A(^) tang ot , 

laquelle servira à calculer directement la différence première tfp. 
Elle montre immédiatement qu'une valeur approchée de /^ est 
J'(p = fltA (ç) — C0. 

Il faut maintenant examiner y l^ comment on interpolera la TaBIe 
des fonctions F , calculée pour une valeur déterminée du module ; 
i}"". comment on interpolera le système des Tables particulières , 
calculées pour les différens angles du module , de demi-degré en 
demi-degré. 

98. Dans le premier cas y si Ton cherche une valeur de (p qui 
réponde à une valeur donnée de F, il faudra d'abord exprimer F 

en parties 200'*™** de Fi. Soit donc F = ■ F*, /i étant un entier 

et X une fraction. 

Soit A la valeur de ^ qui répond au nombre n de la première 
colonne^ et soient /A ^ J^^A, «T^A les différences successives placées 
sur la même ligne que A ^ la valeur de l'amplitude (p sera , suivant 
les formules ordinaires , 

Si au contraire on demande la valeur de F qui répond à une valeur 
donnée de ^^ on verra d'abord au premier coup d'ceil quel est le 
nombre de la Table qui doit être pris pour A; le nombre corres^ 
pondant n se trouvera dans la première colonne^ vis à vis de A f 



92 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 

ainsi pour avoir la valeur de F = 2^t£ F% il ne s'agira que de 

déduire x de Téquation précédente où Ton connaît 9^ A, /A ^ 
J'^A , J'^A } or cette résolution n'offre aucune difficulté; car on a 

^ — A 



X 



a a. 3 



la première valeur approchée de x est donc ^> ; on s*en servira 

pour substituer dans le dénominateur et obtenir une seconde valeur 
plus approchée de x ; cette seconde en donnera semblablement une 
troisième ^ et ainsi de suite. 

gg. Venons maintenant à la seconde question. Nous supposons 
qu'il existe une suite de Tables construites pour tous les angles 9 
du module 9 de demi-degré en demi-degré ^ dan$ chacune desquelles 
on trouve Tangle ^ qui répond à toute fonction F (0 , ^), exprimée 

par — F' (0) , n étant un nombre entier. 

Cela posé^ soient donnés la fonction F et l'angle a du module à 
laquelle elle appartient ; il faudra préalablement y d'après cet angle , 
calculer la fonction complète F* (u) ; alors connaissant F^ on con- 
naîtra le nombre n + x { composé de l'entier n et de la fraction or) , 

tel qu'on ait F = î^^ F>. 

Soit maintenant ^ = ^+^,j'^ Ç étant un nombre entier de 
demi-degrés > et^ étant <C i* Dans la Table où 8=:^ ^ on prendra 
par interpolation l'amplitude ^ qui répond à 7^-{-ar; on prendra de 
même , par interpolation y les amplitudes ^', ^", (p% etc. qui répondent 
à 72*4- or y dans les Tables dont l'angle du module est f + ^% 
S+i*, C+ï*ï> etc. ; cela posé^ l'amplitude qui répond à la 
fonction donnée F dont Tangle du module est jU , sera exprimée 
par la valeur 

ç+y (^'-^) +^-^ (^ ~2^'+P) +-5^^^ (f ''-3^-+3f'-^) + etc. 

L'opération inverse se ferait d'une manière semblable , mais il est 
superflu de s'en occuper ici. 

100, 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. $5 

100. Il faut faire voir maintenant comment on pourra former une 
Table analogue pour les fonctions E : cette Table est d une exé- 
cution beaucoup moins facile ; cependant il se présente encore ^ 
pour la construire , des formules assez élégantes et qui méritent 
delre remarquées. 

Soient, comme ci-dessus, ^%^9 ^' trois amplitudes successives 
telles qu'on ait F (r) + F (a) = F (<p) , F ((p) + F (a) = F (^') , on 
aura^ suivant Fart. 3i , première Partie y les deux équations 

E(^*) + E(a) — E(^) = c»sinflt sîn (p'^sîntp , 
E (^) + E(flt) — E(^') = c*sin a sin^ sin ^'; 

d'où l'on lire 

E (^') — 3E {(p) H- E (^•) = •— c* sin a sin ^ (sin ^'— sin ^•) , 

ou, ce qui revient au même , 

cT'E (^^) = — c* sin a sin (p (sin ^' — sin ^•), 

Mais on a sin ^' — sin ^" z= a sin ^ — ^ cos ^ T^ • d'ailleurs 

cT^E (^") = — 2c^ sin a cos ((p + i cr*<P' ) sin ( J^ — i cTV) «ÎQ ?* 

ou en faisant comme ci-dessus j i"^^"* = — o) , 

cT'E (fl>') = — 3c* sin d cos (^ — * û)) sin (J^^ + û» ) sin (p. 

J'observe maintenant qu'on a a sin ^cos (jp — û^) =sin (a^ — a))-f-sin co; 
mais.sin £»=Asin(2^ — û>); doncasin^cos (^— «)=(i4-A)sin(2^ — «); 
donc 

/•E(^*) = — c*(i 4- A) sin a 310(2^ — (ê) sin (cT^ •+•«)> 
ou enfin 

cT^E ( ^' ) = — ac ^k . sin ( 2^ — ») sin ( J\p 4- û> ). 

Cette formule est rigoureuse, et elle est réduite à un état de simpli<- 
cité qui la rend très-propre au calcul logarithmique. 

101. Ainsi en même temps qu'on calculera pour la Table dêâ 
fonctions F, la quantité (» qui donne /*9% et ensuite /(p, par la 
valeur ^(p = J^f * + /*^% on aura tous les élémens nécessaires pour: 

i3 



ô4 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL* 

caicttler /^E^*" : on formera donc par cette seule fortnule ^ la colonne 
entière des différences seconde^ de la fonction E. 

On yoit que la différence seconde eT^E^"* s*évanouit aux deux limite» 
de la Table , lorsque f 2s= o, et lorsque tp s=s go"* ; aon maximum 
répond à une amplitude toujours plus petite que 45^ 

D'un autre coté y la fonction Ea est fiicîle à déduire des mémes^ 
élémens qui servent à déterminer et de manière qu'on ait F<e=^FV 
et cette fonction Eoi est en même temps la valeur de cTEo , puisque 
£o = o^ et qu'ainsi la différence Ece — £o ou /E*=Ea, Puis donc 
qu^on connaît le premier terme de la colonne des différences pre- 
mières y et tous les termes de la colonne des différences secondes , 
on pourra immédiatement former la colonne entière des différences^ 
premières y et ensuite celle des fonctions E^^ dont le dernier terme 
devra être égal à la fonction complète £'. 

loa. La méthode que nous venons d'expliquer pour former la 
Table des fonctions E est d'une simplicité qui ne laisse rien à désirer.^ 
Et quand on considère aussi combien est Êicile la construction de 
la Table des fonctions F, puisqu'elle ne dépend que d'une seule 
formule trigonométrique rigoureusement exacte y on serait tenté de 
croire que cette manière de former des Tables des fonctions F et Ë ^ 
doit être adoptée de préférence à celle que nous avons exposée 
dans les chapitres précédens. Peut-être que l'exécution dévoilerait 
encore de nouveaux motifs de préférence ; c'est ce que nous laissons 
à décider à ceux qui voudront entreprendre le long et utile travail 
de la construction de ces Tables. 

Nous devons encore observer qu'il sera facile de vérifier aussj 
souvent qu'on voudra le calcul des fonctions E ; car ayant E^ — < E^ 
c= J^E(p% on tire des équations précédentes y 

J^E^ = Ea — c* sin et sin ^ sin ^f 

C'est l'expression d'un terme quelconque de la colonne des diffé- 
rences premières ; et on voit que ces différences diminuent conti- 
nuellement depuis la première égale à E» ^ jusqu a la dernière qui 
est à peu près Ea — ^ c' sin a ou b^cL. 

io5. Pour donner un exemple des Tables construites suivant 1» 
méthode précédente y soit le module c as siu 4^*. On trouvera pav 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. g5 
les formules de Tari. 67 , première Partie ^ la valeur de a qui satis- 
fait à l'équation F (a) ==x5ô El ^ et les quantités qui en dépendent^ 

comme il sait : 

a ==: 5i' 5a" 158076 

IsincL =3: 7.96708 78960 70 

tt = 5.o3i09 5i556 gS 

l(2cy^k) = 7.66606 25656 80 

Ea ris: 0.00927 034^6 OO 

D après ces données ^ on a calculé le commencement de la Table 
partictdière pour le module sin 45% comme on le voit ci-joint. 
La première colonne intitulée n , représente une valeur donnée de 

F = — j et les colonnes suivantes donnent les valeurs correspond* 

dantes'de l'amplitude ^ et de la fonction E. 11 est clair que pour 
toute valeur de F^ comprise dans les limites de cette portion de 
Table , c'est-a-dtre moindre que 7; E% on trouvera par interpolation 
les valeurs correspondantes de 9 et de E , et les résultats devront 
6^accorder avec ceux que donne la Table II. 

io4- Il est bon d'observer que par la dernière méthode que nous 
venoos d'exposer^ on n'évite pas entièrement les difficultés que 
présente l'interpolation dans certains cas où c est très^près de l'unité. 
On divise seulement la Table en un certain nombre de parties iné- 
gales , où l'interpolation peut se pratiquer avec k peu près le même 
degré de justesse -, mais dans ce cas , les premières divisions com- 
prennent un plus grand nombre de degrés de l'amplitude , ce qui 
exige qu'on ait recours , pour l'interpolation , à un plus grand nombre 
de différences; si on a, par exemple j^ le module c;::: sin 89*9 la valeur 
de * qui donne F<x = ï|^ F* sera «= 1 • 35' ^4" 05669 5842; cette 
valeur serait encore plus grande pour le module csszsux 8tf 7. Ainsi 
l'interpolation présenterait encore plus de difficultés dès le commen- 
cement de la Table; ioconvénient auquel ne sont pas sujettes les 
Tables construites d'après noire première méthode. 



f > 



96 



EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL, 



n 



o 
1 

3 

3 



l 

9 

10 



1 j 

15 

i4 
i5 



ib 

'7 
]8 

'9 

30 



«Ml 



^. 



o**oo' 
o.3i. 
1. 3. 
1.35. 

3. 7. 
3.39. 



00 000000 
53.138076 
44.193096 

36.o«5658 
37.730935 
19.047907 



3.11 . 
3.43. 
4.14. 

5. 18. 



9.954739 

0.369739 

5o.3i 1410 

39 -§98.499 

^7'- 849970 



5.5o. 
6.33. 
6.53. 
7.35. 
7.67. 16.369044 



16.485094 
3 . 323460 

■47 -9849^*1 
33.689935 



8.38.68.610455 

9. 0.39,674768 

9.33. 19.366047 

10. 3.67.606936 

10.35.34.333590 



^. 



'53" 138076 
.53.066919 
.61.891637 
•5 1.646303 
.61.316903 
. 5o . 906833 

.60.416000 
.49.841677 
.4q. 187083 

. 48. 45147^ 
.47.636134 



i^•<p. 



.46.738066 
.46.761611 
.44,704^64 
43.5691 19 

. 4a > 35441 1 



.4i .o6i3o3 
. 39 . 690389 
.38.3^1889 
.36.716654 



o" 083 167 
0.164383 

0.346344 
0.338311 

0.410160 

0.491833 



0.673335 

0.654394 
0.73561a 

0.816347 
0.896768 



0.976846 
1.066547 
i.i 35845 
1 .314708 
1.393108 



1.371014 
1.448400 
1 . 536335 



i^3(p. 



83135 
83063 
81967 
81809 
81683 
81491 



81371 
81018 
80735 
804a 1 
80077 



79703 

78863 
78400 
77906 



7; 
7' 



'386 
1835 



E. 



o . 00000 
0.00037 
o.oi853 
o . 03780 
o . 03707 
o . o4633 



00000 
03406 
96846 
75368 

2998 
6379 



1 
5 



^E. 



0.06559 

0.06484 
0.07409 
o . o8333 
0.09367 



36858 
71367 

5ii44 
67637 
1 3938 



0.10179 

o. 11101 

o. 13033 
0.13943 

0.13864 



68814 
43968 

37047 
00454 



9 
o 

3 

8 
8 



0.14778 
o. 16694 
o '. 1 6609 
0.17630 

0.18435 



66646 
88140 
87616 
47430 

60669 



7 

7 

7 

7 
o 



937 03406 o 

936 q444o 1 
936 7861a 4 
936 5463 I 1 
936 33808 4 

936 83o6o 9 



935 

924 

924 
933 

933 



35408 8 
79876 8 
16493 4 
45390 9 
663o6 1 



931 
930 
919 
910 

917 



79579 1 
85i64 3 

83079 6 

73407 o 

66191 9 



916 3i49^ o 

9*4 99376 o 
913 59904 o 

913 i3i48 3 



i^»E. 


J^E. 


7965 9 

16927 7 

3388 1 3 

3l833 7 

39747 5 
47662 1 

55533 
63383 4 
71303 5 

78984 8 
86737 


7961 8 
7953 6 

7941 4 
7934 8 

7904 6 
7879 9 


7861 4 
7819 I 
7783 3 
7743 a 

7697 9 


944^4 .<} 

1 03074 6 
1 09673 6 
L 17316 r 
1 24697 9 


7649 7 
7698 
7643 6 
7483 8 
7420 1 


1 33118 
1 39473 
i 46755 7 


7354 
7383 7 



83 

132 
166 
303 

247 
285 

5p3 
368 
401 

443 
482 

5i7., 
555 

597 

66] 
703 



^ 



Ç V. Formules pour trouver les valeurs très-approchées des 
Fonctions Fcp ^ E(p , lorsque P amplitude (p n'excède pas- 
une certaine limite. 



io5. Lorsque Tangle (p est peu conside'rable , on a à très-peu- 
près y v^(i — C* sin* 9) = cos c(p ; faisant donc A =:cos cp , on aura 

v^ ^, 1 • ^ . -n^ r d^ Il 1 -f-sin r^ 

E^ = /a® cos c^ = - sm c^ , et Y0 = / — ^ 3= — log : — ■- 

T j T ^ C ^ ' J Gos cÇ 3c ° 1 — sin r^ 

=: - log tang ( ^ TT +\c(p). Ces valeurs sont exactes dans les cas 

extrêmes , lorsque c = o et c= i ; elles seront d'autant plus ap*- 
prochées dans les autres cas, que l'angle^ sera plus petit. 

Pour savoir quel est le degré d'approximation de ces valeurs y ott 
développera en série la quantité A^ ce qui donne 

A = 1 — - c* sin" ^ — — ^ c^sin^ ® — ' .\ c* sin* ^ — etc. « 

3 ^ 3.4 ^ a. 4.6 ^ ^ 



CONSTRUCTION DES TAB LES ELLIPTIQUES. 97 
et en y substituant la valeur 

sin f = (p-^ + j-g-^ — j3-^^ + etc., 

on aura l'expression suivante, exacte aux quantités près de l'ordre c*^*, 

de là résulte f^d^ , ou 

Désignons cette valeur par E = - sin <^ -f- Q , nous aurons par le 
développement du premier terme , 

et par conséquent ^ 

on a donc la valeur f rès-approchëe , 

on trouverait par un calcul semblable , 

(b) F^=llogtang(i^4-i«<p)-|^-^'' + ^?>'(4~4'c0- 

Ajoutant ces deux formules ^ on en tire une troisième non moins 
remarquable y savoir ^ 

Eç + F^ = - sin c(p + - log lang (^ ^+ 7 <^P) — -^ <P'- 

106. La formule (a), réduite à son premier terme - sin c^, don- 

nera sept décimales exactes si Ton a p <i&' ; elle en donnerait dix 
ou pins si on avait ^ < i"" j. 

£n prenant les deux premiers termes^ la formule £^=:-sin cp 

-4- -5— (p^ donnera sept décimales exactes , si on a ^ < i6* 4> «^ 
dix décimales ou plus^ si l'on a 9 <C6'* ia^« 



^ EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 

L'approximation s'obtiendra à peu près anx mêmes degrés sur la 
valeur de F^^ selon qu'on la borne au premier ou aux deux premiers 
termes. 

Si on tient compte de toiM les termes de la formule (a), il 
n'y aura de négligé dans la valeur de £(p , qu'une partie dont 

le terme le plus grand est de Tordre -?-- 41% et ne pourra jamais 

excéder g-^ ç^. L'erreur due à ce terme ne sera pas d'une unité 

décimale du dixième ordre ^ si on a ^ < iS"", et elle ne sera pas 
d'une unité décimale du septième ordre , si on a ^ <C 52* 4^. Le 
même degré d'exactitude n'aura pas lieu dans la formule (&); et 
pour avoir sept décimales exactes , il ne faudra guère passer la 
limite ^ = 20*. 

107. Exemple L Soit c=: sin 45"" et ^ = lo"", la Table II donne 
les valeurs suivantes : 

£(p = 0.1740g i5655, 
F^ = 0.17497 65019; 

r • 

m ■ ^ 

il faut les^ comparer à celles que donnent nos formules ; et d'abord 
pour avoir la valeur de E ^ on calculera les deux premiers termes 
de la formule (a) comme il suit : 

c<p = 7*4' i5" 84412 ^ = ^ 9-24187 73 6 

sinc^.... 9.09025 95615 ^^.••;.. 6.20958 68 



1 _ ^ r . ^ b 



»C» 



o.i5o5i 49978 "^T"*"^ 2.07918.12 



c ^^/- 3o 



-sinc^... 9.24077 45595 (i) 4-i5^2o 56 

-sinc^. = 0.17409 02140 
(,) = 15496 

E^ = 0.17409 i5656 

On voit que les deux premiers termes donnent la valenr de E^ 
avec huit décimales exactes^ Terreur n'étant que de dix-neuf unités 
décimales du dixième ordre. U en sera de même pour la valeur deFp 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQtJES. ^ 

6oiil Toici le calcul : 

4$' + ï ^ = 48* 32' f 92206 , 
/tang(45*4-^c^) = o.oSSyS 43422. 

Ce log-tang. étant un logarithme vulgaire , il faudra le multiplier 
par M pour le changer en logarithme hyperbolique , comme Ixr 
formule le suppose. Ainsi en appelant h le nombre précédent , on 
aura les logarithmes suivans , pour déterminer le premier terme B* 
de la formule (b) , 

hm... 8r75a25 19567 

M... o. 56221 56887 B = 0.37497 76676 

-.•... o.i5o5i 4997S 5-iV^*..<r 1349& 

11 I »^— ^^i^^*^ Il I r I II» — — — É 

B.... 9.24298 26232 ^ F(p = 0.17497 65 180 

On voit que les sept premières décimales de la valeur de F^ sont 
exactes ^ et <{ue Terreur ne commence qu'à la huitième ^ où elle n'est 
pas de deux unités. 

108. Pour obteniruneplus grande approximation, il faut tenir compte 
du troisième terme contenant (p\ Or puisqu'on ac*= j , la correction 
qu'il i&ut appliquer à E^ , est égale à la correction précédente (i) 

multipliée par ^ ^ cte sorte qu'en appelant (a) cette seconde correc- 
tion qui est addilive, on aura (2) = (]).-g; de même la seconde 
correction de F^ sera — (i) » — ^r 

(1)..*. 4-i5o2o 56 0.17497 63i8o 

-^.... 8.07798 94 (:2)...— . 161 5 

(2)...* 2.20819 5o F^ = 0.17497 65oi8 5 

La correction (2) pour £9 sera onze fois moindre que celle de F^ ; 
elle est donc de quinze unités décimales du dixième ordre ^ ce qui 
donne la valeur corrigée de £(P y comme il suit i 

Ori74o9 i5636 
(2)... + i5 / 

£9 = 0.17409 i565i 



îoo EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 

On voit par conséquent que la valeur de F^ s'accorde exactement 
avec celle de la Table II j et que la valeur de E^ ne diffère de celle 
de la Table que de quatre unités décimales du dixième ordre; mais 
Tamplilude n'est que de lo*. 

. 109. Exemple II. Soit ^= sin 4^^ et ^ = ao% on trouve dans la 

Table II , 

Ep = 0.54557 5C2i5, 

F(p = 0.55261 98854; 

il faut comparer ces valeurs à celles que donneront nos formules. 
En voici le calcul : 

c(p = i4«8'5i"688a4 

sin c^.. . 9.58797 55865 ^ 9.54290 75655 

-... o.i5o5i 49978 (p^ 7.7145568165 

A... 9.55848 85845 -g^-*-'-^ 2.07918 12460 

A = 0.54555 224691 (i)... 5.65555 557 
(i)... 4- 4 518735 

E(p = 0.54557 545416 

Ainsi Terreur de la formule , en prenant les deux premiers termes 
seulement ^ n'est que de deux unités décimales du septième ordre. 
Voyons à quoi elle se réduira en ajoutant le troisième terme y ou 

la correclion (2) = (i). ~. 

(i).... 5.65555 557 0.54557 54541 6 

^ 7-65865 67 (a) = + 1879 4 

(2).... 5.27401 2 E(p = 0.54557 56221 

On voit que la valeur de E^ n'est en erreur que de huit unités 
décimales du dixième ordre. 

En calculant de même la valeur de F^ ^ on trouvera, 

par les deux premiers termes.. . . F^ = 0.55262 20o54 9 
et par les trois termes F^ = o.5526i 99581 ; 

l'erreur du dernier résultat est de cinq unités décimales du huitième 

ordre. 

110. 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. i oï 

1 îo. Exemple III. Soit c = sin 45^ et ^ = 3o% on trouvera , 

par les deux premiers )i:.^ -» / z5 ^ 

f j 1 r 1 rE^ == o.5i2o4 oi5oq, 

termes de la formule J ^ -r ;/» 

par la Table II . • • o . 5 1 204 952 a5 , 
Différence ... — 



F(p 



o. 53566 oi25a 
o.5S56a 27528 



— • 51716, 

par les trois termes) «7- £» / 9£* 

delaformule j^^ = ^^'^'^^^ 956i9, 

par la Table IL • . o.5i2o4 93225, 
Différence ... + 394 ^ 



+ 3 73924 



F(p = o. 5356a 48o35 
0.53562 27328 
20705 



Par ce dernier résultat , on voit que Terreur de la formule n*est que 
de quatre unités décimales du huitième ordre sur E(p ; mais elle est 
de deux unités du sixième sur F^. 

Ainsi à mesure que ^ augmente. Terreur croit dans une plus 
grande proportion sur la fonction F que sur la fonction E ; on ne 
peut guère aller que jusqu'à 20"* pour obtenir F avec sept décimales 
exactes, tandis qu'on peut aller jusqu'à 3o'' au moins, pour avoir E 
avec un pareil degré d'exactitude. 

Au reste le cas de c* = -^, tenant presque le milieu entre les cas 
extrêmes c = o, c=: 1 , oùles deux formules sont rigoureusement 
exactes , il y a lieu de croire que les erreurs de ces formules sont 
alors assez voisines de leur maximum , et que dans d*autres cas , les 
erreurs pourront être moindres ; c'est ce que les exemples suivans 
vont Êdre voir pour une valeur de c très-peu différente de Tunité. 

1 1 1. Exemple IF'. Soit c = sin 89* ; voici le résultat de nos for- 
mules , comparé à ceux de la Table de Tort. 93 , dans les trois 
hypothèses ^ = 10% ^=20% p = 3o% 

(p =z= io*c(p=:9^59'54"5i702645«4-i€?<p = 49*59'V2585i5 



1" terme. . . 
a™ 


0.175641^^467 4 
+ 164 


0. 1754a 55557 6 
— 16 4 


Par la Table. 


E = 


= 0.17564 84484 
0.17564 8448a 


F = o. 175^2 55541 
0.17543 55540 


Diff.....'. 




+ a 


i4 



loa EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 

Dans ce premier cas y Terreur n'est que de une ou de deux unités sur 
la dixième décimale , ce qui laisse incertain si Terreur est du côté de 
la formule ou du coté de la Table. Il n'y a pas lieu, comme on voit ^ 
d appliquer le troisième terme de la formule. 



^ = 20" 


c/p = 1 9^ 59' 49" o54o5 45* 4- 


ii^=54*59'54"5 17025 


1" terme. . . 


0.34202 22762 
4- 526 


0.35657 62023 
— 526 


5"* 


0.54202 23288 
+ 11 


0. 35657 61497 
— 56 


Par la Table. 


E= 0.34202 23299 
0.34202 233oo 


F = 


:o. 55637 61/1/11 
0. 35637 6 '479 


DifF. 


— I 




— 38 



On voit que la différence est insensible sur E^, et qu'elle est à peine 
de quatre unités décimales du neuvième ordre sur F^. 



(p = 3o' 



1" terme. . . 




rmt 



Par la Table 
Diff...... 



cp = 29* 59' 43'' 55 108 



o.5oooo 74886 

182 



E=o.5oooo 75068 
o.5oooo 75089 



— 21 



45-+ïC<p = 59«59'5i"77554 



0.54929.77237 4 
— 3994 4 



0.54929 73243 
-964 



F =0.54929 72279 
0.54929 72081 



+ 198 



On voit que dans ce troisième cas , Terreur dé la formule n'est que 
de deux unités décimales du neuvième ordre sur E , et de deux du 
huitième sur F ^ ce qui est une approximation très-satisfaisante. 

112. Exemple F^. Soit encore c= sin 6o' et ^=5o% et supposons 
qu'on demande la valeur approchée de F(p ; la formule est alors 



1 
c 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. i o5' 

Ea Toki le calcul : 

c(p = :i5*58'5o''7436, 45* + i^(p = 57* 59'25"57i8 , 
/ lang ( 45' + ^ c(p) = o. 20404 85486. 

Sait ce logaiiUiaie =; A ^ le premier terme P de la formule 

MA 

sera — 

c 

A 9*50975 55fOî 

M a, 50331 56887 

... 0.06246 93685 

P 9.75441 85671 

F' terme ... o . 54^5 2 55 1 53 

«"• -:^ 59649 

0.54227 75504 
III"* — 4 39432 

Donc valeur app. E^ = 0.54223 Z^&o^n 
Vakur exacte • r . 0.5422291)00 

Erreur de la formule ... -f- 549 

On voit que dans ce ca^. L'erreur est de cinq unîtes décimales du 
sixième ordre. 

ii3. 11 résulte de tous ces exemples que la formule (a) peut être 
employée avec sûreté pour donner la valeur de E^^ tant que ^ 
n'excédera pas So"*; car à cette limite , elle donnera encore sept 
décimales exactes. U n'en est pas tout à fait de même de la for- 
mule (b) ^ où il convient de ne pas prendre (p plus grand que 20% 
si on veut avoir au moins sept décimales exactes dans la valeur 
de F^. La formule devient cependant plus exacte et permet de 
porter (p jusqu'à 3o', lorsqu'on a c <sin 35^, ou c> siq 75". 

Avec ces restrictions, les formules (a) el {b) sont d'un usuge 
extrêmement commode , et peuvent remplacer avec avantage lef 
Tables elliptiques même les plus étendues , dans une partie consi* 
•dérable de ces Tables. En effet les calculs qu'^exigent ces formules, 
seront toujours plus simples que les interpolations d'une Table à 



xo4 . EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 

double entrée^ telle que celle dont nous avons indiqué la cons-. 
traction. 

» 

On suppléerait donc entièrement à la Table dont il s*agit, si on 
avait des moyens faciles de ramener tous les cas à ceux qui se 
résolvent par les formules (a) et (é). On trouvera dans le chapitre 
suivant y quelques recherches sur cet objet. 

114. Nous remarquerons que l'expression de F pourrait se dé- 

dE 
duire de celle de E ^ au moyen de la formule F = E — ^ 57 » 

d'où l'on tire , 

Mais on voit que cette expression est plus composée que la for- 
mule (b) ; ce n'est que dans le cas particulier où l'on a &* = 2c% 
qu'elle se simplifie beaucoup ^ puisqu'elle donne 

j^ fl sin cç ^' y 11 



c 



^ «^Oî^ '^^ — 85^ ^'^ 



Cependant elle pourra ê(re aussi* employée dans d'autres cas , puis- 
qu'en général elle est de la forme 

F = ^^î^^ — ^ cos c^ + A<p» -h B(p% 

dans laquelle A et B sont deux coefilciens donnés en fonction du 
module c. On éviterait , par cette formule , le calcul de log. (45"*+ î c^) 
qui devient quelquefois assez long. 

j VI. Méthodes diverses pour calculer les valeurs appro^ 
chées des fonctions E^ , F<p , lorsque F angle ç excède la 
limite supposée dans le § précédent. 

11 5» Si la valeur donnée de Tangle ^ est trop grande pour qu'on 
puisse déterminer les fonctions E et F avec une exactitude suffi- 
sante y par la méthode du § précédent y il faudra diminuer pro- 
gressivement l'angle (p par la méthode de bissection donnée^ art. ai> 
première Partie. 



n 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQtJES. î o5 

• Pour cet effet, soient ^', ^", ^'"^ elc. les amplitudes qui résultent 
des bissections continuelles de la fonction F^ , ensorte qu'on ait 

F(p' = iF(p, F^" = ^F(p', Fç"'=iF^",. etc., 
on aura en même temps ^ 

^Etp' — E^ = c*sin*ç' sin (p , 
3E<p"— E(p'= c*sinysin^', 
:iE(p'"— E(p"= c^siny'sintp", 
etc. , 

et Tamplitude ^' se déduira de ^ par les formules 

• - • • -./ sin î © 

c sm ^ = sm « , sm ^' =t — ~ j 

^ ' ^ COS j 4» ' 

on déduira semblablement ^" de ç\ ^'" de ^", etc. 

En formant ainsi la suite décroissante <(>\ <p'', ^"\ etc., on par- 
viendra bientôt à un terme <p''<C i5% et alors on déterminera aisé*^ 
ment, par les formules du § précédent, les valeurs des fonctions 
E^', Fç", approchées jusqu'à huit décimales ou plus , desquelles on 
déduira les valeurs de E^ et F^ , exprimées avec un degré peu 
différent d'approximation. Ces calculs ont l'avantage de ne point 
supposer connues les fonctions complètes ; ils peuvent même servir 
à déterminer ces fonctions , puisque si on part de l'amplitude ^ 

donnée par l'équation tang ^= -—^ , on auraF(p = 7F*, E^=yE* 

+ -j (i — i) ; d'où il suit qu'ayant déterminé F^ et E^, on con- 
naîtra les fonctions complètes F', E*. 

ii6. Une seconde méthode qui pourra dans certains cas être 
préférable à la méthode de bissection , consiste à calculer les am- 
plitudes (p., ^sy ^4^ etc. qui répondent aux fonctions multiples 
F^^=:jF(p, F(pj = 3F(p, F^4==4Fç>, etc. On les détermine par 

les formules 

tang I (p. = A tang<p, 

tang(|<P3+ï^) = A tang (P., 

etc. , 

dans lesquelles A est une quantité constante, telle qu'en faisant 
c sin ^ = sin {i^, on a ù =; cos û»« 



io6 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL; 

Au moyen de ces formules ^ on prolongera la suite 9 > ^^ , ^a , etc. 
jusqu'à nu terme 9»=^ ak.-iTrzh-^, q\xi approche d'un multiple 
pair de ^ «^ , de manière que la différence 4^ , positive ou négative , 
soit assez petite pour qu'on puisse calculer facilement^ par les 
formules du § précédent, les valeurs approchées des fonctions 
E4 y T'y]/. De là il faudra déduire les valeurs des fonctions propo- 
sées E(p yV^ y au moyen des équations 

F^. = 2F<p , 2E(p — . E(p^ =: c'sin*ÇsiQ(p,, 

F(P3 = 5F(p , E<p +E<p, — E<p3 = c'sin ^ sin (p.sin cp,, 

F(P4 = 4Fç y E<p, -f- E<p3 — E(P4 = c*sin (p. sin (p, sin ^4, 
etc. etc. 

117. Cette méthode j ainsi qo^ celle de bisseclion ^ sont fondées 
sur des fcurmules trigonomé triques très-simples ;, cependant elles 
peuvent devenir d'un usage dif&cile dans certains cas , surtout dans 
ceux où ^ et sin 9 sont à la fois peu différens de l'unité. En effet , 
les opérations nécessaires pour changer l'angle proposé ^ en un plus 
petit, auquel la méthode du § précédent soit applicable, peuvent, 
dans les cas dont il s'agit > être plus longues que celles qui servent 
à former la série des modules et celle des amplitudes , suivant la 
méthode générale des approximations , et alors celle-ci deviendrait 
préférable , tant par sa brièveté que par un degré d^exactitude 
indéfini. 

C'est dans les différens cas particuKers qu'on pourra se décider 
sur le choix à £alre entre ces méthodes j suivant Le degré d'approxi- 
matiop qu'on veut obtenir ; nous observerons seulement que l'on 
peut toujours supposer l'angle proposé ^ plus petit que l'angle qui 

a pour tangente -pr- Car soient ^ et 4^ deux angles tels qu'on ait 

tang ^ tang •>[/=: t , Tun de ces angles aura sa tangente <^ v/x*' 

D'ailleurs comme on a 

F(p + F4 = F', 

Etp + E4 = E* -+- c* sin ^ sin 4 > 

il est visible quau moyen des deux fonction» qui se rapportent au 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 107 

plus petit des deux angles ^ et -s}/ ^ on déterminera sans difficulté 
les fonctions qui se rapportent au plus grand. 

118. Exemple /. Soit c = sin 45% ^ = 60% le calcul par la mé- 
thode de bissection se fera comme il suit : 

sin û» =: c sin ^ = ^/(o.SyS'). 

un m.... 9.78701 56539 ^ = 37'' 45' 4<>" 47807 

cos-^û»*..* 9*97598 o583i T^ = 18 • 5:2 «So. 35903 5 

sin 7 ç ... . 9.69897 00045 

sinip' 9-72298 94213 ^' = 3x^55' 58" 553aa 

^(p' = 15.56.59.37661 
sin^'.... 9.73398 94213 
c. .. . 9.84948 5oo3a 

sino)'.... 9.57347 44254 oè = 31^*56' 39^04340 

^c»^ = 10.58. i4-53i30 
sin ^ 9' ... . 9 . 43900 88575 
cos^cù'...* 9.9919896871 

sîn^". ... 9.44701 91704 9" = i6'i5' i7''5o46a 

L'angle <f>" étant suffisamment petit , il est inutile de pousser plus 
loin les calculs de la bissection y et en appliquant à l'angle ç>' la 
méthode du § précédent , on trouvera les résultats suivans : 

c^"= I !• 39' 38" 13433 , 45^ + ï c<p'' = 5o* 44' 49" 06316. 

A = 0.38180 18598 B = o. 38563 50731 

1) + 1 53i53 i) — I 53x53 

a) + 440 3) — 4845 

E^" = 0.38181 73190 F(p" 5= o.3856o 73736 

Par la valeur de F^'^ on a immédiatement celle de F(p=:4F^"^ 
savoir , 

F^ = 1. 14343 90904 
Suivant la Table. .. F^ =: 1.14342 90578 



Diff. . . 4- 336 

Ainsi Terreur est d'environ trois unités décimales du huitième ordre* 



io8 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 

Quant à la valeur de £^^ pu la calculera comme il suit par les 
formules du n"" 1 1 5 , 

sîny . . . 8.89405 83408 c»sin*^'. . . 9. 14494 88468 

sin ^\ • • 9.72298 94212 sin^... 9-93753 oôSiy 

c\.. 9.69897 00045 «... 9.08247 94785 

fit'... 8.5i599 77665 

a = o«i209T 48046 

^ a' = 0.02070 15070 aE^' = i.o8586 62620 

aW = o. 56365 44S80 £<? = 0.96495 14574 

£^' = 0.54393 3i3io Parla Tab.,E^ = 0.96495 14560 

Diff. ■4-"i4 

Ainsi Terreur sur E^ n'est que de quatorze unités décimales du 
dixième ordre. 

On aurait pu se borner à huit décimales dans tous ces calculs , et 
les résultats n'en auraient pas été moins exacts. 

119. Exemple II. Soit encore c^z=: f, et l'angle ^ tel qu'on ait 
lang ^ = v/6; cet angle pourrait être remplacé par celui de 5o% 
parce qu'on a Fcp + F (3o*) = F' ; mais nous n'aurons point égard 
à cette propriété des fonctions complémentaires , laquelle ne nous 
servira que pour vérifier les résultats, et nous appliquerons direc- 
tement au cas proposé la méthode qui précède, par la mulliplicar 
tion des fonctions. 

On aura d'abord A = j/(i — c*sin*(p) = v/^, ce qui donnera 
les résultats suivans : 

A. • . . 9.87848 09756 57 
tang(p.... 0.38907 5625i 92 ^= 67*47' 52"44458 

tang-i; (p.. ... 0.26755 66008 49 i<P^ = 61.57.4^-57628 

^^ = I25.i5.25.i5256 

Déterminant ensuite ^3 par l'équation tang(7^j+^^) = A lang^.i 
on trouvera 

<P3 = 194* 5' 55" 86248. 

Les calculs préliminaires se terminent ici à ^3 , parce que ^3 excède 
i8q** d'un angle plus petit que .i5'. Soit cet angle =4> on aura 



[ 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. Ï09 
j == 180** 4- 4 > et 

4 = i4* 5' 53'^ 85248. 

• On calculera donc les fonctions E4 9 E^ ? par la méthode du § pré- 
cédent y ce qui donnera 

E4 == 0.34475 ^0Q&^ y F4 = 0.24720 64817 î 

« 

ensuiJLe Eç et F(p se déduiront des équations 

F(p ==i(2F + F4), 

E^ = j (2E' 4- E4 ) 4- î ^ sin(p sin ^^ (sin (p + sin (ps) , 

dans lesquelles on mettra les valeurs de F' et E' tirées de la Table I ; 
on aura ainsi pour résultat y 

Eç = 1.07004 95812, F^ =s 1.S1845 19452, 

Ces valeurs se vérifient au moyen des équations 

F(p 4- F (5o^) = F', 

E(p 4- E (So**) = E' 4- c^sin (p sin 3o* = E' 4- { t/f , 

dans lesquelles substituant les valeurs données par la Table j oa 
trouva 

E^ == 1.07004 95798, F^ = 1.51845 1944^- 

Ainsi l'erreur des résultats précédens n'est que de onze unités dé- 
cimales du dixième ordre sur la fonction F, et de quatorze des mêmes 
unités sur la fonction E. 

On peut remarquer que la méthode par bissection doit donner 
en général des résultats moins exacts que la méthode par multipli- 
cation. La raison en est que les fonctions E^ , F^ se déduisent des 
fonctions auxiliaires par multiplication dans le premier cas , et par 
division dans le second. 11 semble d*ailleurs que les calculs sont 
plus simples par la méthode de multiplication y parce que la quan- 
tité A est constante dans toutes les formules qui servent à déter- 
miner p^y ^3, etc. 

1 20. Exemple III. Soit c = sin 60* et tang ^ = v^2 ; cette valeur 
de ç est telle qu'on a F^ = j F* : ainsi on pourra vérifier immé- 
diatement par la Table I , les résultats suivans que donne la méthode 

de bissection. 

i5 



JIO 

sin ^. 
c. 

$ia â>. 

COS j (û • 

sin ^'« 
sin ùJ • 

sin ^". 



EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 



9.91 195 43705 
9.95755 06517 

9.84943 5oo2a 

9.66247 55oo5 
9.96561 534% 

9.69685 99546 
9.93755 o65i7 

9.65439 o5863 

9.4107a 39499 
9.98915 51266 

9.42158 88275 



<p = 54-44' 8"i97i46 

■j ^ = 37 ,22 ,4 -098575 

£^==45" , sin ^ ^= v/(sin i5*. /|), 



<p' = 29^5o' 25" 27549 
i(p' = 14.55.11.65775 

ùJ =; 25* 3 1^52" 07988 

ï û)' = 12 .4^ «4^ «^^994 



(p"= i5M8'25''i85i5 



D'après celte valeur de (p'\ on calculera les fonctions E^", F<p" par 
la méthode du § précédent , et on aura les résultats suivaos. 

c(p" = 1 5*1 5' 2 2^49020, 45^4.ic^" = 5r57'4i"245io. 



A = 0.26478 03649 6 

i) + 85o58 5 

2) + 614 5 

E(p" = 



0.26478 89522 2 



B = 0.26957 35608 6 
1) — 85o58 5 
a) — 3866 6 

F(p" = 



= 0.26956 44685 7 

F<p = 4F(p" =z= 1.07825 78755 
Par la Table. . . i .07825 78257 

DiflF... 4- 498 



Calculant ensuite E^ comme dans Tart. 120^ on trouvera 

E(p = o. 85552 80106; 

Ce résultat se vérifie par l'équation E(p= 7 E' + ï (ï — *) = ï E'+ ^ ; 
et comme on a E' = i.2iio5 60275 6845, il en résulte 

E(p = o. 85552 80157 84225; 

d'où Ton voit que Terreur sur F est de cinq unités décimales da 
huitième ordre, mais que Terreur sur E n'est que de trois unités^ 
décimales du neuvième ordre. 
Ces erreurs paraissent plus grandes pour le module sin 60'' qu«^ 



CONS'TRUCtlON DES TABLES ELLIPTIQUES. i n 
pour le module sin 4^''; niais il y a à cet égard un maximum y passé 
iequel les erreurs diminuent à mesure que le module augmente. 
C'est ce qu'on verra par l'exemple suivant. 

» 

131. Exemple ly. Soit c =: sin 89", ^ssyS"* on trouve par 
les méthodes directes^ 

E^ = 0.96608 74^10 14, 
F(p = 3.02664 73981 80. 

En appliquant au même cas la méthode de bissection y on aura les 
résultats suivans : 

sin (p'... 9.88488 58911 (p" = 37«5i'45"67900 

sin(p''... ^.66963 81849 ^' = 37.51.28.40226 

E(p" = 0.46735 16166 5 F^" = o.5o666 18602 5 

E^' = 0.76719 75904 5 F(p' = 1.0x332 37205 

E^ = 0.96608 74478 F^ = 3.02664 744'^ 
Val. exacte... 5io 3982 

Erreur. •• — 32 + 4^8 

L'erreur est donc de'quatre unités décimales du huitième ordre sur F^ 
et de trois unités du neuvième ordre sur £. 

122» Nous joindrons ici le calcul du même exemple par lesfor-^ 
mules générales données dans la première Partie^ art. 76. Nous pren- 
drons de la occasion de simplifier ces formules de manière à en 
rendre l'usage beaucoup plus facile. 

D'après le module donné cz=sin 89% on formera d'abord l'échelle 
des modules y et on en déduira la valeur de K^ comme il suit : 

c... 9*99993 38498 0922 i.... 8.24185 53184 2289 

^•••- 9-99999 99987 4o53 V.... 5.88171 67951 8966 

— . ... o.oooo6 61489 3i3i A". .. 1.16137 35965 io85 

K...« 0.00005 50744 6565 

il faudra ensuite calculer p' par l'équation sin (2^ — ^') = <; sin ^ ^ 

ce qui donnera 

<p' = 74^59' i"44o6i5. 



1 12 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 

Enfin on calculera ^'' par Téquation sîn (2^' — ^") = c'sîn^', on 
plus simplement par Téquation tang ( ^' — ^") = V' lang ^"^ qui se 
réduit à ^' — ç" = V tang (p"j on en déduira 

(p' — (p" = o" 001 II 49 

<p" =' 74« 59' 1" 45950 

Cela posé j la valeur de F^ se calculera par les formule» 
h = log tang ( 45* + 7 ?" ) , F = KMA , et on trouvera par le» 
Tables à dix décimales seulement y 

F<p = 2.02264 75980. 

125. Quant à la valeur de E?, elle doit élre déduite de la formule 
générale de lart. 76^ qu'on peut mettre sous cette forme: 

E(p = c» sin (p + LT<p + 2c sin ?' (*'+ 2 sin' ÎIZl\ 

+ 4c «sîn (p" (W+ 2 sin* ~^) 
+ ^?sin?-(4-+^sin-2:i^ 

+ etc. 

Dans l'exemple dont il s'agît , on pourra faire L = ^ i* \/^ , et oa 
trouvera les valeurs suivantes des cinq premiers termes auxquels* 
se réduit cette formule, 

!•. c^s\iï<p o. 96565 16165 5 

ol\ VY(p o.ooo5o 86564 6 

5*. 2cb' sin (p' • i4 70927 8 

4** 4^ sin (p' sin* ^~^ . . . • 778 4 

S\ 4c*ô"sin^^ 56 o 

Somme ... . Eç = 0.96608 745io i 

On voit que pour avoir la valeur de E^ exacte jusqu'à la dixième 
décimale , il a fallu calculer cinq termes de la formule; mais cette 
formule peut être simplifiée , sans cesser de donner un pareil degré 
d'exactitude, pourvu que le cube de V tangf)' soit négligeable^ 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. ï i S 

et qu'ainsi on puisse prendre lare ^ —»- ^' pour son sinus et pour sa 
tangente. 

1 24. Soit d'abord E0 = LT(p + (i — ^ A* ) sîn ^ +A , on pourra , 

dans la formule générale, rejeter les termes de l'ordre sin* 

ou h'^y et faire en conséquence c"s= i , K=: \/— > ce qui donnera 

A = — i *■ èîn <p + 2cV sîn <p' + 4^ sin ^ sin* ?^^^ -+- 4*" y^c sin ^". 

Puisqu'on a c^b = !i^(b'c) ou :icV -=. \ h^c'^'y la première partie de 
celte valeur que j'appelle P'^ se réduit ainsi y 

P' = 2cA' sin (p' — i i*sin (p = r 4' (c'* sin (p'— sin (p). 

Soit ^ = (p' + û> , on aura sin ^ = ( i •— 7 â>* ) sin ^' -f- « cos (ffy 
ce qui donne 

P'=: — 7**(^ cos (p' — iû>»sin^')j 

Mais on a l'équation tang a» = ^ tang ^\ qui , en vertu de notrer 
h)^po(hèse ^ se réduit à o) s=: i' tang cp' ; donc 

Y— — \h^{V sin (p' — 1 4'* sin <p' tang*(p' ). 

Venons à l'autre partie P'' de la valeur de A ; on pourra y substituer 
\ a* pour sin* ^ û> , et V* sin ^' pour W sin ^", ce qui donnera 

P" r= €?a»* sin q/ + 4*" |/c sin (p' : 
Or 44" \/c = ai" W = ^ c'AiV*'; donc 
F + P" = liysîn(p'(cV*'— *) + *'Mang*(p'sin<p^(c+i i*). 

Mais on a h — c'[/b' = (j~ — c') v/*'=(i+^— ^0 v/*'=^»/*'j 

car la partie (i — c') y^b'y multipliée par ^ bb'y est au-dessous de 
l'ordre b'\ et par conséquent négligeable; on pourra donc faire 
i ii'sin(p'(i— cV*') =i cbb'\/b'sm (p', ou simplement ^ 4* V*'sîn <p'; 
car la dliTérence (i — c)bb'\/b^ appartient encore à l'ordre i'', 
et peut être négligée ; par la même raison y on pourra faire 
i'* (c -(- i 4*) = i'* ; donc enfin on aura 

A = — i *4' /&' sin 9' -f. i'» tang» <p' sin ^', 



, ,4 EXERCICES DE CALCUL INTÉGÏlAL. 

cequî clonnerâ E<p = î b^[/K.sm (p -f- B , en faisant 

B = ( 1 — 7 4* ) sin (p — î 4i V *' 8"» ^' + *'* lang'(p'sin p\ 
Pour simplifiei* de liouVeau cette expression^ j*observe qn'oû a 

b = ^^ , ce qui donne 

1 + 6 ^ 

(, — i. *0 sm (P = (TTjTgTy. + (Tqiryy.- 

Dans le second lêrme^ je substitue la valeur 6in(p==(î+*')cosô^sin(p', 
^t j'ai J^^cos asin(p'; mais coà a==i — ^ û>% et la partie fa^ô'^sinip' 

* 1 +0 

est inférieure aux quantités négligeables; donc ce second terme se 
réduit à ^^^^ ou ^bbyb'sin(p\ de sorte qu'il est détruit par le 

terme \ bbWb^sin ^' de la valeur de B; d un autre côté, le terme 

restant '"^,., peut s'exprimer par ^ sia ? ou ^ sia (p; do:nc enfin 

on aura 

E(p = î ^VK-F^ -h 4- «in <p + J'» taug*^' sin ^'. 

C'est le dernier degré de simplicité auquel on peut réduire la for- 
mule générale dans la supposition que b'^ et (é'tang^')' «ojent 
négligeables. Cette nouvelle formule n'eiiige d'autres données im- 
médiates que les modules A' et c', qu'il faut déduire des modules 
primitifs i et c , et Tamplitude (p' qu'il faut déduire de (p par l'équa- 
tion sia (a(p— '?') = c sin (p. 

laS, Celle formule ne serait plus applicable si 0' était trop près 
de QO*^ j mais nous avons déjà fait voir qu'on peut toujours supposer 

tang (p < i/t ; ainsi on aura à plus forte raison tang <p' < y/j , 

et ( b' tang(p')^ < i b'^\/b. La même formule suppose qu'on néglige 
les termes de l'ordre b'' ; ainsi dans le cas où on voudra l'appliquer 
à dès valeurs de (p plus petites que 45% la formule sera exacte^ 
même jusqu'à l'ordre de décimales qui convient à i'^j mais si on 
a^ > 45% le degré d'exactitude sera déterminé par l'ordre de dé- 
cimales qJi convient à (4' lang(p')S- c'est-à-dire que si le pi'emier 
chiffre significatif de la valeur de ( *' tang (p' )» est placé M douzième 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 1 1 5 

rang de décimales y on pourra compter sur à peu près onze décimales 
exactes dans la valeur de E^ y pourvu que les termes qui composent 
cette valeur soient calculés avec ce degré de précision» 

ia6. Si on applique la formule qu'on vient de trouver à Texemple 
précédent^ on trouvera les valeurs des différens termes comme 
il suit : 



1% -7-?sin <p 0.96677 87167 06 

n\ ib^\/K.¥p 3o 86564 6a 

3*. *'* tang* p' sin (p' . . . . 778 49 

Eç = 0.96608 74510 17 

Ainsi on a une valeur de E^ qui s'accorde parfaitement avec la valeur 
déterminée par les méthodes les plus exactes. 

On remarquera que dans cet exemple , {b' tang C'y est d'environ 
deux unités décimales du onzième ordre ^ et cependant la valeur 
de E^ n'est en erreur que dans le douzième ordre ^ ce qui fait 
voir que les quantités négligées ont très -peu d'influence sur le 
résultat. 

127. Pour juger encore mieux du degré d'exactitude de notre for-^ 
mule , nous l'appliquerons au cas le moins favonible y qui est celui où 

1» . ^ 1 Tk • ^ 1 C03 45** 

1 on a tanfir^ c=-— r. Dans ce cas on aura sm ^ = -7- — r-7T = r^. 

et il faudra calculer (p' par l'équation sin(24>' — (p) =z c sia p; 
mais comme le terme qui contient (p' dans la formule est très-petit^ 
il ne sera pas nécessaire de calculer p' avec une grande précision. 
Voici ce calcul: 

cos 45* .... 9-84948 5oo 3(p' — tp = 8a* a4' 3o''97 

cos44*i.... 3.853a4 2o5 ^= 8a. 38.27. 74 



sinf.... 9.99624 295 2^ = i64.5a.58.7i 

^•••» 9-99995 385 (p' = 8a. 36.39. 355 

sin(2^' — ^).... 9*99617 680 

Connaissant ainsi tous les élémens de la formule ^ on calculera les 
trois termes de Eç comme il suit : 



\ 



1 16 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL, 

sîa (p. , . 9.996*34 529483 5i ^ b*^K. . . 6.18269 71783 

4-... 9-99993 38523 28 F<p... o.434i6 234^5 



1)... 9.99617 68006 79 2)... 6.6i685 96268 

4ang»(p'.., 1.75431 33 1)... 0.99123 155933 i5 

*'«... 1.76343 36 2)+ 4i 38657 87 

sin(p'... 9.99620 99 3) 4- 5265 55 

3). . . 3.51395 68 E^ = 0.99164 95856 67 

Pour vérifier celle valeur de E^ , j'observe que dans le cas sup- 
pose' , on a F(p =zi: ^ F', E(p = j E' + j ( i — 4) j et en subsliluant 
les valeurs connues ^ 

b = sin 1* = 0.01745 a4o64 4 

i(i —b) = 0.49137 57967 8 

^ E' = ©•5oo57 57888 5 

E<p =^ 0.99164 95856 5 

Ainsi le résulls^t donné par la formule ^ même pour la plus grande 
valeur de <p^ est exact jusque dans la dixième décimale. 

1 28. Il y a une autre manière de trouver les valeurs approchées 
des fonctions £^, Fcp lorsque b est très-petit , ou seulement lorsque 
b tang 9 est plus petit que Tunité. Il faut alors mettre A sot^s la 

forme (cos*^ + i* sin*^)», et en développant celle expression^ 
on aura 

fAd(p=:fd^cos<pfi +ii*tang*(p — ^^^lang<^-|-^-^^i^tang*(f — ^elc). 

Soient P'^ P", P'", etc. les intégrales suivantes , prises à compter 
de ^ = o, 

P's==/î/(pcos<ptang»<p, P"==/yipcos(plang*(p, P'"?=/a(pcos<plang^(p, etc., 

et on aura 

E(p = sin f + i b-F' — i^ **P" + ^ b^"'— etc. 
^ ^ • fl 12.4 fl.4.0 

Pe même on aura F — E = jG — àjd^^=zc^J'^'^~rj pu en 

substituant 



CONSTRUCTION DES TABI.ES ELLIPTIQUES. 117 
substitaant la valear déyeloppée de t > el inlégrant , 

F — E = c* Cp' — i i» P" + i:^ b*T"' — i44 *•?" — etc.\ 
Oa peut mettre ces deux résultats sous la forme suivante : 
F<p= E^ + c* (p'-li«P" + ii?ô«P'"-i^4«P-+elc.). 

et Ton remarquera que les deux séries comprises dans ces for^ 
mules , peuvent se former simultanément , puisque la seconde est 
composée des termes de la première^ divisés successivement par 
ly a^3>49 ^^^* Tout se réduit donc à trouver les valeurs des 
intégrales P', P", P''', etc. On a pour cet effet les formules suivantes : 

P' 5= * — sin ^ , 

aP" = sîn (p tang*^ — 5P', 

4P''' = sin (p tang^(p — 5P", 

6P'' = sin <p tang^(p — 7P'", 
etc. 

129. L'emploi de ces formules serait assez facile , si pour les 
diverses valeurs de ^ on connaissait les quantités P'^ P", P'''^ etc. ^ 
ce qui pourrait se faire au moyen d'une Table dressée pour cet 
objet. Il sera toujours utile de calculer ces quantités pour quelques 
valeurs déterminées de ^^ afin de. pouvoir y par leur moyen ^ con- 
naître les valeurs correspondantes des fonctions E^^ F^. 

Soit par exemple , <p = 45% on trouvera les valeurs suivantes des 
quantités P', P'', P'", etc. 

*=/tang67*i = o.SSiSy 56870 19 

sin f = sin 45'' = 0.70710 67811 86 

P' = 0.17436 68o58 33 P''= o»o46oo 17089 i5 
P"= 0.09215 5i8i6 43 P" = 0.03663 64261 19 
P'"= o.o6i58 62182 42 P" = o.o3o4i o6io4 88 

i5o. Pour avoir en général l'expression de P"^ je fais tang^=:a:^ 

16 



ai8 EXERCICES DE CALCUL INTEGIULL. 

3 

j'ai P" z=:fjc^\dx (i4-ar*)"*, et riotégration par parties 
pour résultat^ 

CcUe suite sera toujours convergente^ et d'autant plus , toutes choses 
d ailleurs égales , que n sera plus grand; il faut excepter seulement 
le cas où X est infini. 

Si Ton fart^ comme dans l'exemple précédent, a: = i , on aura 

^„ sT^ r , 5 1 , 5.5 1^^ 3.5.7 1 ^ 

~SHMU'^5;ï+S'H'^an4^.an+5'4^a^^ 

c'est l'expression générale des fonctions P" lorsque ^ = 4^*; d'où Ton 

voit que lorsque Je sera très-grand^ on aura à peu près P'-s= /( ^ \ » 

ou plus exactement P=: ^ , (1 + 7- j = ,^ . Ainsi les valeurs 

* 271 + 1 \ • 4/1/ 4^* "~ ^ 

de P" fîoissent par décroître suivant une progression qui s'approche 
de plus en plus de la progression harmonique indiquée par le dé-* 
nominateur ^n — i. 

Il n'est pas étonnant au reste que la formule d'approximation ne 
puisse pas s'appliquer lorsque ^ est trop près de go"" ; car cette 
formule est fondée sur un développement qui suppose toujours 

b tang(p < I ; ainsi dès qu'ona tang ^> r , les formules qui expriment 

les valeurs des fonctions E et F, cessent d'être exactes. 

§ VII. Formules pour développer en séries les fonctions E eiF. 

i5i. On a déjà vu dans la première Partie, art 120 et suivans, 
que lorsque le module c n'est pas trop près de l'unité, on peut 
développer la fonction F en une série de la forme 

F = Aç — A' sîn 2(p + A" sîn 4<P — A'"sin 6(p -f- etc. , 

dans laquelle les coeiliciens A, A', A'', etc. sont des fonctions con- 
nues de la quantité c. 
Pour calculer ces coefEciens ^ nous nous servirons des formule» 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. i tg, 
de Fart. iS^ , cinquième Partie^ en y faisant o = î* Soit donc 

a ss c^ ;=s ' ■ ~ - . y et réciproquement c zsi "jf ^ ^ on. aura 

A» •••^ i+û* + aû cos s^ 
A» = I - c«8in«(p = (■f^)-r-^ ' 






2aCDS 3^)* 

donc si Ton (ait ^ survant Tart. cité , 

(I-f-a•+2^ICOS^3^)''»=::P, aP, COS 2Çk-f-2P,C0« 4^ 2P5COS6(p+elC.^ 

on en déduira 

F=(i + û)(Po— P,sin2(p + iP.sîn4(p — ^P,8În6<p+elc.); 

c'estra-dire que les coefficiens A. se* déduiront des coefficiens P j^ 
soifant cette loi trèsrsiinple , 

A =:(l+a^lP,, 

A' = (i+û)P., 
A"=(i + i.)iP., 

A'''=(i + «)iPs, 
etc. 

1S2. Connaissant les coefBciens qui servent au développement de 
la fonction F, il sera facile d'avoir ceux qui donnent le développe- 
ment de la fonction E. En effet soit 

E = Rp + B^ sîn 2(p — B" sln 4^ + B'" sin 6<p — etc. ; 

si on différentie chaque membre par rapport à ^^ et qu'on divise 
par d^ y on aura 

^/(i — £^sin*<p^)=B + aB'coS2)»^ — 4B"cos4?^+6B'"cos6^— elc; 
difierentiant de nouveau ^ il vient 

^i!-^^^^f) = ^'P' "° ^^ - 4'B"«a 4<P 4- 6' W"da6(p - etc. 
Le premier membre a aussi pour expression ^ 
^ c*sin 2^ (A— a A' cob î^ -^ 4 A'' coft 4(p — 6A'^' cos Qp -^ etc. ) , 



B' = î-( A -aA") = îKf (p._p.). 



lao EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL, 

ou en faisant le développement, 

, ,, 1 A sin 3ip — A' sin 4<p + 2 A" sin 6<p — 5 A'" 6in8(jl+elc.l 

'"^ t— aA" 4-3A'" — 4A'» +5A' J 

Donc en comparant ces deux expressions, on aura 

~ 4 
2*B" = ^ ( A' — 3A"0 = i^ (P. — P5), 

5-B'"= I (2A"-4A-) = î^ (P.-P4), 

4»B-= I (3A'"— 5A^) = i^ (P3 — P5), 
etc. 

A regard du premier terme B, il se déduit immédiatement de la 
valeur connue de E', puisqu'on a E' =B.ï tt. On peut aussi trouver B- 
par la formule B = A— (i— -A) (Po+P»)- 

i33. Tout se réduit, comme on voit, à déterminer les coefficiens 
Po, P, , P,, etc.^ et nous avons donné pour cet objet toutes les for- 
mules nécessaires dans le § XII de la cinquième Partie. Nous remar* 
querons seulement que si on fait 

ensorte qu*on ait /),=:-, ^, = -^ , p^ = ' ' , etc., les coefficiens* 
P, , Pg , Pj , etc. pourront s'exprimer de la manière suivante r 

Pi = Pxa 4- p.p^a^ + p^p^a^ + p^p^fî' + etc., 

P. = P^à^ + PxPzf^^ + P^PiP^^ + ;^3;?5û*.+ etc., 
P3 =s p^^ + p.ptfl' 4- p^p^a^ + pip^^ + etc., 
P^ = p^a*^ 4- p,p^a^ 4- p^^a^ 4- p^p^a^''^ etc., 
P5 = p^a^ 4- p,p^a? + /?.;?,«» + pzp%a''+ etc., 
etc. 

De là résulte un mode de formation qui peut être commode dans 
la pratique. Supposons 

P. = (i)a + (2) a» 4. (3) 0^4- (4) a' 4- etc.^ 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. lai 

ou P, =^f(p) a"-', on tirera de là P. = a f{n) a**-' ^i — ^^Vj) , ou 

P.= (,)a»(i-i) + (2)a*(i-i)4-(3)a«(i-i)+elc.; 

ensorte que les difierens termes qui composent P^ se déduisent des 
termes qui composent P, ^ en multipliant ceux-ci par a y puis dimi- 
nuant le premier terme d'un quarts le second d'un sixième^ le troi- 
sième d'un huitième y etc. 

Si on représente pareillement P. par f{n) fl*%le coefficient {n) n'étant 

plus le même que dans P, , on en déduira P, =^f(n) a*""*"' ^i *— ^ ' A 
En général si on fait 

* Pj = (i) û» + (2) «»+• + (5) fl*-^* + etc. , 

« 

on aura lé coefficient suivant y 

P^.= (0 a- (. ~ 3^)+ (.) a»« (z - ^:i3^(3)a-^x-g:i3j)+etc. ^ 

cette propriété s'accorde ayec l'équation (35), page 5oi^ en y fai* 
sant 71 = l*. 

154. Soit, par exemple^ a= sinSo^^s:!, si l'on veut que tous 
les coefficiens P soient exacts jusqu'à la septième décimale au 
moins , il faudra admettre jusqu'au terme P^o ; car on trouve 
P.^ = o. 00000 01409; dans le même cas on aurait A^'*^= ^ P.^ 
= o. 00000 00106. Ainsi pour la formation des coefficiens A , il suffi- 
rait de continuer la suite des coefficiens P jusqu'au terme P.,. 

Nous avons donné ci-dessus , page :29i , les valeurs des coefficiens P 
calculés jusqu'à treize décimales^ pour le même cas de a =7 ; on en 

pourra donc déduire les valeurs des coefficiens A pour le module 

î>|/a •! 

c = -=5— , comme il suit : 

A = 1.60977 30107 24i A'* = 0.00100 SgSii 174 

A' = 0.41689 96484 45i A^" = o.ooo4o 08766 486 

A" = 0.07913 08719 169 A'"'= 0.00016 46010 6o3 

A'"= o.oaâii 45662 001 A" = 0.00006 9i5aa 954 

A'^= 0.00728 38128 5i5 A" = 0.00002 95838 778 

A' = 0.00262 88697 3ia A" = o.ooooi 28437 o3a 



î^î ÉXEUCTCES DE CALCUL INTÉ&RAL. 

On voit qu'il faudrait environ ciuq. te^rmes de plns^^. pour que le 
dernier coefficient A ne fut pas d une unité décimale du septième 
ordre. 

On trouvera é^lewfeut par nm formules le^ valeurs suivante» 
de» coefficiens B. 

B =0.70903 96066 489 B^' = o.ooooS 19080 043 

B' =i o,i&i3S i25i8 7/67. B^''= 0.00001 07001 774 

B" = 0. 00973 7665^ 755 B^'*= 0.00000 57912 590 

B'"==: 0.001 69 39075 139 B-" =t= 0.0000D i4oo5 071 

B*''= o.ooo56 94399 3o3 B* = o.oo^doo o53^ 43i 
B^ = 0.0001a 2665 1 764 

Le terme suivant B'' ne serait plus que de deni0 unil'é»^ décimales du% 
septième ordre ; ainsi peu s'en faut qu'on n'ait atteint pour le déve- 
loppement de U fonction E j la Hûiite assignée. 

ïS5. Oif voit qu'il ne convient guère de passer la limite tf=îr 7, 
pour que le développement des fonctions E etF^ dans là forme 
•opposée 9 donne des résultais exaclà jusque dans la septième déci- 
male >. et qu'il ne contienne pas un trop grand, nombre de termes; 
car puisqiu'on aurait ^ dans ce cas^ dix-sept termes^ dans la valeur 
de F , et douze dans celle de E ^ on voit qu'il n'est g^ière possible 
de passer un pareil nombre de termes, sans tomber dans des calculs 
prolixe»^ et dont l'exactitude ne répondrait pas au travail qu'ils 

exîgen^^ La» limite ^1^2 1 itépond »u module esss^^^^ c'est*à-dire 

h peu près c= sin 70* 3o''. Ainsi l'usage de la métïiode précédente 
doit être restreint aux cas où Tangle du module ne Surpasse pas 70* 3o^ 

i36. On pourra cependant reculer beaucoup cette limite de 70*3o^, 
si on veut exprimer les fonctions E et F par la variable ^""y comme 

on a exprimé les quantités D* etD"»* dans les art. 170 et 176 de 
la cinquième Partie. 

Pour parvenir directemen-t aux résultats qu'on doit obtenir dans 
cette bypotbèse ^il faut ^d'après les propriétés connues (art. 60 et6j^ 



y 



CONSTKUCnON DES TABLES EUJPTIQUES. aa? 
fmmKxeUaanûe)^ iowipr Jes.éqnaUaa« 

52 ' 

( I + c*) E = ^E* + e sîn <p*— T î*»'F% 

dans lesquelles F^ et E"* sont tnîs .pour F (c% f ) et E (c?*, ^*). 

Or il suit de d'analysfi précédante que si c*''* est < 7 , on pourra 
développer les fonctions F% E"" en suites suffisamment convergentes^ 
Tune de la forme A(p* — A' sîn 2^+A"«sîn4^' — A'^'sin&p^+etc.-, 
Vautre de la forme «(p** + B' sin 2(p*— - B" sin4(p*»+ B'''sin6^ — etc.; 
d'où il suit que les fonctions E et F pourront être exprimées-par.deft 
suites semblables 9 auquel se joindra un nouveau terme « sin ^ dans 
la valeur de E seulement. 

La valeur ^••ss:^ donne à peu près c'sssinTO^'So' et cssînSB'ao'. 
Ainsi le développement des fonctions E et F peut être fah en séries 
convergentes et qui n'aient pas un trop grand nombre de terines , 
pourvu que Tangle du module ne soit pas plus grand que 88*30'. Maits 
depuis 70'' 5o' jusqu'à 88'' 20'^ la variable ^ devra être remplacée dans 
le développement par la variable ^% et on sait que la relation entre 
ces deux variables est donnée par l'équation sin (:a^-^'')=c''8in^% 
ou par l'équation tang ( ^•— ^ ) = i tang ^. 

157. Pour donner un exemple des développemens qu'on peut 
obtenir en substituant la variable ^* à la variable ^^ nous supposerons 

comme ci- dessus^ c =-^ ou c* = ^ = sin 5o' ; il en résultera 

c"""* = tang* iS""; c'est la quantité qui doit être prise pour a dans le 
calcul des coefficiensPe 9 P, , P»^ elc.^ d'où l'on déduira les coefficiens 
A et B^ relatifs au même cas. 

Or en poussant l'approximation jusqu'à dix décimales ^ on trou- 
vera les résultats suivans : 



P, = i.ooisq 3176a 3 
P, = 0.03596 9414s 

Pa = 0.00195 37551 

P3 = o.oooii 59168 
P4 = 0.00000 72826 
P5 = 0.00000 04706 
Pg = 0.00000 00010 

p, == 0.00000 00021 
Pg = 0.00000 00001 



A = 1.07318 20071 5 
A' = o.o3855 19021 
A" = 0.00104 64783 
A'" = 0.00004 i4i5i 
A*^ = 0.00000 19614 
A^ = 0.00000 01009 
A^* = o.coooo ooo55 
A^"= 0.00000 oooo3 



B = 0.93421 61703 Q 
B' = 0.03347 15574 
B" = o.oooSo 02161 
B'" = 0.00000 72401 
B*^ = 0.00000 02417 
B^ == 0.00000 00097 
BV r= 0.00000 00G04 



124 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 

Au moyen de ces coefficîens , on aura les valeurs suivantes de F"* et £% 

F* = A(p- — A'sîn 3(p- + A"sin 4(p' — A'^sin 6(p* + etc. , 
E* = B(p^ + B'sin 2<p* — B''sin 4(p^ + B'"sin 6<p^ — etc. ; 

et enfin celles des fonctions proposées F et E ^ savoir^ 

F = |F% E = fE-— tF-+isin(p% 

lesquelles seront exactes jusqu'à la dixième décimale. Or on a vu 
ci-dessus que l'expression des mêmes fonctions , par la variable ^ , 
exigerait un beaucoup plus grand nombre de termes pour ne donner 
que sept décimales exactes. 

Ces développemens ont l'avantage de représenter les deux fonctions 
dans toutes les combinaisons analytiques où elles peuvent entrer ; 
d'ailleurs les premiers coefliciens A^ A', B ^ B' qu'il importe le plus 
de connaître exactement , se trouveront toujours avec toute la pré- 
cision qu'on peut désirer par le moyen de la Table des fonctions 
complètes. 



TABLE I , 



; 




TABLE I, 

CONTENANT 

LES LOGARITHMES DES FONCTIONS COMPLÈTES F'c, E"c, 

Calcolés pour tous les an^es du modale de dixième en dixième de degré, depuis o'' 
jusqu'à gù^y avec i4 décimales pour les i5 premiers et les i5 derniers degrés du 
quadrant 9 et la décimales pour tous les autres an^es de i5 à 75 degrés. 

On 7 a joint les différences premières ^ secondes , troisièmes et quatriteact de ces 
Logarithmes, terminés uniformément à la décimales. 

L'angle du module qui sert d'argument est désigné par 9. 



e. 



Log. E». 



[95 aoS 
196 fia! 

95 IQI 

95 i55 



3 675 
o 448 
726 410 
on 6i5 
636 o63 



95 119 
196 08a 
95 045 
95 007 
94 968 



599 792 
Qoa 8a< 

545 ao] 

5a6 948. 

848 089 



94 9^9 
94 S80 

94 848 
94 807 

94 765 



5o8 659 
5o8 689 
848 au 
627 a57 
545 86a 



194 7aa 

94 679 
94 635 

94 591 

194545 



Q04 067 
001 879 

63q 36 1 
01b 539 
733449 



^94 4.99 
94453 

194 4o5 

94 357 
94 309 



790 ia8 
186 6i3. 
9aa 9i 

4i5 a87 



94 a6o 
94 aïo 

94 i5q 
94 108 
[94 o56 



171 38i 
267 4?^ 
7o3 614 
479 83r 
596 184 



94 004 
193 950 
93 896 
93 84a 

93 787 



93 731 
93 674 
193 617 
93 559 
193 5oi 



439 36a. 
937 827 
776 778 
956 a64< 
476 333, 



7833 



9543 



11 



o§a 701 

849 43o 
986 416 
463 703. 
a8i 336 



01 



9344a 
193 38a 
193 3aa 
193 a6o 

95 ^99 



337 o33. 
538 416 
080 53a 
963 43 1 
187 167 



193 i36 
193073 
[93 009 
19a q4*5 
9a 880 
ga 814 



751 791 

657 357 
9o5 919 
491 53i 
4ao a49 
690 i3o 



DiflP, I. 



393 aa7 
o54 039 
714 804 
375 55a 
006 37» 



"B96 Q6a 
357 6a5 
018 a56 
678 859 
^9 43i 



999 970 
660 478 

3ao 953 

081 996 

641 804 



3oa 179 
ci6a 5 18 
6aa 8a 1 
a83 090 
943 3a i 



6o3 5i5 
a63 671 
9a3 789 
583 867 
a43 906 



903 Qo4 
563 86a 
aa3 778 
883 653 
543 483 



ao3 370 
863 014 
5aa 714 
18a 366 
841 974 



5oi 536 
161 048 
8ao 5i4 
479 93a 
ï39 299 



798 61' 
4S7 88! 
117 100 
776 a65 
435 376 



4^4 
438 

41a 388 

071 a8i 

730 119 

388 901 



660 
660 
660 
660 
660 



bbo 
660 
660 
660 
660 



660 
660 
660 
660 
660 



b6o 
b6o 
660 
660 
660 



660 
660 
660 
660 
659 



65û 
65'9 
659 
659 



659 
659 
659 
659 

659 



659 
659 
659 

659 
659 



659 
65'9 
659 
659 
659 



659 
658 
658 
658 
658 
658 



IIL 



Log. F'. 

947 369 475 
980 8a7 836 
014 gSo 957 

049 738 9^7 
o85 loa 000 



lai 3io iq3 
i58 093 683. 
iq5 54a 6i3. 
a33 657 ia6 

a73 437 369 



3ii 883^91 
35 1 995 643 
Soa 773 580, 
434.fii8 659 
476 3a9 839 



58 



7940 



519 107 683 
56a 55a 355 
606 664 oa3. 
65i 44a 856 
696 889 029 



II 



743 ooa 715. 
789 784 093, 
837 a33 343 
885 35o 65o. 
934 i36 198, 



983 590 177 
o33 71a 778 
084 5o4 194 
i35 964 6aa 
188 094 fl63 



4? 
oc 



a4o 893 3i6 
394 36 1 989 
348 5oo 486. 
4o3 3o9 oao 
458 787 8oa 



5i4 937 048, 
071 706 97b 
629 a47 807 
687 409 7S4 
746 a43 074. 



f?^ 747 967 
865 9a4 673 

936 773 4^7 

988 394467 
o5o 488 oSa 



n3 354 366, 
176 893 7l3. 
a4i 106 3aa, 
3o5 9qa 444. 
371 55a 334. 
437 786 a46 



Diff. 1. 



458 36a 
ia3 lao 
788 oio 
453 o33 
118 193 



40 



783 491 
448330 
114 5i3 
780 243 
446 laa 

lia i5a 
778 537 

444 679 
111 180 

777 844 



444 672 

111 667 
778 834 
446 172 
ii3 686 



781 378 

449 aSi 
117 3o6 
785 549 
453 978 



>o 
5i 



IQt 



12a 601 

791 4^6 

460 ia9 
139 640 
799 054 



468 67a 
i38 498 
808 533 
478 78a 
149 346 



56 819 928 
37 490 '83 1 
58 161 958 
58 833 3io 
5o4 892 



1 76 706 fc7a 
848 755|67a 
521 o3p " 
193 566 
866 



333 



539 347 

213 610 
886 123 
559 889 

333 9i3 
908 195 



IL 



m. 



664 
664 

665 
665 
665 



665 
665 
6b5 
665 
666 



43q 
583 



000 



bb« 
666 
666 
666 
666 



i85 
342 
5oi 
664 
828 



666 
667 
667 
667 
667 



bb7 

6^h 
668 
668 
668 



668 
669 
669 
669 
669 



826 
o35 

a49 

464 
682 



a35 



014 



673 
673 
675 

S74 
674 
674 



». 



.9 



4.4 



Log. £'. 



9a 814 

9â 748 

99 6i3 
9g 545 



690 i3o 
3oi sSo, 
a53 6o5 
547 3i6 

b 4^^ 



92 476 
193 406 
9a 336 
9a a65 



i58 977 

477 04^ 
i3& 69/ 

157 97^ 
480 958 



199 lai 
193 048 

974 



9' 



iffS 70a 

5oo 735 
a7i i54 
3a5 598 



90-19 



718 i3i 
454 8a4. 
533 744. 
954 q6o, 
718 S44 



8a4 566 
373 098 
064 ai3 
197 983 
674 485 



90 957 
190 874 

90 791 
90 707 

90 6aa 



6S5 980 
161 ia8, 
009 3ii 

aoo 608 



90 536 

90 45o 
90 363 

90 376 

190 188 



735 o( 
61a 8) 
833 985 
398 54a 
5o6 619 



90 099 

|0 010 

[9 oao 
89 oaq 
89 738 



558 aqc 
i53 666 
09a 807 
575 808 
00a 755 



89 645 
89 553 
89 459 
89 365 



973 738 
a88 844 
948 164 
qSi 7S9 



89 a7i 299 81a 



89 17? 
89 080 
8*8 983 
88 886 
88 788 
88 689 



99a 3a 1 
099 4^5 
411 187 
i37 73a 
aoQ i47 
6a5 599 



36 



87 



Diff. I. 



388 Qôi 
047 oa4 
706 090 

564 «96 
oa3 44^ 



681 
340 
0(^8 718 
657 0'8 
3i5 aSS 



«58 
658 
658 
658 
658 



389 58o 
947 557 
6o5 466 



7T 



a63 3û8 

gai 080 
78 783 
a36 416 
893 978 



55 i 468 
ao8 886 
866 339 
5a3 ^90 
180 6q3 



091 
748 



a35 
880 
443 

993 



n. m. 



658 
«58 
658 
658 
658 



7a3 
666 
606 
546 
488 



658 
658 
657 
657 
657 



49» 



404 63a 
060 859 

716 9QQ 

373 o53 
039 018 



684 894 
340 680 
096375 
65 I 978 
3o7 489 



963906 
618 339 
373 455 
q38 585 
583 617 
338 553 



657 
656 
656 
656 
656 

65S" 
656 
656 
656 
656 



645 
563 
480 

397 
3ia 



b56 
656 
656 
655 
655 



655 
655 
655 
655 
655 



655 
655 
655 
655 
654 
654 



0-199 
^•199 
^•199 
0.199 

0.300 



834101 



0.199 
0.199 
0.199 
0.199 
.199 



Log. F\ 
437 786 

5o4 694 
573 377 
640 554 
709467 



346. 

44«. . 
183.09 

733.75 

363.18 



Z79 2^1 
849 358 

930 3i8 

991 954 
064 366 



o.aoo 

0.300 
0.300 
0.300 
3.300 



137 355 

3IO 931 

385 a64 
36o a85 
435 983 



33J.Q8 

434.08 
107.60 
939^4 



0.300 

o.aoo 

3.300 
0.3OO 
0.3OO 



"Si a 36ô 

607 i5o 
745 563 
8a4 656 



115.91 
033.96 

351.02 
094.87 

849.07 

8i3.i6 
389.00 
581.39 

997.70 
848.71 



0.300 

0.3OO 

0.30 

0.30 

0.30 



904 4^9 
98i 883 

066 oi5 

147 838 

a3o 333 



447.80 
111 .37 
158.67 



1I5"499 
3q7 357 
481 897 

653 034 



695 



613 
883 
914 85û 
oo3 478 
09 3 801 



838 . 93 

673.04 
5a9.i3 

747.11 

665.82 



638.34 
980.09 

070.39 
350.43 
875.58 



0.303 
0.3O3 
0.3O3 
0.3O3 
0.303 



183 810 

373 5o3 
364 883 
456 q48 

549 ^99 



3o3.55 
895.16 
01^36 

030.03 

3o6.i8 



0.303 
0.3O3 
0.3O3 
0.303 
0.3o3 



Î43 l37 
r37 363 

133 074 

574 

763 



o.3o3 
o.3o3 

0.3o3 
0.3o3 
0.303 
0.303 



•130 639 

318 ao5 
3i6 460 
41 B 4o5 
5i5 040 
6i5 365 



331.85 

i5i.i4 
473.95 

570.41 
837^94 

634.36 
38i.i5 
463. o3 
377.75 
336.35 
719.63 



Diff. I. 



66 908 

67 583 

68 957 
68 q33 
69607 



n. 



195674 



70 383 

70 gSq 

71 635 

73 3l9 

73 988 



73 665 
74343 
75 oao 

75 698 

76 376 



77 o55 

77734 

78 4i3 

79 09a 
79 77» 



87 : 

88 6^ 
83 393 
90 008 



90 693 
9» S79 
9a o65 

99 751 
93437 



94 ia4 

94 8ïa 

95 5oo 

96 188 
96876 



â*9 

939 

097 



806 



100 SaS 

101 016 



678 

679 
679 

680 



80 45a 

81 i33 
81 8i3 

83 176 

83 867 8rô|68a 0341337 

84 539 "" "" "' ~ 

85 aaa 



68a 
683 
683 
683 



683 
684 
684 
684 
685 



590348 

357 
556 
446|356 
8c336i 
i63i365 



685 
685 
686 
686 
687 



687 
687 
688 



^8688 



688 



689 

690 
690 
690 
691 



367 
369 



1 



e 



w 



5.1 

a 



5 
5 



5 

5 
5 
5 



6 
6 
6 
6 



6 
S 
6 
6 



7 
7 
7 
7 



7 
7 
7 
7 



8 
8 
8 
8 
8 



8 
8 
8 
8 
8 



9 
9 
9 
9 



9 

9 

9 

9 

9 
ao 



o 
1 
a 
3 

4 



5 
6 

9 



o 
1 

a 
3 

4 

5 
6 



o 
I 

a 
3 

4 



5 
6 

l 

9 



o 
1 

a 
3 

4 
5 
6 

7 
8 



Log. E'. 



0.188 689 
0.188 590 
0.188 490 
0.188 
0.188 a 



^ 



0.188 186 
0.188 084 
0.187 98* 
0.187 ^77 
0.187 77Q 



o, 187 667 
0.187 5^^ 
0,187 455 
0.187 348 
0.187 a4o 



6fl5 53o 

386 078 
493 59^ 
945 473 
74a 721 

"885^439 
373 731 
1107 70a 

387 456 
915 100 

784^ 
00a 493 
566 459 
476 753 

733 487 



0.187 i3a 
0.187 ^^ 
0.186 qj3 
0.186 oo3 
o. 186 69a 

0.186 58o" 
0.186 468 
0.186 355 
0.186. a4i 
0.186 ia7 



336 774 
a86 737 
583 46a 
aa7 095 
ai7 745 



Diff. I. 



99 

99 
100 

101 
101 



a38 55a 
893 386 
548 119 
aoa 752 
857 Q^a 



10a 5ii 708 
io3 166 oao 
io3 8ao a46 
104 474 356 
io5 128 557 



io5 
106 
107 
107 
108 



78a 35 
436 o33 
089 706 
743 a66 
396713 



555 5a8 
a4o 566 

65a 807 
38o 4i5 



0.186 01a 
o.i85 806 
o.i85 780 
o.i85 663 
o.i85 546 

0.1 85 4a8 
o.i85 3o9 
o.i85 189 
o.]8S 069 
0.184 948 



455 688 
878 83o 

649 9S9 
760 a33 

a36 747 



o5a 646 
a 17 o58 
•tSo 117 
591 960 
8oa 731 



0.184 8a7 

0.184 70^ 
0.184 58a 

0.184 4^9 
0.184 33^ 



36a 533 
371 535 
539 867 
i37 668 
oqb 081 



109 
109 
110 
111 
111 



o5o 047 
703 a65 
356 367 
009 35o 
66a 317 



IL 



654 834 

654 733 
654 633 
654 53o 
654 4a6 



654 3a 1 

654 3<7 
654 110 
654 001 
653 894 



653 78a 
653 673 
653 56o 
653 447 
653 334 



lia 
lia 
ii3 
114 
114 



ii5 
116 
116 

'M 



118 

i»9 
lao 

lao 

131 



314 96a 
67 588 

30 091 
373 47a 
934707 

576 858 
338 861 
880 737 
53a 485 
184 »oi 

835 588 
486 941 
i38 i57 
789 339 
440 188 



0.184 aïo 
0.184 o85 
o.i83 959 
o. i83 83a 
o.i83 705 



40a 347 
o5q 3i I 
066 419 
4a3 717 
i3i 353 



o.i85 577 
o.i83 448 
o.i83 319 
o.i83 189 
9I o. i83 o5iB 
* i o.i8a 937 



133 
133 

ia3 
134 
134 



168 



090 

741 

39a 199 
043 587 
6qa 834 



653 318 
653 103 
65a q83 
65a 867 
65a 745 



III. 



101 

100 
io3 
104 
100 



106 
107 
109 
1C7 
lia 



109 
ii3 
ii3 
ii3 
116 



65a 6a6 
65a 5o3 
65a ^81 
65a a55 
65a i3i 



65a oo3 
65i 876 
65 1 748 
65i 616 
65i 487 



65 1 353 
65i i3i6 
65 1 08a 
65o q49 
65o 810 



ia5 
ia5 
ia6 
137 
137 941 877 



34a 

é4a 
393 



|36 
I93 
roa 

[64 



189 476 
5o8 338 
357 790 
468 a'86 
939 880 
74a 730 



Tâ8 
139 
139 
100 
i3i 
i3i 



65o 670 
65o 5oi 
65o 388 
65o a47 
65o loa 



116 

;;? 

laa 
119 



ia3 
laa 
136 

138 



137 

138 

i3a 
139 
i34 



137 
i34 
i33 
139 

140 



Log. F». 



o.2o3 6i5 
o.3o3 716 
o.ao3 818 
o.ao3 9'io 
0.304 0^3 



365 713 
38a 144 
0^9 931 

489487 
58 1 339 



0.304 1^7 
0.304 23 1 
0.304 337 
o.ac4 44^ 
0.304 549 



365"57g 
84a 95a 
oi3 784 
878 boo 
437 533 



o.ao4 656 
0.204 764 
0.304 073 
o.aoi 98a 
o.2o5 09a 



691 330 

640 399 

035 bio 
66a 836 



o.3o5 ao3 
o.aoS 3iX 
o.ao5 426 
o.ao5 53 
o.ao5 65 



397 045 
8a8 69a 

958 336 

786 i4o 

5i3 868 



o.ao5 767 
o.ao5 88a 
o.ao5 998 
o.ao6 1 14 
0.306 33l 



538 89 
464 680 
090 713 
417 465 

44s 4^3 



o.ao6 349 
0.306 467 
o.3o6 58b 
0.306 706 
o.ao6 



70b 
837 



175 068 
606 894 

579 o56 
130 388 



Dîff. L 



1; 



56 



649 

649 
649 663 

649 5i3 
649 36 1 



591 338 
340 448 
889 5o4 
538 406 
187 i5o 
835 738 




i4t 
145 
146 



146 
148 
i5i 
i5a 
i5i 



o.ao6 948 
o.ao7 070 
0.207 192 
0.307 3i6 
0.207 440 



365 
3i6 

352 
399 



890 
069 
436 
5o3 
787 



0.207 565 173 
0.207 690 655 
0.2C7 816 844 
0.207 943 741 
0.208 071 347 



810 
095 
ibo 

565 
816 



649 210 
649 o56 
648 902 

648 744 
648 588 
648 427 



]54 

i54 
i58 
i56 
161 
159 



0.208 199 663 461 
0.208 328 689 042 
0.208 458 4^5 loB 
0.208 588 872 198 
o.ao8 730 o3o 874 



o.ao8 85 1 
0.308 984 
o.ao9 117 
0.209 a5i 
0.309 386 

.0.309 531 



001 
485 
781 

79^ 
5i7 

9^7 



690 
306 
986 

597 
611 

.603 



01 016 

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78 037 
78 785 

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81 816 



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647 576598 



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339 843 833 

33o 44' ^^ 

33 1 o37 794 
33i 635 917 



333 339 456 
333 834 409 

333 418 771 

334 013 5^8 
354 6o5 704 



335 
335 
a36 
336 

337 



198 366 
790 319 
38i 558 

563 376 



181 846 
740 68a 
3a8 881 
016 438 
5o3 347 



089 6o5 
678 304 
360 143 
844 4i5 
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593 175 
174 737 
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15 748 



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097 808 



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341 3o3 
811 901 
38i 734 
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019 031 



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599 533 
598 966 

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597 84a 
597 373 

596 698 

596 133 

595 539 



594 953 

594 363 
593 767 
593 166 
593 563 



591 953 
591 339 
590 731 
5ûo 097 
589 470 



588 836 
588 199 
587 557 
586 909 
586 358 



585 599 

584 959 
584 ^73 
583 599 
583 933 



588 339 
58i 553 
58o 860 
58o 161 

579 4^9 
578 749 
956578 037 
77 Si8 
576 59a 
575 863 



570 137 

574387 
573 639 
57a 889 
57a i3o 



571 365 
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m. 



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553 

556 
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586 



591 
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601 
604 
609 



614 
618 
634 
637 
634 



637 
643 
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659 



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667 
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781 
787 

792 
798 



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0.338 358 576 191 
o,338 611 171 3i8 
0.338 864 633 990 
0.339 118 935 617 
o . 359 374 107 6ib 



0.339 
0.339 
0.340 
0.340 
0.340 



63o 141 
887 o38 
144 800 
Ao5 437 
663 933 



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445 

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404 



0.340 
0.341 
0.341 
0.341 
0.341 



933 387 
18^ Saa 
446 639 
709 6io 
97S 465 



0.343 
0.34a 
0.343 
0.243 
0.343 



338 197 
5o3 808 
770 397 
037 668 
3oD 931 



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877 

893 

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931 



0.343 
0.343 

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0.344 
0.344 



575 069 
845 083 
ii5 993 
387 793 
660 4iB3 



539 

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3i; 
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0.345 
0.345 
0.345 
0.346 



934 o65 773 
308 541 789 
483 913 i54 
760 181 4uS 
o37 348 



0.346 
0.346 
0.346 
0.347 
0.347 



3i5 4i5 
594 384 
874 a57 
ib5 o35 
436 730 



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800 

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53 

486 



0.347 
0.348 
0.348 
0.348 
0.348 



0.349 
0.349 
0.349 
o.35o 
o.35o 



719.514 

00j2 818 

387 334 

573 563 
j5 8 809 

745 971 
434 o53 
733 o56 
013 981 
3o3 83o 



088 

049 
086 

087 

3io 



o.aSo 
o.35o 
o.35i 
o.35i 
o.35i 
0.353 



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703 

377 



595 606 608 

888 3io 317 
181 943 847 
476 ^09 ooi 
773 007 714 
068 44i 749 



DUT. I. 



353 595 

353 45^ 

354 3ii 

355 171 
356' o33 



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673 
637 

992J 
798 



356 807 

357 761 

358 637 
359 
360 



I64 



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707 
833 

4^9 
473 



361 335 
36a 107 

362 980 

363 855 
364733 



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016 
533 
53i 
o5j 



365 610 
a66 489 

367 370 

368 353 

369 i37 



090 
658 
763 
4i3 
618 



370 033 

370 910 

371 799 
373 600 

373 583 



387 
73o 
656 
171 
389 



374 47^ 016 

375 371 365 

376 368 341 

377 166 955 

378 067 3 19 



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380 777 

381 684 
383 593 



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961 



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385 039 

386 34^ 
287 163 



a88 081 

389 003 

389 Q35 

390 849 

39' 77^ 



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383 

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393 633 

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395 498 

396 434 




II. 



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363 388 
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.363 379 
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365 c53 

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366 067 



366 408 

366 750 

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367 ip6 

367 781 

368 137 



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19131 

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1956 1 
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433 18a 



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469 836 
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073 007537 553 091 
6û6 098 338 579 907 
306 005339 ^^ 1^ 
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463 654 991 



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398 480 
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56.1 
56.3 
56.3 
56.4 

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56.6 
56.7 
56.8 
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333 742 
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794 333 669 

333 973 



334 375 
334573 



0.091 

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0.090 



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634 750 

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333 110 36o 



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335 453 

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790 336 586 

061 336 863 
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365 338 71& 
319338 967 
53i 339 317 



347 339 463 
437^9 707 

P^947 

340 184 7641334 

340 418 798 | 33o 
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164 a55 547 



540 877 
^ 101 

341 3fl3 

^41 540 

1 756 



IL III. 



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798 
537 

841 



816 



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3367 
3383 
3403 
3416 



Log. F'. 



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2451 
3471 
2486 
2603 



3533 

2539 

2557 

3576 
2534 



969 

137 
366 



373 
370 
865 267 
264 
261 



673 
669 
642 

536 



2610 
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3649 
3667 
2686 



2704 
2724 



2780 0.320 



28o3 
2820 
2843 
2861 
2880 



2902 
2922 

^63 
2984 



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885 
525 
545 



867 545* 
332 623 
809 147 
387 122 
766 554 



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476 524 

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655 139 
147 933 886|494 

642 35 



488 362 
483 836 

485 3i5 

486 801 
392 



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335 



161 



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635 454 
i34 35o 
634 785 
i36 766 



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491 agi 

492 800 
3i5 

495 836 



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5449 



0.330 640 398 6951505 090 
0.381 145 389 478506 655 
o«32i 6Sa 044 891 5o8 336 
o.Ssa 160 371 4^6 509 8oi 
0.333 670 075 5<)i|5ii 381 



0.333 
0.333 
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0.324 
0.335 



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0.328 383 974 58o|529 à6 
0.328 918 341 

0.329 444 »77 
0.339 976 788 

o.33b Su 082 



o.33r 
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0.333 
0.333 
0.333 
0.333 



047 066 
684 748 
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665 338 
3o8 061 
753 6i3 



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469 348 6 

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233 

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5i6 181 
517 792 
5 19 4 '0 
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523 667 
534 3o6 
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985 527 606 



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532» 61 



534 398 

535 984 



8711537 683 
765539 588 
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563|543 83a 
544552 
546 289 



IL 



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4^4 384 
1430 691 
435 042 

440 4^4 



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451 353 
1456 879 
14^2 451 
468 069 



473 733 
[79443 

>85 302 

491 009 

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5o2 767 
5o8 723 

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t55i 838 
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[564 63o 
571 112 
1677 65o 
584 ^44 66! 
590 897 6710 



597 6076770 
i6o4 377 683o 
i6i 1 307 6890 
1618 0976949 
035 0467014 
63a 0607076 
16^ 1367137 
f64o 373 7200 
653 476 7268 
660 744 7333 

* ^ ■ - -_ 



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[675 476 7467 

68a 9437535 

690 478 7604 

1698 0827673 



1706 7557745 
1718 5007816 



5264 

5307 

535 1 
53q2 
3437 

5482 
5526 
5572 
56i8 
5664 

§710 



5854 

5955 
6002 
6o55 
6106 
6i56 

6213 
6363 
6817 
6871 

^4^7 
§483" 



731 S16 

729 3o5 
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7889 

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81 13 



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G1.5 
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^1.8 

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G2.I 

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^2.3 

^2.4 

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52. G 
52.7 
G2.8 

G2^ 

G3.0 
G3.1 
G3.2 
G3.3 
G3.4 

G3.5 
G3.G 
G3.7 
G3.8 
63. .9 

G4.0 
64.1 
G4.2 

G4.3 
64^4 

G4.5 
G4.G 

G4.7 
G4.8 

64. Q 

5.0 



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0.082 
0.082 
0,082 
0.081 



164 235 
822 480 
480 5i3 
i38 338 
795 959 



547 
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269 

478 
081 



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0.081 
o.o8i 
0.080 
0.080 
0.080 



453 378 
110 599 
767 627 

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081 112 



0.079 
0.073 
0.070 
0.078 
0.078 



73; 

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452 

37G 
143 

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358 



341 

341 
342 
342 
342 



755 
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379 

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48G 
802 
781 

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343 
343 
343 



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343 

343 

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16 1 6G7 



143 
712 



0.078 
0.077 
0.077 
0.07G 
0.07G 



017 2GG 
672 702 

337 979 
q83 102 

638 073 



232 

359 
772 

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3i4 



0.07G 
0.076 
0.075 
0.075 
0.074 910 792 



292 896 
q47 57G 
D02 116 
256 520 



§37 
816 



0.074 564 935 810 
0.074 ai 8 964 8o3 
0.073 872 *853 352 
0.073 52G 635 432 
0.073 180 3o5 048 



0.072 
0.072 
0.072 
0.071 
0.071 



833 865" 
487 323 
140 679 
793 939 

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778 

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344 



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344 
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345 
345 
345 
345 



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596 

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346 
346 
346 
346 



981 
101 
217 
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438 



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45 1 

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384 
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346 



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643 

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465 
637 
641 

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0.071 
0.070 
0.070 
0.070 
0.069 



100 i'88 
753 i85 
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o58 945 
711 717 



837,347 
737,347 

347 
347 

347 



331 

585 
114 



0.069 364 4as i35 
0.069 o'7 oG5 oo5 
0.0G8 66g 65o 110 
0.068 322 181 868 
0.067 974 664 729 



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082 
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228 

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110 
5o6 
636 

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0.067 
0.067 
0.066 
0.066 
0.066 
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627 

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93 1 

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336 



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347 

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342 
139 
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347 

347 
347 

347 

347 



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733 



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12 
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369 



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70 

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62 



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162 

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838 

63 1 



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3481 



353 1 

3556 



3578 
3604 
3632 
3656 
3679 



3708 
3734 
3760 
3786 
38i_i 

3841 
3866 

389. 
0921 

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414 

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0.334 
0.334 
0.535 
0.335 



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298 903 o34 
846 937 571 
396 726 4aa 
948 274 774 



0.336 
0.337 
0.337 
0.338 
0.338 



5oi 593 890 
o56 691 ii5 
6i3 574 87» 
172 253 659 
702 736 062 



0.339 
0.339 
0.340 
0.340 
0.341 



2q5 o3o 747 
809 146 46a 
4a5 092 041 
a 876 4o3 
a 5o8 554 



0.34a 

0.34a 
0.343 
0.343 
0.344 



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707 
282 
85 
43 



583 
698 

707 



586 
683 
116 
2S0 
542 



0.345 
0.345 
0.346 
0.346 
0.347 



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602 4é^^ 



187 

770 
362 



106 

878 

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541 

342 
726 
983 



0.347 
0.348 
0.349 
0.349 
o.35o 



953 082 
545 623 
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736 636 
335 128 



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379 
902 

072 

344 



o.35o 
o.35i 
0.352 
0.352 
0.353 



935 625 
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142 670 
749 aoi 
357 874 



280 
552 

943 
346 

771 



0.353 
0.354 
0.355 
0.355 
0.356 



339 

293 



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546 
548 

549 
55i 

553 



289 

o34 

787 

|49 
310 



336 
537 
85 1 
352 
116 



555 
556 
558 
56o 
562 



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483 



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685 



564 
565 
567 

569 
571 



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945 
784 
633 

489 



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579 
362 

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575 
577 

579 

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584 
586 
588 
590 



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912 



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293 

999 



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683 

625 

578 



353 

448 

384 
267 

»7» 



593 

598 

600 



541 

5i4 

498 
49a 
496 



225 

523 
170 
272 
936 



602 

604 
606 
608 

610 



5l2 

538 
575 
623 
682 



272 
391 
4o3 
4a5 

568 



n. 



745 201 

753 3i4 
761 5oi 
76Q 764 
778 109 



786 53i 
795 o32 
8o3 6i5 
812 282 
821 o3o 



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0.362 
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676 532 667 
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929 S21 336 
5 59 256 649 



191 169 068 
826 271 
461 575 
100 094 
740 84a 
383 83o 4a5 



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616 



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399 638 
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386 



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223 
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2227 

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343 4a6 
896 676 
549 836 733346 



0.067 
0.066 
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0.066 
0.066 



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316 



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0.064 
0.064 
0.064 



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434 613 
089 076 



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0.063 



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7«9 037 
364 468 



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0.061 
0.060 
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088 336 

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0.049 

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0.049 
0.048 
0.048 



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616 5io 
373 934 
900 589 
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- 733 

347 716 

347 6< 

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347 636 

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347 567 
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347 458 



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347 401 
347 338 
347 370 

347 ^97 
347 118 



347 o34 
- ^ 45 
346 85o 
346 760 

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13 



4346 633 
346 416 
346 393 
346 166 
346 o3o 



346 890 
345 745 
345 693 
345 436 
345 373 



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344 746 

344 568 
344 364 



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344 164 
343 967 
343 745 
343 536 

343 3oo 



343 069 
343 83o 
343 585 
343 334 
343 076 
341 811 



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496 



III. 



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,364 039 

364 676 

365 336 
365 978 



366 633 

367 a8Q 

367 948 

368 610 
569 373 



83o 436 
073 062 
683 3o6 
374 703 
460 909 



855 74q 
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637 410 
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8o3 463 



369 q3q 

370 608 

371 379 
371 953 
37a 638 



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5oo 3i8 
456 170 
837 iï6 
65o 490 



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373 387 

374 070 
376 356 
376 044 gai 347 



935 804 
684 767 

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61 3o7 



376 735 

377 439 

378 ia4 

378 833 

379 6a4 



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380 934 

38 1 643 
383 355 
383 069 



334 336 
706 789 
734 637 
439 000 
837 3oo 



383 7^5 

384 5o6 
386 339 
386 954 
386 683 897 81Q 



948 147 

790 401 
383 160 
745 768 



387 4i3 869 i58 
,388 147 " ^ 

388 884 

389 6a3 

390 366 



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ao3 446 



,391 111 
391 869 
39a 610 
393 365 
894 laa 



618 709 
766 730 

i53 083 
335 330 



394 883 

395 646 

396 41 9 

397 181 

597 954 

398 739 



Diff.I. 



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654 



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661 
663 
666 



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701 396 
086 307 
394 840 



717 454 
o54 307 
405 36 
770 78 



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S70 
S73 
675 
678 



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955 853 
38o 946 
831 374 
377 3i4 



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683 
685 
688 
690 



748 953 
a36 476 
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a5o 940 
796 373 



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695 
698 

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5 

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110 3oo 
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363 608 
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961 339 



790 733 

640 491 
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403 181 

3i4 663 



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183 o5S 
183 i38 
3o4 869 



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790 644766 " 
110 1: 

533 190 

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719 931 



834 613 



II. 



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3381 

33o8 
3333 



3336 
336 1 
3366 
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3436 
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3471 



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3536 

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3639 



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no 8473781 407 



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3769 
2789 
3809 
3839 



3849 
3870 
3891 
3913 
3933 



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12 



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2977 

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781 

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3190 



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368 

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8393 
8 630 

8 860 

9 098 



9 344 
9 594 
9 845 

30 106 

30 364 



30 634 

30 906 

31 184 
31 466 
31 760 



3 o4^> 
3 341 
3 646 
3 966 

3 366 

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74.3 

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0.401 
0.401 




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554 433 
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075 819 43i 
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0.403 656 049 4^6 
0.403 45 i 091 583 

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0.406 o5i i63 991 
o.4o5 856 348 956 



0.406 664 736 899 
0.407 476 656 r86 
0.408 393 o35 5q9 
0.409 110 904 3oo 
0.409 933 393 095 



0.410 760 338 936 
0.411 588 745 400 

0.413 4^1 873 537 

o.4i3 358 641 83i 
0.414 0.99 o^S 2^0 



0.414 
0.415 
0.416 
0.417 
0.418 



943 235 
791 ia4 
643 787 
408 367 
357 568 



396 

916 
614 

4i5 
880 



0.419 
0.430 
0.430 
0.431 
0.433 



330 757 
087 857 

û58 907 
833 943 

7i3 000 



130 

807 

194 

"9 
017 



0.433 
0.4^4 

0.i35 

0.436 
0.437 



596 118 û37 
43 337 558 
374 695 3o3 
370 33 1 849 
169 988 144 



0.438 
0.438 
0.439 
0.430 
0.431 



074 oo5 4^5 
û83 335 73 1 

^^4 99 ï 831 
813 047 193 
733 53o 093 



0.433 
0.433 

0.434 
0,435 
0.436 



669 5o3 543 

589 995 349 
525 o58 i33 

4^4 739 '^41 
409 087 386 



0.437 358 i5i ii3 
0.438 3ii q8o 885 
0.439 370 637 578 
o 440 354 14^ 099 
0.44^ ao3 58o 3i4 
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788 481 41 G 
791 748 589 



795 043 \47 
798 363 467 
801 709 941 
8o5 084 965 
808 487 943 



811 919 387 
8i5 379 4i3 
818 868 751 
833 387 743 
835 936 833 



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1 1 o 930 



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756 395 
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931 488 900 
935 967 4^0 



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949 o63 837 



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958 646 693 
963 5i5 531 

968 437 31 5 

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978 443 160 



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37 436 

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39 977 

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41 337 
43 039 

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43 497 

44 348 

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839 834.36 
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853 906.49 



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1 685 

1 444 

1 ao6 
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700 784.83 
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71 5' 934.3a 

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044 377.36 
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854 533.4a 
aoo ioi.a3 
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o o38 



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41,1 076.80 
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5i3 726.00 
0.009 810 ai4 i3a.aa 



0.009 583 
o.oog 35f 
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0.000 Ql5 
0.008 6q6 



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017 896.54 
i63 797.30 
167 884.65 
o5a 169.73 



0.008 478 
0.008 a63 
0.008 o5o 
0.007 838 
0.007 639 



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55o 818.09 
310 770.16 
842 066. 17 
468 339 53 



0.007 4^3 
0.007 316 
0.007 oi3 
0.006 813 
0.006 6i3 



0.006 41S 

0.006 331 

0.006 039 
o.oo5 8^& 
o.ooB 65o 
o.oo5 4^5 



ii3 537.40 

803 o33.39 

558 53a. 4û 
408 145.10 
376 378.88 

489 156.87 
773 83 1.35 
364 198.30 
qHo 5i3.83 
919 610.43 
169 4i4-9a 



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370 
369 

368 
a66 
a65 



911 o4a 
bi7 087 
307 775 

^/ & 

4*3 466 



364 

i263 

a6i 
260 
a68 



386 
9i3 
5a5 
iao 

699 



i3i 
808 
3a4 
5o6 
i83 



267 a6i 175 
355 806 3ô4 
à54 334 388 
a5a 8^ 336 
a5i 338 669 



349 814 46a 
348 373 445 
346 713 406 
245 i34 i35 
343 537 433 



341 
340 
238 
a36 
335 



93a 04.9 
287 790 
634 432 
961 739 
269 449 



233 557 346 
a3i 836 176 
a3o 073 677 
338 399 693 
336 5o5 653 



334 690 683 
333 8b4 100 
330 996 913 
319 1 i5 736 
317 ai3 33o 



3l5 
3l3 
311 

309 

207 



305 

3o3 

301 

»9 



a88 lia 
340 048 
368 704 
373 737 
554 79a 
3 1 1 5o5 
343 5oo 
i5o 387 
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Wj 333 



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193 5i8 633 
190 293 684 
188 041 004 
i85 760 095 
i83 45o 448 



IL 



393 q55 

3o9 3i3 
324 8a4 
340 496 
356 335 



373 333 
388 484 
404 818 
4a 1 333 
438 008 



454 871 
471 916 
489 162 
5o6 677 
524 197 



542 
56o 
578 
696 
6i5 



017 
039 
371 
7i3 

373 



634 364 
653 363 
673 703 
693 a8o 
71a io3 



733 171 
762 498 
773 084 

792 -^^^ 
8i5 071 



836 483 
858 188 
880 187 
903 495 
936 118 



948 064 
971 344 

994 967 
a 018 945 

2 043 '387 



3 068 oo5 

2 093 1 i3 

3 1 18 6âi 

2 144 544 
2 170 896 



a 197 69! 
2 224 949 

3 9.53 680 
3 380 909 

'3 3o9 647 
2 338 921 



III. 



5 
5 
5 
5 
5 



358 
5ii 
671 
83o 

998 



6 161 
6 334 
6 5o5 
6 686 
6 863 



7 
7 
7 
7 
7 



046 
336 
436 
630 
830 



8 033 
8 s33 
8 442 
8 660 
8 881 



9 340 

9 ^77 
9 823 

30 068 



ao 337 
ao 586 
ao 856 
ai i3i 
21 4^1 



21 706 

21 999 
33 3o8 
aa 623 
33 946 



a3 380 

33 633 
a3 978 
24 '343 

34 718 

26 to8 
a5 5o8 
à5 933 
36 363 
36 797 



37 266 

37 731 

38 329 
a8 738 

39 ^74 
29 827 



lY. 



i63 
160 
169 
168 
i63 



173 
171 
180 
178 
18a 



195 
aoo 

302 



aïo 
aïo 
ai8 

3^1 
328 



a3i 
337 
346 
345 




3 



370 
376 
380 
395 



3i5 
3a3 
334 



343 
355 
364 
376 
ÎÎ90 



400 
445 



II » 1. ' . Il 



" ■ »i -f 





86. o 
86.1 
86 fl 
86.3 

86. B 
86.6 
86.7 
86.8 
86.9 

I7TÔ 
87.1 

87.3 

87-4 
87.5 
87.6 

^7.7 
87.8 

S8.0 
88.1 
88.11 
88.3 

88.4 

88.5 
88.6 
88.7 
88.8 
88.9 

89.0 

8'q.l 

89.3 
89.3 

89.5 
89.6 

89-7 
89.8 

89-9 
90.0 



o.oo3 7^59 
o.oo3 58o 
o.oo3 4^4 
o.oo3 271 

0.003 131 



6i3 
968 

9.90 
716 

]8a 



163.78 
845.28 
936.97 
34-^.47 
880.46 



0.00a 073 
0.00a 8a8 
0.00a 686 
0.002 547 
0.00a 4^1 



4^.9 
495 
4aâ 
a5i 
036 



3a3.8a 
463.13 
159.80 
410.76 
416.56 



0.00a 277 
o.ooa 147 
0.00a oao 



0.001 
0.001 



896 
775 



7.91 
59a 

477 
494 
694 



669.68 
986.62 
696.43 
662.10 
383.73 



O.OOl 

0.001 

O.OOl 

0.001 

O.OOl 



658 
543 
432 
325 
221 



129 
853 
993 
397 
337 



a 1 9 . 60 
436.72 
364.99 

674-99 
471.2a 



O.OOl 120 806 

0.001 023 871 
o.coo 93o 6o3 
0.000 841 074 
0.000 755 363 



0.000 673 
0.000 696 
0.000 621 
0.000-462 
0,000 387 



662 
728 
986 

4M 

i5o 



0.000 326 
0.000 269 
o.oco a 18 
0.000 171 
0.000 129 

0.000 093 
0.000 061 
0.000 o36 
0.000 017 
0.000 004 
0.000 000 



283 

94.9 
390 

4H 
660 



678.33 

794-77 

aoo.3o 

611 .80 

5oo . 95 

489 : 53' 
940.0a 
1 Gq . 93 
335.98 

969-90 
460.30 
669 93 
918.60 
939 . 38 
384.72 



o53 

9^7 
54a 
3i4 

787 

000 



371 .31 

714.36 

370.67 

148.93 

090.76 
000.00 



58644 

55 977 
53 37 

5o 6~ 

47 753 



44933 
43 073 

3o 334 
33 334 



3o3 

749 

994 
767 



3o 198 
37 ii5 
33 q83 
ao 800 
17 565 



674 
389 

044 
368 
164 



14 ^75 
10 900 
07 535 
04 060 
00 63o 



96 934 
93 368 

89 538 

85 711 

81 811 



7.94 
061 

690 

304 

R93 



783 
5p5 
688 
011 
011 



77 8a3 
73 74a 
69 56 1 
6S 373 
60 867 



55o 
770 

944 

356 

530 



56 333 
5i 658 
46 8a5 
41 814 
36 597 



780 
75 1 




014 



3i 

35 

>9 
la 

4 



i35 

376 
228 
627 
787 



667 
443 

133 

o58 

091 



3 8Ô0 

a 903 554 
3 946 765 

2 990 337 

3 ©36 o83 



3 o83 385 
3 i33 345 
3 18a 776 
3 a36 104 
3 38 9 370 

T346 733 
3 404 371 
3 466 486 
3 59Q 3ii 
3 696 I 10 



3 666 188 

3 739 907 
3 817 677 

3 900 000 

3 987 461 



4 080 780 
4 180 836 

4 388 688 
4 4o5 736 
4 633 740 



4 675 
4 833 
6 oji 

5 317 640 

6 461 357 



039 
77a 
436 



6 760 214 
6 147 321 

6 701 064 

7 739 967 



41 996 

43 301 

44 483 

45 846 
47 3o3 



48 860 

60 63 1 

63 338 

64 366 
56 363 



68 638 
61 116 
63 8a5 
66 799 
70 078 



73 
87 



7»9 

770 

333 
461 
319 



100 
107 
117 
138 

141 



046 
863 
048 
.Q04 
389 



167 
178 
ao6 
343 
398 



743 
663 
ii5 
817 
867 



387 
563 
o38 



107 
743 
903 



671 

797 
938 

a 097 

a 376 



a 
a 
3 
3 



477 
710 

974 

279 

641 



4 

4 
5 

6 

6 



061 
553 
i38 
858 

737 

816 
186 



7 

9 

10 966 
i3 3f^5 
16 454 



ao 910 
37 463 
37 70a 
55 040 
88 a5o 



166 636 
485 160 




85* o' 
85.1 
85. a 
85.3 
85.4 

85.6 
85.7 
85.8 
85.9 

86. o 
86.1 
86. a 
86.3 
86-4 

86.5 
86.6 
86.7 
86.8 
86.. 9 

87.0 
87.1 
87.3 
87.3 
87.4 
87.5 
87.6 

^;? 

il 

88.0 

88.1 
88. â 
88.3 
88.4 

88.5 
88.6 
88.7 
88.8 
88 . 9 

89.0 
89.1 
89. s 
89.3 

89 >4 

8q.5 

89.6 

89-8 
89-3 

90.0 



Log. F' 

0.5S3 3Q6.a59 3i8.ii3 
0.585 654 440 081.87 
0.587 94^ ^^4 oQ4-6a 
o.5qo 378 3ai q3o.83 
0.59a 646 785 ^^ 



0.595 o54 916 699.81 
0.597 ^^4 ^^^ ^49'.9i 

0.60a 533 giS 189. 5i 
o.6o5 117 3576 944- S' 



0.607 7^ 689 
o.6io 4M 589 
o'6i3 171 976 
o.6i5 965 434 
0.618 017 749 149-84 



90Û.07 
075.20 
337.83 
839.71 



o.6ai 

o.6a4 
0.637 

o.63o 
0.634 



731 936 
711 '319 
759 169 

076 678 



003 , 75 
54^.3 
643.37 
546.63 
340.46 



0.637 
0.640 

0.644 
0.647 

o.65r 



355 014 
719 608 
175 973 
730 191 
089 000 



889.33 
3oi .93 
537.05 
330.11 
464.21 



0.655 
0.669 
0.663 
0.667 
0.671 



159 887 
001 307 
073 3a6 
a33 797 
547 666 



174.84 
o55 . 09 

860.57 

361.36 

133.66 



0.676 
0.680 
0.685 
0.690 
0.696 



037 335 
688 397 
649 043 
63o o85 
966 063 



174.93 
868.16 

495.79 
310.94 
396.61 



0.701 
0.707 
0.715 
0.720 
0.737 



0.735 
0.7/3 
0.769 
0.763 
0.774 



565 978 
464 603 
733 
385 
614 6 17 

19a 343' 
5a5 680 
667 i3û 

783 667 

188 44a 



081 .90 
o56.oo 
o56 . 99 
378.03 
763.00 



119.46 
090.31? 
439.03 
317.10 
626.41 



0.787 
0.803 
o.Saa 
0.847 
0.888 



3o3 08 i 
834 a74 
073 403 
818 094 
678 886 
Infini. 



623.30 
714.46 
767.80 
497.31 
838.43 



Diff. I. 



a 368 180 76 



a a 



93 574 



01; 



a 33o 307 836 
a 368 463 899 
a 408 i3o 77Ô 



a 449 4^4 660 
390 34 



301 



a 583 
a 633 



3 683 
3 737 
3 793 
3 853 
a 914 



963 jî^ 
ia 964 



899 166 
387 i63 
458 60a 
3i4 330 
176 853 



a 979 
3 047 

3 130 

3 378 



393 539 
940 101 
434 904 
093 793 
336 549 



3 364 
3 466 
3 654 
3 668 
3 770 



693 4i3 
364 235 
318 696 
80Q 341 
886 711 



3 891 

4 031 

4 161 

4 3i3 

4 479 



319 880 
119 796 

470 460 

767 833 

670 o5i 



4 661 

4 860 
6 081 

5 335 

5 699 



163 693 
644 638 
o4a 718 
967 18a 
925 686 



6a3 974 
397 001 

843 331 

776 384 
735 357 



8 333 

9 i3i 
10 136 

11 4^4 
i3 114 



335 971 
459 349 
417 778 
886 409 
638 897 



i5 53i 
19 338 
35 745 
40 760 



193 191 

138 044 
691 739 
793 341 



IL 



35 893 349 

36 7*33 833 

38 166 o63 

39 666 871 
41 373 880 



42 q85 690 
44 Su 459 
46. 763 067 

f 843 ^ 

5i 086 aoa 



53 487 
56 071 
58 855 
61 86a 
65 116 



533 
686 



68 646 

7*484 
76668 

81 a4a 
86 356 



91 770 

97 854 
104 590 

la 077 

ao 433 



i53 «97 
65 903 
81 493 



99 481 
330 398 
344 934 
373 968 
3o8 698 



35o 773 
402 4^ 
466 934 
548 948 
665 6i 1 



798 133 

994 9^8 439 
1 378 467 63i 

1 709 753 488 

2 4^S 664 294 



3 706 934 863 

6 507 563 696 

16 01 5 100 6o3 



IIL 



1 540 574 

1 422 340 

1 5 10 808 

I 607 009 

1 711 710 



826 86< 
96b 69} 



a 087 
a 336 
a 4^1 



101 



3 838 

4184 
4573 
5 oi4 
5 6i3 



6 o83 

6 736 

7 486 

8 356 

9 366 



10 55o 
1 1 . 946 
i3 '604 
i5 690 

17 989 



ao 916 
a4 536 
39 o34 

34739 
42 074 



739 



5i 673 

64488 

83 014 

106 663 

142 610 



196 836 
383 609 
439 a85 
70& 800 
390 38o 



061 

303 

867 
806 

55q 



800 628 
507 536 



IV. 



81 666 
88 568 

96 301 
104 701 
114 169 



134 729 

i36 555 

149 843 
164 791 

181 ,677 



300:807 

S3S 546 

347-338 
370 733 
3o8 365 



345 845 
389 781 

440 .241 
4^9 840 
569711 



652 41 5 
760 85 1 
868 774 
011 048 
183991 



396 981 
658 i36 
085 559 

926 863 



9 



610319 
607 666 
7o5 744 
334 955 
697 554 



13 816 460 
17 636 167 

^ 647 73i 
35 848 123 

336 387 



610 



673 i5i 
776 665 

^^4 949 
679 753 
348 383 



5 706 908 o65 



TABLE IL 

Valeurs des f onCtiOAs E^ cqlouleef b douze 4^eimfiJeft^ pour toutes les amplitudes^, 
dç deitii-diegré éa demi-idegr^ ^ depuis o^ jii#<|u'à 90% l'angle du module é(aul 
de 45^ ' 



* 



o»9 



>.o 



5 



o^cx>ooo ooobo 00 
0.1x587a 653^8 70 
0^01745 a84û4 88 
0,00617 844^6 fiO 

o.o45éa 65io5 

o,ofeaii 79' 5' ^^ 
o^oGiOD 753S9 
0,06^78 463ia 
0.07849 94747 
0^08701 11043 



G 

o^ 1046a 
o^iiÇSa 
owaaoa 
0.18071 



94816 

4i879 
4Qa5i 

19667 

5i8S4 



o« 10940 
o,i4i3o8 
o* 18675 
o^i654a 
0,17409 



oo5à6 

16484 
76474 

77a68 

15654 



la 



o,i8a74 
0.19139 
o«aooo4 
o^ao867 
o.at73o 



oiasBoa 
o,a^ô5 
o«a4St5 
0^36173. 
o^a6o3i 



78^38 
9a4oa 
043199 
Bia57 
59809 



o.aS889 
o.a7745 
o ^ao6oo 
0.09435 
o.3o5o8 



5698Û 
69601 

94586 

08854 

6q34i 



"oTsïTSo 

o.Saoïi 
0.308S1 

O.SOTIO 

0.54557 

o.354o3 
o.36a48 



568< 
5oi46 



51 

"73680^ 

73540 

558197 
17667 

56a 1 a 
68637 
5ai45 



PîfP. I. 



65âo8 
6o586 

55941 



96176 
7095a 
46404 
16595 
8S473 



33" 



47Ô6a 
07371 
64406 
18177 
66691 



iï 



867 
867 
866 
865 



iSpS 
59989 

I5 
ZÎZZi 



865 03973 
31096 
56868 
78671 
97153 



ia6i8 

34a68 

40487 
4S660 



855 
854 
853 
85o 



43807 

40947 
35ioo 

06069 
14534 



85o 



80086 

61640 

36544 

ia4a5 

835or 

5i8] 



n. 



83ao 7r> 

6644 77 
9965 58 

i3a84 46 
16600 86 

'9 9*4 07 
oSaaS 



s65fl8 4Î 
00806 3q 
Sâiao 58 
564io 48 



39691 40 
40964 68 
46009 76 
49485 90 
50780 5 < 

56969 OÛ 

B9'94 7« 
60409 06 

6S611 o5 

68800 70 



75i58 87 
fSîOR 3i 
6141B 41 
84534 6b 



87634 14 
90716 48 
9378087 
96806 70 
998S3 34 



00860 10 
05846 35 
08811 
11764 
146^5 06 



17670 
00446 
aSa^S Si 
«6119 4 

a83i7 & 
31689 10 

34433 44 



m. 



35oa 07 
3Soo 81 
33i6 
35i6 
33i3 01 
53o9 4a 



33049; 
3a99 

a^4 19 

3a87y> 

3o86 90 



3073 08 

3a65 08 
3o56 16 
3a46 £7 
3o36 60 



&a5 69 
3oi4 07 
3ooa ao 
3189 45 
3176 



3i6u 

314744 
3i3a 10 

3ii6 19 
3o99 54 



3o8o 34 
3064 
3045 
3oo6 €9 
3oo6 76 



098600 

^«65 04 
o^ ,7 

oooo 69 

afeqrrjT. 



0070 67 
o8i^ la 
0809 96 
0798 oS 
0771 55 

074454 

0716^48 



106 



0119 
0187 
00^ 
o3oo 
q38o 



o5i6 
o586 
o653 
0701 
0786 
o858 



56 



^ 



M 



^ 



TABLE IL 



Valeurs 



ileurs des Fondions F^ Calculées a douze décimales^ pourloul 
de demr-degrë iea demi-^degré , depuis t>* jusqu'à 90% Y^n^ 
de 45*. 



loules les âmplhudes ^ , 
du module éUinl 



^ 



o.oooao 00000 00 
0.0087a -StoiG 4* 
o.oifj^ 37355 71 
0.02618 14340 92 
o.o34Ai 01995 3i 
o.o43o4 01543 53 



o.o5^7 18406 74 
o.oGiio 55flia 71 
0.06984 iBa85 95 
0.07858 oiQ5a 87 
0.0873a 18S40 83 



0.09606 68578 3o 
o.io<8i 54794 94 
o.ii356 8aiai 76 
o.iafi322 5o6qi 16 
o.i3io8 668^7 06 



o. i3q85 
0.1486a 

o.i574o 
0.16618 
0.17497 



39895 00 

Saaoa aa 
a8o97 75 
639aa 47 
6S019 ao 



0.18377 
0.19307 
o.aoïSo 
ovaioao 
o.!aigey3 



o ;aa786 
0.33671 
o.a4556 

o.a544^ 
o.a63î^ 



a873a 78 
64410 08 
70400 la 

59054 04 
fl47a5 li 

7^69 09 
09543 58 
35408 67 
54726 6a 
70^61 90 



0.37317 
o. '301 07 
0,38057 
o. -39888 
o. '30781 



87181 31" 
07053 37 
33849 33 
70943 09 
31700 60 



0.31674 
o.3a56Q 
0.33465 
o. 34363 
0.35361 
o.36^6a 
0.37063 



89519 68 

77759 57 
89807 69 

39044 63 
98853 01 
03619 87 
43737 83 



Diff. I, 



873 67016 ^1 
8j4i 7o53q 5o 
87a 76985 21 
873 86954 39 
873 00&47 a a 

873 16BG4 31 



873 
873 
873 
874 
874 



368o5 
60073 
86666 
16587 
49837 



»74 
875 

875 

876 

876 



86416 
36336 
69569 
16145 
66007 



«77 

878 
878 

379 



35834 
9.9096 
657i3 



880 
881 
881 
883 
883 



35677 
08990 
85653 
65671 
.49043 



884 
885 
886 
887 
888 



35774 
35865 
iq3i7 
i*6ji35 
i63i9 



889 
890 
891 

8(13 

8J3 



19^73 
36795 
07093 
50764 
67813 



«8&40 

13047 
39û36 
6q8oû 
00765 

41*07 
81 836 



07 



33a& 
664B 

99% 
133912 

16616 

>994!L 
ô3a67 
Û6595 
099311 

33*a49 
3657^ 



.30910 
43340 
46576 

499»*» 
53a4t) 

6337Û 
666 1% 
69965 



3i 



733 13 

76665 88 

00017 33 
83370 77 

86730 58 



90090 60 
93453 86 
96817 33 
00184 o3 
o355û 85 



0^3^ 80 
10396 80 
13671 7B 
17048 57 
3043731 

"33807 43 
3718^ sa 
3o57û 34 
33056 68 

3734J1 99 

40738 13 

44114 77 



lu. 



93a3 03 
33a3 37 
S3a3 65 
33a4 16 
33a4 77 
3335 5i 



33£i6 41 
3337 36 
3Sa8 47 
3339 66 
333 1 01 



3333 40 
3333 93 
3335 54 
3357 34 
33§ 9 o3 

^340 88 

3343 8â 

3344 84 
3346 87 
3349 03 



SS5i 14 
5353 34 
3355 55 
3357 8* 
336o 03 

""?5g3 06 
5364 47 
3366 70 
3368 83 
3370 95 



5373 ÔÔ 
^7495 
3376 8a 
3378 64 

S38o 33 

338i 79 
3383 13 
3584 54 

3385 5i 

3386 i3 

3386 65 

3387 00 



V. 



S 



ai"o 



a8.5 
29.0 

3o.o 
3o.5 

3i .0 
3i.5 
3a. o 
32.5 
35.0 

■33T 
34.0 
34.5 
35.0 
35.5 

36.0 
36.5 
37.0 
37.5 
38. o 

3«T5" 

39.5 
40.0 
40.5 



43.0 



o.36a48 
0.37092 

0.37904 
0.38770 

0,39614 



5ai45 8a 
05964 59 
ai 349 90 
0.1 585 ao 
4198a 86 



0.4045a 
o.4iaiS8 
o.4âia3 
0.4^957 
0.43789 



39883 97 
92659 90 
97713 54 
52475 I 1 
5441a 81 



o.44^ao 
0.45448 
0.46376 
0.47101 
0.47925 



0.48748 
o . 49068 
o.5o387 
o.5iao4 
o.Saoao 



oioaS 5a 
89838 53 
i84a3 18 
84377 60 
85337 40 



18974 36 
83907 16 
761 5a o5 
Q5aQ3 60 
35o35 38 



o . 5a833 
0.53645 
0.54455 
o.55a63 

o . 56070 



08450 68 
81373 a3 

8747 91 
97561 In 

36843 35 



0.56874 
o . 57677 

0.5Ô477 

0.59276 
0.60073 



0.60867 
0.61660 

O . 6345 l 
o . 65a39 
0.64026 



^^^^b 89 
18146 08 
76445 a6 
40770 36 

^%^A 49 



80657 7a 
52667 75 
34100 70 
933oi 81 
58766 14 



o . 648 I 1 
0.65593 

0.66374 
0.6715a 
0.67928 



19o3q 36 
72718 44 
18452 38 

5494a 97 
80945 49 



0.68702 
0.69474 

0.70244 
0.7101a 

0.71778 



0.73541 

0.7350a 

0.74061 
0.74818 



95369 45 

96779 ao 
84395 iB 
57095 58 
13 908 33 

53o3o 60 
76910 77 
8o358 06 
65o4i 78 



Diff.I. 



843 5i8i8 77 
843 17385 3i 
840 8o335 39 
839 40397 57 

837 9790* ï* 



836 53775 q3 
835 o5o53 64 
833 54763 57 
833 01037 70 
83o. 46010 71 



838 888 i5 01 
837 38584 65 
825 65954 43 
824 00959 80 
8aa 35636 96 



8ao 64033 80 
818 93154 8q 
817 18071 55 
8i5 41811 78 
8i3 634i5 3o 



811 83932 55 
810 00874 68 
808 i58i3 56 
806 39381 78 
804 4o8a3 64 



803 5o48o 19 
800 58299 18 

798 643 2D 10 

796 68604 i3 
794 7"83 25 



793 73110 o5 
700 'j\é?^^h 
788 69Q01 1 1 
786 65464 33 

784 60273 33 



783 53679 08 
780 45733 94 
778 36490 59 

776 a6oo3 53 
774 14335 96 



773 oi5oq 84 
769 87615 87 

767 73698 4a 

765 56814 65 

765 40032 3 7 

761 33380 17 

759 03947 39 

756 84783 72 
754 '64950 i5 



n. 



34433 é^ji^ 

37149 .9a 
39837 82 

43496 46 
45125 18 



47723 29 
50390 07 
52834 87 
55336 99 
57795 70 



6o33o 36 
6363o 33 

64994 63 
67033 84 
69614 16 



71867 01 

74085 34 

78096 48 
8049a 75 



82547 87 

84561 13 

8653i 78 
88459 14 
9034a 45 



93181 01 
95974 08 

95720 ^^ 
97420 90 
99073 30 



s 00677 08 
a 0320 I 84 
a 03736 78 
a 05191 II 
a 06594 14 



a 07945 14 
a 09243 35 
a 10488 07 
a 11678 5o 
a 12814 la 



a 13893 97 

a i49'7 45 
a i5883 77 
a 1679a 30 
a 1764a ao 



a 18432 88 
a 19163 57 
a 19855 57 
a 20440 19 



ni. 



3716 48 

3687 qo 
3658 (S4 
2638 7a 
3598 



II 



a566 78 
3554 80 
a5oa la 
3468 71 
3454 66 



a3 
a3 
a338 33 
aaqi 3a 
3353 75 



32i5 43 
3176 43 
ai36 71 
3096 37 
ao55 13 



30l3 35 

970 66 
937 36 
883 3; 
838 56 



79.5 S7 
746 89 

609 93 
6ô3 3o 
6o3 88 



554 76 
5o4 94 
1454 53 
405 o3 
i35i 



00 



398 31 
344 7a 

100 4q 

i35 56 
079 85 



035 48 
966 33 
008 5i 

849 52 
79068 



750 69 
670 00 
608 69 
546 53 



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3 10178 44 



3 07173 48 
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84553 79 

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30777 



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87460 75 



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3366 1 
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239 1 1 



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38787 7a 
04994 36 
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34447 
35064 



33569 09 
29555 5i 
07437 73 

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9 7546 6^ 



Diff. I. 



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653 98446 
65i ^4697 

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645 1073a 97 
643 62837 08 
642 i833i 89 
640 77374 43 



63q 39730 69 
638 06766 14 
636 76441 60 
635 4883a ao 
634 26967 81 



633 06937 
63i 91790 
63o 80681 
63Q 73366 
638 70198 



637 71 ia8 
6a6 76306 
635 8548o 
634 98996 
634 16797 



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388 10 48 



633 38937 37 
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630 71491 97 



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619 64680 a6 

619 18104 7^ 
61*8 76116 a3 
618 38756 86 



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617 7788a 
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64655 
60180 
55673 



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41988 

37379 
33760 



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37 



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33443 
18769 
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41 
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5173 5a 
3243 53 



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338o 70 

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3578 38 



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3704 14 
3766 01 
3834 43 
3883 43 



3938 86 
3993 65 
4046 86 
4098 3o 

4147 96 



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4241 80 
4286 83 
4327 85 
4367 87 



44c5 78 

4441 54 
4475 16 
45o6 56 
4536 65 



4662 5a 
4586 99 
4600 i5 
4638 93 
4S4li 23 



4661 18 
4673 63 
4683 69 
4691 11 

4696 09 



IV. 



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71 68 
70 88 
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53 31 

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49 66 
4t7 88 



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40 03 

3791 



35 76 
33 63 
3i 40 

36 87 



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9 97 

7 53 

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164 



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178 
193 



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F. 



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.358o5 
.36971 
.38141 



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69644 55 
94771 aa 
1309a 40 
ao6i8 09 



.40488 
.41665 
.43846 

•44030 

i5 



i3i58 10 
863a 1 5a 
355 16 37 
55q49 6a 
4aba7 4^ 



.46403 

.4755 

.487I 

•49984 
.5ii8a 



90355 61 
93740 73 

4719» 



oa 



80938 16 



.5a383 
.53586 

•54791 
. 55998 

. 57308 



.58419 
.5963a 
.608^7 
. 62064 
. 63a8a 



49075 34 
4a96a 97 
56046 95 
8i588 85 
13669 ^9 



4319a a8 
6a888 4a 
67330 43 
47887 5a 
96830 74 



.645o3 
.66734 
.66947 
.6817a 
.69397 



o6a38 48 
68o53 38 
74073 4i 
15968 73 

85377 03 



. 70634 
.7185a 

.73081 

.74311 

.75543 



73430 33 
7/703 61 

71336 34 

63395 46 
58934 74 



.76773 
.78006 
.79338 

.80471 
•81705 



88847 98 

04036 4^ 

75357 68 

93384 17 
4880a 41 



.83939 
.84173 
.85407 



33471 90 
34934 38 
46773 oi 



Diff. I. 



i63 a8i4i 55 
166 a5ia6 67 
169 i83ai 18 
17a 07535 69 
174 93540 01 



73163 43 
49194 85 
30433 35 
86677 78 

47738 31 



o3385 13 

53450 30 

07736 96 
06030 18 
68137 18 



93887 63 
i3q83 98 
a554i 90 
3io8o 54 
89533 89 



30696 14 
o443a 00 
80567 10 

48943 33 

09407 74 



6i8i3 90 

06031 OQ 

41895 36 
6û3o9 09 
88143 41 



337 
338 



98383 38 
99633 73 

93069' 13 
75539 38 

49933 a4 



1517848 

71301 33 
18036 49 

555i8 34 
83669 49 



03453 48 
11848 63 



n. 



a 96985 13 
a §3194 5i 
a 8q3o4 5i 
a 85014 3a 
a 80633 4i 



3 76081 43 
a 71338 40 
3 66344 53 
3 6io5o 43 
a 55656 91 



a 5oo65 17 
a 44376 67 
a 38393 33 
a 33117 00 
a 35760 45 



1Q196 35 
13457 93 
o5538 64 
9844a 3B 
91173 a5 



83735 86 
76135 10 

68376 13 

60464 53 

53406 16 



44307 19 
35874 17 

37413 83 
18833 33 
loiSg 97 



01341 35 

83460 16 

74393 96 
65355 34 



56o53 74 
46795 37 
37491 75 
a8i5i 35 
^8783 99 



9396 i5 



3790 Éi 
3990 00 
4190 19 
4390 91 

459^ 98 



4793 o3 
4993 87 
5194 10 
5393 53 

5591 74 



5788 5o 
5983 45 

6176 33 

6366 55 
6554 10 



6738 43 
6910 a8 
7096 39 
7369 10 
743739 



7600 76 
7708 û8 
7911 60 
8o58 36 
8198 97 



8333 03 
8460 54 
858o 5i 
8693 35 
8798 63 



8895 96 
8985 33 

9066 30 

9i38 73 
9303 5o 



- .47 
93o3 53 

9340 5o 

9368 a6 

9586 84 



'99 39 
aoo 19 

aoo 7a 

aoi 07 

SOI o5 



aoo 84 
aoo a3 

199 43 
198 aa 

19S 7^ 



^s4 95 
193 77 

190 33 

i'87 55 
184 33 



180 85 
177 01' 
17a 81 
168 39 
i63 37 



l58 33 
l53 63 

146 76 

i4o 61 

i34 o5 



137 33 

f30 17 

lia 84 

io5 37 

9734 



89 37 
80 Q7 

73 03 

63 78 
54 97 



46 o5 

36 98 

37 76 
18 58 



384 
4i5 
453 

iVs 



56o 
586 
616 
664 
673 



836 
845 
874 
881 



TABLE III, 

Canteoant les Sinus naturels à quinze décimales ^ et leurs Logarithme» à quatorze 
décimales 9 pour tous les arcs de qainse en quinae minutes ^ depuis o"* jusqu'à 90*. 



Are. 



i.i5 
i.3o 
1.45 
a. 00 



a.iB 
a.So 
a.45 
3.00 



3.i5 
3.3o 
3.45 
4.00 



4.1b 
4.3o 

4.45 
5.00 



5.i5 

5.3o 
5.45 
6.00 



6.i5 
6.3o 
6.45 

7>oo 



7.i5 
7.3o 

7.45 
8.00 



8.i5 
8.3o 
8.45 

9'OQ 



9. i5 
9.30 

9-45 
10.00 



Sinus. 



©•oo' 

o.i5 

o.3o 

0.4B 
1 .00 



o 
o 
o 
o 

o 

o 
o 
o 
o 

o 
o 
o 
o 

o 
o 
o 
o 

o 
o 
o 
o 

o 
o 
o 
o 

o 
o 
o 
o 

G 

o 
o 
o 

o 
o 
o 
o 



oocoo 
00436 
00^7» 
oi3o8 

01 745 



00000 
SSoaa 
653S4 
95955 
a4o€4 



00000 

98374 z 

71345 
37384 



oai8i 
02617 
o3o53 
03489 



4885o 
60483 
8575a 

94 9^7 



o3qa5 gSiS 
o4$6i 

04797 
o5a53 



8 
8 

54561 8 
078738 
P98a38 
oa5oi 



Log-Sioof. 



3873 
8iao5 
5956a 



65356 
ai344 
439448 



06669 
06104 
06540 
06975 



a7875 
85395 
Siaoa 
64737 



8 



07410 
07845 
o8a8o 
08715 



84901 

30957 
82075 

57427 



633 

348: 

5oi45 

44125 

95399 



09150 
o958i[ 

lOOlO 

o45a 



16186 

575a5 
80616 
8463a 



S 
3784818 
ia2o4}8 
47658 " 

6^402 
aoa24 
13076 
67654 



10886 

ll320 

11753 

12186 



68748 

32137 
93454 



61965 
67907 
57858 
o5i48 



ia6ig 
i3o5a 
i3485 
15917 



89691 
oiqaa 
09003 
5iooq 



9 
9 
9 

1 

3583oJ9 
aooSa 
7373319 
6oo65 9 



14549 
14780. 
i5ai3 
16643 



36219 

û4iii 
338&i 
4465o 



9»»79 
2961 1 

899*7 
4o!?5i 



16074 
i65o4 
i6q54 
17564 



25656 
76068 
q5o38 
01776 



o3826 
60678 
40026 
66930 



Infini-négatif. 
63981 69903 oSo4 
94084 iSËoG 7687 
11 6q3 6aa83 8061 
53i84 3389 



11093 
i4i85 



55875 39386 7735 
41791 90153 8885 
48484 78f "" 



54a8* 9^ 




8699 
9^09 



5Q5cà4 83671 8456 
60967 96616 1693 
68104 33o^ 7641 
71880 016^ 7603 



75563 78116 1488 

816 



78667 53787 
81669 86377 

84358 45i84 



86986 

89464 
91807 

94039 




9614a 
98167 
00081 
01933 



87768 
38716 
69741 



m 



45656 



0377 
%59 
770a 
0273 




67661 
87665 
60703 
44713 



7987 

7094 
2886 

9169 



10106 
1 1 569 
12985 
14S55 



1B682 
1G970 
18319 
19433 



58o73 
766 

M 



87 



6096 
2611 
945o 

9954 



Arc. 



g 



o^oo' 

.45 

89. So 
89.15 
89.00 



Sinut. 



1.00000 

0.99999 
0.99996 
0.9999» 
0.99984 



88.. 

88. i5 

88.00 



0.99976 
0.99965 

0.99955 
Q 99939 



87.46 
87.30 
87.15 
87.00 



0.99933 

0.99Î 
0.99^ 
0.99863 



96715 
30867 

59S40 
24415 



77^9 
7564 
a54i 
6701 



2061 3 
21760 
22878 
33967 



08967 
92289 
39286 
o23oo 



9906 

4481 

1014 
1167 



86.45 

86. 3o 
86.16 
86.00 



0.99839 
0.99815 
0.99785 
0.99766 



86.45 
86. 3o 
85. 16 

86.00 



84.45 
84.50 
84.15 
84.00 



83.. 
83. bo 
85.15 
85. 00 



82.45 
82.50 
8a. i5 
82.00 



00000 
04807 

IQSSO 

43375 

7695» 



00000 



30370 
73a4Q 
55908 
08270 




i 



o3Sa 

23l5 

85864 
95547 



S67& 
9096 



Log--Sinii8. 



0.00000 

9-99999 
9-99998 

9-99996 
9-9999 5 



00000 
58658 
3463o 
27915 
38498 



0000 
0985 

8so4 

44^4] 
0932 



40735 
81868 

8ifo5i 
54574 



16706 

^7984 
69353 

4060a 



0,99736 

0.99601 
0.99666 
0.99619 



01860 
75357 
66034 
46980 



57549 
31867 

38604 
598a4 



99580 
0.9953Q 
0.99496 
o. 2945a 



61983 
86183 
18953 



i486 

a 38 

97761 
9'74o 



0.99406 
0.99557 
0.99506 
0. 99^54 



Î35F3 
18566 
84569 
61616 



74663 
67179 
6091a 
68375 

22520 
76688 
S4026 
4l$33 



81.45 

81. 5o 
81 .iS 

81 .00 



80.45 
80. 3o 
80. i5 
80.00 



0.99200 

0.99144 
0.99086 

.99o%6 



49496 
486i5 
58973 
80 



970 
687 



0.98965 
0.98901 
0.98836 
0.9H768 



13858 
586(33 

i5io4 
85406 



79715 
75810 
8688a 
41670 

^¥7 



/o 

6Î917 
67761, 
961 38 



9-99989 
9-99986 

9-99979 
9> 99970 



66373 
ii6a6 
73958 
55589 



7472 1 

3521 
3171 

ai 681 



999966 
9-99958 

9-99949 
9 99940 



5o456 
64610 

95754 
44063 



58ii 

6037! 

0030 
9372 1 



9-99930 

9-999»8 
9-9M06 

9-99894 



09490 
91968 

91455 

07898 



9.99880 
9-99866 
9.99860 
9-99834 



41255 

V47^ 
584a5 

42260 



9608 
56o5 
0554I 
5^1 



9-99817 

9-99799 
9-99780 

9-99761 



43709 

59777 

93594 
45489 



9123 
6658 
8714 
1760 

7865 

4684 
7516 
8i85 



9'B974^ 

9.99719 
9-99697 

9-99676 



09987 
92810 
91876 
07098 



9-99661 
9.99626 

9-99601 
9.99676 



"38^1 
8566i 
488i5 
37764 



6925 
o533 
2168 
8027 



0298 



5-99548 
9.99020 

9-99^1 
9-9.9461 



0.98699 
0.98628 
0.98555 
0.98480 



'63565" 
5Sôi5 
60690 
77600 



60252 
57231 
58078 
12208 



9-99431 
9 99400 
9.99368 
9.99355 



22576 
32676 
68244 
99£7o_ 

55558 
36950 

l5522 

14589 



8589 
5781 
5o42 
65o8 

9988 
45.37 
6553 

6992 



Arc. 



10* oo' 

lo.iB 
lo.So 
10.45 



ll.CX) 

ii.iS 
11. 3o 
11.45 



12.00 
la.iS 

19. 3o 

12.45 



i3.oo 
i3.i5 
i3 3o 
13.45 



i4«oo 
i4-i5 

14.30 

14.45 



Siniu. 



o. 173G4 

M 

0.1 865a 



0.19080 
0.19500 
o.iqq3o 
o .20304 



81778 660309.23967 
35454 738429.25028 
55254 92 1 47 9 • 26063 
4o36o 08704 9 ♦ 27075 



89953 
oS^ao 

79344 

17511 



76S45 9 .28059 
161289.29020 
17^37 9-^9365 
40178 9.30886 



0.20791 
0.2121 

0.2l6i 

o . 22069 



16908 
76721 

74350 



0.22490 
0.22920 
0.2^44 
0.25768 



10543 
o3qo9 
53638 
58923 



i5.oo 
i5.i5 
i5.3o 
15.45 



16.00 
j6.i5 
16. 5o 
16.45 



17. co 
17. i5 
17.30 
17.45 



18.00 
18. i5 
18. 3o 
18.45 



19.00 
19. i5 
19.30 
19.45 



0.24192 
0.24615 
o.25o58 

0.25460 



18955 
32930 
00040 
19482 



0.25881 
o.263o3 
0.26723 
0.27144 



. 27563 
0.27982 
0.28401 
0.28819 



90451 

i2i44 
83760 
04498 



Log-Siniis. 



o25oo 

22^5 
30454 
48041 



1167 
1085 

4558 
52o5 






88. 
572J 
55095 
68229 



5o4i 
7476 
i4i5 
3a32 



^7709^^.^^' 
564469.5266L 

581059.53533 

2i5oi 9.34379 



438659.55208 

224149*^^^^ 
559069.36818 

26173 9.37600 

"50558 9.38567 

209959.591210 

5444^9.39853 

_o5528 9.40586 



89102 
q68oS 
67506 
72857 



7855 
6916 
isio 
5582 



8o33o 
55540 

52554 
54052 



4125 

2532 

1441 

5927 



735^ 

90140 
62681 



0*29257 
0.29654 
0.30070 
o.3o486 



17047 

15749 
57995 

4^990 



0.00901 
o.3i'3i6 
0.31730 
0.32143 



o. 32556 
0.32969 
o.3538b 
0.53791 



1^ 

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73812 
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96421 
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72901 
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45664 



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2196 

^791 
5708 



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7208 
2170 
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27422 

18046 

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5119 
2526 
1657 



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837509.49577 

050Q2 9.00147 



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55898 
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1812 



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0,37055 




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0.37864 
0.38268 



66934 
86173 

34323 



.61264 

.61810 

52549 

52880 

.55406 
.55922 
.54452 



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i5632 
64453 
91969 



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098569.66886 



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66245 
62666 
96784 



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^26 
0292 

22^2 



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2142 
5966 
7805 



Arc. 



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79.16 



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62955 
01667 



4566 

9»79 

9344 
55i8 



159129.67367 
624539.67823 
650909.68285 



91618 
57710 
54526 
55544 



2167 

958» 

1020 
7519 



54170 

63763 
96606 



8359 

2552 

83io 



1.00 



7?!45 

78.30. 

78.16 



78.00 
77.45 
77.50 
77.16 



77.00 
76.46 
76.50 
76.16 



76.00 

75 .3o 
70.15 



75.00 
74.45 

74. 3o 
74.15 



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73.30 

73.16 



73.00 
72.46 
72.30 
72. 16 



72.00 
71.45 
71.30 
71 .16 



71.00 

70.45 
70.30 
70.16 



Sinai. 



6.98480 

0.98404 
0.98326 
0.98245 



0.98162 
0.98078 

0-9799» 
Q -. 97904 



77530 
06976 
49076 

05977 



12208 
46291 
650^5 
26610 



71834 
62804 
47046 
54724 



47^S4 
o323o 
2o85o 
84684 



9 99»34 
9-99»57 

9-99119 
9.99080 



0.9781- 
0.97725 
0.97629 
0.97654 



76007 
11064 
60071 
25206 



538o6 
62679 
19953 
o85i3 



0.97457 
0.97337 
0.97256 
0.97154 



00647 
92684 
99205 
20698 



85256 
60448 

97677 
15261 



0.97029 
0.96023 

0.96814 
0.96704 



0.96692 
0.96478 
0.96563 
0.96246 



S7262 
OQ097 
64o3 7810819.98694 

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75997 
06754 



15943 



80068 
28815 



68262 

75238 

04532 08623I9.983 

52564 """ 



55647 



0.96126 
0.96004 

O; 96881 
0.96767 



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9852P ^' 



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0.96650 
0.96601 
0.96571 
0.96209 



47559 

99444 
69607 
67996 



63o36 
67187 
48227 
45278 



0.96105 

0.94969 
0.94852 

0.94695 



66162 95164 
01877 
06200 
96106 



91262 
56552 

01294 



70.00 
09.46 
69.30 
69.16 



69.00 
6i3.45 
68, 5o 
68. i5 



0.94661 
0.94408 

0.94264 
0.94117 



86755 
90205 
14910 
60162 



99317 
92784 

92178 

66570 



0.93969 
0.93819 
0.03667 

0.95510 



26207 
13359 
21892 
62096 



86908 
22484 
48898 
86012 



Log* Sinus. 



9.99335 

9-99301 
9.99266 
9-99^31 



14589 6952 
3o6o2 1701 
61227 1221 
06328 C020 



66764 
3q595 

27066 

28655 



6900 
4456 
8845 

9715 



9.90040 

9-98993 
9.98968 

9.Q8cri6 



43û39 
72826 
i5i3i 
70688 



465 

2607 

4269 



9.98872 
9.98828 
9.98783 

9-98737 
9.98690 



39528 
20877 
16167 
21988 



2540 

1379 
7460 

7897 



4*1 85 0960 
9.98642 72667 5545 

16910 0866 
9.98544 71064 6142 



9-9^494 
98443 



37781 0270 

16887 1466 

06160 6931 

9.98538^065.97 2618 



9.9822J 



9-98117 



16570 
37860 
69643 
11486 



2535 
8385 
0211 

4473 



9.98069 
9.98001 

9-9794» 
9.97881 



65i56 

a44i4 
96015 

747»3 



4586 
0283 
7227 
6669 



9.97820 

9-97758 

9-97695 
9.97651 



65256 
6o584 
66838 
79351 



4601 
i883 
3711 
8679 



9.97667 
9.97601 
9.97434 
9-97367 



00655 
29468 
655i6 
08611 



8733 
8565 
6086 
7026 



68.00 

67.45 
67.30 



0.93368 
0.95200 

0.95041 
0.92880 



04264 
78692 
76670 
96628 



97202 
82799 
82026 

7>9M 



0.92718 

0.92554 
0.92387 



S8645 
o5o4o 
96326 



66787 
17666 
11287 



9.97298 58164 
44095 



. 97^29 
9.97108 

9.97087 



4290 
7541 
7583 
4863 



9.97016 

9-96241 
9.96867 

9.96792 



17376 

9579^ 
79020 

66755 



8881 
7658 
7033 
0290 



9.96716 
9.96659 
9.96661 



68604 
54295 
53459 



7322 

4111 
2094 



1 



Arc, 



35** oo' 
35. iB 

35. 3o 
35.45 
36. 00 

367Î5" 
36. 3o 

36.45 
[ 37.00 

37.15 
137.30 

.\^^ 
138. 00 



38. i5 
38. 3o 
38.45 
3g. 00 



39.15 
39. 5o 
39.45 
40.00 



Sinus. 



57557 

577*4 
58070 

584^4 

58778 



64363 

SlQOO 

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59130 

5983a 
60181 



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60876 
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61 566 



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6a5Qa 
6u93a 



39880 
14390 
73800 
1475g 



63370 
636o7 
63943 
64378 



64gTJ 



656oS 



6 

34731 
0891 

I338F 
83309 

76096 



Log-Siniis. 



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5o8o5 
4o365 
84735 
86853 



5406 
7353 

476g 
8038 

9506 



5i34i 9.77438 
706529.77693 



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438949.78190 
087319.78^ 

344499.78630 
35658 9 " **' 



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3607 
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66363 

66588 
66913 



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8o489 

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9-78934 

298349-79175 
376309.79414 

840599.79653 

49837 9.79887 

635169.80130 
777649.80351 
800859.80579 
865399.80808 



6^03 
71378 
55835 

9787 



58T5Ï 
00^83 
16060 
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03076 
0745c 
836oo 



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68835 
69151 
69465 



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63733 
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i5738 
00834 
58858 

i566o 
S3943 

6^499 




36359 

03754 
83369 
58997 



^94 
96670 

13370 
18^8 



7385 
7095 
S908 

5449 



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1.81354 
,.8U75 

1.81694 



14930 
o5353 
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74967 



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160 
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1336 
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5343 

5976 
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5738 

3335 



.81911 

.83136 

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1.83551 



.83760 
.83968 
.83174 
.83378 



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45717 

70574 
0895 1 



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33460 
33io6 
333o3 



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4779 
45o6 

7436 



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(.83781 
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36i8 
3545 
5o54 



65730 

33036 

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13783 



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4307 
1345 

3069 



Arc. 



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54.45 
54. So 

54.00 



53.45 
53. 3o 
53.1 5 
53.00 



33T45 
53. 3o 
53. i5 

53.00 



51.45 
5i Jo 
5i.>S 

5i.oo 



Sinna, 



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o 

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0.81157 
0.80901 



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55i83 583i9 
39819 65oi3 
^9943 74947 



0.80644 
o.8o385 

0.80135 

0.79863 



r 

9.91336 
9.91303 
9.91068 

9 -90932 
90795 



0.79600 
o . 79335 
0.79068 
l8oi 



68606 17317 
38136 91061 
65 10 47393 



30035 3463a 

3340a 91335 



95757 43843 

07536 



,78531 69308 807459.89504 
0.78360 8i568 53414 
p. 77988 

o.777>4 



48. 
48.1 
48.15 
i8.oo 



467 
46. bo 
46. i5 

[6.00 



0-77439 
0.77163 
0.76884 
0.76604 

0.76333 
0.76040 
0.75706 
0.75470 



5341, 
4483o 0388^, .^__ 
69614 56971 9 . 89 060 

a*644o 83186 9.88896 
46833 877309.88740 



r75ï83 
0.74895 
0.74606 
0.74314 



i833o 73460 
444 31 18978 
34607 83639 
59660 ooo3i 
49843 84060 

258o3 33773 



Log-Siniia. 



45194 

6o33i 
8ii56 
76445 



46ô4r57483l^ao657 4540/ 

87336 
01090 
86164 



3486 
i335 
7566 
6386 
8597 



9.90617 

9-9o3; 
9-903: 



9.90091 

9-89946 
9.80800 

9 



.898* 
,89653 



4i6o3 
66546 
60131 
31441 



^9-89354 
39.^303 



49606 
48700 
03796 
36944 



1134 
0810 
o548 
^54 

8847 
a3oi 

79^^ 



18074 78977 
67307 89003 
78750 61700 
48354 77394 



0.74031 

0.73737 
0.73433 
o>73i35 

0.73837 
0.73537 
0.73386 
0.71988 



??ife 



Il 374 8 
3368 10134 



733 

35094 ^^86 

57016 19171 

00698 83400 

45710 13388 

39630 69756 

9'8oo3 3*865 1 



0.71680 
0.71836 
0.71018 
0.70710 



19434 34654 
04491 541 8a 
53756 33385 
67811 86548 



9.88688 
9.88435 

9 . 88365 



13189 
60554 
70049 
^9665 



779' 
9376 

au8 

535i 



68385' 

9.88104 66i53 

98938 

98639 



. 87941 
9-87777 
9.8761a 

9.87445 
9.87377 
87107 

9.86955 
9.86763 
9.86588 
8641 3 



4338 

6992 
1645 

3565 



53iî4 
61434 
33370 
34581 



97»^ 
08843 



7069 
i85o 

94^9 
4351 



9.86335 
9.86066 
9.86875 
9.86698 



36281 
33060 
60710 
40900 



9418 

1734 
8716 

3939 



3Qo3 
8667 

7384 
070! 



9.85334 
9.86187 
9.84948 



61394 

3o538 

17^49 
6oo3i 



6094 
]683 




TABLE IV. 

Valeurs de log-tang ( 45* + t 9 ) POur tous les angles ^ de 3o eu 3o miaules , depuis o* 
jusqu'à 90% calculées à douze décimales, avec leurs différences premières^ secondes, 
troisièmes , quatrièmes et cinquièmes. 



^ 



.00 



8.00 
8.3o 
9.00 
9.30 
10.00 



10. 3o 
11.00 
ii.3o 
la.oo 
iA.3o 



i3.oo 
i3.3o 
i4-oo 
14.30 



co 



i5.3o 
16.00 
16. 3o 
17.00 
17.30 



18.00 
18. 3o 
19.00 
19.30 

flO.CO 



/tang(45»+i^). 



.0.00000 
0.00872 
0.01745 
0.03618 

o.o34qi 
0.04364 



00000 00 

67670 fl4 
41786 84 
aq9q8 67 
36759 69 
7083 1 46 



o.o5a38 
0.0611a 
0. 06986 
0.07863 
0.08737 



38i85 67 
45506 ^3 

p6865 q5 
74359 6a 



0.09614 

0.10431 

0.11009 
o. iaa47 
o.i3ia7 



08736 36 
1678a 91 

o53i4 40 
81176 QQ 
5ia5o b3 



0.14008 
0.14890 

0.16607 
0.1764^ 



0,18439 
p. 19317 

o.aoao7 
0.81090 
o.ai^i 



aa45i 78 
01736 a3 
96101 91 
ia59i 73 
58396 5a 



o.aa886 
0.33783 
o. 34681 
o.a558i 
0.36484 



fo357 97 
66971 6a 
4a58o 07 
76935 53 

7^9^^ 97 



49917 49 

o33a7 97 

44770 43 
81906 43 
33477 61 



0.37388 
0.38396 
0.39304 
o.3oii5 
0.31039 



74309 34 

463i4 34 

43406 5i 
76904 80 
53iB87 3o 



0.31946 
0.33*864 
0.33786 
0.34710 
0.35637 



835q4 81 
71486 o5 
39081 01 
64016 81 
86047 35 



DifiF.I. 



67670 34 
74316 60 
87611 83 
07461 03 
34071 77 

67354 31 



874 



875 
876 



3a 1 06 

53^87 58 
07071 64 
67493 67 

3437674 



08046 55 
8853i 49 
76863 69 
70073 64 
713Q1 i5 



881 79384 45 

883 - ^^ 

884 

885 

886 



94365 68 
16489 8a 
45704 79 
8ao6i 45 



888 a56i3 65 

889 76418 35 
891 34535 56 

893 00038 45 

894 73963 53 



098 
900 
903 

^04 



53410 48 

41443 46 

37135 99 
40671 19 
5i83i 73 



906 
908 

913 
916 



71006 00 
98183 17 

93458 39 
76933 Ao 
38707 61 



i 



918 88891 
9a 1 57504 9 
934 349S4 80 

€^2j aio3i 44 
93o 16010 30 



n. 



6646 36 
13396 a3 

19349 »9 
a66io 76 

33a8a AA 

59966 85 

46666 5a 
53384 06 
6oiaa o3 
66883 07 
73669 81 



80484 94 

87331 10 
94311 o5 
01137 5i 
o8o83 3o 



16081 33 

3aia4 14 
39314 07 

36366 £6 

43563 30 



60804 70 
68117 30 
65493 90 
73935 07 
80446 96 



88o3i 98 
96693 53 
a 03435 3o 
a 11360 64 
3 1917337 



a 37177 17 
a 35376 13 
a 43474 11 
a 51776 ai 



m 



a 6oi83 63 



a 68703 7a 
a 77333 84 
a 86096 6i 

3 94978 76 

3 03991 13 



m. 



6648 8 
6653 Q 
6661 56 
6671 69 
6684 Al 
669967 



0717 64 
6737 97 
6761 04 
6786 74 
68i5 i3 



^846 16 
6873 96 
6916 46 
6966 79 

699793 



704a 01 

7090 83 
7141 69 
7196 54 
736a 5o 



73i3 5o 
7376 70 

7443 17 
761 1 89 

7585 oa 



7661 55 
7741 67 
7835 34 
7913 73 
8oo3jo 


8098 96 

81 97 99 
83oi 10 

8408 4a 

8530 09 



8636 13 
8766 80 
888a 13 
9013 36 
9147 5i 



IV- 



5 09 

7 60 

10 i3 

13 7a 

i5 a6 



1787 




63 30 
66 47 

75 i3 

76 53 



80 la 
83 67 
87 39 

96 o5 



99 04 
io3 11 

107 3a 

111 67 

116 o3 



lao 68 
136 3a 
i3o 34 
i36 i5 
140 36 



V. 



a5i 

a63 
359 
a54 
a6i 
356 



â64 
a63 
a6q 

36^ 

376 



37a 
aSa 
aSi 
384 
394 



394 
399 
3ii 
3o4 

330 



337 

335 
341 
340 
369 



355 

37 a 
S73 
388 
399 



407 
431 
435 
436 
465 



4S4 

49a 
491 

530 

639 









♦• 



ao^cx/ 
20. 3o 
ai.oo 

91. 3o 

aa . 00. 
aa.3o 



aS.oo 
a3.3o 
a4«oo 
.3o 



^ 



.00 



a5.3o 
aS.oo 
a6.3o 
a7.oo 
97. 3o 



aS.oo 
a8.3o 
a^.oo 
a3.3o 
3o.oo 



3o.3o 
3i .00 
3i«3o 
3a. 00 
3a. 3o 



33.CX5 
33. 3o 
34- 00 
34.30 
56. 00 



35. 3o 
3S.OO 
36 .3o 
37.00 
37.30 



38. 00 
38. 3o 
39.00 
39.30 
40.00 



40. 3o 
41 .oo 
41. 3o 
4a. 00 
49. 3o 



43.00 
43.30 

44.30 
45.00 



/tang(45«+4^). 



0.35637 
0.36568 
0.37601 
0.38437 
0.39377 
o.4o3i9 



85o47 aS 
01007 45 
aio68 77 

541.58 7a 

09765 10 
97191 61 



0.41266 
o.4aai6 
0.43160 
o.44^Jb 
0.45087 



a6o6a 
06119 
47a67 



?99 



7a 



o.46o5a 
o.47oai 

0-47994 
0.48971 

0.49953 



38861 
a688o 
a8i69 

63744 
14898 



0.60939 
0.61999 
o.SaQS& 
o.53i9a5 
0.64930 



aa8]S4 
895ao 
a6696 
46539 
61443 



40 

83 

98 
40 



o . 66940 
0.66966 
0.67977 
0.69003 
o.6oo36 



"84355 
97333 
04455 
3893 1 
14563 



39 
01 

4a 
34 



5i 
48 
6t 
70 

.94 



0.6107a 

o.6aii6 
o.63i66 
0.64991 
o. 65983 



o. 6635a 

0.67437 

0.68609 
0.69698 
0.70696 



76468 
96086 

81Ï39 
66907 

66797 



36 
81 

% 

90 



96653 

54776 
66849 

m 



80 
97 

.9» 
60 
3b 



0.71798 
0.79910 
0.74093 
0.76155 
o.76a9o 




0.77434 
0.78686 

o '79747 
0.80916 

0.83096 



35388 
A9665 
on 53 
7aa9a 
66186 



40 

47 
11 



o.83a84 
0.84489 
o . 86690 
0.86908 
0.88137 



o66a8 6 
18143 9 
a6oo7 è3 
66a85 87 
36870. 19 



Diff. I. 



93o 16010 90 
933 aoooi 3a 
936 33i3q 96 
939 65566 44 
94a 87426 45 
946 38871 11 



949 80067 a6 

95*341147 4q 

967 ia3io 58 
960 93731 48 
SS4 85661 66 



968 88019 a5 
973 01989 4i 
977 a6574 45 
981 61084 la 
986 o8o35 99 



990 

000 
006 
010 



S6665 69 
37176 99 

19842 49 

i4qo3 99 

99b 9 9 17 



016 

oao 
096 
o3i 
037 



43967 
7719a 

24476 
8563a 

60904 



09 

a4 
4a 



043 




o€a 
068 



5o6i8 
55iia 
74738 
0985.0 
6o856 



i 



5 

8 

07 

li 



076 
089 

o8q 
096 
o3 



98199 
19066 

i3u4 

31708 
685o9 



I 



I 

80 

4a 



II 
18 
a6 
35 
43 



fl33Q5 
97464 

9to35 
04644 
38867 



a3 

48 

84 
40 

73 



5i 
60 
6 



h 



94277 
71488 

7u38 
95899 
40443 



34 

ti 



9? 
908 

918 

998 

939 



ii5i5 
07863 
30978 

79684 
66644 



6 
24 

39 

73 



n. 



3 03991 19 

3 i3i38 63 
3 99426 49 
3 3i86o 01 

3 41444 66 
3 61186 i4 



3 61090 94 
3 71163 09 
3 81410 90 

3 91840 17 

4 9457 60 

4 13370 16 
4 94986 04 

4 35609 67 
4 46961 87 

4 58&19 63 



4 70691 3o 

4 89665 67 

4 96061 43 

5 07718 96 

6 90646 80 



5 33854 16 

6 47353 96 
5 6ii56 16 
5 76973 18 
5 89714 o3 



6 
6 
6 
6 



04494 i3 
19635 49 
3oi3i 57 
50996 86 
67366 87 



6 83944 17 

7 01047 95 
7 18694 21 
7 36600 6a 
7 66086 81 



7 74069 95 

7 93671 36 

8 i36i3 56 
8 34918 33 
8 55409 3i 



8 77911 3o 

8 99660 36 

9 33763 95 

9 4655o 94 

9 96348 3^ 

10 99414 ^9 

10 49306 08 

10 77060 4' 

11 00717 99 



m. 



9144 5i 

9987 86 
9435 59 
9684 66 
9741. 48 
9904 10 



0079 86 
0947 81 
0499 97 
0617 43 
0819 56 



1014 88 
1994 63 

1442 90 

1667 76 
igoi 67 



2144 27 

93q5 86 
9666 89 
9937 66 
3308 36 



3499 80 
38o3 10 
4116 00 

4441 86 
4780 10 



5T3i 36 
5X96 18 

5875 19 
6360 01 
6678 3o 



7103 78 

5546 36 
006 4^ 
8486 19 
8983 44 



9603 11 
30043 30 

30604 77 
31190 90 
31801 99 



33439 o5 
33io9 60 

^3796 99 
34630 77 
36376 65 



36066 33 
36801 
37754 
38666 88 

39601 44 



IV. 



i4o 35 
145 66 
i5i i3 
i56 83 
163 63 
168 75 



174 96 
181 '46 
188 16 
196 i3 

3*03 33 



209 76 

"lU 



99 



933 
949 



Ë. 



95 1 6 

960 9 

44 



9 
991 



3o9 39 
3i3 84 
395 89 
338 95 
35 1 96 



364 89 
379 01 
395 89 

435 



442 48 
460 16 

47878 
5i8 67 



669 67 
686 91 
611 01 
637 06 



66466 
693 39 
793 78 
766 88 
789 68 



895 96 
869 84 
909 55 
94466 
.98893 



V. 



63 1 

547 

570 

6i3 
631 

"653" 
670 

697 

il. 

789 



869 
89.9 

937 

977 
008 

:o63 

095 

145 
iû8 

3^ 

Soi 

^1 

4«9 
481 

'547 

DI9 

700 

863 

947 
9049 

9149 

9948 
9364 
9480 
9605 

2749 
9884 
3o39 

3910 

3370 
3668 




log tang ( 43^ + ï ^)' I^îff- '• 



45*00' 
45.^0 
46.00 
46. 3o 

47.00 
47.80 

48.00 
48. 3o 
49.00 
4.9-80 
S o.oo 

5o.3o 
Si.oo 
Bi.Jo 
5s. 00 
Sa.gp. 

53.00 
53, 5o 
54.00 

54.3b 
55. OQ 



0.88137 
89376 
,90637 
,91880 
981 63 
94448 



35870 19 

qq5i4 9^ 

5a557 69 
16147 54 
7707074 



55 .5o 
56. 00 
56.^ 
57.60 
57.30. 

58, 00 
58. 3o 
59.00 
59.80 
60 .00 

15ôT3o" 

6i.ck> 
6ï .3o 
6a. 00 
6a. 80. 

63. 00 
63. 80 
64.00 
64.80 
65.00 

■65T3Ô" 
66.00 
66. 3o 
67.00 
67.30 

"S57oo 
68. 3o 
69.00 
69.80 
70 ..00 



,95746 

(|o3oo 

997>7 
01068 



68645 ào 
a4ii5 a6 
78707 39 

68779 7^ 
3i886 83 



00433 
08810 
o5ao6 
06616 
08041 



Ô9485" 

10941 
10417 

18911 

15408 



07046 98 
34710 '80 
56867 70 
17106 06 

60719 49 



3478865 
88081 08 

7ai56 q8 
3.9470 36 
45586 09 



i6cj54 
i85o5 
00075 
01667 
08080 



67 



flo 



0090 
85 119 07 
48178 80 
64608 08 



o4qi6 

06074 
â8â56 
0906S 



06146 i5 

49759 48 

78969 o5 



33454 46608 89 
35o4o 
87054 
,88898 

•4077a 



43678 
44S17 
46390 

48593 
50645 



OOOpi DO 

5o688 75 
86705 10 



50709 
54854 
57001 
59080 

61489 



■30456 40 

889fl5 o3 
58i6i 58 
40878 3o 



66148 
68556 
71020 

.73541 



91710 o3 

?io34 .70 
7611 So 

37004 4a 
09161 78 



868o5 3o 
97465 10 
84558 98 
691.58 67 
5 1606 69 



297 



56644 78 
60860 00 

97680 75 

63580 85 

6110b 00 

91870 48 



55470 04 
54610 i3 
QooSo 3i 
68107 ï3 
75160 10 



07665 87 
001^4 90 
6oo38 36 
48613 43 
74069 16 



53490 63 
88875 70 
67800 38 
b6o56 73 
00431 00 



58^759 
78ai4 07 
63o59 55 
16444 01 
4i5o3 10 



78? 
814 
843 

874 
905 

%%% 

973 
0008 

0045 

0084 



4i65o 80 
00897 06 
81 565 o5 
09009 77 
67659 14 
oi588"35~ 
35794 86 
75707 i5 
07016 85 
90761 3o 



885 17 57 
ioS4t 00 

74836 5o 
49888 91 



70800 47 
■86076 80 
00 lo 7941a 90 
701Ï7 Si 
77660 57 



oo56 
fl3o4 

"0355 



10689 80 
8709S 88 
a45g9 69 
40408 00 
61966 58 



05717 39 
35Si8 73 
65909 10 
97535 35 
9oo47 08 
64097 56 



99140 00 
35440 18 
78054 80 
ioo5o 97 
5o5o5 77 



94489 08 
38o83 46 
88875 07 
80455 79 
79408 47 



8 



8o383 07 
88446 68 
88734 35 

96374 79 
565o6 07 



19076 48 
84845 48 
53384 66 
«5078 91 
00107 70 



07 



78746 4< 
61167 ^^ 

é^i^éi/^ bo 
38449 57 
88879 01 



08 34o56 5i 

09 89933 09 
3o 51389 ao 
3i 68744 95 
3o 90756 07 



III. 



08808 49 
60495 1^ 
09875 39 
65i37 13 
3o488 56 



o6o54 33 
98336 10 

90704 3o 
05526 00 
8057603 



76454, 08 
07505 8f 
17868 33 
194.98 56 
44607 5o 



39601 
80590 
3 1606 
33711 98 
3385o 08 
35o44 53 



36098 09 
37614 64 
38938 i5 
40450 80 
41988 06 



4359443 
45001 61 
47080 66 

46967 74 
60959 60 



53o63 61 
55087 67 
57640 44 
601^1 38 

63770 4i 
65569 00 
68689 ^8 

71694 o5 

7^48 7? 
78 618 74 



80401 55 
86476 58 
90804 85 
95409 84 
00877 3o 



06676 78 
ii356 91 
17455 76 
34011 3a 

81067 30 



38671 q5 
46879 ÎÏ5 
55751 83 
65856 àA 
76770 77 



8708^1 79 
99888 07 
10801 87 
a 27449 27 
48477 8o 



IV. 



6io5i 78 
8086a 00 
8 01680 08 
8 o5io8 06 
3 61098 7r 



98893 
o35 88 

o85 68 
i38 36 
194 36 
3*58 56 



316 65 
883 61 
145466 
536 44 
611 17 



607 i8 

r89 o5 

187 08 

991 86 

3 104 01 



3oa4 06 
3863 77 
3ioo 84 
3680 18 
079869 



3970 18 
3i55 07 
3354 54 
8669 o5 
38o3 Si 



406428 
4808 00 

46a4 99 
609 8 48 



568i iT 
6098 84 
66'55 67 
7055 90 
7604 78 



8007 90 

9604 61 
0414 38 
i3ii osi 



o3o6 

3418 

4648 10 

16007 88 

!7578 88 



igSTo 79 
01067 71 
08478 78 
06984 76 
38*834 04 



V. 

46 o5 

5a 67 
55 90 
69 3i 
6a 99 
66 96 

56 81 
o 71 
86 01 



00 



08 71 
38 07 
48 
59 
7« 59 

84^ 

99 ^1 
3i5 41 
383 86 
35a 17 

373 34 
396 67 

3*00 ^i 

35i 00 
383 65 

456 ^ 
600 33 
548 83 
608 17 

664 08 
783 63 
800 7a 
89665 

995 4^ 

IIC7 13 

1084 5o 

,370 78 

1646 oo- 
»736 91 



1966 go 
3ati 03 

35o6 os 

3849 30 

- 5a5ag* 






M 



^' 



170*00' 
70.30 

71.00 
7i*.3o 
72.00 
7a. 3o 



logtang(45»+îrt. 



DiiF. I. 



kd.oo 
73.30 
74.00 

74.30 

7^' 



00 



75.30 
7G.00 
76.30 
77.00 
77.30 



78.00 
78.30 
I75J.00 
l7<j.3o 
80.00 



l8ô73o 
81 .00 
81 .3o 
8a. 00 
|83*3o 



83. 00 
183. 3o 
I84.00 
84.30 
85. 00 



.73541 5i6a6 69 
.76104 i35q3 a7 
.7877.1 .30167 37 
.81486 aa44a 70 
.84073 00347 01 
.87136 65895 oa 



.g3iob 
.96025 

' 99440 
a . 03708 



6690046 

9U174 07 

7'939 84 
9a565 3a 

i4a4 8 00 



.06186 
a.o97So 

a.i34Q4 
a. 17310 

a. 01 166 



a.a5a8o 
3.09666 
3.34040 
3.38:^19 
3.43634 



160 91 

39967 00 

3b4oo 19 
18096 09 
80791 8b 



07044 a6 
00607 45 

06933 08 

47301 18 

60537 î6 



6iq66 
)6674 

>3075 



3680 

0647 
071& 

0786 

0860 

0943 01007 44 



44607 

76638 
17641 



3oo8 
3ii8 
3oi6 
33i8 
3407 

IS^ 

3671 
3807 



806^5 
00636 
01 653 

88934 



3.48778 76890 3o 
3.64309 04^0 61 

3*^947 i573i 31 
3.66o3o 61376 6q 
3.73604 18019 65 



85. 3o 
86. co. 
86. 3o 
87.00 
87.50 



88.00 
88. 3o 
89.00 
89.30 
90.00 



a.7.94a» 90579 09 
3.86849 86556 14 
3.94870 03390 74 
3.o3685 77605 Qi 
3.i3î3o i33i5 8j 



3.35678 o5oi8 81 
?5. 35467 35134 07 
3.488^ 01467 83 
3.64053 33573 04 
3.834.9^ 474^^ 98 



4.04813 54186 83 
4.33685 19194 43 
4.74134 87G03 65 
5.43451 4^799 ^^ 
Ini. logvritliiQiqite. 



4679 



oo45a 
87876 
63496 
46a5a 



a3563 
863i7 
40075 
13335 
16353 



Sb'aaa 

59959 
81027 

87389 

67872^ 



m. 



5iog3 71 

79927 75 
laoïfl 73 

47819 73 

87904 74 

■^35 99 



33638 

974^3 
74b > 9 
85756 

47 



1073 



5430 
5738 
6o83 
6473 

€917 



37470 
i\iho 
45544 
56744 

70669 



7407 
8000 
8716 

9544 
10648 



90076 
76115 

358< 



ii< 



117^' 

cric 

ia3o3 
i54o5 
18339 

303SK> 



66333 
3aij6 
13838 

06774 



^gSi 



66007 

68409 
60195 



73060 
o3oi7 18 
11 11^ i3 



83900 3i 
34173 78 
1 i 190 68 
1681S 5i 
03417 35 



090 19867 68 

696 69080 57 

838 60694 63 

ioo3 76<^ 5o 

1940 q8oo3 06 



83667 5^ 
41067 4q 
06355 o3 
80697 i5 
roQ 3o 



77iût> 

09157 
63653 

45443 



19100 04 

OQ967 10 

08099 95 
70783 18 



37 



50373 47 
77005 û 
04616 8 
07601 84 
96440 33 



75^ 
0060 
0816 
4080 
6450 



^6438 60 

66781 65 
81733 33 
93936 11 
58333 75 



38766 



03401 60 

93786 -fe 



"3^30 

""ri"! » 
15398 

31908 

68436 44 



oqIsJi 

16341 6 
iioio 78 
66396 64 
461*68 87 



6989 90334 87 



08834 
3ao84 
S58o7 
4oo85 
46001 
60741 



66187 

7434a 

86160 

98005 



1S41I 

54416 
81800 
16769 



10855 

78149 

64685 
77490 



38 



37080 
o3q8o 
88838 



•991 
i3q85 

06509 

36517 
So gaS 



1106 
0950 

11665 



0*6583 
96071 
64o83 
7987a 
^3 16 



SaSo 93 
3733 04 
4378 00 
4936 04] 
6720 3i 
6658 381 



7787 60 

9164 68 

10830 o5 

13863 03 

1 5386 80 



18639 ib 
33475 00 

07473 89 
33869 39 
43i3q 06 



52966 5 1 
67387 76 
86640 38 
10807 06 
49»63 14 



8 



00837 éo 

76396 q8 
86853 48 

54144 07 
19008 5i 



ERRATA de la Table de Gardiner, édition d'Avignon. 



Nombres, 



8i 
1071. 



Correctionfl du log. Nombres. 



?* cfaiiTre o 
•et9« 

8*..r 



io83 
io85 
iic6 



CorrecdojiB du log. 



C^ombret. 



16* chiffre 6 

i3«cti3* 45 

i3« 1 



1116 

1186 

ii36 



Conrections du log. 



iS*diiffire 1 

i5* 3 

i3« t 



TABLE V. 

Logarithmes à 19 décimales pour tous les nombres impairs de ii63 à i5oï , et pour 

tous les nombres premiers de i5oi à loooo. 

Nota, Cette Table fait suite aux logarithmes à flo décimales des Tables de Gardiner , édit. d'Avignon. 
Elle est extraite des grandes Tables du Cadastre, déposé^fs fiu Bureau des Longitudes , et dont la notice 
se trouve dans le tome Y des Mémoires de l'Institut. 



Nomb. 



Logarithmes. 



06557 
o663a 
06707 
06781 
o6855 



06929 

07000 
07077 
07101 

072^4 



0714? 
50353 
o856o 
^5iii 
68959 



07398 
07371 

07018 
07691 



8oiai 
78666 
646a8 
38o5o 

98976 



38448 
6ao37 
45370 
61840 
73363 



4114 
7769 
1735 

1107 
^^99 



i553< 

0775B 

43434 

95089 

i55i4 



^7 
0740 

6816 

1354 

7 m 



47446 

835o3 
0718Q 
18546 
17614 



37930 
46133 
54591 
18691 



3691 
6701 

3S04 

58i8 
5o3a 



07664 
07736 
07809 
07881 

07954 



04436 
79063 

4i5o4 

i83o 
074 



t 



08036 
08098 
08170 

08343 
o83i4 



56373 
70469 
73700 
63oo8 
4i43i 



0341 
1^1 56 
00410 
98848 
03906 



8728 
4898 
6668 
6760 
0489 



o8386 
08457 
08629 
08600 
08671 



"Ô8ÔÔ8" 
63779 
06783 
37066 
56639 



39844 
10887 

97^49 
60771 

43063 



7438 

3146 
886a 
3453 



66673 
34330 
3oo64 
i838i 
44883 



974» 
9910 

9888 

9345 

4749 



08743 
0881 3 

08884 

08966 

09026 



64670 
60887 
45627 
18828 
80629 



36285 
00661 
37004 

86464 
3i3i6 



4633 
3710 
3409 
086*6 
3078 



09006 
09166 
0923c 
09307 

P9577 



30766 

60675 

i3o63 
I79»4 



96731 
96684 

301 30 
76063 
98739 



6432 

6356 
6536 
4583 
8296 



Nomb. 



343 
345 
347 

a49 
361 



363 
355 
367 
359 

301 



363 
365 
367 
369 
371 



373 
376 

377 

^79 
381 



383 
385 
387 
389 
391 



393 
395 

299 

3oi 



3o3 
3o5 
307 
309 
3ii 



3i3 
3i5 

319 

331 



Logarithmes. 



09447 

09016 
09686 
09666 
09736 



11386 

g35i4 
4534 
34383 
78096 



41644 
31766 
78643 
74135 

95419 



7635 
1469 
6i37 

6l30 

9661 



09793 

09064 
09933 

000s 

0071 



10700 
37368 
62776 
57301 
60866 



94149 
17066 

86967 

07863 
73081 



9998 

944* 
7473 

5975 

6310 



0140 
0309 
0377 
0346 
0414 



336o5 
06365 
66148 
16330 

555o5 



65330 
11836 
83441 

94704 
54008 



7^7 

7344 
3410 

7763 

174a 



0483 
o56i 

0687 
0764 



84o36 

01847 
0897a 
06444 

9>397 



63666 
69973 
6^4i5 
78663 
44686 



3967 

9754 
8866 

9226 

5oi9 



0833 
0830 
0967 

035 

093 



66663 
31376 
86460 

62433 



74928 
67313 
04386 
53403 
66420 



5o36 
34ao 
6846 
oaii 
3o88 




293 
36o 
427 



86248 

97684 
99760 
91610 
73965 



80394 
17370 
84080 
78037 
61686 



% 



4 
637 

760 



4^157 

00116. 

55875 
96465 

36916 



13684 

74399 
80644 

50755 
90084 



o38i 
6333 
0814 
8800 

qS44 

6916' 
7667 
3978 

8000 

3777 



836 
89a 

9§8 

3094 
3030 



47360 
57538 

57743 
47955 

38176 



83479 
35776 

61783 

46365 
14537 



3435 
6738 
8079 
3965 

304l 



Nomb. 



333 
335 
337 
339 
35i 

333 
335 
337 
339 
341 



343 
345 
347 

il? 



35^ 

355 
357 

3oi 



363 
365 
367 
369 
371 



373 
375 
377 

g? 



383 
385 
387 
389 
391 



393 
396 

397 

399 
401 



Logarithmes. 



ai65 

3331 

3387 

3353 

a4'7 



08441 
68783 
09338 
49809 

80664 



87600 
72836 
64435 
43731 
74676 



'33 

»52 

6119 
997^ 

123^ 



3483 
3548 

s6i3 
3678 
3743 



oi^q4 
13667 
14073 
06770 
87778 



13869 

00694 
61982 

12008 

61698 



ao6i 
oa68 
3683 

9744 
5^29 



3807 
3873 
3906 
3ooi 
3o65 



3i39 
3iqS 
3367 
3331 
3385 



60136 
39843 
76967 

Ï9496 
53490 



68716 
384a6 
33986 
71904 

33030 



3565 

7849 
6132 

2476 

5913 



77965 
93953 

98476 
94567 
81953 



3449 

35i3 
3576 
3640 
3703 



3^ 
383o 
3893 
3956 
4019 



55558 
365i3 
85i45 
34481 

745421 



97623 

10494 

59737 
33404 

©3^4 



î 



36 

43 

0691 
3ii4 

6909 



34673 

7b774 
67833 

33989 

89613 



6617 
8430 
3700 
36 

97 



g 



06373 
36901 
39403 
4ab6i 
36785 



36766 
66381 
66933 

76849 
7863 1 



1114 
4660 
6777 
7681 
2844 



4083 

4^44 

4ao7 

422^ 
433a 



a 1^1 

97734 
64610 

334^7 
7 1^99 



09310 
00467 
73284 
37616 
92046 



6824 
3686 
8627 
6730 
4100 



4396 

4457 

4519 
4581 

4643 



11164 
42076 
64061 

77^44 
81 35a 



33963 
09616 
14181 

?i897 
5774 



4808 
3591 
9060 
*6a88 
6000 



m 






Nomb. 



35ii 
3517 
35a7 

353Q 

3533 



^9" 
3541 

3547 
3557 

3559 

3571 
358 1 
3583 
3593 
3607 



36i3 
3617 
36a3 
363 1 
563 ^ 



3643 
3659 
3671 
3673 
3677 



3691 
3697 

0701 
3709 

37^.9 



3737 
3733 
3739 
3761 
3767 



3769 

3779 
3793 

3797 
38o5 

38âi 
38a3 
3833 

3847 
385 1 

3853 
3863 

5877 
388 i 
3889 



Logarithmes. 



54765 
54814 



65351 
1694^ 

67489 
5996Q 
34845 



aio3 
58o3 
633i 

1987 
4904 



54888 
5491a 
54986 
55io8 
55i3a 



55078 
55400 
554^4 

55545 
55714 



Q56a6 
59067 
II 884 
3865i 
79880 



37514 
58iii 

7» 94a 
85780 
o3845 



884s 
o6a5 

7498 
334a 
9035 



98601 
43âio 
68081 
72170 
6i4a3 



9^781 
1190a 
66110 
04649 
18363 



94a3 
3io 



5931 . 

4896 

ii33 



55786^ 

55834 
55906 
560011 
56074 



i 



6i5 68oaa a3o4 
087 61619 7283 
83340 34536 8287 
6^489 12893 3179 
35oip 54711 9111 



Nomb. 



3907 
391 1 

39'7 

0919 
3923 



56145 

56336 
56478 
565o2 
56549 



91712 

43845 

OQ283 

36298 



9002 

7607 
3886 



56714 
56784 
56831 
56926 
67042 



1 

90860 
68333 
61783 



96667 
73106 
96111 
28610 
58972 



172^ 

7959 
7809 
1425 

5899 



57135 
67206 
67276 
67530 

57599 



93§a7 

m 

33334 

66202 



63839 
26304 
54^19 
22399 
05267 



6579" 
5400 
6164 
1166 
63oi 



57622 
67737 
67898 

57944 
68012 



61874 
68919 
28427 
06971 
63254 



49604 

17014 
02790 

39797 



9666 
S076 

1887 
4589 



68217 
58240 
68353 
68612 
58557 



70376 
42980 
88102 
2t863 
35i86 



5^279 
68692 

68849 

588q4 

68983 



88408 
19028 
54352 
0681 5 
22731 



8355 
1110 
1387 
4900 
1023 



900Q0 
47081 
68010 
36427 
7943i 



iSooo 
44820 
07210 
40014 
47459 



9a»9 
&32S 

oi4i 
9113 
7476 



3931 
3943 

3947 
3967 



4001 
4oo3 
4007 
4oi3 



4019 
4021 
4027 

4049 
4o5i 



4167 

4169 

4^77 



4201 
4311 
4217 
4319 
4229 



423 1 
4241 
4243 
4263 
4269 



4261 

437 ï 
4273 

4283 

4389 



tiOgaritbmet. 



59184 
69238 
69296 

69061 



.112 

7^ 
367 

62634 

83o8i 



69428 
69460 
69682 
59626 
69846 



a4784 
52i3o 

47866 

78102 

29635 



4534 
6928 
8683 

6917 
9103 



20288 
3o438 
67770 
71263 
22004 



11806 
20089 
73220 
955i5 
74160 



1101 

1841 
1806 
33o4 
6198 



60086 
60216 
6o238 
60281 
60346 



4o363 
865i3 
66901 
93424 
91597 



00839 

78997 
o5io5 

32& 

338! 



6628 
1702 

1223 
7820 
7345 



60411 
60433 
60408 

00766 



80061 
40731 
16206 
77767 
22431 



92034 
02911 
07431 
6841 3 
83688 



60820 
60991 
6io55 
61182 
6i2o4 



8608 
1042 
6667 
400D 
23o4 



60077 
44100 
37063 

94794 
'7446 



04326 
86997 

45^69 



Nomb. 



^7 

4337 
4339 

4349 



4367 
4363 
4373 
4391 

^7 



4409 
44ai 
44a3 
AUX 

4447 



445i 

4457 
4463 

4481 
4483 



61267 
6i3o4 
61663 

61684 
61626 



79183 

74ZÇZ 
44688 

48828 

64062 



16601 
80349 
774» '5 
74702 
81708 



7600 
7610 

9Î49 
i328 

1904 



61689 
61 836 
61878 
61808 
62006 



54264 
19311 
00246 
89203 
4475a 



00769 
oo87iî 

06214 
64933 
65 121 



9660 
1660 
7633 

61Q9 
1164 



Logarithmes 



633i6 53636 839o3 igc8 
636i8 68961 98724 2773 

S^iS ^if"' ^^^' ^'h\ 

60708 96601 29211 9103 
63838 94076 66336 9626! 



65918 
63978 
64077 
64266 
643i5 




35^ 
86820 
44856 
04387 
19706 



9076 
1393 

6 




»2 
3020 



64434 
64662 
64671 

«4748 

06 



.41 
648 



00988 
06149 
69333 
07701 

71294 



26322 
06874 
69603 
73675 
48934 



0063 

79». 9 
lia 

!4 




64845 
64904 

6^?3? 
65i66 



4623 

4547 

4549 
456i 

4667 



62336 
62438 
62600 
62620 
62623 



26816 
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76400 



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66906 
66963 



64185 93025 393Î 
75580 70977 6206 

53336 20145 8404 
00906 61394 2024 
2541 5 Siabi 7 644 



66877 



00722 
10116 



46918 
06108 
29966 
40938 

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201 5 
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66623 70968 96804 
66642 43725 18760 
66679 86836 66174 
66735 û546i 83o87 
66764 63396 11 616 

è68io 63379 33731 
66866 64164 54493 
66963 67810 243»3 
67010 30461 92180 
67126 64329 47168 



6096 
7866 
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2393 

3233 



4504 
6021 
0623 
0783 

4775 



67237 
67405 
67421 
67476^ 
67613 



49787 46079 

40004 3r264 
79466 76690 
93i4o i54ao 
66044 67994 



3193 
0669 
3119 
3386 
3624 

4876 
89^1 
9^88 
2764 
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LogÀrithmet. 



67678 5cSo4 

67751 ^7°4l 

?eoo6 34074 
^8034 486 70 



igacS 4fi4 
98757 4844 
7'9fi4 '48a 
81948 5693 
43607 7( 



[787 8760 
33431 3937 
69165 7458 

7735a 4qOO 

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Logaritfamea. 



7i4»4 59"o 
7i5o8 35706 



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Logàritlimet. 



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68a4i 586 1 
68377 66463 



684o3 70574 
68673 563 10 
68761 8iaq5 
688 r5 07555 
'"pa 00573 



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74543 i6o3 

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01 566 3a87 
5 SégS 



53^5 



7t858 47300 
71875 07347 
71908 367^ 
73106 83ot7 

73305 777 



■7436 oo5a 
396653449 
01485 8954 
97159 oo5a 
3)464 1 38; 



69187 68335 
69393 BooaB 
69311 in54 



GgSqg 06104 
69489 agaSS 
69531 89189 
69609 41599 



46178 3536 
99869 4373 
S9331 3sai 
3ii37 7324 

63141 3386 



69636 89967 
69661 84593 
60783 03683 
69836 i566o 
6 9888 gi36 7 



19531 rseî 

6077S 783© 
31484 0807 

o5i5o QzoS 
95:133 3431 



73615 64681 
73697 15836 
79811 01841 
; " =9 



; J3 e 
75a3i 33374 7 
73395 63696 7 
7334 3 80370 



3 00958 45oS 
( 88494 8o5i 
, 35^7 7071 

4m56_9^4 



75634 1,838 
755i^ 10410 
76671 BiSoi 



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76396 18360 
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7663384753 
76683 58863 
76708 163 (3 
76735 00981 



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o4i3i 9618 
64771 6349 



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5£388 i536 
84880 5853 



69933 o5oi8' 

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70079 033 1! 
70096 3178 



45533 7954 
33334 Q4^6 
18363 o755 
66109 7^^4 
63690 3337 



70034 43583 
70337 73685 
70406 46734 
70660 71634 
70^94 9194» 



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895 i| 3336 
43470 6gg6 

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i()a49 3096 



73375 88355 87309 7o3i 
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93607 5336 
01710 7747 
06304 5556 



73535 q333o 
73567 87369 
■^5^83343" 



73806 67147 
73854 37409 

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7073 765Ô 
04108 8349 



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61987 5o46 
10367 6s 35 
65333 36a 1 
07189831 



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76797 17313 ï- ■* 
76841 60883 1 
76866 41095 1 
76950 54601 f 



7^45 11794 
77o»3 11377 
77107 37833 
77354 iTSiS 
7738g 49373 



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K73 4661 
89081 7^ 4 



55768 70!. _ 
13349 5473 
08667 3630 
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0395 6716 



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67473 

3 1186 9130 
55540 0645 
aG536 9 - 76 1 



73901 8a458 
74044 i64<9 
74069 qSisH 
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74.86 o59 4o 



83480 90<i7 
49766 <t683 
iit56 5i3E 
8iaB3 6460 
65363 6418 



03067 6191 
7780G 5864 
311947373 



"70646 17376 

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70765 53a35 
70816 53578 
70867 57937 



709(8 SraqS 
71155 4(683 
71306 ÛÎ434 
7i3a3 84616 
71367 45377 



5034a 4348 
60169 5456 
61074 7488 
45S61 7155 
73069 7653 



74301 77471 
74a48 04645 
74380 ÎÎ6584 
74484 033G7 
74530 90599 



74608 90430 

74671 303a5 
74748 .94<)3a 
74906 8o836 



40. 38 ^ 
81776 làgB 
69166 6753 
85379 1774 
40837 9784 



89769 0674 
56 300 aoi& 
16660 447» 
68673 867S 
09403 8803 



77371 33353 
77473 68836 
7767731*094 
77730 93681 
77865 7S519 



77091 6393 
61753 3540 
131 07 o43q 
456*4 84^4 
47355 3459 



78089 11768 
78135 36043 
78153 93688 



68616 7433 

6536a 67oT 
6347a 9465 
484E& 4914 
0694 t 7103 



Nombr 



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6067 
6073 
6079 
6089 



6091 
6101 
6ii3 
Gifti 
61S1 

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6143 

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17811 
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61673 
64966 
45560 
68i55 



79586 

79567 
79636 

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16059 

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460a 1 

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7941 



79719 

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79844 
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68007 
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60710 

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8335 
7351 
4660 
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0711 

5674 



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i3si8 
74546 



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80434 
80475 
8o5i0 
80597 



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471 13 
88553 
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79866 
60400 
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80800 

80949 
8096B 
81085 



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8aS99 
03760 

70418 

71311 



^H94 
10399 

^541 

94^4^ 
40488 



6086 



7399 
3007 



Nomb« 



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64B1 
6491 
65a 1 
6639 



6647 
6661 

6653 

6563 

6669 



6571 
6677 
658 1 

6607 



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6657 
6653 
6669 
6661 



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6689 
6691 
670 1 



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-6709 
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6733 
6737 



6761 
6763 

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6791 



679T 

68o3 
68a3 
68B7 
68fi9 



6833 
6841 
6867 
6863 
6869 



6871 
6883 

6899 
6907 

69U 



Logarithmes. 



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B1164 
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61431 
81484 



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16091 
4ftooa 
66606 



17930 
53i5i 
Si 193 
07469 
04463 



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7750 
568o 
a88a 



61604 
8i63o 
81644 
81710 

81749 



a34o9 

75994 
01679 

fi4o43 
92618 



01006 
01909 
&6i38 
56903 
67768 



6]83 
6000 
660S 
148a 

^4«l 



81763 
8180a 
81839 

81947 
8aooo 



14671 
784*8 

eia83 
45066 



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80197 
8a3bi 
8a34o 
8a363 



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18176 
7625^ 
90148 
94336 



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69366 

59995 
6aiaa 

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9143 

599* 
9009 



68303 
4fio4a 
46049 
qa544 
56858 



7160 
8i3a 
3396 
83^7 

"99'» 4 



8a43a 
80471 
83656 
80649 
8a6i3 



11048 

14434 

^1959 
10398 

96179 



60 



1x5771 

64754 
6a653 



8a6o6 
8!i666 
8073c 
80800 
80846 



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77918 

46410 

86144 

66473 



0^ 

3175 
3346 
8769 
763. 



75869 



3094 

9394 

477 
5337 



83ooi 
83oi3 
83ii6 
83130 
83193 



09369 
95874 
66339 
5740 

37304 



36117 
06340 
09443 
7700Q 
66745 



8611 
7060 
;869 



832o6 
83370 
833.97 
63403 
85435 



16146 
04709 
53713 
99008 
71107 



10706 
►0667 
|o6 

77 
i84o5 



83461 
836 11 
836i3 
83651 
83689 



14207 
96904 

4» 494 
39988 

35i63 



fiO 



657" 

34549 
65374 

90671 

76433 



9775 
3988 

0758 



1743" 
6390 
8a56 
5895 
7^01 



83701 

85777 
83878 
85928 
33954 



99485 
77696 

61449 
94660 

08999 



53733 

46594 
06146 

68968 



4o4o 
3867 
61 a6 

9348 
8441 



Nomb. 



6917 

6947 
6949 

€969 
69^1 



6967 
«97» 

f97Z 
6985 

6991 



%7 
7001 

7013 

7019 

7027 



7^2 

7043 
7067 

7069 

7079 



7103 

7109 

7tai 
7137 

7'a9 



7307 
7aii 
7ai3 
7319 
7209 



7337 
7043 
7047 
7053 
7083 



7^97 

7509 
7331 
7331 



7353 

7349 
735Ï 

7360 

7393 



Logarithmes* 



83991 

84179 
84190 

84064 

84067 



77756 
73988 
o3t 16 
68364 
16337 



84^04 
84329 
84566 

^4o4 
84453 



"58706 
60827 
87009 
00420 

gSooi 



78680 
74556 
79460 

96014 
60788 



988a 

^963] 
8701 

94841 

4o33 



545"59 
56607 

79143 
41016 

39007 



093a 
1077J 
7641 
6301 
905 1 



84491 
84616 

84590 
84637 
84676 



187! 

OO' 

58^86 
5a4a4 
99535 



10140 

61945 
9878a 

13315 
57318 



6054 
8108 

5oo5| 

1761 

78581 



»475i 

84775 
84860 

84935 
84997 



096S0 
768^ 

01174 
79816 

19103 



o3a48 
00351 
34155 

61298 
38850 



86144 
86180 

86064 
86090 
85Sofl 



1814^ 
86140 

67087 
86147 



70066 
flt8o37 
65798 
96955 

1^989 



86436 
86485 
855q4 
85664 
86691 



67780 
a3624 
394611 
7W8 
oo6o5 



40869 
17834 
5o5i6^ 

66747 
00786 



1471 

0669 

9062! 

9605 

11761 

o6q8 

4944 

8685 

67531 

7o56 



86776 

855?? 

86847 
86907 



46000 
64o56 
69501 

?o4i8 
0047 



69440 
609213 
90066 
*i55^o 
46969 



6918 

00701 

0049 
85o3 
03341 



0260 
9877 
11 14 
636oi 
5440 



86955 

06010 
86061 
86o3i 



86706 
8485o 
8o6i5 

76774 
o5og9 



26Ô55 

0071 S 
18078 
61746 
54270 



6096 
7602 
0466 
5069 
4107 



865i4 
86575 
86586 
86467 
86616 



8g55« 
86600 
86654 
86740 
86880 



43463 

79618 
04068 
60196 



60667 
46217 
8597a 
6343o 
06086 



4535 

11781 

9601 

06881 

ô335 



16849 
80473 

64«37 

85565 

07061 



96610 
79647 
49601 
00791 
97617 



■§4851 
^099 
75831 
o6i5| 

37s» 



Nomb, 



74»» 

74«7 
7433 

745 1 
7457 

7459 
7477 

748» 
7487 

7489 
7499 

75a3 
75^.9 

7547 

7559 

7661 
7573 
7577 
7583 

7^89 

7003 
7607 
76» 1 
7689 

7G43 

7649 
7669 

7681 
7G87 

7691 

7690 

7703 

77*7 
77a3 
7727 

7741 
7753 

7757 

7759 

77^9 

77JP 
7817 

78a3 



Logarithmes. 



86987 
87022 
87116 
87221 
87256 



68i32 
82790 
41328 
45633 

414^ 



66766 

^^794 
02q4q 

97585 

90661 



5706 
4326 

4io4 

538 1 
5862 



87268 
87372 
87395 
87430 
8744a 
87500 
87546 
87604 
87639 
87675 

87719 
87742 

87788 
87846 

87855r 
87926 

«7949 
87984 
88018 

88029 
8809!} 
88121 
88201 
883o3 

88526 
88360 
88473 
88496 
88541 

88575 
88598 
88643 
88665 
8874 4 

88778 
88801 
8Ê879 
88946 
88969 

88980 
89148 
89170 
89304 
89337 



06071 
73806 

96547 
78331 
383o5 

33556" 
64i58 
455o2 
10618 

7^97' 
85 162 
89407 

4S493 
94253 

43453 

92380 
79568 
72872 
10559 
45528 

899*4 

49904 
34162 

iû6i6 

65ioo 

38595 
46609 



68810 
28113 
43196 
98978 
80002 

60348 

09122 

70674 
97839 

379 '4 
57518 

i7o38 
46762 
011 19 
333o2 



61929 
46679 
43353 
28o38 
86601 

00041 
66386 
46006 
19187 
40664 

71789 
88210 
91398 

7'483 
41468 

62219 
24612 
4.94a8 
8656fl 
26433 

26762 
86763 
55019 
2665*8 
27679 

84973 
22292 
696^1 
00782 
1 0936 

69267 
54973 
28938 
61202 
49.953 

38371 
45028 
56680 
69607 
44» 85 

68086 
39620 
39182 
67117 
46024 



6646 
6096 
1458 
9680 
8696 

5797 

6019 
7640 

7457 
o8i2 

990Ô 

909' 
2161 
8067 
5429 
&460 
4408 

6915 
4266 
2197 
6244 
8002 

4558 
7802 

7035 

094' 
■3968 
0938 
2978 
8219 
6908 

■"6416 
7325 
7607 

4'9» 
3i48 

4^32 

0093 

694a 

9356 
gaoi 



Nomb. 



7829 

7841 
7853 
7867 
7873 



7877 



79«9 

792Z 
7933 

7937 
7949 

79^i 
7963 

7993 
8009 

Sou 

8017 
8039 
8o53 
8069 
8069 

8081 
8087 
8089 
8093 
8101 

8111 
8117 
8123 

8i6i 

8167 
8171 
8179 
8191 
820 9 

8219 
8221 
8231 
8233 
8237 

8243 
8263 
8269 
827S 
8287 



Logarithmes. 



89 

89 
89603 

89680 
89614 



62q3o 

14&38 

56974 
91601 

02614 



64713 
66287 
62822 
69180 
42019 



48i3 
6867 

6469 
9601 

6842 



89686 

89647 
89669 

89768 

89801 

89867 
89910 
89943 
89966 
90081 

90.04» 
90107 

90270 

90867 

90868 

90401 
90620 
90696 
90628 
90681 

90746 
90778 

90789 
90810 

90868 

90907 
90939 
9097» 
91099 
9^^74 
91206 
91227 
91270 
91 333 

9^4^9 
91481 

9»49a 
9*545 

91665 

9 «576 

91608 

91713 

9*745 
91766 

91839 



08454 

11004 
16266 
20617 
1 7887 

08429 
88581 
7454a 
638o3 

fl49^9 
17634 
67167 

§a 

M* 7 
i8835 
20286 
76990 
11557 
97*54 
61067 

74431 
48354 
96408 
86821 

44014 
66469 
64532 
77168 
33778 

25556 

62104 
02081 
69269 
02666 

■898Ô4 
46482 
26016 
81154 
9o659_ 

62998 
77627 

«99*9 
802^ 

73388 



69316 

^9^77 
62884 

964*9 
9750* 

66629 
93399 
86177 
o5635 
88726 

26254 

63o54 
365o2 

97888 
62818 
92427 
72163 
66646 

"66856 
10616 
16282 
92662 

7 *959 
00904 
67106 
34344 
10642 
6 6981 

88602 
98812 
Û0860 
82628 
65949 

47473 
o5i48 
88478 
11620 
83684 

48702 
56444 
29668 
a7874 
43700 



'8291 
4002 
6687 
6069 

5994 

6041 
8523 
0780 
3891 
4680 

2264 

6417 
0715 

0643 

4602 

1959 
1702 

8982 

1782 

8955 

3ii5 
5346 
6126 
8oq3 

695* 

■3437 
8276 

3649 
*9*9 
0049 
1221 
4869 
758"5 
4260 
i33i 

7266 
2692 
4871 
9431 
1688 



Nomb. 



8291 
8298 

5^97 
83i7 



8320 
8353 
8363 
8369 

8377 
8387 
838q 
8419 
8433 
8439 
8431 
8443 

8467 

85ot 
85i3 
85a 1 
8537 
8557 

853q 

8543 
8563 
8573 
858 1 

8597 

8609 
8633 
8637 

8639 
8641 
8647 
8663 
8669 

8677 
8681 

868q 

8693 
8699 
8707 
8713 

8731 
8737 



Logarithmes. 



91860 
91871 
91802 
919B5 

9*996 



69161 
16668 

lOQOO 
82823 

67014 



81 



21 



44i 
82 

91885 

10864 

88887 



9802 

3210 
7852 

197* 
1454 



92069 

92236 
32267 
92808 

92860 
92871 
92626 
92646 
9^577 
92687 

9^649 
92670 

93742 

9?77i 

9^947 
98008 

93049 
93079 

98180 

98140 
93161 
98262 
933i3 
93353 

93434 
93444 
93495 
93565 

93586 

98696 
93656 
98686 
98766 

93796 
93886 
98866 
98896 
93916 
9^46 
98986 
94016 

94046 
94106 

94*36 



28620 
24814 

^Û 

03070 
86154 

66480 
01943 
06096 
68006 
60688 

90898 
07892 

lOQDO 

95597 
00161 

26338 
o5658 
62629 
62814 

70186 
04068 

5q44o 
28287 

790*9 
69267 

79489 
27078 

8386i 

9798o_ 

04689 
40061 
54689 
83ii0 
900^3 

95974 
97662 

9797a 

9!?Z.96 
93308 

85444 

77*40 
66776 
89882 
33357 



84808 
o5857 
84790 
58564 

4??99j 

"17469 
96662 

19435 

9*537 

S6746 

01600 

78220 

83644 

60418 

71654 

77489 

06269 
88800 
31678^ 

M573 
62962 
21782 
36784 
7*704 

38255 
48970 
17868 
00634 
37^_ 

89166 
86266 
76622 
99005 
61462 

378Ô6" 

31061 

32890 

36177 

43530 

69609 

34074 
636a8 
19902 
11761 



4981 

9354 
0284 
3247 

fl479 
1196 
7871 
t6a4 
8604 

^94' 

8311 

3694 
9614 
7062 
0057 

4989 
3241 

6942 

2173 

2821 

47^ 

0216 
1916 

^779 
6627 

6848 
0689 
0882 
1681 
43*5 

4565 
9636 
5638 
1079 
8869 

3i37 

i7o< 

337; 

4366 

i338 

7176 
9a9a 

9^22 
0168 

1376 



Nomb. 


Logarithmes. 


Nomb. 


Logarithmes. 


Nomb. 


Logarithmes. 


874, 


94i56 iiaoa 36070 7866 
94i85 9H65 35373 63a6 


-Ê 


9?"!; ■'s'^ '^^^ s?''* 
96388 9,873 9,791 ,698 

963,7 37163 ,5a5i 6470 
96374 06188 57884 io33 
9639a 94330 36558 4660 


9587 


98168 37373 7.386 3763 
98331 64696 93066 9538 


m 


960. 


94ai5 63384 67490 46io 
94355 368o3 34309 9340 
94344 50490 360S 4334 


9187 


9613 


98a85 89433 13076 333i 


8761 


9'93 


9bi9 


983,3 9934, 34,00 07,5 
,833i 0485, ,4, i5 54S, 


8779 


9So3 


,ba3 


8^3 


94364 38837 53139 oi8a 


9»»9 


96431 34739 698,9 3383 
96477 80330 333,6 0393 


9639 


98358 ,1867 06790 7016 
98367 13838 60196 5746 
98431 31667 6,433 85,0 


94463 07018 56078 3405 


9331 


9631 


88c7 


94483 79963 43316 3457 
54541 9S36 o3o63 1S3S 


9337 


96506 05306 ,1198 55,9 


,643 


88,9 


,33, 


,6563 49671 0934a 77«3 
,657, 8,703 44aao 8809 


%t 


98448 33o64 oaa6a 76,6 




94551 783SO 77839 6193 


9»4. 


98603 3083, 09536 1666 


8831 


94S00 98847 66764 8793 


,35, 


96647 03637 39384 4,4, 
96740 75565 9,473 8,35 
96769 47736 7,889 7507 
96768 83504 533,3 6,74 
968,6 59371 459,0 4966 


9677 


98674 07410 5oo,4 5,38 
98583 048,8 58353 ,658 


8837 


94630 48549 93474 9335 
94640 3.33S 99054 5994 


9»77 




883q 


93» 1 


9689 


iilËSi,!" 


S§â? 


94689 41951 03336 7739 
94748 373G5 56918 6330 


,383 




9»9i 


.9719 


88S3 


94,58 07403 04333 4964 
94777 67084 64738 3990 
94875 5 1801 6836, 838G 
94904 83933 15663 8io5 


,3,1 


96890 63366 48313 353, 
969B8 53117 335=7 48o5 
96955 B6843 3o84à 5383 
97oao 73588 06864 639a 




\&\ 67333 ,53,8 3^45 


8867 


ta 


9753 




9739 
9743 


,33, 


98869 37036 49816 7663 
98896 oo,o3 ,o338 0363 


89»3 


95o5i 08939 85996 5961 


9'4. 


,97039 ^3730 79600 13,3 


9749 




95080 38339 64658 5ioo 


,343 


97048 63488 47660 3359 
97076 5,397 80767 7041 


9767 


98976 ,,8,, ,8„8 1870 
98985 01096 o3i8o 4i53 
99038 33589 06333 5,44 
99064 9688 18854 tMt 
99083 70606 674,8 85, a 




9f°aa ^ph 8*8»4 976» 
951S8 60948 80393 8195 

95187 iSoTi 38364 3533 
96345 33964 a3o33 3333 


,349 


9769 




,37. 


97,78 59378791144156 
,7306 3q,6o o8oaa 3463 
,,7371 18405 4,066 533o 


,781 




9377 


9787 




9391 


979" 




95374 40340 14898 36i6 
95384 08566 76701 5836 


t& 


9,398 93368 55348 7983 
9,336 64361 o85a8 6434 


9803 


99,35 00036 37,50 3638 
99,7. 33,5, i3b89 458a 
99197 87,09 94583 636B 




98,, 




95419 43518 .5863 4479 


,4,3 


97373 80686 88037 4147 
97400 4,968 97414 6439 


98,7 


900. 


^A% '>7Ç'7 ■">26 997" 
95458 01637 43,57 ^73 


94., 




9007 


9431 


9,409 70037 94i3i i3oi 


9011 


9545? 9§7?o 6§475 J455 


943 1 


9,455 77448 036,9 9180 
97464 98344 387«3 0,50 
97483 3,55o 48640 0634 


98^9 


99395 09605 7044s 4446 
99348 oBiqo 69006 5o75 
99574 475S5 5^ëa U^^ 
99383 a8666 13986 1431 


90,3 




,«61 


90=9 


95631 64693 43390 5833 


94*7 


,«.17 


9041 


9439 


9,49a 59860 89,63 4483 
97693 70434 83, ,0 6333 


,859 




9563i a53o8 41194 53o7 


,46. 


,871 


9^436 ij5i9 08001 oaoq 


9049 


95660 05883 131,6 6633 


9463 


57603 88400 91.35 884a 


,883 


99488 87953 64qio 6336 
99606 4534. 66141 5338 


9069 


95708 03596 5,899 8G13 
95,46 36187 39931 3890 


947? 


9763, 337,, 17377 1089 
9764; ,5M 06185 ,36. 
9,676 353Sa 67460 8333 
97731 19733 96935 9941 


,«», 


9067 


9901 


99667 90606 ii6ua i8i5 


909 ■ 


95861 1S577 64679 41»» 




99OZ 
9933 


99694 aiSag gaSSo 6a8Q 
99664 fl99t3 55473 4740 


9103 


96518 45437 31191 4869 


,4,1 


9109 


95947 07030 75107 1038 
96033 8o5o5 30143 1414 


9497 


97,58 64380 o385, ,38, 


99,^9 


99690 35io6 96666 1533 


?;s 


,5,1 


97833 6,8,6 74535 900, 
97868 35651 66944 6443 


993, 


99699 119818 90706 7o51i 


9G061 34576 47908 8154 


9631 


9941 


,9É66 44583 6094, §468 


9>37 


96^46 8555? 6^8i ?434 


9533 


9793!» 96930 33i55 3637 


9949 
.9967 


9,6. 


913, 


9,960 38487 87401 a68i 


9.!.7 


96175 3ai4i 86,83 5731 
96194 3883i 4i38, 3684 


%t 


^§SI?2fo?gl5ll 


9,7* 


99883 68,90 40386 0476 
oooSo 38997 8481s 4918 


g, 6. 


,0007 


FIN DES TABLES, 1 



EXERCICES 

DE CALCUL INTÉGRAL. 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 

SUITE DU TOME lU. 

XJA détermina doB des fonctions E etF, selon les diverses, yalenrs 
de Tamplitude et da module^ est encore Tobjèt principal que nous 
nous sommes proposé dans la continuation de ces recherches. On 
peut j parvenir 9 soit par le moyen d*une table particulière dressée 
pour chaque valeur donnée de Tangle du module, soit par le moyen 
dun système de tables, qui seraient construites en faisant varier par 
des intervalles égaux et suffisamment petits, Tamplitude et l'angle 
du module. Le dernier moyen est celui qu'on jugera le plus com« 
mode dans la pratique, quoiqu'il exige dans chaque cas une double 
interpolation ; mais le tjravail qu'il suppose est une entreprise longue 
et difficile, dont Texécution ne peut être que fort éloignée. Nous 
avons tâché au moins d'en applanir les difficultés par un travail 
préparatoire dont les Tables VIII et IX contiennent les résultats, 
et que nous expliquerons avec tous les détails nécessaires. Ces Tables 
elles-mêmes peuvent déjà suppléer en partie aux Tables plus éten- 
dues qui nous restent à désirer; mais, comme elles ne procèdent 
que de degré en degré, tant pour Tamplitude que pour langle du 
module, leur interpolation sera nécessairement plus difficile ou moins 
exacte que si ces intervalles étaient plus petits. 

Si Ton veut éviter les doublés interpolations, il faudra revenir au 
premier moyen, c'est-à-dire construire pour chaque module donné, 
une Table particulière qui étant calculée pour un certain nombre 

n 



1^4 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL, 

de yalenrs de Tamplitade^ puisse faire connaître^ avec le moins de 
travail possible ^ les fonctions qui répondent à toute autre valeur 
donnée de l'amplitude. Nous avons déjà indiqué^ dans les recherches 
précédentes 9 plusieurs méthodes qui remplissent cet objet ^ et nous 
avons fait l'application d*une de ces méthodes à la Table particu- 
lière pour le module sin 4^% laquelle a été calculée jusqu*& douze 
décimales , afin de pouvoir être sur de l'exactitude de la onzième 
ou au moins de la dixième. Mais on a pu remarquer que le calcul 
d'une pareille Table^ quand il ne serait fait que de degré en degré, 
est très-long; ce n'est donc que dans le cas où l'on aurait un grand 
nombre de fonctions à calculer sur le même module ^ qu'on peut 
se livrer à un travail préliminaire aussi considérable. En réfléchis- 
sant de nouveau sur cette matière ^ il nous a paru qu'on pouvait 
plus Êicilement atteindre le même but par la méthode du § IV» 
modifiée convenablement. On verra en efilet qu'un tableau formé 
de quelques lignes seulement, d'après un module donné , peut 
servir k calculer jusqu'à dix décimales ou plus, les fonctions E et F 
correspondantes à une valeur quelconque de l'amplitude ç, et qu'il 
suffit pour cela d'ajouter au calcul ordinaire de l'interpolation , celui 
de quelques formules trigonométriques très-simples. La formation 
de la Table auxiliaire et le calcul qu'exige son application, sont 
déjà peu compliqués, lorsqu'on ne veut obtenir que dix décimales; 
ils se simplifieraient encore bien davantage, si l'on se bornait à 
sept* Au reste, pour faciliter l'usage de cette méthode, nous avons 
construit la Table VU, qui fournira immédiatement^ pour chaque 
angle du module moindre que 4^% l'élément principal sur lequel 
le calcul de la Table auxiliaire doit être fondé. 

Persuadé, comme nous le sommes, que cette méthode est la 
plus facile à employer dans la pratique , tant qu^on n'aura pas à sa 
disposition un système suffisamment étendu de Tables elliptiques , 
nous l'avons exposée avec détail, et nous l'avons appliquée à divers 
exemples , en développant quelquefois fort au long les calculs qu'elle 
exige. Le dernier exemple relatif au module sin 8i% a été calculé 
surtout avec tous les soins nécessaires pour que l'exactitude des ré- 
sultats puisse être garantie jusqu'à la quatorzième décimale. Il est 
à croire qu'on n'aura jamais besoin d'une si grande précision ; maù 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 175 
nous avons donné cet exemple comme la limite du degré d'exac- 
titude auquel on peut parvenir, par les Tables connues ^ dans un 
des cas les plus difficiles de la théorie de^ fonctions elliptiques. 

Avant d'exposer ces diverses méthodes d approximation , nous 
avons traité de quelques autres objets que nous allons indiquer 
sommairement. 

Le § y III donne les valeurs des fonctions E et F ^ telles qu'elles 
résultent immédiatement de l'intégration par séries. On y trouvera 
deux Tables qui donnent pour chaque degré du quadrant, la valeur 
de l'intégrale/!/^ sin*(p, avec dix décimales, et celle des deux in«- 
tégrales fdp sin^ ^ , fd^ sin^ ^ , avec neuf décimales. 

Dans le § IX nous avons donné l'intégrale complète des équations 
différentielles du second ordre auxquelles satisfont les fonctions F 
et E, considérées dans toute leur généralité. 

Dans le § X nous fiiisons voir que toute fonction rationnelle de 
sin m et cos a», dont le dénominateur est incomplexe, étant déve- 
loppée en série, suivant les puissances de e», on peut assigner un 
terme quelconque du développement, par le moyen des coefficiena 
H«, K». Nous donnons en même tems l'expression générale de 
chacun de ces coefficiens, sous deux formes différentes. 

Le § XI a pour objet de réduire à la forme la plus simple., la 
formule générale qui sert à déterminer la fonction Ef, suivant la 
méthode des modules croissans. 

Toutes ces recherches sont terminées par quelques considérations 
générales sur les moyens qu'il faudrait employer si , dans la déter- 
mination des fonctions elliptiques, on voulait obtenir plus de i4 
décimales exactes; Tusage de la Table des logarithmes des sinus 
cesse d'avoir lieu à ce degré ; celui de la Table des logarithmes des 
nombres peut, moyennant quelques artifices de calcul, être pro« 
longé jusqu'à no ou 23 décimales, ainsi que nous le faisons voir 
dans le calcul des fonctions complètes F*c, E'c, pour le module 
^=:sin45'^- Mais au-delà de ce nombre de décimales, il faut revenir 
aux calculs arithmétiques ordinaires, par lesquels seuls on peut 
obtenir un degré d'exactitude indéfini, 

Paris, le i*' Juin 1818. 



176 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL, 

§ VIIL Formules pour exprimer les fonctions E etY en 
séries développées suivant les puissances de c*. 

1 38. Si l'on développe ^ suivant les puissances de c% les valeurs 

AedEtlAt dF ^ savoir : ^(i — c*sin^^)» et ^(p(i — c*sin*^)*» , on 
aura immédiatement par l'intégration y 

%:=(p^lc^fdpsm^9^^f^c^fd(pûn^^ etc., 

donc si Ton fait pour abréger 

/i(psinȍ = Z', /J(psin^(p=Z", /aip sin* (p = ZV etc. , 
ces intégrales étant prises à compter de ^=0, on aura 

E = ^ — i c»Z' — i^ c4Z"— i^:? c«Z'" — etc., 

et comme les quantités Tj\ 1]\ Tj"\ etc., forment une suite dé- 
croissante, non-seulement pour toutes les valeurs de 9 moindres 
que ^tt, mais encore pour la limite f = ^^, où elles deviennent 

- . -, -^ . -, '/e . -, etc. , il s'ensuit que les valeurs des fonc* 

a a' a. 4 a' a. 4*0 a' ' * 

fions E et F seront d'autant plus faciles ii calculer, avec un certain 
degré d'approximation, par les séries précédentes, que le module 
c setdL plus petit. 

iSg. Pour l'usage de ces formules, il est nécessaire d'avoir une 
Table des fonctions Z', Z'', TJ"^ etc. , calculée au moins de degré 
en degré. La Table des fonctions 2J ou Z'(^) se déduit aisément 
des Tables connues, au moyen de la formule Z'^=:]î(^ — ^sina^); 
cette Table se borne naturellement à la valeur <p=:f ^; pour la con* 
tinner indéfiniment, on a les formules 

Z'(7r~^) = i-ar~ZW, 
Z'(9r + ^) = i^4.Z'((p). 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 177 
Quant aux fonctions TJ'^ et Z'"^^ elles se déduisent de la fonction 
2/ an moyen des formules 

TJ" {<p) = Z"((P) - tV [Z-W + Z-' W ~ i Z'(5?)] J 

mais on trouvera peut-être plus simple de mettre la valeur de TJ" sons 
cette forme 

V(p = 1 [5Z"((p) — cos (p sîn« (p] ; 

c'est ainsi que nous avons calculé les deux Tables ci-jointes ; Tune 
donne la fonction TJ exprimée avec dix décimales et trois ordres 
de différences; l'autre contient les fonctions Z'' et Z'^', exprimées 
avec neuf décimales seulement et leurs premières différences. 

On voit que les différences de la fonction TJ devraient être pro-. 
longées jusqu'au cinquième ordre ^ pour que l'interpolation de la 
Table donnât dix décimales exactes; mais alors cette opération serait 
pénible y et il est plus simple de calculer directement la fonction 
TI par la formule Z'((p):=:^(a^^-sin 3^^« Pareil inconvénient se 
fait remarquer 9 à un plus haut degré encore ^ dans les deux autres 
fonctions ; et quoique dans les applications , les valeurs rapidement 
décroissantes de c^y c^, c^j permettent de réduire progressivement 
le nombre des décimales dans les fonctions TJj TJ'y Tj"^ etc.^ ce- 
pendant nous pensons qu'excepté les cas où la valeur de ^ se trouve 
immédiatement dans la Table^ on devra préférer les formules da 
§ précédent 9 qui sont beaucoup plus commodes et presqu'aussi 
convergentes. 



178 



EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL 




1 
a, 
5 

4 
5 

iT 

l 

9 
10 

11 
la 
i3 

1 

16 

18 

19 



ai 
aa 
a3 

^4 

a5 
aS" 

3i 
3a 
33 

35 

36 
37 
38 

39 
40 

4' 

4a 
43 

45 



O 

o 
o 
o 
o 
o 



o 
o 
o 
o 
o 



o 
o 
o 
o 
o 



o 
o 
o 
o 
o 



o 
o 
o 
o 



o 
o 
o 
o 
o 



o 
o 
o 
o 
o 



o 
o 
o 
o 
o 



o 
o 
o 
o 



00000 
00000 
00001 

00004 
000 11 
oooaa 



00000 



i77ai 

41741 
78a3o 

33098 

11869 



1 
3 
6 

10 
i6 



ooo38 
00060 
poogo 
ooiaS 
00176 



19549 
60499 

383 II 

55677 

i4a68 



ooa34 

oo3o3 

oo385 
00480 
00589 



14606 

55944 
36147 
61669 

96939 



00714 
oo855 
oioi3 
01189 
oi383 



65a4i 
47606 
33196 
09101 
6oaa8 



01697 
oi8oa 
02087 
oa366 
oa665 



10261 

33o39 
60467 



03989 
o3S36 
03708 
04106 
04529 



01144 
62004 
670a I 

07176 
3o369 



04978 
05455 



06969 
5o 



o64( 
(y/oho 



91 358 
41687 
29622 
00092 
94609 



07639 
08267 
o8qo3 
09680 
ioa86 



61 363 
04876 
86a63 
a3o4o 
39ia( 



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11788 
,12686 
i34ia 
14369 



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866qi 
47766 
47387 
90817 



17731 
34oao 
36489 
5^868 
78771 
07680 



32 



40960 
77812 
17366 
68691 
00337 



81 

95 

109 
124 



41339 

8o2o3 
16422 
45370 
683o2 



140 
167 

175 

194 
214 



82365 
85590 
75906 
61127 
08971 



234 
255 
277 
3oo 

320 



4^062 

62888 

53900 

17418 

60687 



347 

372 

397 

4a3 
449 



60860 
16017 

40164 
33194 
60989 



476 
5o3 
63i 
669 
688 



60339 
8793*5 
70470 

94547 
66734 



617 
646 
676 
706 
736 



635 1 3 
81387 

16081 



66743 



766 3189630 
796 6107530 
8a6 99621 3o 
867 4353o3o 
887 89395:30 



1 
3 
3 

4 

6 
6 



06299 
12489 
18379 
33903 
128909 
33370 



7 
8 

9 
10 

11 



36863 
39664 
41326 
41746 
41002 



13 

i3 

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i5 
16 



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36319 
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33932 
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10 

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20 



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75222 

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21 
21 
22 

23 

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1012 
35 18 
3326 
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35 137 
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37795 
89540 



37. 

28 
38 



37606 
82535 
24077 
62177 
96789 



^9 

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29 

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55390 
79304 

9.9593 
16332 



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45865 
44010 



06170 
o5qio 

06034 
06006 
04361 
03593 



03693 
01671 
00631 
99356 
97863 



96355 

94729 
92984 

Qll3l 

89163 



87090 

84507 

82023 
80237 
77766 



.76176 

72606 
69761 
66904 

63984 



60980 

67903 

64766 

5i546 
48266 



44929 
41 54a 
38 100 
34613 
3io85 



27616 

33914 
30389 
16629 
12967 



9267 
5563 
i856 
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6666 



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46 

47 
48 



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5a 
53 

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57 
58 



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63 

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67 
68 

69 

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71 
73 



76 

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78 

80 



81 
83 

83 

84 
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88 

89 
90 



o 
o 
o 
o 
o 
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o 
o 
o 
o 

o 



14269 
16167 
16076 
1^034 
i8oo3 
19013 



80817 
0313 

i36i7 
86466 
86496 
03747 



30063 

31131 
33319 
33347 
34604 



30691 
16740 
68378 
47690 
3^89 1 



36689 
3690*3 
38144 
39413 

30709 



63369 

34724 
69716 

62311 

34247 



33o3i 
33379 
34753 
36i5o 
37673 



33978 
^6760 
44668 
36733 
08961 



39017 
40485 

43486 
46016 



34468 
03493 
73531 
594o3 
8*3358 



46667 
48137 

49724 
5i3a9 

52949 



66166 
33176 
69611 
30073 
84696 



54585 
56336 
67899 
69676 
61363 



73361 
89753 
43476 
34063 
66660 



63960 
64667 
66383 
68106 
69835 



40986 

56544 
11667 

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71663 
73308 
76060 

76794 
78539 



83o3] 
61088 

67624 
66430 
81634 



887 80396 
918 33406 

948 71849 
979 oioSo 

009 17261 

039 16844 



068 96149 
098 5i638 
1*27 70412 
i56 76201 
i85 38378 



2i3 62455 

24 « 4499' 
368 83606 

396 71936 

333 09731 



347 93773 
373 17908 
397 82064 
431 83239 

445 i55o7 



467 79025 
489 7oo38 
5io 86872 
53i 33906 
55o 81798 



3o 44010 
3o 38444 
3o 39181 
3o 16331 

29 99593 
39 793o5 



39 55389 
aq 27874 
38 96789 
38 63177 
38 34077 



37 83536 
37 37606 
36 89340 
36 g795 
36 83o4i 



a5 a6i36 
34 64166 
34 00175 
33 33368 
33 636i8 



31 91013 

31 i5834 
30 38o83 
67843 
76333 



669 67030 
687 47336 
604 5o56i 
630 64633 
635 87666 






660 17603 
663 63733 
676 91687 
687 33588 
697 74335 



707 i565 
716 65ii! 

733 91974 
739 36246 

734 64154 



738 78067 
741 96436 

744 08906 

745 16204 
745 16304 



î 



7 9o3i5 

7 o3336 

6 14063 
6 22933 

4 29946 



3 35330 
3 38865 
1 41001 

o 4^74? 

9 4i2a4 



8 39554 
7 36861 
6 33373 
5 38908 

4 33903 



3 18379 

3 13470 

1 06398 

o 

-I 06398 



5666 
9363 
13960 
16628 
30288 
33916 



37615 
3io85 
34613 
38 100 
41541 



44931 
48266 
61545 

54754 
67905 



60980 
63981 
66907 
69760 
72605 



75179 
77761 

8024c 

82621 

849C7 



87089 
89164 

91 1 29 
92987 
94726 



96355 
97864 

99364 
obSaS 
01670 



02693 
o35*8q 

04364 
o5oo5 

o55ïi4 



06909 
0617a 
oGagP 
06398 



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I 

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35 



36 



3l 

3a 
33 

H 
35 



3G 

37 
38 

39 

43 
45 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 



179 



z* 



0.00000 
0.00000 
0.00000 
0.00000 
0.00000 
0.00000 



0000 
0000 
0010 




1009 



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0.00000 
0.00001 

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0.00007 
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0.0001& 
o.oooâS 



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7050 

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0.00044 
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0.00076 
0.00097 



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1000 
3938 
108a 
8034 




.00348 
0.00418 
0,00497 
0.00687 
0.00690 



8655 
0854 

4674 
84b 

484 



I 



0.00806 
0.00936 
0.0108a 

o.oia44 
o.oi4a3 



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1690 
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0.03370 
o .o3639 
o.o4o3i 

0.044^^ 



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61 a4 
3489 
i5io 
43ii 



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Bill 

8387 

1 3oai 

1 9333 



a 7674 
o 8419 

5 1969 

6 874fe 
180 



8 



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11 3766 

14 2919^ 
17 71540 

ai 6û5ao 

a6 aSoso 



3i 5198 
37 46a' 

44 157I 

5i 6Si^ 
59 990G 



69 3199 
79 38ao 

90 517 

10 a6658 

11 58567 



o 
o 
o 
o 
o 



i3o ia84 
145 507 j 
16a 0184 
179 683a 
188 5187 



ai8 5378 
a39 7486 
36a i55o 
385 7556 
3io 5444 



336 5ioi 
363 6365 
391 9031 
4ai a8oi 
451 7388 



o 
o 
o 
o 
o 



Z* 



00000 
00000 
00000 
00000 
00000 
00000 



0000 
0000 
0000 
0000 
0001 
0006 



00000 0030 
00000 0057 
00000 0146 

00000 o33i 
00000 0688 



00000 
00000 
00000 
00000 
00001 



1334 

3440 
4348 
7093 
1416 



00001 
00003 
oooo3 
oooo5 
00008 



7804 
7004 

9957 
7839 

3047 



00011 
oooiS 

00031 

00038 
00087 



4330 

6730 

1664 

1058 
0878 



00048 
00063 
00078 
00099 
00134 



3173 
0108 

4854 



00154 
00189 

0033l 

00381 
oo338 



3484 
8948 

Ht 
9765 



oo4o5 
oo483 
00573 
00673 
00789 



9485 
0006 
i8i3 
8069 
4583 



00930 
01068 

01334 
oi4ao 
01637 



4783 
3675 
3803 
0184 
0359 



DUF.I. 



o45* 
46 



o 
o 
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5 

14 



18! 
357 
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1808 

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I 

9 
3 



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3053 
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4 
5 

5 

11 



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49^4 
0394 

8930 

1395 



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16 

30 

39 



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5390 
6345 

S 111 
63o 



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4a 

57 
66 



5464 

3809 
6717 
9730 



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8 



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307 

339 



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53 

54 
55 



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63 

63 
64 
65 



66 
67 
68 

69 
70 



7> 

73 

73 



76 

78 

79 
80 



81 
83 
83 

84 
85 



7893 
0137 
7383 
0075 
8563 



86 
87 
88 

89 

90 



o445a 
04004 
05387 
05903 
06453 
07035 



43ii 

1699 
4109 

i55i 
3566 
9167 



07654 
o83o9 
09000 
09730 
10490 



I 



67 

43 

8788 

6755 

3890 



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13145 
i3o38 
i395o 
14913 



5io5 
4487 
5365 

977^ 
9437 



15914 
16955 
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19155 
3o3i3 



47a8 
5i63 
9371 
4591 
765a 



ai5io 
3374^ 
34016 
35334 
36667 



8061 
3403 
3483 

6784 



38045 

29457 
30901 

33876 

33881 



68o3 
3069 
1161 
1737 

o558 



35414 
36974 
3856o 
40169 
41800 



3533 

5699 

1370 
4069 

6637 



43453 

45iai 
46808 
48609 
5o33a 



1333 

9429 

3369 
0372 
3535 



61946 1741 

53*678 43 13 
55417 0376 
57169 8874 
68904 8633 



DifiF. L 



45i 
483 
5i5 

54.Î 
583 

618 



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3410 
7442 

301 5 

56oi 
763a 



654 
691 

738 

766 

8o5 



7487 
45o3 

7967 
7135 

I3l5 



843 
883 
933 
961 
1001 



9383 
0778 

4310 
0663 
5391 



041 
080 

'•9 
i58 

196 



0435 
4108 
5330 
3o6 

6333 



334 

371 

3( 

5é 

378 



4087 
5343 

9080 

43oi 

0019 



411 
443 

475 
5o4 

533 



5366 
9093 
0576 
8831 
3964 



56o 
585 

boi 
65 1 



3177 
5671 
369c 
3558 
4596 



669 
686 
700 
7i3 
733 



8306 
3840 
8oo3 
3353 
8ai6 



733 
738 
742 

744 



3671 
6o63 

8499 
9749 



Z* 



o 
o 
o 
o 
o 



o 
o 
o 
o 
o 



o 

o 

o 

10 



01637 
01 856 

03111 
03391 
03699 

o3o37 



0369 
8831 

K 

701a 
1733 



o34o5 
o38o6 
04341 
0471a 

00331 



6356 
7009 

Im 

1604 



06768 
06354 
û6q83 
07653 
08367 



0313 
9106 
0942 

75aa 
9590 



09136 
09930 
1C780 
1 1677 
13631 



673G 
7345 
8101 
4700 
i3o8 



i36ii 9994 
14660 1546 
16735 4919 
16867 7390 
18046 4016 



19370 
S0640 
31853 
33ao9 
34607 



8608 
3730 
6137 
6789 
0769 



36044 
37619 

3oo3o 

3b575 

331 63 



3363 
4091 
6773 

9579 
0134 



35093 
370^0 
3873 
4a 



730 
436 



4545 

7604 
3796 
3465 
7930 



4a 189 9630 
43865 7308 
45600 9768 
47343 6876 
49087 3853 



Diff.I. 



âa9 856a 
264 3ii 
a8o 39! 
3o8 ii3! 
337 4731 

368 46a3 

401 o653 
435 3638 
470 9861 
5o8 31 16 
546 8708 

586 8894 
638 1836 
670 658o 
714 ao68 
758 7i36 

804 0619 
860 0866 
896 659< 
943 660I 
990 8686 

o38 1663 
io85 3373 
i33 3371 
178 6736 
aa4 459a 

369 411a 
li3 3 

366 o65â 



a 



7 



3980 
1^93 



[76 1739 
ni a68i 
545 3807 
677 0645 
606 44^^ 



633 3069 
667 6191 
678 9670 
697 5465 
713 1690 

735 7688 
1735 a55o 
74^ 6117 

744 7977 



i8o EXERCICES DE CALCUL INTEGRAL. 

§ IX. Intégrale complète des équations différentielles du- 
second ordre j auxquelles satisfont les fonctions F e^E^ 

(art. 45, i. p. ) 

< 

i4o. Il s'agit d*intégrer complètement les deux équations diffé- 
rentielles du second ordre 

, .V ddz , 1— 3c* dz , sîn0cp8d^ , x 

dans lesquelles A == v^(i — c* sin* ^) ; ^ étant constant, et c étant la 
variable par laquelle il faut exprimer les fonctions jr et z. 

Puisque nous savons d'avance qu'on satisfait à ces équations, en 
faisant ^=E(c, ç), 2=F(c,^), ou simplement ^=E, z=F, 
nous pourrons faire disparaître le dernier terme de chaque équation, 
en faisant j<^s=E+ Y, z = F -+-Zi> et nous aurons, pour déterminer 
Y et Z, les deux équations 

(— O^ + i^^.f+V». (5). 

équations entièrement semblables à celles qui déterminent les fonc- 
tions complètes E'c, F'c. 

^ , , •. du c du ddu c^ ddu i du 

Comme on a en gênerai -^=- j . gj, 3^ =5; . JS^-p^T^ 

ces équations différentielles, rapportées immédiatement à la variable 
b, prendront la forme suivante. 

Lés fonctions E'c, F'c^ ne sont que des valeurs particulières de Y 
et Z; mais nous allons faire voir qu'au moyen de ces valeurs par- 
ticulières, on peut trouver les' intégrales complètes des équations 
(5) et (4) > contenant chacune deux constantes arbitraires. 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. i«i 

i4i* Puisque réquation (6) est absolument de^même forme que 
rëquation (4)> il s'ensuit que si la fonction 4(^) est une valeur par- 
ticulière de Zi dans l'équation (4), la fonction 4(^) sera pareillement 
une valeur particulière de Z dans l'équation (6); et comme ces deux 
équations se réduisent à une seule, il s'ensuit que de la valeur par- 
ticulière Z=:-4/(c) y on déduira l'intégrale complète de Téquation (4)9 

savoir i 

Z = m4(c)+n4(i) (7),^ 

m et n étant les deux constantes arbitraires. 
La valeur Z =: 4(0 devra satisfaire à l'équation , 

(i-cO>P"-,-iZlˣr4'_4, = o (8), 

dans laquelle on suppose 4'= 3^, 4''= "5^" J ^^^^ donc 

4 = A + A'c* 4. A V H- A' V + etc. , 
et en faisant la substitution , on trouvera 

A'=(i)«A, A"=(|)*A', A'=(|)*A", etc., 
par conséquent 

4(c)===A(i + -a^' + ^4i^+-i:^.^*+etc.). 

' Cette valeur, en faisant A =7^, est en effet celle de la fonction 
* complète F'c; ainsi de cette fonction complète supposée connue, 

on déduit très simplement Tintégrale complète de Téquation (4) ou 

celle de l'équation (6) qui lui est équivalente. 

142. Il ne parait pas aussi facile de trouver l'intégrale complètie 
de l'équation (5) qui n'est pas semblable à sa transformée (5) ; ce- 
pendant on y parvient par les considérations suivantes. 

Puisque dans le cas particulier où l'on a à la fois Y=E*c, Z=F*^^ 
ces deux quantités sont liées entr'elles par l'équation 

il est évident d'abord que 4(^) étant la même fonction qui a été dé- 
veloppée dans l'article précédent, la supposition de Z = 4W> ^^ 



iSa EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 

OU simplement Zs= 4 > donnera exactement 

Y = J*4 + **^4'> 
valeur qui devra satisfaire à l'équation (3). 

Essayons maintenant si en disant Z = 4(^)1 ^^ valeur qui en ré- 
sulte pour Y^ savoir: 

satisfera également à l'équation (5). Si cela est^ nous connaîtrons 
deux valeurs particulières de Y^ et de là l'intégrale complète de 
l'équation différentielle (5). 

Or en regardant 4 comme fonction de 6, et faisante l'ordinaire 

2T- = 4^ •3^1= 4"> ^^ valeur Y=^i*4~'^^*4'> donnera d'abord 

g = - ic4" - (i - 4**H' + 2^ ; 

mais si l'on change c en 6 dans l'équation (8) ^ on aura 
donc 

différenciant de nouveau ^ on a 

^ = i'4"+5A4'4-4> 
et substituant ces valeurs dans l'équation (5) y on trouve 

équation qui s'accorde avec les précédentes. Donc en effet l'équa- 
tion (5) est satisfaite par la valeur Y = A*4 ~ *^4'' 

343. Connaissant ainsi deux valeurs particulières qui satisfont à 
réquation (3) et à l'équation (5) qui lui est équivalente^ on aura 
l'intégrale complète de l'une et l'autre équation^ savoir : 

Y=m'[è«4(c)+*-o. ^^]+n'[i-4(4)-Jc-.^>] (9), 

fnf et nf étant deux constantes arbitraires. 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 18^ 

Si Ton substitue à 4(^)> ^^ fonction F'c qui lui est proportion- 
nelle , rîntégrale (7) pourra s'exprimer ainsi 

de même l'intégrale (9) deviendra 

maisona^ = 2J-^(E>^-*'F'c), ^^* =^. (E-A-cT«*)j donc 

rintegrale complète de Téquation (5) sera 

Y = m'E'c + nXF'b — E'b) j 

de la on déduit les intégrales complètes des équations proposées 
(i) et (a), savoir: 

j = E(c, (p) + m'E'c + n'ÇB'b — E'A) , 

z = F(c, (p) + mF'c + nS'b. 



e srn" # cos*" 



5 X. Développement des qiumtUés — .-^> -j^.— , suivant les 
puissances de Varc où, les nombres laetn étant entiers. 

144. Dans l'article 160 de la quatrième partie, nous avons donné 
quatre formules très - remarquables pour développer, suivant les 

puissances de l'arc cê, les quantités tang«, cot«, jr^, log sîn a. 

Ces séries sont formées suivant une loi très-simple , au moyen des 
coefficiens H,, H., H„ etc., qui remplacent avec avantoge les 
nombres BernouUiens , et qui se calculent aisément, soit par la loi 
des suites récurrentes, soit par l'équation S^=H,?r**. 

On a vu ensuite dans l'article 16a, que le développement de — 

dépend d'une autre suite de 'coefficiens K», K,, Ks, etc., qui se 
forment par la loi des suites récurrentes. 

Nous nous proposons maintenant de faire voir qu'avec ces deux 
suites de coefficiens, on peut développer très-simplement toutes tes 

quantités comprises dans l'une des formes ^^^rj^ j|^"i> ^ et/i eUnl 



005 49 



^^ 



iS4 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 

des nombres entiers positifs. La quantité -:~ — se décompose 

toujours en plusieurs termes de cette forme , par l'application réité* 
rée de la formule -r-^ ;— s= -t-t — | j- ; elle est donc suscep- 

tible d*un semblable développement. A l'égard du simple produit 
sin" 01 cos" â# 9 il peut se transformer en un nombre fini de termes 
de la forme AsinÂ:^^ ou AcoskoÊy dont le développement est 
connu et ne dépend point des coefBciens H et K. 

145. On connaît les premières valeurs Hi^ H», H39 etc., par la 
formule H,=S„(^^**, et par la Table de l'art. 75, IV. P.j lorsque 

n surpassera i5, on pourra négliger les termes de l'ordre g;;^, et on 

aura plus simplement H«= ^ (i +^),etlogH.=— anlog7r-f-^ , 

m étant le nombre 0,43429448 , etc. 
A l'égard des coefficiens K«, leurs premières valeurs sont 

^»— â' ^•~S4» ^*""7ao> ^^— 85g4» ^5~36a88oo* 
Ke=4|255L etc. 

On peut continuer de former ces coefficiens par la loi des suites 
récurrentes^ jusqu'à K^ inclusivement; les suivans, jusqu'à K^^ se 
formeront plus aisément par la formule 

(lY^'u _i ^4.^ ^^ctc 

dont quatre termes , ensuite trois , et deux seulement , donneront 
log K. exact , jusqu'à la quatorzième décimale. Passé K,^^ il suffi^ra 

de faire K»=:2r-J . C'est ainsi que nous avons construit la 

Table suivante pour trouver , aussi loin qu'on voudra et avec Texac- 
titude de i4 décimales au moins ^ les logarithmes des coefficiens K»; 
nous y joignons eu même tems ceux des coefficiens H^, calculés 
avec i5 décimales. 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. i85 



n 



r 
5 

4 
5 

6 

7' 
8 

9 

lO 

II 
la 
i5. 

i4 
i5 



n 



log H«. 



9,22184 
8,04575 

7,o;i456 
6,02456 
5,02893 
4,o343o 
3,03992 
2,04560 
I ,o5 1 3o 
0,05700 
9,06270 
£,06840 
7,07410 
6,07980 
5,o855o 



87496 
74905 
81914 
81914 
29968 
83885 
838 II 
86738 
39493 
29604 
29042 
3o8i2 
33164 
3566 1 
38195 



i6356 
60675 
90737 
90737 
93187 
54592 
9465o 
44077 
31827 
17573 
86780 

28294 
24183 

82144 

80455 



log K,. 



5 — anlogTT 



9*69897 
9,31875 

8,92799 
8,53592 

8,14370 

7,75147 

7,35923 

6,96699 

6,57475 

6,i825i 

5,79027 

5,39803 
5,00579 

4,61 355 
4,22 i3i 



00043 

87626 
73385 

92499 
89054 

l3222 
18099 
20827 

253i7 
25779 
28239 
30698 
33i58 
35617 
38076 



36o2 
2441 
7950 
63oo 
0759 
2278 
5914 
8903 
1744 
8926 
2433 
635 1 
o3i5 
4284 
8254 



loga— (2n4-i)log^ 



146. La quatrième des équations (d) (n* 160, quatrième Partie), 
donne le développement de log sin et, comme il suit 

log sin « s=s log â> — H,û>* — 5 H,«* — f Hj»* — etc. ; 

pour avoir xux développement semblable de logcos», je fais 

/cos»= — N.©» — N,«< — N,a>*— etc.j 

j'en tire par la différenciation 

tang a = 2N,» -f- 4N.<i>' + 6N,»' + etc. 

Mais par la seconde des équations (d) ^ on a 

ilanga=(:i' — i)H,«+(a^— i)H.a>'H-(a'— i)Ui€ê^-t etc.; 



i86 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 

donc la série des coefficiens N( , N^^ Nj, elc.^ se déduit de la série 

connue H, , H«^ Hs, etc.^ suivant cette loi 

N'=:(2--i)H., N.=(34-i)^% N,=(2*-.)|S etc., 
de sorte qu'on a 

logcos£tf= — (a* — i)H,to* — (2* — 1)~ «* — (a* — 3^û>' — elc.j 

c'est une cinquième formule k ajouter aux formules (d) : elle se 
déduirait également de Téquation sin 2co =i 26ia c» cos œ. 

147. Réciproquement si Icosa^ est donné par la formule 

/ cos û> = — N,»* — N.»* — Ns»^ — etc. , 
on en déduira immédiatement 

l'expression générale des diviseurs 5, i5,65, ^55^ etc. , étant a^ — i. 
Ces formules sont utiles pour calculer avec un degré d'approxi- 
mation déterminé^ les logarithmes des sinus et cosinus d'un petit 
arc a>. Ainsi en supposant que Tare eo ne surpasse pas 5% et qu'on 
n'ait pas besoin de plus de 14 décimales^ on aura en logarithmes 
vulgaires 

log N, = 9,55675 43i56 37 

log N. = 8,5à86o 3o653 
log N, = 7,98457 180 
log N4 = 7,46685 5 , 

et par ces coefficiens, on connaîtra à la fois /sini» et /cosi», d'où 
Ton déduira log tang cû. On a aussi directement 

/tang«=logûi+(a-— 2)H.»»4-(a^— a) 5î «♦^•(a»— a)^Ar«-hetc, 

148. La première des équations (d) donnera par des difiërencia- 
tions successives 



sixrm 
cos m 



»ia^ 



ï^ = ^— aH,— 6H.a>*— ioH,«<— i4H4»«— etc., 
= ^, + 2.5H/^ + 4.5H|W« + 6.7H4a>5+ etc.. 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIt^TlQÛES. 187 

^.^ = ^ + 5"^i.a.5H.+3.4.5H5ûi»+5.6.7H4«<+ etc. 

— 4H, — laH^fti» — aoU^f^ — etc.; 
continuant ainsi ^ on anra en général le développement des quan-^ 
tités de la foririe -v-k-^ , ^^^.ij! ^ $ de manière qu'on pourra assigner 
un terme quelconque du développement en fonction des coefficiens 
H.. C'est ainsi que dans le développement de -r^^ un terme quel- 
conque P^*% aura pour coefficient 

P=i(2n+ 1) (2n+2) (2n+ 5)H.^.~| (an^ i)H.^.. 

De même par les différences successives de la seconde des équa- 
tions (d)y on aura le développement des quantités — ;^, "^ ■; 

Et par les différences successives de la troisième des équations (d)^ 

on aura le développement des quantités -r-^ 

Tous ces développemens se font par les seuls coefficiens Hi, H.^ 
Hs y etc.^ et un terme quelconque de la série peut s'exprimer géné- 
ralement par un nombre déterminé de coefficiens H«. 

149. Si à ces diverses formules on joint celles qui résultent des 
différences successives de la formule 

= I -f- K,û>* 4- K*«* H- Ka»* H- etc. , 



coa« 
sm**** et * sin** #' 



CO8 « 



et qui en général feront connaître le développement des quantités 
Ji^x^ 9 -^^^ ; tous les cas que peuvent présenter les quatre fonc* 

tions T-r- > — r- f ^T- » —r- » ^ étant un nombre entle^quelconqne, 
seront compris dans ces formules ; et comme les deux fonctions 
proposées — — »-^ir"# auxquelles on peut jomdre la troisième 

-r-;^ — *^p- y peuvent toujours se décomposer en un certain nombre 

de termes compris dans les quatre fonctions précédentes ^ il s'en- 
suit que le développement de ces quantités sera toujours tel ^ qu'on 



i88 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 

peut assigner un terme quelconque de ce développement par les 
coefficiens H. et K». 

i5o. Soîl par exemple la quantité proposée -T-; 5-; il faut lui 

donner d'abord la forme — -, — (- . . ^ — , ensuite — -r— + 



cos^ m sin* m Coa • ' cos*' ' cos 

CO8 êf 



-f- --— > c* on appliquera les formules 



sm*« 



— — = I 4-K,a*+K.û>^+R3(»*+etc., 

cos m 



COS'^ « 



2K, 4- 5 . 4K.«* + 5 . 6K,û»< + 7 . 8K<a»« -|- etc. , 



cos M 

sin" « 



= ~(2-i)H.-(^)3H.«--(2!^)5H,«*- elc, 

d*oii il suit qu'en représentant par P«fi^^% le terme général du déve- 
loppement de -T-; s-", on aura 

P. = I K.+ -JL±1^2±I K.^. - {^^^) (an + OH.:,.. 

Lorsque /isera devenu assez grand pour qu'on puisse négliger — ^ re-^ 

lativement à Tunîté^ on aura simplement H,=-^, K«= ^"^ly ^® 
qui donne 

formule qui pourra même se réduire aux deux premiers termes. 

i5i. Connaissant ainsi le terme général du développement d'un 
grand nonbre de fonctions, lequel, dans son expression, ne con- 
tiendra jamais qu'un certain nombre de termes affectés des coeffi- 
ciens K„y H«, il ne sera pas inutile, pour compléter ce point 
d'analyse , de donner ici l'expression générale de ces deux coefficiens. 

Pour avoir d'abord l'expression générale du coefficient R. , soit 

r=i — cosa5=-ûj* ç-Tû>*H — 'z /"^ à^^ — clc-î on aura 



1 

C08« 



YZT} ==; I -f- r + /'. + H + elCt 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. i8g 
Or, I'. dans le développement de r, le coefficient de et** est 

2*, Puisqu'on a r*=ï(3— 4cosû)+cos2a), le coefficient de «•• 
dans r* est 

s»r(an + i) ^ ^>'' 

5*. Puisqu'on ar^=^(io — i5cosû»-f-6cos:2â>«—co8 5<»)9 le coef- 
ficient de â)*' dans r^ est 

continuant ainsi et rassemblant tous les résultats dont la loi est 
manifeste 9 on aura le terme général cherché, savoir : 

-i(4"- 8.5-+ ^-2"- 5j^ 

i52. Pour avoir semblablement l'expression générale de H», nous 
la déduirons du développement de — ^ , dont un terme quelconque, 
suivant la seconde des équations (d), est (a"— i) aH,®**-". 

Et puisqu'on a = i +rH-r*+elc. , le développement de ^^^ 

sera donné par celui des differens termes de la série •••: 

sin » + r sin û> + r* sin û> H- r* sin cû + etc. 

Or 1**. dans le développement de siaco, le coefficient de co^^^ 

estLiiii;!'.. • 

r(a/i) 
a*. Puisqu'on a rsinû»=~(a8in(» — sinao»), le coefficient de »*î^' 
dans r sin û», sera 

flr(an) V=» 3 J» 
3*. Puisqu'on a r*8iaei=s^r^^ain<»--~4^iaa»^^sia5et^'Siïut)\, 

P 



\ 



N. 



^90 EXERCICES lŒ CALCUL INTÉGRAL, 

le coefficient de â)**~' dans r*^sin a , sera 

— (sin4â» — sîna »)) 
il s'ensuit que le coefficient de û»^*"' dans cette quantité sera 

^^C-à-'-"-"-+«(5"--)-(4"--.--)]. 

La loi de toutes ces quantités est facile à saisir, elle dépend de l'ex- 
pression générale de r*sinâ), ou (i-^cosa)*siu«, en sinus des 
multiples de l'arc &>; et la somme de tous les coefficîens étant éga- 
lée à (2" — <)^^«) °" *•* ^"^ 

•"»— a(a'»— Ora«r ' ^ ' 

— i[4*"-'-a—' -6(3— •-x)+^5 . a— '-^n 
+ -ïp"--3"-'-8(4— '-a— >4-L7 (3«-._ , ) 

Dans les applications, on devra calculer autant de lignes horizon- 
tale» de la formule, qu'il y a d'unités dans n j toutes les autres seront 
nulles. 

i55. D'autres manières de développer les mêmes fonctions pro- 
duiraient des résultats d'une autre forme pour l'expression générale 
des coefficîens R,, H.. Nous avons trouvé, par exemple, 

/cos«=— (a*— i)H.«»— (a*— »)—«<— (a*— 02î««_-etc.; 
d'un autre côté , 

/cos«=i /(i — sin*»)=— isîn*« — isin*®— i sin*»— etc. , 
l'expression générale du coefficient H,, se trouvera donc par celle 
4» coefficient de «"dans lasuitei6in*«+:^sin*«4-^6in*û>+elc. 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES; 191 

Or, !•. puisque 
le coefficient de a^ dans le développement de -sin^o^^ sera 

a*. Puisque ^sîn^â>=: — j (5 — 4^^^ aa 4-cos 4^'), le coefficient 
de é»*" dans le développement de cette quantité^ sera 

5'. Puisque ^sin*û>=5-p (10 — i5cos!2ûi+6cos4âi — cos6^), le 

coefficient de »*' dans le développement de celte quantité , sera 

_i_ (- 1)'-^ /g» fi /M_i,l:5 \ 
a«.3Vr(2n+0V 0'4 "h ^ • 2 ;• 

Ces expressions suivent une loi très'simple, «t il eik résulte imihé' 
diatement la valeur du coefficient H. , savoir : 



H. 



n(— 0"+' 






(a"--i).4r(9»-f 

+ï-ïi(6"-6.4"+~.3") 



C4--4.2») 



•T~CIC» 4 y 

et parce que T(jtn-^i):^anV(3n)f cette formule peut être réduite 
comme il suit : 

nouvelle forme à-peu-près aussi simple que celle du coefficient K. 



jga EXERaCHES DE CALCUL INTÉGRAL: 

i54« Considérons encore la formule 

dont le second membre peut être aussi représenté par sinev+isin'â» 
i4-jsin^â)+6^<^«; P<>^r avoir le terme général de son développement 

— r— «""^S tout se réduit à chercher le coefficient de «•'^* dans 

SM+l ' 

chaque terme de la suite sînûj+^sin'â^+j^sîn'^+elc. 

Or, I*. dans sino», ce coefficient est p^-'X'l» 

2*. Puisque |sin'a=g-— (5sin» — sinSo»), le coefficient de i^***"* 
dans le développement de cette quantité , est 

3.a».r(aii + fl) ^^ ^^' 

5*. Puisque | si n* » = g-— ( i o sin û» — 5 sin 5â» -f" si>^ 5») , le coef- 
ficient de (o**^^ dans ce terme développé, sera 

La loi de ces expressions étant manifeste, on en déduit cette nou- 
velle valeur du coefficient K,, 



4- etc. J, 

laquelle comparée à celle de Tart. i5i, fournît des identités assea 
remarquables* 

i55. La conclusion générale que nous tirerons des formules dé- 
montrées dans ce chapitre , est que toute quantité de la forme 

. , ^^ ; > dans laquelle P est une fonction rationnelle et entière 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 19? 

de siac» et cosâ^^ étant développée suivant les puissances âe (» , 
on peut toujours assigner un terme quelconque du développement 
par le moyen des coefficiens K^y H«y dont la loi est connue. La 

même propriété s*étend visiblement à l'intégrale / -r-^j- —y prise 

depuis Ai=o y laquelle comprend une infinité de transcendantes; 
on suppose les nombres m et n entiers et 1 positif. 

Parmi les plus simples des transcendantes comprises dans cette 
intégrale générale, se trouvent Isinc^y Icos», /tangâi, /(i-j-cos^) 

:=s2lcosj^cây /(i— cosâ»)=2/sin^ûi, /(i+sin«)===fco8aH-/(-^-^-^}. 

l(i — sin«)s=/cos«— î/{^-^"— j, etc. 

On pourrait , par de semblables procédés y trouver la loi générale 
du développement des quantités de la forme — ; , —r — ^— , ce 

^*^ » a + C08#' a-f-cos«' 

qui conduirait à des résultats plus généraux sur le développement 
d'une fonction rationnelle quelconque de sinâ> et cosâ»; mais les 
coefficiens par lesquels on pourrait représenter les ^termes généraux 
de ces développemens, n'auraient plus rien de commun avec H. et 
K., si ce n'est la forme de leur expression générale. 

§ XI. Réduction de la formule qui exprime la fonction "E/p , 
dans la méthode des modules croissans. 

i56. La formule dont il s'agit est celle de l'art. laS ci-dessus; 
nous l'avons déjà simplifiée (art. i24)> dans la supposition que b'^, 
et 6'^ tang^ (p' soient négligeables; mais quand on la laisse dans son 
état de généralité , pour obtenir tel degré d'exactitude qu'on vou- 
dra, le calcul en est long et difficile. Nous avons donc recherché 
les moyens d'amener cette formule au dernier degré de réduction 
dont elle est susceptible y et nous y sommes parvenus de la manière 
suivante. ^ 

Après avoir formé la série des modules croissans Cy c^y d\ et 
celle de leurs complémens by Vy V\ il faut calculer la suite des 
amplitudes décroissantes ^y ^'y ç", jusqu'à une limite qui est dé^ ^ 



i 



194 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. ! 

terminée^ ainsi que celle des modules, par le degré d^exactitude 
qu'on peut obtenir. Ces amplitudes se calculent directement par les 
équations sin(2(p' — (p)=csin^y sin(2^" — (p')=:c'âii^, etc.; mais^ 
quand on est parvenu à celle de ces équations où le c correspon- 
dant est trop peu différent de l'unité^ il convient de la remplacer 
par réquation correspondante de la suite tang(^ — ^')=:b'XBXig<p\ 
tang((p' — (p") = y'tang^", etc., d'où Ton peut tirer facilement plus 
d'exactitude. 

Connaissant ainsi la limite 4 de la suite ^, ^\ ^^\ que nous sup- 
poserons, par exemple, se confondre sensiblement avec le qua« 

trième terme ^''', on aura la valeur de F^ par l'équation 

F^ = Klog tang (45* +7 *) y dans laquelle le logarithme est hyper- 
bolique ; prenant donc dans les Tables le logarithme vulgaire 
/lang(45'+i*)=H, on aura F(p=KMH; quant à la valeur de 

K, elle est, comme on sait, K= ^\^d d^d^\ 

157. Venant ensuite au calcul de E^, la formule générale de 
l'art. 133 pourra être représentée ainsi 

E^ = L'F(p4-Pcsin(p, 

et il s'agit de calculer les deux termes dont elle est composée. 

Le premier se trouve Êicilement par la valeur dé|à connue de 
F(p et par le coefficient L' que nous avons déjà réduit à la forme la 
plus simple dans le calcul des fonctions complètes (art. 19). Tout 
se réduit donc à chercher la valeur de P. 

Or, en faisant <p—<p'=û)', <p' — <p"=a", (p"— (p'"=û>^", etc., on 
aura les équations tang $Jz=V tang Ç)', tang 0»''= V^ tang^", etc. ; la pre- 

mière donne 8in^=siD(^'4-û>')=(i+^')^n?'cos«'s=: --rsin^'cos**', 

et on en déduit successivement 

sm ç — —T- . rr— -7, sm (p ' = ^jr • r:rr7= -7 • -7- • Tzrzt-^ 



c cos m" c" coa m" c' c" C08 •' C08 •* ' 

sin ©'"=3 i^5 ^i ^1 îi^î . eic • 

C C C COS m cos • coa # ' ' 

substituant ces valeurs dans la formule de l'art. xâ3, ou aura d'abord 



\ 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLlt»TlQtJES. igS 

p ^^ gy/ç y + 1 «— C03 J 

' c coa # 

+ a a v^c' A* + 1 — cos «* 
C c cos *» cos m 

+ a a *V^£^ A*' 4- 1 — C08 <w* 
c C C COS • COS « cos • 



etc. 

Mais la quantité ^^ (*' + 1 — cos (»') = a — (i + c) cas ai', et les 

autres quantités analogues se transforment de la même manière, de 
sorte qu'ion aura 

p_^ [ a~(i+r)cosi>^ 
^-- "^ cos •' 

a a — (i4"Oca8#* 



c' cos «' cos «* 



+ a a a — (i + c*)co8<'^ 
C C C08iiC0tt« COSâr* 

+ etc. ; 
les deux premiers termes c+ ^ r se réduisent a 7— ; 

* ' cos m cos # 

* 1 * • . a a — (i +c') cos •* I 

en y loiffnant le terme suivant -r . ^ — , — ^ — , la somme est 

J ' o c cos m cos m ' 

+ a a — cos»' • -_ * 1 y- A 4 a— (i+r')cos«* 

-7 • — ? ;; aioutant encore le 4* terme -— . — V^ — y — y , 
d COa» cos« ' ' ^ ce cos« cos« cos« 

la somme est — i j , -f- -7^ . - — r—i-r— — •; ^nn terme de 

ccosm ' ce cosiicosiv cos» ' 

plus donnerait semblablement la somme 

8 (a— cos O 



/à / h "T" if^^jt > ff^^- .Je 9 



C cos êf ce COS COS « cc C cos « cos # cos » 

et ainsi de suite. 

i58. Supposons maintenant qu'à cause de la diminution très* 
rapide des angles a', cù", û>'", etc., la différence i — cosâ>^'' soit 
négligeable^ ou aura en même temps avec une exactitude suffisante 
</"=:i^ coso^'^'si^ ce qui donnera 

en faisant pour abréger r^=:c' cos eo\ r''=c"cosû>". 

Dans la même hypothèse, on doit regarder comme négligeable la 



196 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL- 

quantité (i — /^')% de sorte qu'on pourra faire i — jar^-f-r^'^sso, 

ou -if — I = -T^ , ce qui réduit la valeur de P à deux termes seu- 
lement^ savoir : , 

P — — — I 

Supposons logr^/'=-~^, t sera presque toujours une quantité fort 
petite; cette quantité étant donnée^ on en tirera ;V*=e""**'j 

P = 3a^'— i = e^^'[i — (i — e-^01; donc 
logP3=a/— /w(i— e-^^)*— |m(i— e-^')*— ^/7i(i— e-"^')«~etc.; 

et en développant jusqu'aux t^ seulement , 

log P = 2^ — M^* + M»^. 

Cette formule sera très-commode pour calculer le second terme 
Pcsintp de la valeur de F^, si toutefois les quantités de Tordre i\ 
peuvent être négligées. 

iSq. Si l'on veut pousser l'approximation plus loin^ et qu'on re- 
garde seulement comme négligeable la quantité i— cosû)^% ainsi 
que I — tf'% la valeur de P deviendra 

et parce que dans le même cas on peut regarder comme nulle la 
quantité (1^-/''")% ^® ^^^ donne -5 — i ;= -ji-, on aura plus sim- 
plement 

Pour Êiciliter le calcul de cette formule , on pourra profiter de 
la réduction indiquée dans l'article précédent^ en l'appliquant à la 

quantité F = -7™ ~ 1 ; on aura ainsi 



jr — —7- — I ; 



alors le terme P^sintp se réduit à ^!^°^ — 'csiny; et parce que 
/•'=jp'cos»'5ss^^-^^, on aura simplementPcsin^=sP^3 v^csin^ -csin^^ 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 197 
ce qui dispensera de calculer cosû»^ De plus^ comme csin(p=sin6sio^ 
= 7Cos(fl — <P) — î-cos(fl+?), on voit que dans beaucoup de cas, 
cette quantité pourra se trouver immédiatement par la Table des 
sinus naturels. 

Au reste il est très-remarquable que la valeur de E^ ^ ainsi réduite 
par plusieurs transformations successives, se déduirait inmiédiate- 
ment de l'expression de G, tom. I^ pag. io5, en faisant B=— c% 

et substituant les valeurs sin 9'= ->- . ^^, sin^'^s ^ . — \r • etc. 

Nous observerons enfin que la valeur de P peut aussi s'exprimer 
par cette série convergente: 

au moyen de laquelle l'approximation peut être poussée aussi loin 

qu'on voudra. Les deux premiers termes se réduisent à 7 -^ i ; 

quant aux suivans, qui décroissent rapidement « ils sont faciles à cal- 
culer par les formules logr= — t , log(i — r)=log(Mf) — j-^+x+Mt*. 

160. Exemple L Supposons qu^on veuille calculer, avec toute 
l'exactitude que comportent des Tables à 14 décimales, les fonctions 
Ff et E^, pour le module c=sin8i' et l'amplitude ^=75'. 

Il faut d'abord tirer de la Table VI (*) l'échelle des modules et le 
logarithme de K , comme il suit : 

c 9,99461 99370 65o8 b 9,19435 244i3 5701 

^••- 9>99999 Ï6689 5938 b\... 7,79196 8Z022 3974 

c"... 9,99999 99999 8002 b".... 4,98188 4944» 5ai9 

K. . . o,ooa68 68709 5716 *'" . . . 9,56170 98969 9640 



(*) La Table VI contient Téchelle des modules et le logarithme de K , pour tous 
les angles du module qui ont servi à construire la Table des fonctions complètes , 
c'est-à-dire , de dixième en dixième de degré , depuis o' jusqu'à i5^ et de demi- 
degré en demi-degré , depuis i5^ jusqu'à 45^ Cette même Table donne les modules 
croissansc, c', c", etc., et leurs complémens 6, b\ b", etc., de 45*' à 90**; il 
auffit pour cela de prendre , au lieu de l'angle du module, spn complément à 90% 
et d'échanger entr'elles les lettres c et b, en substituant les signes ' aux signes % 
comme on l'a fait dans cet exemple. 

9 



i 



/ 



ig8 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 

On praccdcn ensnîle au calcul de ^ par Fëquation siii(a9'— f )=r£;siQf , 

et par k» fensiiles ordinaires pour Fusage des Tables. 

c 99994^1 99^7^ 65o8 angle cherch. 2(p' — ç> =: A , 

sin f) 9*98494 57781 0267 angle approc. a = 72** 56 ; 

Ȕn(2<p'~(?) 9,97956 3705 1 6775 2a= 145.12, 

sin a. ^ . • • • 9»97956 26352 Saoô 

r = 10699 '^^ 
Z »in A = / sîn a + r, 
_JMr 



A:=:a'\-ps\n 2a fi +p -f-;?* . 



4 — a cos flfl\ , 
3 "> 



r 4^02955 76746 a +(1) = 7a%56o44 9^265 444^ 

-^M 0,06118 56950 4 (2) 61 6186 

séc* a 1,04660 65o3o 3 (3)..,. 16 

p 5,13714 98706 7 a^' — ç= 72,56044 953a5 0644 

sin 2â; 9,75728 93793 8 <p = 75 

R* 1,75812 26324 I ^'=: 73,78022 46662 5322 

(i) 6,65256 18824 6 

P 5,15714987 

O) i>7897i 175 

P' 5,13714 987 

± — jcosaa 0,27421 200 

(5) ' 7,20107 36. 

La ^valeur de 9' réduite pour les Tables à dix décimales, savoir: 
ç' = 75'46^48",8o88, servira à calculer par Féqoation 8În(2^'' — ^') 
zszc*sinç'y one prenaière valeur approchée de ^^'; cette valeur 
9"= 73* 46' 4^^00876, étant substituée dans le second membre de 
réqualion tang ((p' — <p") = V ung (p", on en déduira facilement une 
valeur beaucoup plus approchée de <p' — ^"j faisant pour cet effet 

A" tang f "5=/?, on aura f ' ~ (p"=3 RV> (i — f ) î en yoici le calcul ; 



« 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 199 

S' 4,98186 49441 5 (i) . . . . = o%ooi88 88989 5528 

UDg ^", «,53620 1 1498 3 (3) ' • • • — ^ 

p 5,5 1808 60939 8 ç' — <p"= 0,00 18S 88989 546 

R» 1,75812 263a4 I ^'. 73,78022 46^3 55a 

(1) 7,27620 87263 9 <p" = 75,77855 57672 986 

;>• i,o56i7 2188 (p" — ^"' z= 45 295 

î 9,52287 8745 ^w __ 73^7^835 57627 695; 

(2) 7,85525 966 

la différence f" — ^"' a été calculée semblablement par l'équation 
^"— ^"':=R°&"'tang^"'. Il n'est pas nécessaire daller plus loin, et 
Dn peut prendre ç'" pour ta lUnite 4 , ce qoî donnera 

45» 4- i* = 8i%889i6 78815 8465. 

Soit £1 = 81 %89.^ a:=o%oDo83 21186 1 535^ on calculera la valeur 
de H = / tang {a — ^ :r) par les formules 

^ = 5£5> ^ '*°S (« — J^) = / tang fl — r, 

I +/> ces aa -|- ;?• . g ^1; 

on aura ensuite F^=:KB£tI; yoici ce calcul : 

K*jc 6^92018 52^77 

R* 1,758^ a :i654 «= 8i*,89 (i), 0,00004 5i6ii 6o554 

X 5,t6!K)6 a6o55 20=165 ,78 (2). — 22 54635 

sin2a.,.. 9,446^^ i8aa5 (J). + i56 

;? 5,71595 07848 r = 0,00004 5i589 o586 

am 9,93881 4307 tanga 0,84618 77314 7o4q 

(0 5^5476 56978 H = 0,84614 25725 6454 

p 5,7159507848 

cos 2a. . . . 9,9 8236 0014 

(2) Î735307 588 H..- 9,92744 55465 6285 

5,65476 5i M. . . 0,36221 56886 9946 

p' ••••.. . 1,43190 i6 K, . • 0,00268 58 709 S716 

1+1^03*3^ o» 10765 70 k>gF9 = 0,29234 5io6i 994^* 
{5)..* .... 7^39432 57 



^oo EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 

i6i. Connaissant ainsi logF^, nous allons procéder an calcal de 
E^sLIS^-l-Pcsin^. La première partie dépend du coefficient L' 
qui se calcule par les formules 

L' = i4'R^.(c")ï(i-r), r=i.*^lî 

il en résulte 

log L' = 8,08897 78160 8527 

lF<p 0^39334 5io6i 994^ 

8,38 I 32 2g222 827a 
LT^ = 0,02406 i5i24 5297 

Four avoir la valeur de P , il faut reprendre les valeurs trouvées 

de «', cù", ô>'", savoir: 

« 

(/ = ç — Ç' = i*3i977 53557 468, 
»" = ^' — . (p" = 0,00188 88989 546, 

€ê"' = tp" — 9'" == 0,00000 00045 295, 

et calculer les logarithmes de coso»', cosû»'', cos ù^"\ par la formule 
du n* i47> voici le calcul du premier : 

•' 8,3q8i5 73144 14 sf'^ 3,3iaSa 88 (i)..-^ = 0,00009 841B6 87729 
é/^ 6,G5G3i 44fl88 a8 8,5586o 3i (a) 74 34iffo 

9,53675 43i56 37 (3) |,87ia3 19 <^ ^ 

(1) 5,99306 87444 65 ê/^ 9>9^894 i:co8#' 0,00009 84^41 ^7^ 

7,98457 lie' 0,00000 833 10 4o6a 

(3) 7,95351 1:/ 0,00010 67551 6340^ 

Le calcul de coso^'' se fera par un seul terme, comme il suit: 

cà" 5,5 1808 609 I :co8 s^ê". . . . 0,00000 00002 5602 

»"• i,o56i7 218 i:c" 1998 

9,55675 4^3 j .jjf 0,00000 00002 5599. 

(i) 0,57292 65o 

A regard de oT^ la petitesse de cet angle permet de négliger entiè- 
rement I— cosa'", ainsi que 1— c*, ce qui donne i^"=i. Ainsi 
la valeur de Pcsin^ se réduit^ dans ce cas, aux deux seuk termes 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES, aoi 

• j.^ ' ^* c sin ^. Voici le calcul du premier: 

2 o^Soioa 99956 6598 

csin(p».. 9,97956 SyoSï 6776 

1:/ 10 67551 6540 

1:/^'».... 5 1198 

Z 0,28070 04565 0711 Z = 1,90855 64405 8184. 

Le second terme ^sin^, ou sm8i^sin75% est la même chose 
que \ sin 84'' + 7 sin 66% dont la valeur se trouve immédiatement 
par la Table III, = 0,95405 66765 o544 ; 

de ces deux termes résulte P^rsin^ = 0,95450 217638 7640 

d'ailleurs on a déjà trouvé L'F^ = 0,02406 i5i24 5297 

donc la fonction cherchée £^ = 0,97856 4^763 0937 

d'ailleurslelogarit. connu deF^ donne F^ = 1,96040 i86i5 8371. 

Dans cet exemple où le nombre ^=-— logrV* est assez petit, 
on aurait pu abréger le calcul de la partie Pc sin ^ par la formule 
de l'art. 1 58 comme il suit : 



/ = 0,00010 67556 7558 /..•... 6,02859 09724 

/• 2,05678 1944s 

2/. s= 0,00021 35ii3 5076 M 0,36221 56887 

'^^ — ^6^4^04 M^\.., 2,41899 76335 



P 0,00021 3485i i5i7 

i^sin^ 9i97956 87051 6775 



MV' . . . 8,80960 43. 



Pc stn f . . • • 0,97977 1 1092 8292 

On tire de là Pcstn(p=o,9545o 27658 7645, résultat qui ne diffère 
du précédent que dans le quatorzième chiffre dont l'exactitude est 
toujours incertaine, tant par Terreur des tables que par celle des 
parties proportionnelles. 

.162. Nous remarquerons que lorsque le logarithme t est aussi 
petit que dans l'exemple précédent, on peut calculer la partie 
Pc sin f de la valeur de £(p , d'une manière encore plus simple 



\ 



• • • 



îsoai EXERClCaES DE CALCUL INTÉGKAL. 

que par la formule de Tarticle ]58* Car faisant toujours 

t:=z — log (//*), ce qui donne rV'* = c""^% on aura -^ — i 

s= 2e^'— I ; soit cette quanti té = i ^-a , afin qu^on aii P^sin^-sscsin^ 
+ czs\x\<p'^ de la valeur « = a (e^*— i) = 2es^^ (e»^^ — e~***^) 
= aMf • ^^^' (i + rp MV + etc.) , on déduira 

logz = log(2M0 + i/ + îÏ4M^-; 

par cette focof^ule, on calculera ÊicHement le petit terme czsin(p qui 
doit étreajcjuté à ^sin^; en voici l'application 

logi... = 6,oa839 09724 CO*-'- = 0,00046 9087? 7106 
ZilM... = 0^665^4 56845 6 csin^.. 0,95403 56765 o544 

ï^ ^ 5^778 4 Pcsincp = 0,95450 27638 765o. 

i\ Mi\ . \o 9 

log£. • • = 6,69169 oo356 <9 
l{cwïp) 9997956 5705 1 7 

(i) 6,67125 57408 6 

Ce résultat s^itccorde encore avec les précédens , misai bien que 
cela peut &tre, en n'employant, pour le calcul des parties acces- 
soires^ que des logaritiimes à dix décimales. 

i63« Exemple II. Soit proposé de trouver les fonctions F^, E(p; 
pour VampHtude ^ = 45% et le module 6iH48% dont les élémens 
sont, d'après la Table YI, 

c 9,87107 34581 435i b 9,8255i 08951 7456 

c' .... 9,995a3 52536 941 3 V 9,i6855 48482 6552 

d' "9/99999 5460Ï 5285 *"•• . . 7^78940 33718 x465 

c'". ... — i25i b"'.... 4,8767s 5^1981 2587. 
K. . . . 0,06207 «627« 45505 

Voici d'abord le calcul de (p' et sin (p^ 



CONSTRUCTKHV KES TABLES ELLIPTIQUES. 2o3 

c 9>87i07 3458i 455i œ=3i'7o \r. 4,66i5a 5^942 

8m(p 9>84g48 5oo2i 68ax aa=;63.4o M. 0,36321 56887 

siD(a(p'-Hp) 9,72o55"84o63 iiSâ ®«^*^- o>i4q35 36959 t 

p.... 5, i6385 46788 I 
fl4-(i)= 3i*4^'A68962 8207 sino^... 9,95141 34387 4 
W+(5) 3 9224 R" 5^1442 5i 33i 8 

:a^'— (p = 3i .42.2, 68966 7431 (i) 0,42969 22507 5 

«p'= 38.2I.I, 34485 37155 p 5,i6385 468 

(2) 5,59354 693 

^■' /?....•.. 5,i6585 47 

|— |co82a.*. 0,01486 78 

(5) 0,77226 94. 

Pour avoir /sîn^', on fera a=38*35=58*2i', jp=i",34483 57155 
<p'=:a+^9 et oa appKquera la formule l^m(a^x)z=:lmïa 

I : H -: . f ar cot a ) : en voîcî le calcul : 

R"j:.,. 0,12866 85884 8 sîna. .. 9^79271 63379 4647 
R' 5,3i442 5i33i 8 (i) + 35789 6760 

X 4,81424 34553 W---- — 3593 

m 9^63778 45ii3 sîn^'.. 9,79271 99168 9009 

cota«.. 0,10175 oooo5 9 e' 9,99523 32536 9414 

(i) . . . . 4,55375 77670 9 sîn (2^"— O 9,78795 31705 8425. 

X 4,81424 34553 

i:sin2a 0,01180 7328 

(2) • • . . 9,57980 855 

D'après cette valeur de /sin(2^''— •^')^ on trouve, en suivant tou- 
jours les mêmes procédés , 

a?)' — (p' = 37*5i'25",984o9 3235 
(f' = 58.21. 1,34483 5715 

76.12.27,3289a 6950 

<fl' = 38. 6.13,66446 3475; 
en a enduite pom déterminer (p''4'équatioa sm^^^'" '-^^^*)^=:c^ sin^^' ; 



ao4 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL, 

mais à cause de la petitesse de Tangle ^* — ^'"=â)'", il est préférable 
de déterminer (p'" par Téquation tang ((p" — <p"')=i'"tang(p'", ou sim- 
plement <p" — (p'" = R"*'" tang (p^". Pour cela, on substituera d'abord 
dans le second membre la valeur approchée ^'^'=38'' 6' lo'', ce qui 
donnera û>'" = i", 2 i 78 , et (p'" = 58* 6' i a",4466. Au moyen de cette 
seconde valeur, qui a toute l'exactitude nécessaire pour les tables 
à dix décimales, on trouvera plus exactement Ç)" — ^'"=R"4"tang^'" 
=:i",2i787 8424- Enfin la difierence (p'" — (p«^=:û>'^ se déduira 
de l'équation û)'^=R"i*Mang(p'% ou simplement a'^=:a>''\i A'"j 
car on peut supposer dans le second membre tang ^'^ z= tang tp'"^ et 
i'^ = \ (i'")*- Voici ces derniers calculs\i'oii l'on déduit la valeur 
de ^'^ : 

V" 4,87675 32921 2 q/' == 38*6'i3",66446 3475 

tang <p'" 9,89442 55ii2 5 cù'" = 1,21787 8424 

R" , . . . 5,Si442 5i55i 8 ^m _ 38.6.12,44658 5o5i 

€ù'" .... o,o856o 39365 5 a>^ = 22924 

\ V\ . . 4,27469 33 ^.. _ 58.6.12,44658 27586. 
û>'' . . . . 4>36o29 72 

On peut considérer ç'^ comme étant la limite des angles décroissans 
(Py (p', 9", etc. ; ainsi on aura 

H = log tang (45* + i(p«') = / tang (64* 3' 6^22329 1379). 

Pour calculer ce log-tangente , on fera a = 64** o5 = 64* 3', 
a: = 6^,22329 1379; ^^ appliquant les formules 

P = :t;;:^> /tang(a + a?)=/tanga + amp[i— pcoaaa + Jp^Ci +003» 20)], 

on trouvera H=o,3i28i 4^843 60705. Enfin la formule F^=KMH 
donnera les résultats suivans. 

H .-. . . 9,49528 62986 6865 

M 0,36221 56886 9946 3 

K • • . . 0,06207 66278 4558 5 

^9 == 9>9^957 86i52 1370 
F<p =5 0,83095 71254 6716. 

x64f Veaons mamtenaut au calcul de la formule EçsLTf 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. ^o5 

4- P^ sin ^ ; la première parlie se trouvera après avoir calculé log h% 
comme il suit : 

L'.... 9,38094 67241 494^ 
^^•••- QjO^qS? 86i5a iSyo 
LT(p.. 9,3oo5a 53392 65 10 LT(p = 0,19976 77521 6029, 

la seconde partie P^sin (p=:2 \/c sin (p.P^ — c sin ^ ; et pour avoir P', 
il faut connaître /'=c"cosû»" et /''=c'"cosû>''', or d après les va- 
leurs déjà connues 

«" = (p' — ^'' = 887" 68057 024, 
cé'" = ^'' — (p'" = 1 ,21784 824, 

on trouve les résultats suivans : 

iicos û/' . .. 0,00000 40217 70478 cosa^"..., — 7570 
i:c'' 65398 47146 c'''.... — i23iO 

1 ;r" 0,00001 o56i6 17624 /". . . • — 19880 

i.V» 39760 

t = 0,00001 o56i6 .57384; 

par le moyen de cette valeur de f = — log (rV"*) , on trouve aisé- 
ment le terme Z =2 \/c . sin (p' . P', ensuite on aura c sin ^ = { cos 5*, 
+ 7 sin 3°; d'où l'on conclura la valeur de E^p, comme il suit: 

• 3 o,3oi02 99956 63981 Z = 1,06981 27381 56o5 

\/c... 9,93553 67290 71755 dsin^ 0,52348 27454 9876 

fiin(p'.. 9,79271 99168 90090 p^gi^^ =7,54432 99926 3729 

+2t.. H- ji 11233 14768 L/p^ _. 0,19976 77321 6029 

— Me*. — 2 5685o _ — ; -— 

+M*/«. + g E?> = 0,74409 77^47 975» 

Z . . • • 0,02930 77646 8375, 

Les calculs de ces deux exemples ont été fort longs, malgré la sim- 
plicité des formules, parce qu'on a voulu obtenir des résultats 
exacts jusqu^à la quatorzième décimale; mais ils s'abrégeraient beau- 
coup, si Ton se bornait, comme il convient presque toujours, à dix 

ou à un moindre nombre de décimales. 

r 



ao6 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 

§ XII. Jlléi/iode pour constndre, (T après un /nodule donné j 
une table composée d^un petit nombre de valeurs des 
foTictions F et E, au moyen de laquelle on puisse déter- 
miner facilement ces fonctions pour toute valeur donnée 
de V amplitude. 

i65. La méthode que nous allons exposer ti*est autre chose que 
celle du § IV, modifiée de manière qu'elle n'exige pas un travail 
préliminaire trop considérable , au moins lorsqu'on ne veut pas 
pousser l'approximation au-delà d'un certain degré. 

Supposons d'abord que l'on calcule par la méthode générale, l'am* 
plitude a ou a, qui satisfait à l'équation Fass-^F'c (nous prenons 
pour exemple la fraction 7^3 mais une autre fraction telle que ^ 
ou j^y pourrait être plus convenable dans certains cas^ comme nous 
le verrons ci-après ); au moyen de cette amplitude, on déterminera 
successivement celles qui satisfont aux fonctions multiples Ftf.=aFa^ 
Fa3=3Fa^ etc. On calculera en même tems les valeurs 'corres- 
pondantes de Ey et du tout on formera un petit tableau de dix 
lignes seulement 9 contenant les valeurs de (p et deE(p^ auquel on 
pourra joindre , pour la facilité des applications y les valeurs cor- 
respondantes de Isia^ y /tangip^ '^(9)* Voyez un Tableau de cette 
sorte y page 21 5. 

Cela posé y ç ayant une valeur donnée quelconque ^ il s'agira de 
trouver ) par le moyen de cette table, les valeurs des fonctions 

F^y E^. 

166. Supposons que la valeur de ç soit plus grande que cl, y elle 
sera comprise entre deux termes consécutifs de la première colonne; 
soit a le terme le plus proche , ou au moins celui pour lequel la 
différence F(p — ¥a est la plus petite, et soit ^szza-^Xy x étant 
une différence positive ou négative; si l'on fait en même tems 
F(a-f-a:) = Fa-f-Fj^, l'amplitude^ se déterminera trigonomélri- 
quement par les équations suivantes : 

c%mar=%\nC y tang4^=cosf tang(a+ar)y ^=4'-*'4> 
£sin(a-f-j:)=sinf'y tang^j/ sscosf'taoga. 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 107 
on voit qu'il faudra d'abord calculer les angles auxiliaires f , €^^ 
ensuite les angles '^^ ei*^, dont la différence est Tangle cherché^* 

Connaissant^ qui sera en général du même ordre que x, et peu 
supérieur à x (excepté dans le seul cas où c ei ûn^ seront tous 
les deux peu différens de Tunité), on pourra déterminer F/ et%- 
par les formules qui conviennent aux petites amplitudes^ et on en 
déduira les fonctions cherchées 

F^ = Ffl + F;-, 

E^ = Etf + E^ — c* sîn a sîn f sin jr. 

Cette sorte d'interpolation n'exigera en général qu'un calcul asses 
facile et fondé ^ comme on voit, sur des formules trigonométriques 
très-simples. 

Si X est négatif 9^ le sera aussi; mais d'ailleurs le calcul sera 
toujours le m^e. Au reste la faculté qu'(Mi a, suivant les différens 
cas 9 de prendre x positif ou négatif ^ permettra toujours de sup- 
poser F/ <C îFa^ c'est ce qui aura lieu encore, lorsque ^ sera moindre 
que et, mais tel cependant qu'on ait F^ > ^F«. 

N0U6 remarquerons que si Ton fait sinûy=: ^ , ^ , ^ , on 

aura exactement «in r = — , \ - ^ . • . Par les auxiliaires € et €', 
ona Aa=cos^, A(a-f-^)=cos^', ainsi l'angle (à, troisième auxi- 
liaire, se Irouyerait par l'e'quaUon $in«5= co.(i^+iS° c T sa^-iC) - 

mais il sera presque toujours plus simple de se servir des formules 
précédentes^ quoiqu'elles déterooduent l'angle^ par U différeiKre de 
deux angles beaucoup plus grands 4' et 4* 

167. Nous avons donné dans le § V des formules pour calculer 
les fonctions F^, Ep, lorsque laraplitude 9 ne passe pas une cer- 
taine limite; mais si^ était très-petit, le calcul de ces formules 
pourrait être sujet à quelques difficultés , surtout si le module c 
était eu même temps très-petit. Il sera plus simple alors de se servir 
des formules telles que les donne immédiatement l'intégration par 
séries ; ces formules sont , en supposant que les termes de Tordre 



aE* — Ea, = 


= ;»* 




E« 4- E«t, - 


- Ea, 


= A'. 


Ed -f- Ettj - 


- E«4 . 


==/»» 


Ea + E«4 - 


-* E«, ; 


= /?4 



ao8 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL; 

7'' pçnTent être négligés, 

168. Connaissant et., a., «3^ «4, ^5^ par la multiplication de la 
fonction Va, îl faudra que «5 s'accorde avec la valeur tirée de 

Téquation tangtf5=:--;T. Cette vérification étant faite, on calculera 

les termes suivans ets, «,, etc., par les équations complémentaires, 
savoir: cot «^6 = ^ tang «^ , cot a, = i tang c^s , cot otg =: i tang a, , 
cotâ(^= b tang et. Il faudra ensuite calculer les fonctions Ea, , Eet^^elCj 
ce qu'on fera par les formules 

p^ = c* sin tf , . sin a^ sin a^ 

p^ = c* sin a^ . sin a. sin ee,^ 

Pi z=: c* sin «1 • sin et^ sin «^4 

p^ z=: c^ sin c(( • sin a^ sin «5 

de ces formules résulte 

E(* = f (Eflts + ;?! 4- ;?. + A^3 + Pa); 

et comme on connaît Eots == i E* + j (i — A) , on aura par Téqua* 
tion précédente la valeur de Ea; ensuite Ea^, Ea^, E^^4^ seront 
données par les équations 

Eût. = aEflt — p^, 

Eets = Eflt + E«. — p^, 

E«4 = E« -f- E*s — Ps* 

Ce calcul se continuera pour les autres amplitudes ««, «,, etc. , aa 
moyen des formules 

£«0 + £«4 = E' + c* sin 0(4 sin ««, 
Ea, -f- £«3 = E' 4- ^ sin a^ sin a, , 
Eag + Ea, = E* + c* sin a, sin a,^ 
Ea, 4- Ea = E*^ + c*^ sin a sin a,. 

Cette méthode va recevoir les développemens nécessaires dan^ 
Texemple suivant, où les calculs sont faits de manière à obtenir 
au moins dix décimales exactes dans les résultats. 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. aog 

i6g. Afin de mieux juger de Texactitude de la nouvelle mé^ 
thbde, nous prendrons pour exemple le module sin45% d'après le^ 
quel la table II a été construite. Voici ^ dans ce cas^ Téchelle des 
modules réduite à douze décimales : 

c... 9,84948 5oo2i 68 b 9>84948 5oo2i 68 

c*. ... 9^33444 86293 24 A*-... 9,99551 18092 4^ 

if*... 7,87530 12255 4a A*^.,.. 9,99998 78857 5i 

^•••... 5,14455 45759 59 *•••... 9,99999 99999 58 
^••••. .9,68704 91605 95 

il faut d'abord déterminer a par Téquation Fâe=-r;F'; et comme 

on a en général F(p = — ^ . F'^, * étant la limite de la suite (p, f ^% 

^9''% etc., il faudra faire 4>=:9'*; or, pour le degré d'exactitude 
que nous avons en Yue, on peut supposer 9z=ZYg^**^; ainsi on 
aura ^*'''**=s 144"*- De cette valeur on déduira successivement celles de 
^000^ ^00^ ^.^ ^^ jj^ moyen des équations sin(2^***— ^••••)s=c**'*sin^**% 

sîn(2Ç** — ç****)=c***sin^*'% etc., dont voici le calcul: 

» 

e'^ 9,68704 92 a^»î— .^«4 =rs o* o' o",ooooo 5898 

Bin(p'*.., 9,76931 87 ^"♦ss 144 

^" 5,5i44a 5i (p— = 7a . o .0 ,00000 2949 

2^«3 p-* 4,77069 5o 

*•» 5,14455 45759 4 2^-— ^— s= a ,73644 0659 

sin^'. • . 9>978ao 65255 5 ^., =s 36.o.i .36822 ido4 
R". 5,51442 5i55i 8 

a^«» — ^«3 0,45718 60547 

«•• 7,87550 13255 4a (0 9o5",62626 4^55 

«in^".. 9,76922 265o5 72 (a) + 290 968a 

p 7,6425a 58759 14 uf—f'^s i5' 5",6a9i7 5955 

R" 5,51443 5i55i 76 (p-ss 56* o. i,568aa 1804 

(1) 3,95694 90090 90 ^ s= 18, 7.35,49869 787» 

i ;»•..,. 4,50689 65 

(a) 7,46584 55 



aïo EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 

£^ • . . 9>23444 S6393 34 angle cherché A = 2^ -— ^% 

«n ^' 9*49291 01476 38 angle approch. a=3»o6;=3*3'56", 

8În(2^ — ^•) 8,72755 87769 6a éq. à résoudre /smA=/sma — r, 
sia a 8,727392316947 Solution. ;? = rMtang a, 

r= 3 35399 ô5 A=a— ofi — ^5-\ 

r 5,52556 28641 CO • • • o",85i56 0817 

M . 0,36221 56887 (2) . . . 5 2976 

tang«.. 8,72801 .9 841 o,85i52 784? 

p 4,6157905369 a 5« 3' 36" 

R" 5,3 144a 5 1 332 ^^ ^, __ i — i"-^^ — jt; r- 

_Z Iz af-~p' = 3. 5.35,14847 ai59 

(0 9>95o2i 56701 (p' s= 18. 7.33,49869 7870 

p 4f6i57Q o53 ^_ Z~c7 "■ 

• -■ a^ = 21.11. 8,64717 002Q 

,:sm:.a o,97^'9 7^ a=:<p = ,0.35.54,32558 5o. . 

(2) 5,51820 35 

170. Ayant ainsi déterminé la valeur de a ou oe,, il faut calculer 
les termes <«., «3, «4, etc., par les formules connues pour la mul- 
tiplication des fonctions ; savoir ; tang -^ œ. = A tang a , 

^°g(lr«j+ï«*) = Atang«., etc.; voici d abord le calcul de A« 
ou A. 

c... 9,84948 5oo2i 68 a=:7*,47 
uiam. 9,aS44i 4ooflS 7a 

. * — '::r" :: ■ '" ^,83197 06609 ces a 9,9Q6aQ 844a8 77 

•mA 9,11389 90048 40 tangua. 8, a3533 69554 R... iiL & 

«ma. q,ii3q6 60906 i5 • i- i- 

^ , , rtaDg»a 4,0673© 76163 û. . . 9,00680 o6io3 s8 

r= 67915775 r —679158 

/sinA=s/sina — r, rtang*a — 11676 

/cosA=/cosa4.R, R . . . 4,06733 85330 

/R=i(rtan6*a)-,r--rtang»«. ^ 



/ 

I 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES, mi 

Calcul de a^. 

tanga.» 9,27187 89348 79 a=:io*5o /*•••• 6,52556 58917 

A 9,99629 96105 28 sossai.oo |M.. 0,06118 56930 

tangjfle, 9,26817 85452 07 p.... 6,33675 i5847 

tanga.. 9,26796 69207 35 8102^. 9,55432 91618 

r. . • " 21 16244 74 R". . . 5,51442 5i552 

/UngA = /langû+r, CO--- i,2555o 58797 

p^\Ur, ' ^- • • • 6,38675 15847 

cos 2g 9,970 1 5 174 
A— û=;?sin2a(i4-;^cos2fl-f-f/?*cos4a). (2)... 7,61240"^ 

û + (i) = io*5o'i8",oo967 517 (i) i,2555o 59 

(2). . . 409 646 ;?• 2,77350 52 

(5). . . 55 f 9,82590 87 

^a^.... = 10. 3o. 18,01577 216 cos4^*** 9,87107 55 

«t = 21 . o. 56 ,02754 45 (5). r . . . . 5,72599 i5 

Calcul de a^. 

*anga. 9,5844o 41122 28 ^=20* 85 r 5,8i548 25192 

A 9, 99629 96105 28 2^=41.70 ^M... o,o6ii8 56950 

*ang A 9,58070 57225 56 4a=85.4o p 5,8766e 8012a 

tanga. 9,68076 91081 87 sin2a.. 9,82297 2o58c> 

r = 6 55856 5i R",.,. 5,5i442 5i552 

/tangA=/tang<^r,;;=4Mr, (O--- 1,01406 52*554 

p 5,87666 801 

A=a— /^sîn2a(i — p cos aa^^p^ cos ^d) cos 2a. 9,87511 02 

(2)... 6,76384 54 

(0 = ^'',52916 4734 

(2) — 58 0557 (!)•••• i,oi4o6 5 

(5)...... + 4 ;?».... 1,75335 6 

a ~ A. . = 10 ,52858 417 f cos4a 8,88456 9 

« = 20^ 5i^ o^^ (5)-- i,65i77"a 

A = 20.50.49,67141 585 

«3+ a.. =41.41.59,54285 17 

A 10,55.54^52358 5o 

«(}..••••. = 3i, 6. 5,01924 67 



312 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 

Calcul de cl^. 
taDga^ 9,7805 1 21993 1 86 r 5,84856 5o655 



û 9,99629 96103 28 ûs= 50^89 jM... 0,061 ï8 56930 

tangA 9,77681 36o35 14 ^^'^ ^^-78 p 5,90975 ©7585 



r = 


7 o56io 55 


/ tang A = 


:/langa — r. 


(3).. 


= 30* 55' 9",25545 584© 
H- 56 7i55 
H- 56 


ï(*4+«.) = 

et^ : 


= 3o.53. 9,a36o2 5o3 
= 4o>4S*4^ A44^ i^ 



tang a. 9,77688 S1645 69 4^=^^5.56 gin^^^ 9,945o4 4i5ï4 

R" 5,31442 5i332 

(1).... 1,16922 P0431 
P 5,90975 076 

COS2a. 9,67473 108 
(2).... 6,75370 188 

(l).. . • 1,16922 00 

/7*. •. .. 1,81950 l5 
3Cos4a 9,56648 46 

(3).. . . 2,55520 61 
Calcul de a^. 

tangflt^. 9,93 55 1 419^1 62 0=^0'' 5% r 499^^^^ 10848 

ù, 9,99629 96103 28 2a=:8i .04 j M. . . 0,061 18 56930 

tangA. 9,93181 38oi4 90 p 4)96i20 ôj'jjS 

tang^.. 9,93180 58578 22 sin2â.. 9,99466 78399 

^^ ^Sôli ^'-- 5,3 1442 5i332 

/UnffAca/tanffa+r ^')'-'- ^>^70^9 975o9 

mngA-UangaH-r. ;,..... 4,96120 678 

a ss 40"* 3i' i2'',ooooo 0000 cos 2a. 9,19241 38i 

(0 • • - ' I î86337 2796 ç^y ^ ^ ^ 442392 034 

(2) 2654 

laj-l-Ja, = 4o.3i.i3 ,86337 545 

81. 2.27 ,72675 09 
ctj...... 3i. 6. 5,0192467 

c^ = 49-56.22 ,70750 42* 

Par réqualioQ cot€t5=v/^^ on trouve directement.. •••• .' 

«5 b: 49* 56' 22'', 70750 5i6; la différence n'est que d'une uuitc 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 21^ 

décimale du sixième ordre; or^ le sixième ordre de décimales dans 
les secondes, est le douzième chiffre significatif du nombre entier, 
puisqu'en réduisant tout en secondes, ona a5=i79782",7075oi6. 
On ne peut donc pas répondre d'un plus grand degré de précision , 
en ne donnant que douze décimales aux logarithmes , surtout si l'on 
considère combien il a fallu d'opérations pour obtenir ce résultat. 

171. Pour calculer maintenant les quantités p^y p^y ps^ p^^y il faut 
connaître les log-sinus des angles a, a., u^^ aj^^ et^i le premier est 

déjà connu , le dernier se trouve par la formule sin «5 = . ' , -rr 

= ^-^ ; voici ces logarithmes , d'où Ton déduit ceux des quan- 

tités;^?^ et ensuite ces quantités elles-mêmes : 



sin 01 QyfxS44^ 4^026 72 
sm Ma, 9,5545a G723S G3 
«in «3 9,7i3ii 58677 2S 
sin «4 9,81485 70G38 12 
sin «5 9,88386 96562 47 



p, = o,oo6o5 79367 3a 

p, = 0,01702 26276 ©4 

P3 = o,o3o99 96605 69 

p^ = 0,04593 î5io4 20 



p, 7,78232 47333 43 

Pa 8,23l02 65983 97 
P3 8,49135 69385 46 
p4 8,66211 07270 67 

I 0,10001 17353 a5 

Connaissant la fonction complète E'=:i, 35064 388io 48, et la quan- 
tité I — & =20,29289 32188 24, on trouvera par les formules de 

l'art. 168 

Eots = 0,82176 85499 ^^ 

Eflt, = 0,18455 60570 5i2 

Eflt, == 0,36265 4^ 77 5 704 

E*3 = 0,52998 76068 176 

Ea^ = 0,68334 4^<^32 998. 

172. Il faut maintenant prolonger le calcul de toutes ces quan-* 
tités pour toutes les amplitudes au-delà de ots, savoir : «e, a,, a^^ a^. 
Or, si les amplitudes (p ei '^ sont cômplémens l'une de lautre , 
c'est-à-dire, si l'on a F(p + F4=ï''c, non-seulement l'amplitude 
4 se déduit de 9, par la formule cot >[/=:& tangip, comme on l'a 

vu dans l'article 168 , mais on a en même tems A'n[/=: — , et 

T 

sin 4 = Aift^^" — ' ^^ sorte que connaissant les logarilhtnes des 
quantités sin^, tang^, A^, pour les amplitudes qui précèdent a^^ 



21 4 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 

on aura itmnédtateinent les logarithmes de ces quantités pour les 

amplitudes qui suivent a^: 

D'ailleurs 4ie la valeur connue de cot 4 9 ^'^ déduit celle de Tangle 
4> ce qui s'applique successivement aux amplitudes a^, a^^ a^^ a^^ 
on aura donc de cette manière les résultats suivans: 



(p. 



et. 



58^58' io",3i4o2 70 
66.53.5a ,77456 17 
74.48.22 ,95725 47 



/sin^. 



/ taDg ^. 



9,931 39 67348 58|0,3i5oo 08066 7a 



9,96369 70659 98 
9,98454 78550 84 



'9 



82.28. o ,82488 759,99623 54574 65 



0,37000 20046 46 
o,S66ii o8856 04 
0,87863 60629 55 



Au moyen des valeurs de sin (p, on déterminera les fonctions E«e, 
£«,, etc., parles formules de Tart. 168, comme il suit: 



c^ina^sîii«(e:=0,27875 57297 82 
£' =1^35064 388iO 48 

1 962939 96108 3o 
E«4 =0,68334 4^o33 00 

Eas =0,94605 56075 3o 



=0,17299 ^5944 95 
i»35o64 38810 48 

1,52564 52755 45 
«65 41775 70 



c*sina3sina7=o, 23756 5263o 146 
E" =1^064 388io 46 

1,58620 91440 626 

EâC) 0,52998 76068 176 

Ea, =i,o5822 15572 45 



c^smot^sinût,: 
E- 



tfûmcL sînA^ 
E* 



10,09112 12071 58 
i,55o64 588io 48 

1,44176 5o88i 86 
0,18455 60570 5i 



JËctf. =1,1609890961 75 Edt^ =1,2574090311 35* 

175. Nous avons maintenant tons Jes jélémeai qui doivent com- 
poser la TaUe auxiliaire que nous voulionis ûonatruûre; mais pour 
en rendre Tusage plus commode , il sera bon d'y joindre les va- 
leurs correspondantes de logA^. 

On coonaU déjà A(ft) «et ^(«5) = ^^'^; 00 calculera les aulnes 

termes par les formules Aa.= îï^iii , a«, = Î^L^, 

^ • taog«« ' • tang«3 ' 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 3^5 

^«4= -rf^> et ïes termes complémentaires par la formule gé- 

Berale A*4/ = — . 

Voici donc la table complète qui résulte de tous Us^ él^nvens ainsi 
calculés. 



wÊ^a^mmÊÊm 



•SB 



♦• 






•, =io«35'fl4''32358 

«3=3i. 6. 5,01934 
«4=40.45.4^,44450 
«5 =4.9 • 56 . 33,70750 
«6=58.38.io>3'i4oa 
ttj =66.53.53,77456 
*8 =74 -48 -33,93725 
*9 =83.38. 0,83488 

aP=90. O. 0,00000 



5o 



Ef. 



0,18435 



43o^6îi65 
67 0,53998 
i&ûy68334 
530,83176 
70 0,94606 

17 l,o5833 

47 W16098 
73 t, 35740 
00 i,35o64 



60570 
41773 
76068 
4oo33 

85499 

56a7& 

15373 
90981 
goîii 
388 10 



01 



Z&inf. 



/tadgf. 



9,36441 
7019,55453 
9,7i3ii 
9,8i485 
9,883S6 

9.96369 

9.»8454 
9.99^^ 



18 

00 
3i 

3oj 

45 
73 
35i 

48 



40036 
67ÎI36 

586*77 
70638 
965622 
67348 
70659 
78550 

54574 



73 

6319,58440 41.L39 a8|9,98557 



fAf, 



9,37187 89348 79 



0,00000 00000 00 



36 9,78061 39931 
139,93551- 419.11 

47 0,07535 74989 
58d^375oo o9o66 
98 0,37000 2004$ 
840,56611 o8856 
651*0,87863 60639 
Infini* 



86 
6d 
16 

70 

46 

04 

53 



9.99839 



9.96890 

Î.d4794 

9>9a474 
g,90i55 

9,88057 

9,86391 

9,863i8 

9.84948 



96103 
47063 
58o85 
61377 
aSoio 
88643 
91936 
oa458 
53918 
5ooai 



a8 
5a 

45 

95 
84 

73 
a3 

16 

40 

68 



JJgj-gJ; 



174. Pour faire voir Tosage de cette isaile , dieîck)û^ la vafeur 
des fonctions F et E, lorsque f> = 70^ 

L'atnpKtode qui âans fa table approche le plus de 70^^ est 
fl = 66* 55' 52", 77456 17; elle répond^ à ki; fonction F^riss ^.F'£?f 
il faut donc résoudre Féqootioci Ff ac^Fa-j^F^, ce qui se fera par 
les formules 

tang^f'ss Afllatig^, t^i^g^ =^ ^^ f^^ga, ^ss:^' — ^J.; 

soh csîaf =sshiC, oa^ aura IsiaCsss. ^8^:^47 08186 11^ d'^b Ton 
tire lcos€ eu /A^= 9^87350 72687 6S. Par la table, on a immé- 
diatement tanga et àa^ ainsi /tang^' et ^tang^vj/, seront donnés 
comme il suit : 



Aa 9,88057 91956 35 

tang^ 0,43895 4i5i7 97 

tang4^-« o,5i95f 35a54 ^o 



A^ 9,87550 73687 65 

tanga.r*. 0,37000 30046 4^ 

- - ■ -—.—m ■ 

tang*^^.. o^4^5o 93754 09 



2i6 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL; 

il en résulte •^' t= 64" a5' Sa",! 1076 01 

•J, =60.16.54,8088769 
j- =5 4. 6.57 ,5oi88 32 

H s'^agit maintenant de trouver avec le même degré d'approximation 
la valeur des fonctions E^*, Ft*; c'est ce qu'on obtiendrait par l'in- 
terpolation de la table II; mais pour ne rien emprunter de cette 
table, nous calculerons directement les valeurs de Ey, Fy, parles 
formules que donne immédiatement l'intégration^ lesquelles en né-- 
gligeant les termes de Tordre^' seulement^ sont: 

Si l'on y substitue la valeur de c^ dans notre exemple^ savoir ; 
c*=7, elles deviennent 

Er = r — 75^' + ^ r^ + ^^^ r\ 

faisant donc j^=:4''6'57'',3oi88 3â, ce qui donne ^ après avoir 
réduit cet arc en parties du rayon 

log^ = 8^85654 39959 78, ^ = 0,07185 63067 ^^^> 

on trouvera Yj{f = 0,07180 5434^ 97, 

F;^ = 0,07186 72o5o 06. 

Maintenant les valeurs cherchées de F^ et E^ se tireront des équa* 
tions F(p = Fa+F7', Etp = E^4-E7^ — c* sin a sin ç sin 7-, comme 
il suit : 

i?*sin^ 9567195 58207 79 Etf = i,o582a i537a 4^ 

sîn fl 9596569 70659 98 E;^ = 0,07180 54 542 97 

sin^ 8,8559 7 o4o55 19 i,i5oo2 69715 4^ 

Z 8,49162 52922 96 Z = o,o5ioi 8 6785 59 

£^ = 1 9O9900 82929 85 
Fa = i^.F'c = 1,29785 52741 II 

F/. ........ = 0,07186 72o3o 06 

Fcp =7,36971 94771 17 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 1l^^ 

Par la lable II, on a F^=: 1,36971 94771 ^a, et <. 

E^ =: 1,09900 83929 85, ainsi Taccord est parfait sur la valeur de 
E^ et il n'y a de différence sur celle de F que cinq unités déci« 
xnales du douzième ordre; erreur facile à expliquer tant par la 
longueur et la multiplicité des calculs de la dernière méthode, que 
par l'inexactitude qui peut rester dans le dernier chiffre des nombres 
de la table II, malgré tout le soin qu'on a pu mettre à la cons- 
truction de cette table. 

175. Dans le calcul du tableau de l'art. 17S, nous ayons poussé 
le nombre des décimales jusqu'à douze y afin de mieux établir la 
comparaison des résultats avec ceux de la table II qui comprend 
un pareil nombre de décimales : mais le calcul s'abrégerait beau- 
coup, si l'on voulait se borner à dix ou à un moindre nombre de 
décimales. 

En général^ quel que soit le degré d'exactitude qu'on veut obtenir, 
il faut mettre un soin particulier à l'exacte détermination de l'am- 
plitude CL d'après laquelle la table est formée. En supposant^ comme 
.^ous Tavons fait, Fc( = 7^Fc, il est nécessaire^ pour connaître 
oLy d'avoir l'échelle des modules qui résulte du module donné c. 
La Table VI ci-après donne cette échelle pour tous les angles 
du module 9 de dixième en dixième de degré, depuis o"^ jusqu'à iS*^ 
et ensuite de demi-degré en demi-degré, depuis iS"" jusqu'à 45^ 
Mais cette Table n'est pas de nature à être interpolée , et ne serait 
d'aucun usage pour les angles du module qui n'y sont pas expres- 
sément contenus. 

176. Pour obvier à cet inconvénient , nous avons pensé qu'il 
serait utile de construire une table où l'on trouverait, pour tout 
angle donné du module, au moins de o"" à 4^% la valeur de cl qui 
donnewFc(=:;^F'c. Dans cette vue, nous avons calculé directement 
la valeur de et pour tout angle du module de demi-degré en demi- 
degré, depuis G** jusqu'à /fi^-^ nous avons ensuite interpolé les ré- 
sultats en insérant quatre moyens entre deux termes consécutifs. 
C'est ainsi qu'a été formée la Table VII où Ton trouve la valeur de 
A pour tout angle du module de dixième en dixième de degré, 
depuis o"" jusqu'à ^S"". Cette Table ^ dans laquelle les quantités ec 



^i8 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 

sont accompagnées de trois ordres de différence^ le quatrième étant 
omis comme inutile ou pouvant être pris ht vue , servira à déter-* 
miner par inierpolalion la valeur de a qui satisfait k Téquatiou 
Yci=:Y^¥''Cy. pour tout angle donné du module de o'^à 4^% sans 
qu'il Mvt besoin die connaître l'écàelle des modules correspondante. 
On n'a pas prolongé la Table YII au-delà de 4^% parce que l'in- 
tevpolatîoB deviendBait de ph» en plus pénible ^ à mesure que l'angle 
du module s'éloignerait de ce terme, et aussi parce que passé ^5""^ 
il convient de prendre Fa plus petit que tô^'^> et de plus en plus 
petit y à mesure que l'angle du module devient plus grand. En effet y 
pour que 9 suivant Tesprit de la méthode, le calcul des fonctions 
Ëp, F^, soit ramené à celui de deux autres fonctions E^, Tjr^ dans 
lesquelles Famplitude^ n^excède pas. 5 à 6 degrés, il faut qme « 
n'excède pas la*. D'après cette base, on peut faire Fa=~F'<7, 
depuis fl = 45*, jusqu'à 0=70% et Fa=7^F'c, depuis 0=70% 
jusqu'à 6 = 8a''. C'est ce qu'on trouve aisément par Téquation ap- 

procbée -- lim§(^5''^\eai)zs:rnE'Cy dans laqaeQe substituant les 

valeurs nz=^'^y c=sîn70% on trouve «=ii*5y, de nfràme qu'en 
faisant «=-7^, c = sin82%on trouve £t=:ïr'58'. 

177. Nous remarquerons que lorsqu'il y aura lieu de supposer 
Fa= TsF'tf , cette équation peut être résolue par de simples opé- 
rations Irigpnoméiriques , sans être obligé de former l'échelle des 
modules.. En effet, l'angle «^ qui satisfiiit à l'équation Vct^z=i^Y^Cy 
pourra se déterminer par la formule du n* ^4» I P*» connaissant «^^ 
il faudra employer les formules de la bissection, pour trouver suc- 
cessivement a. et fi&i ou A. Ensuite on trouvera (es autres termes 
par les formules de la multiplication qnf ne supposent pas connue 
Téchelle dés modules. On pourrait même dérerminer ces termes 
par la simple bissection, savoir: ct^ par la formule ordinaire*. • . • 

tangtf^=r^,. et a^, par la bissection de Fâie. II resterait à trouver 

par ces mêmes foi^moles la valeufr de «5 ,. ce qui peut se faire aïs 
moyen de l'équation des complemens qui donne d'abord cot a^^ 
=£ tangce., et ensuite 0$ par la bissection* de '^ol^. 

Il sera encore plus facile de résoudre l'équation Fâi:ssr^F'^# 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES, ^ig^ 
puisqu'elle n'exigera que les formules ordinaires de la bâssedÛMi. 
Nous^ en donnerons bientôt un exemple pour le module sinBi"". 

178. Pour montrer l'usage de la Table VII, supposons qu'on 
demande la valeur de a pour le module sind= j. De celte valeuir 
du sinus on 4ëduîi*a d'abord l'angle correspondant 

4 =: 19*^47123 06344 868; 

on voit «ensuite par la Table, qu'a l'angle du module T9%4 T^pond 
la valeur ^=9* i5' 37''y8366o lo, et les différences toutes positives 

cr^ = 9,95614 40, cr*^ = 5677 85, <r3(p = 9i4, J^(p=:8; 

faisant donc x= 0,71220 634^, et appliquant la formule ordinaire 
des interpolations, savoir: 

on aura 

« = 9** 1 5' 44!'yg2i6i 5o. 

179. 'Non-seHlemeni la Table VII fait connaître pour chaque 
module moindre que sin 45% l'angle et qui donne Fac=^F'c; maïs 
cm petrt facilement tirer de cette même Table, la valetrr <:orrespon- 
danl« «de la fonction Etx. Voici comment on parvient à la formule 
nécessaire pour celte détermination. 

Si on suppose que pour l'angle B du module, l'amplitude f satis- 
&it à réquaiion F^ = /ïF'c, n étant un nombre fraclionnaire cons- 
tant, ^ sera en général une fonction de €; et comme F^ ou F est 

fonction de fl et ^, on devra &ire dF = /^j- ■+" 3j ^ ^) ^•* • • 
ss (^ ^ i • ^ j d&y ce qui dennera récpation 

as "*" Â • </ô '^ '^ ' dfl ' 

mais en &isant c=isin6, les formules dé l'art. 4'5> ' P* donnent 

dF E— Fcos'fl sînfl sin y c oa ^ dF« E'— F'cos *Q 

3B "^ sinôcosô côaô* A * M ^^ ainflcosô ' 



k 

^ 



aïo EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL, 

donc on a 

^ _ ^A ,-, „, ./\\ • «A sin^cos^ sinScosd dp 

E — Fcos^fl— /i(E*— F'cos*6)=sm*fl. — ~— ^ — • ^, 

ou simplement 

E = /iE*+sm H. — — . 5g^. 

Or, pour chaque valeur de d comprise dans la Table VII^ on trou- 
vera immédiatement le coefficient différentiel ^ , par la formule 

36og=:cr(P-icr'(p+icr^^-:îJ^(P, 

où 360 est mis pour la différence o%i des valeurs de 8, parce que 
les différences S'^y cT*^, etc.^ sont exprimées en secondes; quant 
aux valeurs de d qui ne sont pas comprises dans la Table, on trou- 
vera également par interpolation les valeurs correspondantes de i^ , 
cT*^, etc., comme on l'a vu dans la quatrième partie, tome II, 
art. gi ; donc dans tous les cas, on connaîtra la valeur de Ea qui 
répond à Téquation Fa=Y;jF'c. 

Dans l'exemple précédent^ Tangle du module 4^* est compris 
dans la Table j mais les différences qui répondent à 4^'', dans le 
sens de l'accroissement de la variable 8, n'existant pas, faute de 
termes ultérieurs, on y suppléera par les différences dans l'ordre 
inverse, comme on l'expliquera ci-après art. iqS. 

On aura alors 



^^=29,8o5i6 98, «r*(p=>--ii285 3i, <:r»<p=44 lo, «r<^=— 5o, 

ce qui donnera ^ = °^' sg^ = 0,08294 92892. 

Substituant ces valeurs, ainsi que celles de sin^, tang ^, A, dans 

la formule E = rs E* + ^ . ^^" ^^^^^ — ^ • ^> ^^ *^^^^ • • • 

E = 0,18435 60577, ce qui s'accorde suffisamment avec la valeur 
dç %ct , dans le tableau de l'art. 1 75. 



v. 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES, aai 

§ XIV. application de la méthode précédente au calcul 
de la Table particulière pour le module czsasïnSi^. 

i8o. Nous supposerons ¥etz=:-^Y^c , et nous ferons les calculs 
avec toute l'exactitude que comportent les Tables à quatorze de* 
cixnaleS) par la seule méthode de bissection, sans faire usage de 
Téchelle des modules, quoique cette échelle se trouve dans la 
Table VI. 

La première bissection de la fonction ¥*c se fait par les formules 

connues, lang«.=:^, "aa,=p^^=^^,C08«.=^(;^). 

àet^=: ^hy et on a immédiatement les logarithmes de ces quantités, 
savoir : 

Ztangâtg = o,4oa85 3779? ^^^o, /sin^g = 9,96845 94^67 9809, 
/Attg... = 9,59716 63206 7850, /costtg = 9,5656o 57074 7659, 

les quantités semblables pour ttj^y se déduiront de la formule 
«in flt^ === -^TT^trrT—N ; et d'abord pour avoir sin^^g» je cherche 
/(i 4" <^os âtg) par la formule qui sert à déduire log(i +A) de log A 

log A = 9,5656o 57074 7659 i85 1 +a.. o,i36oa o453i 7968 

log a. . . 9,5656o 37453 4709 ^ ~ 5Ô3 R BaSi 4616 

r = 1964* ^9^0 688 i+cos«8 o,i36oa 09813 ^674 

*' ' 5o3 o,3oioa 99966 6598 

r. 4>û93'7 oii85 cos*J«g. 9,83499 09866 6176 

I -)-a. . o, i36oa o453a ces \ «g. 9>9i749 549^8 3o88 

/ 4,15714 96653 \ sin ^a. . 9,66740 949 11 3411 

a....... 9,5656o 37433 «ini^g.. 9,7499 ^ 39983 o3a3. 

i/ 7180 

R 3>7aa75 4^366 

De la valeur ^(t% = ^h , on déduira par un calcul semblable ^ 

/(i+Atfg)...é = 0,14475 54354 aoaô 

o,3oio2 99956 6398 

9,84570 54577 5628 

Va + îA«.) = 9.9^^85 :i7i88 78.4 

Isin^cti 9,74991 59985 oS aS 

/sintt4 s=s 9,82806 1:2794 :25o9 

t 



332 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL, 

on trouvera cos et^ d'une manière abrégée par la formule 

, , A r 1 "I_ A co»it+co»45' _ flA co«-j— CM-j - 

OÙ Ton a âss>8i*j on aura ensuite tang «4, et A(a^=^^^. 

A • 99^97 16 62206 7850 

YTÂ o,i562g 45622 457a 

cos i (go^ + 8). . . 9,86588 68409 8715 

cos j (90* — 8) . . . 9^99966 5o455 58 1 1 

i:cosifl 0,11895 44846 5oo8 

cos* «4 9>75796 71540 9756 

cos «4 9,86898 55770 4878 

sin «4 9,82806 12794 2509 

tang «4 9*95907 77^35 7651 

tang j fltg 9,852 41 85o54 7255 

^«4 9^87554 o8o5o 9604 ; 

on connaît ainsi toutes les quantités siDa4y cosflt4, tangci4y Aa^y re* 
]atives au terme ^4. 

181 • Une troisième bisseclion donnera les quantités relative» 
à ce., par le calcul des formulesjuccessives: 8in«. = î^^, 

toujours usage des formules qui donnent k>g(i +A) par le moyen 
de log A ; en voici les résultats : 

8in«4. {/{. • . . 9>67754 652816 gSio sin*^ 9^9806 122794 2609 

|/(i4<ofl«4).. o^iaofla 18668 5187 i+co8«i4 o,fl4o44 ^7^36 63 74 

9iii^«4 9>B5732 44^47 ^^^ tang^M^ 9>5876i 75467 6i3^ 

t/a o,i5o5i 49978 3 199 

9,70783 94ia5 93aa 97^783 94» »5 9322 

|/(i+A#4)... o,iaii5 07714 833fl {/(Am^;\-cos«^^,. 0,08609 88g5o 7813 

sin «a 9,58668 8641 1 0990 tang «> 9>62i74 06876 1609 

C08-, 9196494 8o535 9481 tangi ^4 9,68761 7 64 67 61 35 

û«a. «.....»,.. 9^96687 69682 4626 



y^i 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES, aaï 
On procédera de même au calcul des quantités relatives à «, , par les 

formules sin^ci^-jîî^:^,, tangX=-ê^, «««.^^ ^^îfe?^ . 

tangg,= ■ y!?*^^ —^? ^*» = T-^^^; voici les résultats de ce 
calcul : 

sin «t.. v^î.. . . 9>436i7 36433 7791 sin «<« 9,68668 86^1 1 0990 

V/Ci+cosum).. 0,14193 87786 1774 i+co8«fft o,a8385 7557a 3548 

•in J tf» 9»29424 48646 6017 tang J «. 9,3o283 io838 744a 

1/a o,i5o5i 49978 3 199 

smim^.X/a... 9,44475 98M 9aiS 9»44475 98634 9316 

l/(i4-2Li.).. o,i4ai5 17633 45oo V/(Aii. + cos «.) o,i33aa 1^49 6833 

8in«( 9,3o36o 81001 4?^^ ^^°g *i 9i3t i53 84876 a383 

tang \^ 9,3oa83 io838 744a 

^«1 . • •., 9>99ia9 ^5963 5o59-s 

Jusqn^ici nous n'avons point cherché les valeurs en degrés des angles 
^8> ^49 ^ft> ^i> 6^ nous avons déterminé toutes les quantités qui eu 
dépendent , par La seule table des logarithmes des nombres y et par 
l'application de la formule qui sert à trouver log (i +A) par le 
moyen de log A; nous continuerons de suivre cette marche, qui 
semble la meilleure pour obtenir les résultats les plus exacts, en 
n'employant non plus que les formules de la bissection^ et celles 
qui sont relatives aux fonctions complémentaires. 

i8a. Les quantités déterminées pour a^ feront connaître immédia* 
tement les quantités analogues pour son complément â(,^, au moyen 

des formules générales col'^=ib{augPy ^4^^Â5> ^^^ '^^^^ "Ji' • 

dans lesquelles on fera f^=sA^^ ^:=^(t^^; on aura ainsi pour «.g les 
logarithmes suivans : 

tang «.. 0,84658 9856a 6669 

sîû «I. 9^99564 27739 5274 

cos a,^ 9,i49o5 29176 86o5 

A(c(,«) 9^32099 16382 6096. 

D'après ces élémens^ on calculera ceux qui conviennent à et^, ce qui 



da4 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL: 

doonera les résultais suivans : 

êm«„|/f. . . af,845ifl 77761 2076 sin»,» S^sgSRJ 27739 6374 

l/(i-f-cos«iis) o^oa863 â555o 9193 i^-cosmi^.. . . o,o57a6 5 1101 8386 

•ini«i.. . . . 9,81649 5aaio a88a tangj*.. 9>93837 76637 6888 

o,i5o5i 49978 5199 

âîn 2 «ift . V^a.. 9,96701 oai88 6081 r . . 9,96701 oai88 6081 

l/(i4-^.a). . o,o4ia8 6a773 4788 |/(/W„+co8«,0 9,77aa5 3o854 334i 

sinitfs 9>9^&7^ ^941 5 ia98 taiig«6 0,19476 71334 2740 

ces «6 9,75096 68080 8558 taflgi«« 9,93837 76637 6888 

£iMs 9>7436a o53o3 4148. 

De ces élémens, on déduira encore par une nouyelle bîssection^ 
ceux de a^, comme il suit : 

ain«6*V/î:* • • 9>775ao 89436 8099 sin «s 9y9a57a 3941 5 ia98 

t/(i +co8«6)- 0,09351 04473 67a6 i+co8«6* • • • 031870a 08947 345i» 

•ici «6 9,68169 84963 1373 taiig^«6 9,73870 30467 7846 

o,i5o5x 49978 3199 

ciii^«6.V^a. . 9,83aai 3494^ 4^>7^ ,....,..* 9,83aai 3494' 4^f» 
\/{i+àm^. . 0,09674 5a5a7 8769 {/(ùme + cosMs) 0,01918 4874a 67a6 

tin «s 9,73646 8a4i3 68i3 tangos 9,8r3oa 86198 7846 

cofl «3 9,9^343 96ai4 7967 taiigi«6 9.73870 30467 7846 

^3* .••»<• 9,93667 44^^9 0000 

i83. Des élémens de a^, on déduit ceux de a,« par les formules 
des complémens , savoir : 

tang 6t,o ..'0,61091 o4a5a i56o 

sina, 9*98754 62777 4410 

cos 4t, 9,57645 585q5 a85a 

A(a,.) 9*45071 19110 iSSa, 

et de ces derniers , on déduit par bissection les élémens de a^ 
comme il suit: 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. ùt^S 

«iû«,o.ï/ï-- • 9,83683 13799 ^^^^ 8ΰ*to 9>9^7^4 6^777 4410 

|/(i+co««,o). 0,04634 67607 6a43 1 + cos «,o- • • 0,09269 S5ai5 a485 

«inî#, 9,79048 45191 4968 taDgi«,o 9^89465 2756a igaB 

o,i5o5i 49978 5199 

MOï-io-ï/a- • 9>94o99 9^169 8167 . 9,94099 96169 8167 

t/(i4-ZW»o).. 0,05399 49348 3754 v^(A«,o+co8«,o) 9»858o9 49334 a7a3 

8in«5 9,88700 458ai 54i3 tang«5 OioSago 4^935 5444 

cos «5 9>8o4o9 99885 9969 tangi«, 9,89465 37663 1936 

A«5 9,81174 8i6a6 6481. 

i84. Enfin pour trouver les ëlëaiens de et, , il faudra d'abord 

prendre le complément des élémens de a^, pour avoir ceux de ^,4, 

savoir : 

tang A,^ i^iSSga 69711 2791 

sin a,4 9>999^7 ^^955 4^55 

cosâ(,4 8,8i5i4 4^242 2064 

Aât,4. 9^aa845 5483i 1074 ; 

on déduira ensuite de la bissection les résultats suivans : 

«in «i4V^ï. . . 9,84855 60975 i656 8in«,4 9>99907 logSS 4855 

^(i+cos«,4) 0,01374 30433 655a 1 + cos«,4. . . 0,03748 60867 3io5 

ein7«(4. . . . 9,83481 3o54i 5io4 taDg^«j4 9,97i58 5oo86 1750 

o,i5o5i 49978 3 199 

tin^«,4. V/a. . 9,9853a 8o5i9 83o3 9,98S3a 80519 83o3 

V^(i+i^4}.. 0,03394 8393a o5ai i/(^,44-cos «14) 9,685ia 34689 4358 

gin «7 9,95137 96597 778a tang «7. . « . . • o,3ooao 4583o 3945 

tang -^«,4 9,97158 5oo86 1760 

ÙMj 9,67138 1^55 78Ô5. 

i85. Si l'on joint à ces résultats ceux que donnent les formules de 
complémens appliquées aux amplitudes a^, a^, a^, cl^^ on aura 
]es logarithmes des quantités sin a, tang ct^ Acty pour tous les terme» 
de la suite a^j a^y ât|. • •«,(. Il faut maintenant chercher les valeurs 
correspondantes de la fonction Ecl y ce qui se fera aisément par les 
log-sinus déjà trouvés. Voici le calcul de ces fonctions, où l'on 
trouvera de nombreuses vérifications qui prouvent Fexactitude de 
nos résultats. 



^26 EXERCICES DE CALCUL INTEGRAL. 

Par la Table I, on a logE' =o,oi443 aïoio o944f ce qui 
donne E' = i^oSSyS g^^^S 9087; substituant cette valeur ainsi 
que celle de i — b=z 0,84356 55549 5977 , dans lequation Eot, 
= i E' + ï (i — i), on aura Eag = 0,93867 74986 753a. Ce terme 
va servir à calculer tous les autres. 

Calcul de £«4 par la formule aEa^ — Ec(g= c*sîn* ct^sin «g. 

<?*•••• 9>98923 98541 3oi6 Eag = 0,93867 74986 7532 

sin**^. 9,656i2 25588 5oi8 p 0,4^096 22209 61 38 

sln«g. 9,96845 94867 9809 1,34965 971^ 3670 

p 9,6i38o 18997 7845 Ea^ =0,67481 98598 i855 

Calcul de Ea, par la formule 2Ere. — Est^ = c* sin* a. sîn a^. 

c^ 9,98923 98541 3oi6 Eat^ = 0,67481 98598 i835 

sin'a,. 9,17337 72822 1980 p 0,09787 64965 9827 

sin «4. 9,82806 12794 2509 0,77269 63564 1662 

;; 8,99067 84i57 75o5 Eflf. = o,58634 81782 o83i 

Calcul de Ect par l'équation 2£a •— E«« = c* stn* a sin ol^. 

c* 9,98925 98541 5oi6 Ea. = o,38634 81782 o83i 

siti'ât. 8,6o52i 62002 9452 p o,oi5i7 55589 30746 

sin^,. 9,58668 864x1 0990 o,4x>i52 37371 3905 6 

p 8,18114 46955 3438 Ea = 0,20076 i8685 6952 8 

Calcul de 'Ea.^^y i*. parréquationEai44"£^ift=£'+^8inc(4sin«,A. 

c\... 9^98923 98541 3oi6 E'c = 1,03378 94623 9087 

sina4* 9,82806 12794 2509 E«4 0,67481 98598 i835 

sin et,.. 9,99564 27789 5274 0,35896 96025 7252 

p *•* • 9,81294 39075 0799 p o,65oo4 57264 8665 

^ ^ Eat,.. ... = 1,00901 53290 5915 

2*. Par l'équalion Ea^ -|- Eetg = Ect,. -f- c^ sin a^ sin «g sin «,«. 

^V<*4/««* 9>8t294 59075 0799 Efltg-f-Ea4= 1,61549 73584 9367 
sîn «g. . . 9,96845 94867 9809 p == 0,60448 510294 3456 

P 9978138 33945 0608 £0C,««.«.= 1^00901 53290 5911 

Milieu entre les deux résuit.: £«,....••= 1,00901 53290 5913 



n 



« 



r 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 427 

Calcul de EùLs par Tëqualioa aEots — £ci,»=c^8ia*a6sinflt,». 
c»,... 9^98923 98541 5oi6 Eflc,». ... = 1^00901 53390 5915 

sia'ete» 9,85i44 78850 2596 p 0,68601 01020 8i3i 

siact,,. 9,99564 37759 5274 1,69502 5451 1 4044 

p 9,85655 o5iii 0886 Ea^.... = 0,84751 37155 7032 

Calcul de E^s par l'équatîon 2Eflt3 — Eots = c» sia* ùLs sia «s* 
c* . . . . 9,98925 98541 5oi6 Ea« . . . • = 0^84751 37155 7023 

8Îa* «3- 9,47295 64827 1626 p 0,24438 69562 5541 1 

sîn «e. 9,92572 5941 5 1298 1,09179 96718 2565 i 

p 9,58790 02785 5940 Eût,.... = 0,54589 98559 1181 6 

Calcul de Ect.^^i^. par Tëquat. Èag+E<t,.=E'-Hc*8ÎDflt6sinflt,o. 
c».... 9,98925 98541 5oi6 E' — Eet^. = 0,18627 67468 2o65 

fiin «6. 9,92572 594^5 1298 p 0,79856 46552 6025 4 

•iû a,o. 9,98754 62777 4410 E«, = 0,98484 i5820 8088 4 

;?..... 9,90231 00755 8724 

3*. Par l'équation E*. + Ea, = E^t,, + ^* sîo a. sin «g sîn «,o. 
c^sina. 9,57592 84952 4006 Ea.+E«g= i,525o2 56768 8565 

sin ceg. 9,96845 94867 9809 p 0,54018 42948 0271 2 

«ioa.o. 9,98754 62777 4410 Ea. = 0,98484 15870 8091 8 

p 9,55171 4^597 8225 

Milieu entre les deux résultats: Ea,o = 0,98484 i5820 8090. 

Calcul de E«5, i*. par l'équation 2E*5 — Ea,o=c*8in*a5sinflfc,o. 
c*.-.. 9,98925 98541 5oi6 Eût.o.... = 0,98484 i5820 8090 
8in*£t5. 9,77400 91645 0826 /?.....• o,565ii 36663 8356 5 
6iu«.o. 9,98754 62777 44^0 1,54795 4o485 65361 

p 9,75059 53961 8252 Eflts .••• = 0,77597 70241 8i65 3 

2^^. Par réquation Ea^+Ea^^^Ea^+c* sia a^sia a ^ sin ct^. 

à^sina^ 9,7^570 80954 8829 Eotg — Ect, = 0,59277 76627 655o 4 
sinag. 9,88700 45821 54i5 ;; 0,58119 956i4 1811 7 

«in^s- 9>96845 948^7 9809 Eaj = 0,77597 70241 8162 1 

p 9,58ii5 21644 4o5i 

Milieu entre les deux résultats : £cc$ = 0,77397 70241 8162 7 



I 

4! 



mS exercices de calcul intégral. 

Calcul de Eet^^j i*. par Téquat. E*a+E^,4=E'+^*sinflt.8Îna4: 

c^sinet^ QjSySga 8495a 4^^^ E' — Ea, = 0,64744 12841 0256 
sing,4, 9,99907 ^0955 4855 p o,57585 70499 8497' 5 

p 9)57499 95905 8861 Ea,^.... c= 1,02327 8334i 6753 5 

a"". Par Tëquation Ea^ + Eoig = Ect,^ -f- c* sin «e sin ct^ sio et,^. 

c^sinoLs 9,91496 57956 45i4 EAg+Ea«=: 1,78619 02142 4554 
sîna,.. 9,96843 94867 9809 p = 0,76291 18800 7799 I 

«*"*u- 9>999Q7 ^0955 4855 Ea,^.... = 1,02327 8534i 6754 9 
p 9^88247 43777 8978 

Milieu entre les deux résultats: Eet,^ = 1,02527 8334i 6754 2 
Calcul de Eâft^, i*. par Tëquation 2Eay — Eai,^=c*sin*ât,sin£e.^. 

c*.... 9,98923 98541 5oi6 Ea,4. ... = 1,02327 83341 6754 2 

sin* et,. 9,90275 93195 5564 p • 0,77816 24478 7589 7 

sina,^. 9.99907 ^Q955 4855 ï,8oi44"o7820 4i43 9 

p..... 9,89107 02690 5435 Ea, ...• = 0,90072 05910 2072.0 

2*. Par l'équation Eât-)-Ea,=E^-f-c'sinât6inct,sinaf. 

c*sinûfc. 9,29184 79542 7732 E«s — Eflt = 0,73791 563oi 0579 2 

sina,.. 9,95i57 96597 7782 p 0,16280 47^*^9 ^492 4 

sinag. . .9,96843 94867 9809 Ea, . . , . = 0,90072 03910 2071 6 
p..... 9,21166 71008 5525 

Milieu: Eflty = 0,90072 05910 2071 8. 

Calcul de Ea^ ,1*. par l'equat. E«, +^^9 ^^E^-^-c^sînajSin oe,. 

^* • • • • 9*98925 98541 5oi6 E' = 1,05578 94625 9087 

sin a,. 9,95i57 96597 7782 E«, 0,90072 05910 2071 8 

6in a,. . 9>97979 46511 6o52 o,i55o6 9071S 7015 2 

/?••••• 9>92o4i 4^65o 685o p o,83255 75612 2655 7 

•^^■■^^— ^^^— ^— ^^— ■— ^— ^■— ■^— ^— •«•— ^"^^ 

' Ea^ ssz 0,96562 64525 9648 9 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 22g 
2^. Par réquatioa Eûfc+Efltg=:Eag+c*sinotsîaagsinag. 

c*smct. 9,39184 7954a 7752 Ectj+Eflt = 1,15945 95673 44®5 

sia «g. 9,96845 94867 9809 p 0,17581 29546 4857 5 

«in «9- 9>97979 465ii 6o53 g^^ _ 0,96662 64525 9647 7 

p 9,24008 20922 5575 

Milieu : Ea^ = 0,96662 64525 9648 4» 

Calcul de Ea„, i*. par l'équaL Ea5+Ea„=E*+^*sina58Înct„. 

c^ .... 9,98925 98541 5oi6 E' = 1,05578 94625 9087 

siiiâ^s. 9,88700 45821 54i5 Eâ^s*... o>77597 70241 8162 7 
8Îna„. 9,99255 18259 5488 0,25981 24582 0924 5 

p 9>86859 62622 191 7 p " 0,75891 80274 6592 7 

E^u.... = 0,99875 o4656 7617 

2*. Par rëqualion Ea3+Eag=E*„+c*siaajSjnagsina,,. 

c*sina« 9,72670 80964 8829 Eag+Ea5= 1^48457 75545 8715 6 

siaâtg.. 9,96845 94867 9809 p 0,48684 68689 ^'94 X 

sin a„. 9,99266 18269 5488 ^^^ ^ ^ ^ =0,99875 04666 7619 5 

p 9>68649 94082 2126 

Milieu: Ea., = 0,99875 04666 7618 2. 

Calcul de E*,3, i*. par l'équat. Etit3+E«,3=E'+c'8iQa3SÎaflt,|. 

c^sixxa^ 9,72670 80964 8829 E'— •Ea3 = 0,48788 96264 7906 4 
sin «,3* 9,99776 61946 7967 p 0,62902 14605 8867 2 

p ,9,72547 52900 6796 Eflt,3. ... = 1,01691 10868 6772 6 

2\ Par l'équation EA5-|-Eag=:E0C,3 + usinas sin «g sin ât,3. 

c^sintfs 9,87624 44^6^ ^4^9 Eâ(g4-E«5 = 1,71266 45228 6694 7 

siuceg. . 9,96845 94867 9809 p,. 0,69674 54569 8921 7 

sin«,3- 9>99776 5 1946 7967 g^^^ _ 1,01691 10868 6773 

p 9984344 9^176 6206 

Milieu: Ec(,3 =; 1,01691 10868 67728. 

V 



aSo EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 

Calcul de Ea,5, I^ parTégoat. Ea-HEA,5=E'4~^*sîi^^^in«i5. 

c^sina 9^29184 7954^ 7752 E'c — E« = o^855o2 75958 ai54 

wn*i5- 9i99977 70»^^ 7^74 P 0,19571 55868 5621 8 

p 9,39162 497^5 5oo6 £et,5.. .. =: 1,02874 29806 5775 8 

a"". Par Féquation Ea, + Eâc^ = E«t,5 + c* ain a, sin a, ain ot^^* 

^* 9^98925 98541 5oi6 Eotrt-Eflty= 1,83959 78896 9605 a 

siaa,.. 9,95i37 96597 7782 p o,8io65 49090 5848 4 

ain a,. 9,96845 94867 9809 ^^^ ^ ^ ^ ^l^^^^^^W^ 
»»n««5. 9^99977 7 <> ^^^ 7^74 

p 9,90883 60169 7881 

Milieu: Ea,^ = 1,02874 29806 5755 6 

186. II ne reste plus, pour compléter notre tableau, qu'à calculer 
les valeurs de ^ , qui répondent aux logarithmes connus de leurs 
sinus ou de leurs tangentes. Il est préférable pour cet objet, d'em- 
ployer les log-tangentes, principalement depuis 45'' jusqu'à 90*; oa 
se servira donc des formules suivantes^ qui paraissent les plus com--^ 
modes dans la pratique: 

log tang ^ = log tang ^ + r, p ==7 Mr, 
^ — a=Lps\n2a(i +p cos 2a ^^p^ cos 40). 

Pour cet effet, on prendra dans la Trig. brit., l'angle a, tel que 
/tang a approche le plus quil est possible, en plus ou en moins, 
de Ztang^; on calculera avec les Tables à dix décimales, le pre- 
mier terme (i)=:psm2a^ qu'on aura soin de multiplier par R"*, 
pour exprimer la correction (1) en parties décimales de degré, 
jusqu'au douzième ordre au moins; de là on déduira les deux autre» 
corrections (2) = (i) •;7COS2^, (3) = (i). f;?'cos4tf, et du tout 
on formera la valeur de ^ — a, en observant les signes que doivent 
avoir les termes, suivant ceux des facteurs p^ cos 2a, co8 4a* 

C'est ainsi qu'ont été calculées les valeurs de f qu'on voit dan» 
la Table ; elles sont bornées à la douzième décimale de degré, ce 
qui est un degré de précision correspondant aux quatorze décimale» 
des log-tangentes. 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. aJi 
Voici an des calculs de ce genre que nous donnons pour exemple* 



(p = 



angle approc. a 
2 tang A 



ct^ l tang ^ 

4^^, 3o • . l tang a 

l tang a 



r. 



9*95907 77023 7651 
9,95900 79781 2575 

6 972421 5o58 



r.... 5,84558 58549 9 
|M.. 0,06118 56950 4 

p.... 5^90456 95480 5 
6inj2a 9,99806 82960 5 
R^.. 1,758 12 26324 1 

(1) . . 7,66076 04764 9 
p.. . . 5,90456 9548 

C0$2â 8,97362 799 



4 



84.60 
169.20 



a+(i)=:42^ 30457 Ô8928 o5i 

(2) + 345 906 

(3) - 195 

^ =42,30457 89273 764 



7,66076 o 

p* 1,80913 9 

|cos4^ 9,81614 7 

(2) .• 3,53895 80X (3). . . . 9,a8594 6. 

187. La formule dont nous venons de donner une application 
suppose qu'on peut négliger les termes de Tordre ^^, ce qui aura 
toujours lieu lorsque Tangle ^ sera au-dessus de 5"*. Dans tout autre 
cas , la quantité tang (p étant très-petite , on fera tang ^ = / , et on 
calculera ^ par la suite ordinaire ç=f — j^+i**— ?^' + ctc., 
dont tous les termes devront être multipliés par R"*, et qui sera alors 
fort convergente. On ferait la même chose pour tang(90''— Ç)), si 
f était très-près de 90^. 

Par exemple, pour calculer Tangle a^s P^r I<^ moyen de som 
log-taog.^ soit A le complément de tf,s et tang A=l^; on aura 

)og É z=z 8,5o587 09288 do83, 

et A = R*^(i — I «• 4- 1 14 — ^i9^^i^y Voici les logarithmes de 
ces cinq termes , et les nombres correspondans exprimés en degrés 
et décimales de degré. 



aSa EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 

(i)... o,a6599 356ia 9000 (1) = i»8365i in56 a465 
(a)... 6,79861 41645 3 (a)... — 62 89471 6567 



(5)... 5,5885o 7a7a 



(4)... 0,4^4*^ *i 

(5)... 7,55672 



(5)... 


1,83588 


a 1684 5898 
3877 1024 


(4)... 


..^ 


a556i 692a 
a 8452 


(5)... 


+ 

1,83588 
88' 1641 1 


a5558 8470 
a3 


A = 
donc «,5 =: 


a5558 8493 

7444* «507. 



188. An moyen dn tableau que nous venons de construire, la 
détermination des fonctions E et F pour toute amplitude proposée ^^ 
peut être ramenée immédiatement aux cas où l'amplitude proposée 
est moindre que G*; car en choisissant pour a le terme de la table 
qui approche le plus de ^ ( celui au moins pour lequel la différence 
F(p — Fa estla plus petite ), on aura toujours F^ — Fn, ou ^jK.j^'F^c, 
et par conséquent ^<6*. 

IVous avons donné dans l'art. 174 les formules nécessaires pour 
calculer les valeurs des fonctions E;^ et F;^, lorsque l'angle^ est 
d'un petit nombre de degrés. Mais lorsque^ approchera de la limite 
6% ces formules^ dans lesquelles on a négligé les termes de l'ordre ^% 
ne pourront guère donner que dix décimales exactes , et il faudrait 
les prolonger jusqu^aux termes^*" ou même^-*^, pour avoir un degré 
d'exactitude égal à celui de notre tableau. Pour éviter cet inconvé- 
nient, et réduire tous les calculs aux formules ordinaires d^nter- 
polation^ il faudra construire une seconde table qui contienne les 
valeurs des fonctions E et F pour des amplitudes croissant par de 
petits intervalles, depuis o*" jusqu'à 6"*. 

Cette table, que nous appellerons la table n"" a, pour la distinguer 
de la table n"" i , que nous avons déjà construite , peut se calculer 
de demi-degré en demi-degré, par les formules de rartfcle cité, 
sauf à leur donner plus d'étendue y lorsque l'angle jr devient plus 
grand; mais nous préférons de la calculer ici par la méthode du § IV^ 
qui peut également servir à calculer la table principale n*" i. 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. a55 

Il suffira pour notre objet de calculer les valeurs de (p et de E^ 

qui répondent aut différentes valeurs isirzi^ 2^ 3^.. .12^ dans 

__ 1?'/» 
l'équation Fcp = — . g- ; car de celle manière les valeurs de (p 

croîtront par des intervalles moindres qu'un demi-degré, et l'inter- 
polation pourra être faite avec toute l'exactitude qu'on peut désirer, 
pour toute valeur de n moindre que 12. 

189. Cherchons d'abord l'amplitude € qui satisfait à l'equatioa 
FÇ s= iT • 3^^ = ^> o^ l'oï^ ^ log^= 7,93826 01 865 49<>5. Le moyen 

le plus simple est de résoudre l'équation suivante dans laquelle on 
a négligé les quantités de l'ordre 6^ qui n'entrent pas dans le» 
quatorze premières décimales. 

on en tire 

ensuite on aura Ef par l'équation 

E€ + FC = ae + ^^»; 

substituant la valeur connue de /, il en résulte 

€ = 0^0084? 725a3 6oa54 
Fff = 0,00847 73514 11832 
E6 = 0,00847 71535 10760^ 
on aura en même tems la formule 



me 



me* * me* 



d'où l'on déduit la valeur de € en parties décimales de degré, comme 

il suit: 

€ 7,92825 5iii9 09746 

R** . . . . 1,75812 26324 09173 

9,68637 77443 18918 

Ç. . . = 0*48571 07821 09868* 

Maintenant , pour construire la table dont il s'agit, il faut reprendre 
les formules de Tart. 94 ci-dessus* 



i 



a54 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 

190. Soient ^% 9^ ^'j trois termes consécutifs de la suite é. , C.^ 
&9^ etc. qui répond aux valeurs successives ;i= i ^ ^ y^t eXc.i ou 

déterminera k par l'équation -—^ = ^ c sin C= ^^7 ^ qui donne 

si ensuite on fait J^^cp^'r::-— 2» ^ on aura pour déterminer cù Téquatioti 

sin o) = A: sin (a^ — ^)^ 
ou la série 

a = A: sin acp — • j A* sin 4? + ï *^ ^^"^ 6? — ^*<^- 

Enfin pour déterminer E^'y on observera qu'à l'équation F <p4-r^=F^'> 
correspondréquationE€+E^=E^'+^*sinf sin^sin^'^ d'où résulte 

E^' = Eff + Ej) — c* sin ff sin ^ sin ^'j 

quant aux coefficiens qui entrent dans ces équations, voici leurs 
logarithmes : 

h 5,a4^^ 49^4 ^^96 

AR-. ... 7,00181 75388 55i5 

i*"R-., 1,94448 ^4496 
iA:^R^.. 7,01208 6 
sin^.,. 7,92824 99102 2i44 
c*sin€. 7,9x748 97643 5 160. 

191. D'après ces formules, nous allons procéder aux calculs né- 
cessaires pour former la table n"* 2. 

Calcul de €^ et E£«» 

Il faut, dans les formules, faire ^''so, ç = C, et on aura 
(p'z=zS^. On observera d'ailleurs que les tables à dix décimales suf- 
fisent pour calculer le premier terme de la valeur de û>j mais à 
cause de la petitesse de l'angle 2^ , il conviendra de calculer son 
log-sinus par la formule du n* 147^ et on aura la valeur de €^ par 
le calcul suivant: 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 255 

sin^^. 8,33926 43006 7 (1).,. == o^'ooooi 70347 92974 
A-R*. .. 7,ooi8i 75588 3 (2)... — 3 98342 

(i)..,. 5,23io8 18595 (')••• + ^ 

ûi '• • • . = 0,0000 1 70244 94657 
8in4f . 8,55o25 19 J^*^*. . =— o,oooo5 4o4^9 89274 
iifc'R^. 1,94448 24 cr<f... = 0,48571 07821 09868 

(2).., 0,4747 ï 43 cT^... = 0,48567 67331 20594 

9 = 0,4^571 07821 09868 

sin&p. 8,70622 e.=(p' = 0,971 58 75i52 5o467. 

j^'R*. 7,01209 

(5).... 5,71851. 

PoDr avoir E^., il faut calculer le terme c^ sia € sia ç sin 9% ou 
à^sin^Csin^'; mais, dans la vue de faciliter le calcul de ^3, on 
cherchera à la fois les logarithmes de sio^' et cos^', par les formules 
de l'art. 1479 ce qui donnera les résultats suivans : 

Ry 9^98739 25174 o ^'* 6^5853 97700 

R« 1,75812 26524 1 9,55675 45i56 

<p' 8,22926 98849 9 (i) 5,79529 4o856 

(1)... =zs 0,00006 24157 543 ^'* 3,91707 95 ^'* 9,37563 

(2)... 29 90 X 8,5586o 5i 7,98457 

(5)- • • ± (2) 1,47568 26 (5) 7,36019 

cos^'.. -^ 0,00006 24187 246 

^i)=s 0,00002 o8o52 44s ^ sîi^* ^ 5,84573 96746 

iT 0) • * 993 fiîn ^' 8,22924 90795 

a 08054 44^ ^ 4)^749^ 87541 

^ 8,23936 98849 9 

sinf'.. 8,33934 90795 46 3^ = 0;Oi695 4^066 3i53 

cos^'. —63418735 Z 11884 7145 

a o,5oio3 99956 64 Eg^_, e^/ _ 0,01695 3u8i Soo/ 

sins^'.. 8,53o3i 66564 85 






236 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 

Calcul de Ç^ et Ef 3. 

Il faut, dans les formules^ faîre ^''=^9 (p=:^., et on aura ^'=^3. 
Dans ce cas, sin 2^ devient ce qu'était sin 2^' dans le cas précédent. 

sin2(p... 8,55o2i 66564 85 (O-*- = o*oooo5 404^4 99^70 

AR*» . • . . 7,00181 75588 55 (3). . . — 5 96520 

(1) 5,552o5 41955 20 (5). . . Hh 10 

4^. . . = 3** 55' 7^98 ». . . . = o,oooo5 4^4^9 o5o6o 

sin 4^... 8,83099 70 Z*^'. == — 0,00006 8o858 06120 

1,94448 24 «fcp^.. 0,48567 6 7351 20594 

(2) 0,77547 94 S^... = o,4856o 86475 14474 

èp. . . = 5^*49' 42" ^. . . . = 0,971 58 75i5 2 5 0462 

sin 6^... 9,00667 ^3=^' == 1^45699 61625 449^6 

7,01208 c'^sin^... 7j9i74^ 97645 5 

(5) 6,01875 sin ^. . . . 8,22924 90795 5 

sin(p'. . . • 8,40528 89681 5 

z 4^^5202 78120 5 

sin^'... 8,40528 89681 5i E^. .. = 0,01695 5ii8i 5oo7 

cos^'... — K- 74^04541 06 EC... 847 71535 1076 

2 o,5oio2 99956 64 z . . . . — 55647 5961 

sin2^^. 8,70617 85297 09 E^3=E^'= 0,02542 67067 2122 

Calcul de €^ et E€^. 

II faudra faîre 9.=^., ^==^3, et on aura ^'=^4. Voici le calcul 
d'après ces données y en suivant la même marche que dans le cas 
précédent. 

sin 2^.. 8,70617 85297 ^9 (0"-= o,oooo5 io5oo 57866 o 

A^R* 7,00181 75588 55 (2)... — . 8 95570 7 

(i) 5,70799 6o685 44 (3)- . + i5 6 

4^ . . .= 5' 49' 4^" 74 ^* • • •= o,oooo5 10491 44^^^ 

sin4^**. 9,00664 65 «T*^* .=—0,00010 20982 88622 

1,94448 24 cTcp*.. o,4856o 86473 14474 

(2) 0,95 1 12 89 cr(p. . . o,4855o 65490 25852 

6<p....= 8*44'5i"i2 9.... 1,456 99 61625 44956 

sin6^... 9,18180 ^4=^'= i,9425o 27115 70788 

7,01208 
(5) 6,19588 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES, iiîj 



sin^'... 8,55oi5 58oo4 64 

cos^'.., — 24 9 6407 81 

8,5^990 elSgS^ 

o,5oio2 999 56 64 

«în3(p'.. 8,850956155^47 



sin 9« 
sin ^\ 

J 



• • • 



E9. • « 



7*9» 748 97645 5a 
84o5a8 89681 5i 
8,53oi5 58oo4 64 
4,85293 45329 67 

= o,oa54a 67067 a 122 
847 71555 10 76 
0,03390 38600 3198" 

J"" 71274 555o5 

E64=:E^' = 0,03389 67325~76ï77~ 

Calcul de ^5 et Ef,. 

I 

11 faut faire dans les formules ^•=^5, ^=^4» ^'=^5, ce qui 
donnera les résultats suivans : 



sina^... 8,85093 61 555 47 

use. ... 7,00 i8i 75588 35 

(i) 5,85375 36g4i 8a 

4(p.,.= 7*46'ia"o59 

8in4?*** 991^096 70 

1,94448 24 

(^) 1,07544 94 

6ç...= ii*5q'i8" 
sin6f • • • 9,5o559 

7,0 1 208 
(5) 6,51747 



sin^p'... 8,62697 35896 5o 

cos9\.. — 59 00 257 56 

8,62658 55658^4 

o,5oio2 9 99 56 64 

sin 2^'.. 8,92761 556i5 38 




o'oooo6 8o585 37650 
— II 89755 

Hh 21 

0,00006 80571 47958r 
,0001 5 60742 95876 
o,485 5o 65490 25852 
0,48557 04747 29976 
i,9425o 27 II 5 70 788 
2,42787 5 1865 00764 

7,91748 97645 52 
8,55oi5 58004 64 
8,62697 55896 5o 
5,07461 89544^ 

0^05389 67525 76177 
847 71555 10760 
0,04257 38858 86957 

j^.... I 18745 99o5 o 

Eff5=E^= 0,04256 201 12 ^^^ 



c'sin^ 
sin^.. 
sin ^'. 

r 



• . • • 



EC • • 



i 



a3« EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 

Calcul de Ct et Ef «. 

Il faQt faire ^=^4, (p=^», ^'=ff«. 

«in 2p... 8,92761 536i5 38 (i).. a"oooo8 5ooa5 4^709 
;^R'.... 7,00181 75588 55 (n).. — 1484446 
(0 5,929450900575 (5).. + a6 

4^...= 9» 42' 41 "574 »....= 0,000085000859289 

sin4p... 9,22708 19 /•<?• =—0,00017 00017 18578 

1,94448 24 «Tp». . 0,48557 04747 39976 

(2). .T.. 1,1 71 56 45 <r(p... 0,485200475011598 

6(p...=3 14*54' a" p 2 ^2787 5i865 00764 

8in6p... 9,4oo56 5 C«=<p'= 2,91307 56595 1216a 

7,0120 8 6 

(5) 6,4 1265 i c*sioC 7,917489764552 

sia <p. 8,«a697 55896 5o 
sinp'... 8,70604 17102 24 sin^. 8,70604 1710a 24 
C08Ç'. ... — ' 56 i5638 97 jr««-« 5,a5o5o 4864a 06 

8,70548 01463 27 

o,3oio2 99956 64 £9...= 0,04356 aoiia 87887 
8itta4>'.« 9,oo65i 0Ï419 91 E^... 847 7t555 10760 

o,o5o85 91645 98647 
I 78034 78498 



• • • 



Calcul de C, et Ef,. 

g,oo65i 01419 91 (0** 

(a).. 



y 

E^(=Ep'=s o,o5o8a i36li aoi49 



siaap.. . 
AR' . . . . 

0) 

4(P . . .3S 

8in49">. 

(2). .... 
6<p...=5 
8În6^.. . 

\^)* •■•■• ••. 



7,ooi8i 75 3 88 55 
6,oo83a 76808 a6 
i>«59'8"a6 
9,5o539 09 

»>94448 24 
i,a4977 35 
i7»aa'42"4 
9^7765 6 
7,01 a98 6 
2 a 



(5).. 

AI* • • 



o'oooio î9S6a 21849 

— 17 7755i 

4- 5i 



o,q^io 19343 44^^9 
6ooao 38684 89058 
,48530 04730 11598 
0,48499 66045 22340 
2,91 3o7 355 95 12162 
5,59807 02638 34502 




CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 

sîn^\.. 8,77285 50959 69 c^sinC 7>9i748 97648 5a 
cos^'. •• — 764^578 ia sintp. 



^59 



8,77209 o858i 57 
o,5oi02 99956 64 

sia2p\. 9,07612 08538 21 



7' 



8,70604 17 102 24 
8,77285 50959 69 

5,59658 65705 45 

: o,o5o82 i56ii 20149 
847 71555 10760 

0,05929 85 144 60909 
2 49197 56652 

E€,s=E^'= 0,05927 56o56 94257 



• • • • 



CiO • • • 



« • • • 



Calcul de €% et Ef g. 
II faat faire ^''ss^c, ^ = ^, , (p* 7=z €%. 
sin29... 9,07612 o8558 21 (i). 



AR*.,.. 7,ooi8i 75588 55 
(i) 6,07495 85926 56 

4(p...=: l5«55'52"2l2 

sm4^... 9,57108 85 
1,94448 24 

(2) i,5i557 09 

6^...= 20*25^ 18" 5 
sm6^... 9,54205 6 
7,01208 6 

(5).,.,. 6,55414 ^ 

sm(p\.. 8,85069 5i864 41 
cos(p'... — 99 80178 85 

8,82969 5i685 56 
o,5oio2 99956 64 

sia2^\. 9,16072 61642 20 



/* 



(3). 

(P\. • 



c*sinÇ 
sin^. 
sinf\ 



• • • 



E^. . .== 

Eb. • • 



• • • • 






0*00011 88333 64304 
— JO 68097 

H- 56 

0,00011 88513 96243 
>oooâ5 76635 93486 
0,48499 66045 33340 

0^8475 89419 39854 
3,39807 oa638 34502 

5,88382 93057 64356 

7>9»748 97645 5a 
8,77285 50959 6g 
8,83o69 5i864 4t 

■ -- 

5,62106 80467 62 

0,06927 66o56 94^^67 
847 71655 10760 

0,06776 07670 06017 
5 61926 55474 

0,06771 76646 5i545 



i 



a4o ' EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL, 

Calcul de €^ et E^^. 
On fera dans les formules ^ = f ,, f = f g , 9' = ^,« 

sina^. •• 9,13072 51642 20 (1)..= .a'^oooiS 56885 g42635 

*R* 7,00181 75588 55 (2).. — 25 5655 10 

(i) 6,1 5254 ^7o3o 55 (5) . . + 406 

4^...= i5*5i'52''74 û»....= 0^00015 56860 57975 

8in49-*- 9>4^775 59 cT*^*. =—0,00027 15720 75946 

1,94448 24 cTr . . 8,48475 89419 ^9«54 

(2) 1,57225 65 J'(p . .= 0,48448 75698 55908 

6<p...= 25M7'49"ii 5,88282 9 2 057 64556 

8in6^... 9,59714 5 <p'....=i 4,56751 67756 18264 

7,01208 6 

(5) 6,60922 9 c^sinÇ 7,91748 97645 52 

sin^. 8,85069 5 1864 41 

sin^'.,. 8,88167 14504 00 sîn^'. 8,88167 i45o4 00 

cos^^é* — 126 28722 98 ^. ... 5,62985 4^811 93 

8,88040 8558i 02 

o,5oio2 9 9956 64 E^...:=: 0,06771 75646 5i545 
6ia2^'.. 9^8745*85557 66 EC... 847 71 555 10760 

0,07619 47*79 6^5o5 

y.... 4 ^6456 5 1080 

£C^=Ef'= 0,07615 20745 II 225 

Calcul de €t. et EC,.. 
Il Êiudra faire ^""szfg, 9=:fg, f'=z=^,«. 

sina^... 9,18143 85537 66 (i)..= o'oooiS 249^1 7146S 

hR; . . . 7,00181 75588 55 (a) . . — 36 41707 

(1) 6,i8525 60926 01 (5) . . 4- 45 

4^. . .=i7*a8'9"56a «. . . .= o,oooi5 ^4935 29801 

8iii4^.«* 9>4774o ^3 /•?)• .=3— o,ooo5o 4985o 59603 

1,94448 24 «T^». . 0,48448 75698 53908 

(2) 1,4218847" J'<p... 0,484182584794506 

6(p. . . = ■a6' 12' 14" 4,56731 67756 18264 

sin6f... 9,644996 ^'...=s 4}^Si49 93604 12570 

7,ot2o8 6 
(5) 6]657Ô8~2 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 

8În(p'... 8,93735 4^549 55 c^sinC 7,9*748 97645 5a 



341 



cosip'... — i55 87650 45 

8,92567 54899 10 
o,3oioa 99956 64 

•ina^.. Q,226jo 54855 74 



sm ^. 
sincp'. 



• • 






• • 






8,88167 14304 00 
8,92725 43M9 55 

5,72639 54497 07 

0,07615 20745 112 3(5 

847 71635 10760 

0,08462 92276 21985 
5 52592 99449 



: 0,08457 59683 

Calcul de €„ et ES,,- 
(3). 



sînaç... 9,33670 54855 74 
kK* 7,00181 75588 35 



(0 6,33853 50344 09 

4^. . .=='i9«34'3i"59i 
6in4(p... 9,53147 79 
1,94448 34 

(3) 1^46596 o5 

6^...= 39*6' 53"4 

8m69... 9^68705 8 

7,01308 6 

(5) 6,699*4 4 

nn<p'.., 8,96841 19260 40 
co8(p'... — 188 56559 56 

8,96662 62690 84 
o,5oio2 99966 64 

6ia2f'.. 9,26755 62647 48 



A».. . 



'• • • 



0^00016 93477 96990 

— 39 35885 

. 5o 



0,00016 93448 751 55 
,ooo55 84897 463 10 
0,48418 35847 94506 

o,48584 40950 47996 
4,85 149 95604 1357a 

= 5,55554 54554 6o566 



c^sin€ 



• • 






• • • 



EC.^E(p'= 



7^9^748 97645 53 
8,93735 4^549 55 
8,96841 19350 40 

5,8i5i5 59445 47 

0,08457 59683 33534 
847 71555 10760 

0,09505 5i3i6 55394 
6 5o553 33803 



0,09298 8o883 1049a 



^4^ 



EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 



Calcul de ^,« et Ef ^a* 



Ç* = ff,o > Ç = ^iiy ^' = ^1.- 



kK"" ... 



co 

4(p...= 

sia 4^. • • 

w 

6^ . . . ^ 
sin6^.. . 



9,26755 62647 4^ 

7,00181 75388 35 
6,26937 58o55 83 

31»20'28"946 

9,56ioi 06 

»>94448 a4 

ij5o549 5** 
32«o'45"4 
9,72435 9 
7,01208 6 



(3) 
a,.. 

«Tcp. 



o'oooiS 



59404 

— 32 

+ 



18279 

02629 

54 



0,000 I 8 
■0,00037 
o,48384 



59372 

18744 
40950 



i58o4 
31608 

47996 



o,48347 
5,33534 



22206 
34554 



i6388 
6o566 



(5) 6,73644 5 






E(p'. 



sin(p. 

0^09398 80883 1049a sinp\ 
847 71555 10760 . 

0^10146 62416 21252 

7 79^9^ 06614 



• • • 



5,81881 56760 76954 

7*9^748 97645 52 
8,96841 19250 40 
9,00596 5 164a 04 

5,89186 68555 96 



0,101 38 72825 14638 = Ef,^. 



192. Pour vérifier tous ces calculs, dous allons chercher direc- 
tement la valeur de 9 qui satisfait à Téquation F^sj^F^c, ce qui 
se fera en déduisant p par bissection de la valeur de a qui satisfait 
Il l'équation Fass-^Y^c. 11 faut donc déterminer f d'après lequa- 



sin-sce 



tion siny= .., ,*. . , où Ton connaît les Warithmes suîvans: 

sina...... 9,50260 81001 47*6 

cosa 9,99106961262535 

ùkX 9^99129 25965 5o59. 

On en déduira la valeur de 2sin^ et ensuite celle de ^^ par les 
calculs suivans ; 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. ^4? 

sinav/j...» 9,i5209 SioaS i5i7 i+A.. 0,29669 8x159 01 14 
|/(i-f-cosa) 0,14829 58779 9495 a o,5oi02 99966 6398 

nnj» 9,00379 9224^ 2034 9,99666 8i303 3716 

9,99783 40601 i858 y(H4A) 9>99783 40601 i858 

8În^ 9,0059661642^0166 œ= 5^82 lsinA=:l6ina — r 

sin a 9,oo6o5 62445 4882 20=1 1 . 64 n= iZÎL 

r = 8 8o8o5 4716 

<p = a—p sm 2i^i —p +p^ . -g y 

r., 5,94487 90176 7 a— (i)= 5»8i88i 55547 ^720 

fM 0,06118569304 (2) 4- i2i3 58o4 

i:cos*a.... 0,00448 885ia 9 (5) -~ 846 

p 6,oio55 35420 o 9 = 5,81881 56760 7678 

sin 2/» 9,50483 88246 7 

R* 1,76812 26624 I On voit que celte valeur de ^ 

(i) 7,07551 49989 8 s'accorde très-bien avec la va- 

p 6,oio55 55420 ^^^'i *';^^^^^ P^^'' f "> puisque 

la différence est à peine de deux 

(^) 5,08406 854 unités décimales du treizième 

P 6,oio55 554 ordre, ou du quatoraièmechiflfre 

i(2+4sîn*«) 9>8S^74 96 significatif. 

(5) 8,92767 17 

La valeur de E^ se déduira en même tems de celle de Eft, par 
réquation ^E^ — Eâ&=^sin*^sinct, dont voici le calcul : 

à^ûnct. 9,^9184 79643 7766 Ea = 0^20076 i8685 6965 
sin**^*. 8,01195 06284 o552 j 301 26964 6971 

jr 7>5o577 82826 8067 0,20277 46660 2924 

E^ = o,ioi58 72826 1463^ 

valeur qui s'accorde encore aussi bien avec celle que nous avons 
trouvée pour EC,». 

Suivent les deux tableaux qui résultent des calculs précédens* 



a44 



EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 



71143 

o3o8i 
30457 
.45583 



log. s in ip. 



log. tang^. 



log. ^. 



75689 08 
o33a4 03 

64.64 44 
89373 7S 
9 7 



.30076 i8G85 
.38634 8178a 
.54589 98353 
.67481 985g8 
•773.97 7°g4i 



.3oa6o 
.58668 
.73646 
.83806 



81001 4?*^ 
8641 i 0990 
8a4i3 58ir 
13794 fl5o; 
458ai 541? 



3ii63 84875 
Sa 174 06875 
8i3oa 86198 
96907 77025 
08390 4^,935 



98 784 



98687 
93567 
87334 
81.74 



3.5963 5o5q 
69583 4636 
44369 0000 
o8o3o g" 
8.6aK e 



3gi36 

65773 
236o3 



3698; 
5845 
26776 96 
79633 17 
30763 60 



.8475. 37155 
.9007a oSgio 
.93867 74986 
.96663 643a5 
i3820 



.95/37 
36843 
.9797.9 
.98734 



394.6 
96597 77B 



4G5ii éo3i 
b'3 777 44io 



9475 71334 
3oo30 45?3o 
4<j!i83 37793 
50546 39756 
o4a5a 



3345 



74363 
67138 
5q7i6 

63.96 
45071 



o55o3 4.48 
04255 7805 
63306 7850 
aoi57 7896 
191.0 i55! 



(- i.qa45 
;.26393 
(..64.1 



li^ 



3694?) o5 
60730 43 
30S90 68 
7.839 9 
7444' '! 
00000 00 



.99873 o4G56 
.00901 533qo 

.01691 10868 

.03337 83341 
.02874 39806 
.03378 94625 



99335 
99664 
■59776 
9.99 °7 
9.9977 
00000 



8269 3488 ( 
27739 53741 
51945 7967( 
10963 4855 

70163 7374 
00000 OOCO 



72276 3q65o 
84658 Q&56a 
99363 89387 
I 839a 697 I I 
4941a 90711 
InEii.. 



6454 



38a58 
33099 
36865 

33845 

13455 



43786 c 
i638a 6096 
80144 6700 
5483 i 1074 
98460 0641 
244 '3 5700 



TABLE N" n. 



O" 00000 

0.48671 

0.97138 

1 .45699 



.94350 
a. 43787 
3-9'3o7 
3.39807 
3.88282 
4.36731 



00000 0000 
07821. 0987 
76 163 3o46 
6i6a5 4^t^^ 



27116 7079 
3i863 0076 

56693 13.6 



03638 3451 
02067 6436 
67768 " ■ 



486 60 65490 3585 



48537 04747 3997 
48630 .04730 1140 
48499 66045 2334 



43476 894.9 sg'*^ 
48448 7^698 5390 

48418 35847 -9-^ 



II. 



5 40489 

6 8o85'8 

10 20983 
■3 6074^ 



m. 



17 00017 

20 38684 
35 76635 



8938 3 4o368 i683 

o'6ii 3 40134 8a53 

8863 3 39760 0726 

9588 3 39374 3 369 



27 13730 
3o 49860 
33 84897 



3 38667 7049 
3 37941 o34: 
3 37094 



3 36129 8363 
3 35o4S 867a 
853 



IV. 



343 343i 
364 7527 
485 8456 

606 5230 



736 6707 

846 .994 

964 90» ' 



083 969 
laoo 014 



L 4096 

I 0939 
) 6764 



■5^5^ 

799' 

17 9700 



17 o45o 



3167 
4166 

5877 
6300 



1% 

9356 



4.83.49 
5.33634 
6.81881 



(36o4 1267 
14554 6067 
56760 7696 



48384 40960 48< 
48347 93206 i638 



37 18744 3163 



Diff. I. 



ni. 



00000 

00847 

01696 

02642 



71633 1076 

3. 181 5oo7 



( 67335 7618 

■ 30.13 8789 

i36ii 2oi5 



847 71533 1076 
847 5t)648 393. 
847 35885 7.i5 
847 O03 58 5496 



846 53787 

845 93498 3336 

845 234a5 74i 



2376 a 

35627 

_4747J 



*7'4S 
"816 
61Q 

432Ï 



» 7945 
1 58>5 
■y 1683 



11877 9^7' 
11864 48o3 
11844 2706 
7 3G20 



1783 7870 
1743 5868 
1696 8077 



20 2097 
26 9086 
53 5760 



6 7229 
6 6980 
6 6664 
6 6262 



7764^ 5o;. 
11583 7498 
11617 6046 



40 2 003 
46779' 
63 3ooo 



6 

6 5309 
6 4579 



4ia 

463 I 



6 3873 



68q 
63o 
706 



06937 
06771 
076 16 
08457 
09208 



3Go36 9436 
76646 Si 54 

2074 3 .133 
59683 3353 

8b883 1049 
72825 1464 



844 39609 6738 
843 45096 6968 
84a 38940 ii3i 



'99 8796 
839 9194a 0416 



945.2 

i o6i56 
■7740 



1 29357 838 1 



CONSTRUCTION DES' TABLES ELLIPTIQUES. 245 
La table n' 2 , construite au moyen des résultats pre'cédens , 
contient les valeurs des quantités f et E^, avec leurs différences suc- 
cessives jusqu'à la sixième, correspondantes aux diverses valeurs 
n=o, I, a. ...13, pour lesqueUes on a F?î=^. |j. C'est par 
l'interpolation de celte table qu'on pourra trouver la valeur de o 
fA celle de E^, correspondantes à toute valeur de « moindre que la 
£'est-k-dire k toute valeur de F^ moindre que -i-F'c. ' 

Il semble d'abord que la série des quantités <p et E^ devrait être 
conUnuée pour les valeurs «=:i3, 14.... 17, afin qu'on pût eu 
déduire la suite complète des différences, jusqu'à »=i i , et qu'ainsi 
l'interpolation entre deux termes consécutife quelconques de la table 

nedépendltquedelaformuleprdinare7i=AH-«(<^A-f-— C«/^*A-f-elc 
Mais en y réfléchissant un peu, on voit que ce nouveau travail est 
inutile, et qu'on peut y suppléer aisément par une considération 
générale qui s'applique à tous les cas semblables. 

195. L'usage que «ous avons constamment suivi dans la table 
n» 3, ainsi que dans toutes les autres que cet ouvrage contient 
est de placer sur une mêjpae ligne horizontale la fonction A et ses 
différences swçessives M, /'A, ^A^ etc., qui naissent de l'ac- 
croissenaent constant de ta variable x», contenue dans la première 
colomie (ici la variable a devient n et sa différence constante est 1 ) 
Dans celte hypothèse, h fonction quirépçnd à la variable a-j^x 
comprise entre a et a+i, est donnée par la formule ordinaire 
j' = A rf- a: («T A 4- eV:. 

Mais si, au lieu de considérer les variables dans l'ordre crois- 
santa,a-;f-i> «+3, etc., on les considère dans l'ordre décrois- 
sant «+T, a, ae-i, a — 3, etc., et qu'on désigne toujours par 
A', A, A% A", etc.,ies fonctions correspondantes, l'expression de 
la fonction f correspondante à la variable o-H*, sera donnée sem- 
-blsdblement par ia formule 

j = A' + (i-a:)(A^A') + ^i^l4<:=:^.(A-^aA + A') 
■^. 2.i C^' - - 3A»+ 3A - AO + etc. , 



a46 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL* 

qui se réduit à 

+ '-^'''^+1'^+^ /4 A-+ etc, , 

nouvelle formule dans laquelle les difiereoces ^A, J^*A% J'^A'^, etc. 
sont les mêmes et de même signe que celles qui sont ainsi dési^^nées 
dans la table ; mais on voit qu'elles ne sont plus disposées sur la 
même ligne horizontale, et qu'il faut monter d^une ligne pour passer 
d'une différence à la différence suivante. 

C'est donc avec le secoure de cette nouvelle formule qu'on sup-* 
pléera très-aisément aux différences qui manquent dans les lignes- 
horizontales de la îtable n* a, passé /z=:6. Depuis nz=:o jusqu'à 
n=6y on se servira pour Tinterpolation de la formule ordinaire 

j^=: A •+• xJ^A + ^'^~^ J**A + etc. ; mais depuis n^=^6 jusqu'à 
n=x=i3, il faudra se servir de la formule j^sss A' + (a: — i)^A 
4- îZlJLif J^•A• + i=Ii^^2 JN3 A- 4- etc. , où toutes lés dif- 
férences sont données par la table , en montant graduellement d'une 
ligne pour passer d'une différence à la suivante. 

Dans les tables où toutes les lignes horizontales des différences 
sont complètes, il sera indifférent de se servir de l'une ou de l'autre 
£>rmule pour chaque interpolation^ La première cependant semble 
devoir être préférée, lorsque x sera <7, et la seconde lorsque x 
sera >j. 

Il reste à faire voir par quelques exemples l'usée des tsJ>les que 
nous venons de construire. 

194. Cherchons d'abord l'amplitude 9 et la fonction E^ qui ré- 
pondent à l'équation F^s^F'^. Puisqu'on a j. iGseSj, on voit 
qu'en faisant Fa ==-^F'^, FAt=^a^'^> ^^ ^^^^ F(p==FXH-Fft. 

Les valeurs de A et EA sont données immédiatement par la table 
n* I ; et comme on a F/u=: jf^F'c^ les valeurs de ft et de E/ii seront 
aussi données par la Table n* 2 ; ces valeurs sont 

A = 5o*4558a 07019 71 ft =5 5*8828a 92057 6436 

Ex ss 0,77397 70341 8165 Eft = 0,06771 75646 5i54. 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 1147 

n ne s'agit plus que de calculer ^ par les équations algébriques qui 
représentent Téqualion transcendante F^ssFX-f-F^; pour cela^ 
ayant pris les auxiliaires \\ jufy telles que 

tang A' = tang A • ^ , tang )ea.' = tang /u • ÂA , 

on aura ^sssX'-^fi' . Ensuite réquationEA^Ef&i'-«£9:^c*siuA'Sinftsin^ 
donnera la valeur de Ef • 

Les quantités tangA et AA sont données par la table n* i{ il ne 
reste donc à calculer que tang/i^ et Afc, ce que nous allons faire 
avec toute l'exactitude que les tables comportent. Voici d abord 
IjBT calcul de /sin^t.et Ico&fiy d'après les formules du n* 147* 



R> ovS8gi4 83676 39579 
R^. i/758ia ^63^4 0917a 

fi.. 8>83ioa 5655a 20307 
f/t^ . 7^66ao5 i3iMo4 4^ 
9,55675 451 56 57 



^MM^ 



mmm^^mm*^ 



(i). 6,99880 56a6o 77 
/A* . 5,3^4 10 36209 
-6,55860 So6$S 

(2). 5,88270 5686a 
fn*., 2,98615 5^ 
7»9^57 i8o 

(5). 0,97072 575 
/A* . 0,64820 5 
7,46683 5 

(4) . 6,ii5qS.8 



(t) . .= 
(2).... 
(5)..., 

(4).... 

.cos/ct.-— 
iO)' • • 

^ 

^•COSfA... 

.tanSM"' 



0,00099 



72536 
7655 

9 



3o6oo6 

i832o8 

348i5i 

i5o33 



^mmm^m^ 



0,00099 

o,ooo33 



80178 

24178 

5o8 



85o398 
768669 
878881 
148385 
5t 



o,ooo55 
3,83 102 



24687 
56552 



795984 
20207 



8,85069 
'- 99 



3 1864 
80178 



40609 
85o4o 



8,63169 12045 3565^ 



ÇSoBttaiss«iit lAafjt, en cdeidera lA/t oomniell svât: 



«"isin*^ .7,65062 62270 ii58 
a 7,65o62 53257 9595 

90i;i 1543 



*M^rta*i 



ao 

445» 
447^' 






> 



\ 



24« EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 

/■....... 3,9548a 86188 I — a 9,99805 29344 1449 

I— ^.... 9,99805 29344 R • 4o 49^<^ 

r' 3,95677 56944 1— A 9,99^05 29203 649gr 

a 7,65o62 53258 Lfji. 9,9990a 64601 835o.. 

jr' 4526 

R 1,60740 14728 

D'après ces valeurs, voici le calcal des angles >!^ et f/i 

tangA*. 0,08290 4^955 5444 tangft.. 8,85169 1204S 2565 
A/t • » • • 9>99902 64601 8250 AX 9^1 174 81626 6481 

tangX".. 0,08195 10557 5694 tafig/x^ 8,64545 95669 904&.' 

Aq moyen de Tangle approche â==5o* 57 y on trouvera par les for- 
mules ordinaires A'^s: 50^57274 12266 485i; quant à langle fA\ 
comme il n'est que d'un petit nombre de degrés , on pourra, en 
faisant tang/t^' = ^> calculer cet angle par la formule. •••••....»' 
fjt! =it[i — i^' + î^ — ?^* + iO> et on trouvera par les cinq pre- 
miers termes de la série fc'=:2%5i95i 21820 4356. De là résulte 

V H- /tt' = (p s=s 52%892o5 54086 9187. 

Puisque ^ satisfait à l'équation Ff =:^F'c,Ia vareur dé ^ peut être 
vérifiée par la formule du n"" 24^ > ?•» <pi donne •..•...•••»«»• 
/sin^ = 9,90175 o855i 6245, et de là 

^ = 52%892o5 54086 886; 

la différence n'^est que de trois unités du quatorzième chiffre, et oa 
ne peut guère décider de quel côté est Terreur. 
Enfin la valeur de £^ se trouvera par le calcul suivant: 

c* 9,98925 98541 5oi6 EA*. £=0,77597 70241 8i65 

sin A... 9,88700 4^31 541 5 Ejt^». ss: 0,06771 75646 5i54 

sin ft. . . 8,85069 5 1 864 406 1 0,84169 45888 5517 

sin y... 9,90175 o855i 6245 ^_^ 0,04061 55i 65 2661 

^ 8,60866 84558 8753 E^^ ^ _ 0,80108 12723 o65& 

195. Pour donner une seconde application des mêmes tables ; 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 249 

dhérchons les valeurs des fonctions E et F qui répondent à Tàm-* 
plitùde (p=75*. 

hit plus proche valeur de ^ conteYiue dans la table n"" i ^ est 
A=c=76%a56o5 30752 60; elle répond à la fonction FA=7|F*c; 
il faut donc déterminer l'amplitude fi par Téqualion F/<=:FA — F^^ 
ou par les formules 

tangX'=±:tangA.A^9 tangç'=tang^.AA, fi:=?^' — ^'. 

Connaissant jet, il sera facile d'avoir, par Tinterpolation de la table 
n'^ 2y la valeur correspondante de n qui donnera celle de F/t et 
ensuite celle de E^. V^ici le détail de tous ces calculs. 

On a, par la table n* i , les logarithmes de tangX et AA; on a 
immédiatement /tangtp, ainsi il ne reste à trouver que /A^, ce qui' 
se fera parla formule A==Cos^'y/(i + A), dans laquelle A=:&'tang'^, 
et d'où résulte lAp:=zg^j668 SgoGô 8751. D'après ces valeurs, oa 
formera celles de / tang A'^ et / tang q>% savoir : 

tangA*. 0,61091 o4a'5a i56o tang^.. 0,57194. 75475 555o 
A^ 9,47668 59066 8751 AA • • « • 9^45071 191 10 i55s 

tangA^. 0,08759 63319 o3ii tang^^• 0,021265 94585 4^^^ 

d'où l'on déduft 

A' = 5o**7S945 77^71 6697 
f = 46,494oS 54375 5376 

fi === 4,34540 35-196 5331. 

19a. II faut inaintenant chercher dans la table n^ 3, la valeur de 
n qui répond à cette valeur de ^; on voit que cette valeur est com-* 
prise entre 8 et 9, et qu'en faisant n=784-:r^ on aura à déterminer 
X par la seconde formule générale d'interpolation , savoir : 

A'— A'=»(» —x) (M+ - ii*A' + ^- (^A-o-H^- («^*A»*+ etc. , 

dans laquelle les nombres donnés par la table sont : 

A'— /t* = 0,12191 44559 85o5 «T^A»- =4-846 1994 

/A = 0,48448' 75698 5390 J^'A— • s='H- 119 5287 

«r*A« =— 37157207596 J^»A«5 =— 6260 

«r»A*î = — 5 57094 ^48 iT'A'* as — 935. 



a5o EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 

Après quelques essais dans lesqaeb on peut négliger les décimales 
qui passent le dixième rang^ on trouve a: = 0^74850 j56i25. Pour 
plus d'exactitude^ il conviendra de substituer cette valeur dans le 
second membre de l'équation h résoudre^ afin d'avoir la différence 
entre le résultat 4^ la substitution et la valeur donnée de A^— /«« 

J^ésullat de la ^substito tion. •••.. 0^12191 44^^9 7^4^ 

A'— ^fc. . . . . • O9I2191 44^^ 85o5 

;Pifférence. . . • • r =s , 962 

Delà on voit que i—- ^ doit être augmenté jde ^sb:;I983 , cû ,qai 
4onuei:a pour (a vraie valeur de or 

jc . ac 0^74330 756i:2 5o la. 

Connaissant ^, on. aura ^M ^= "^gr- ^'^ j ^^ B*^ çooséqueQk 

logarithoie de cette fonction : 

;F'^.... ô^5i259 i4ï07 1659 
: coeff, . . , 9,77975 36954 83oa 

i¥p • . •« ^^29334 5ioQi 9961* 

. 196. Pour calculer Ef , il faut d'abord, chercher EftparFinterpo- 
lation 4e. la table n*.a; en appelant de nouveau A le terme E^ 
qui répffpd à.;t== 8 , la valeur chetchée.^era donnée par la formule 

où l'on^a 

A' 5= 0,076 r 5 20745 iia^ J^^ =î 4- 46 779^ 

/A s 845 45096 5968 /«A^ = + 6 5789 

cT'A* = — 945i2 9760 J^«A*5 s= — 463 

«r«A^* = — 1 1696 8077 cT'A** 5= /-- 5i. 

Substituant, ces valeurs et ce)le de jt, on trouvei;a 

E/A^ 0,07.403 pta6o 4731, 



V 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. aS, 
enfin on aurai calculer È(|) par la form. E(H-E;£=EX4-c*8În^ÎD^inA 
If. ... . 9,98935 98541 5oi6 EX r= 0,98484 i582o 8690^ 
sîn^:.. 9,98494 57781 0267 Èyt* = 0,07405 01 a6o 4751 
sînX. . . 9,98754 62777 4410* 001081 .^'^ÔT^^^T 

sin fi. . . 8,86959 87498 65 1 o ,. ""'9^081 jj,56o 5559 

^ > ^ y /^^ ^ g..... 0,06775 50302 7S85 

«..•..• 8,8509a 86598 4005' r^^ ~ orz? y ^m ' ^ 

> :^ ^T' ^ E(P'=s o>97856 42765 0942.^ 

Celte Taleûr el celle de /P< s actorderit stiffi^amméirt avec celles^ 
^^on a trouvées parla méthode directe, n<>» 160 et 161^ 

197: Nous avons chi devoir ext)Osèr avec beaucoup dé délai! tout* 
Hè qui coàceme la donstruciion et l'usage des tablés n' 1 et n* 2 
relatives au module c==sin8i*; les calculs ont été faits avec une 
cftactitude sfcrupuleuse, et soumis à un gfand notnbre dé vérifica- 
tions, de manière qu'on peut être assuré que les résultats consigné$> 
dans ces tables, sont exacts autant qu'ils peuvent l'être, d'après les 
Tables trîgondrtiélriques à quatorze décimales, dont nous avonç- 
fait usage, lesquelles sont quelquefois en erreur dé une, deux et' 
même trois unités dans le dernier chiffre. On en voTt un exemple 
dans le logârithriiè def ^ou cos 81% qui, dans la Trigànom. hriL est- 
9,19455 2441 5 5701, et dont les derniers chiffres doivent être 5699. 
En suivant les mêmes prOéédés qui otit été indiqués dans la cons<^* 
tructîoQ de ces tables, et dans les deuiT applications que nous ea 
avons données, on parviendra donc danâ tous les cas à là détermi^i'* 
nation des fonctions E et F et à la solution des questions qui eu 
dépendent, avec un degré de précision supérieur, non-séulement 
aux besoins de la pratique, niais' à ceux des recherches théoriquies 
les plus délicates. 

Je ne dissimulerai pas combien est pénible le calcul d^une table 
telle que la table n* i qui n'a que seize lignes, ou que la table n* a 
_qui n'en a que douze; mais, si on aspire à un aussi grand degré 
d'exactitude, il semble qu'on n'y peut parvenir que par le secours 
de ces tables, ou par la méthode générale fondée sur la formation 
préliminaire de l'échelle des modules. C'est au calculateur à choisir 
entre ces deux médiodes , celle qui lui paraîtra la moins pénible* 
Gomme la formation de l'échelle des modules se réduit, d'après 



a5a EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 

'nos formales, à un travail assez court , il est vraisemblable qvton 
jugera que la méthode générale mérite la préférence^ si Ton n\sL à 
calculer qu'un petit nombre de fonctions E et F; mais s'il y avait 
lieu de calculer un grand nombre de ces fonctions^ l'autre procédé 
parait être le plus avantageux. 

Au reste nous avons déjà dît que si on se borne à dix décimales 
dans la formation de la table auxiliaire n"" i , auquel cas on peut se 
passer de la table n* 2 ^ le .calcul de cette table et son usa^ge dans 
les cas particuliers^ deviendront très-faciles ^ eJt rentreront jdans I9 
classe des calculs trigonomé triques ordinaires^ surtout si le module 
est pius petit qiie sin 45% ce qui permettra de prendre la valeur 
de CL dans la table YH; et pyisqu'^Iors Jes résultats sont exa.cts jusr 
qu'à la dix.ième décimale ^ ou au nioins jusqu'à la neuvième^ il ne 
parait pas ^vCon puisse proposer rien de plus simple pour le calcuji 
des foncions E et F, au moins tant qu'il n'existera pas des tabler 
suffisamment étendues , au moyen desquelles la détermination dis 
ces fonctions serait réduite aux règles ordinaires 4e rinterpolation. 

198. Kemarquons en finissant que le tableau n"" x pourrait être 
réduit aux cinq termes €t^, a., ct^, a^y m^^, etqvus dans cet état, il 
si\ffirait encore pour ramener les fonctions proposées E^, F^, au 
cas où l'amplitude est moindre que 6"". Pareille observation s'apr 
plique à plus forte raison aux tables .auxiliaires .construites pour 
des modules moindres que sinSi^ 

En effet, i*. si Tamplitude donnée ç est comprise entre «g et a,«; 
ou 90% l'une des deux différences F^ — Fag, F'r— ^F^, sera 
moindre que fF'c; ainsi, en faisant la plus petite des deux diffé- 
rences = F^', on aura ^' < «4. Il faudra donc d'abord déterminer 
9', soit par l'équation algébrique qui correspond à l'équation. • • 
F<p^— Fa8,::5pF<p', soit pa;P Téqualion cot ^' =3: 4 tang ^ , si Ji'on a 
F'c — F(p=F<p'. 

Puisque (p' ainsi déterminé est .plu6 petit que a^, le cas le moins 
favorable pour la réduction est celui où p' sera compris entre a 
et «4; soit alors F(p" égal à la plus petite des deux différence^ 
Fût^ — F^', Fç' — Fflt., la fonction F^" sera plus petite que...... 

i(Fot4— Fa.),. et ^par conséquent <îFa,<Fa..Si e^n mème^eœs 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. ^55 

F^'' est <^¥(t,y 9" sera plus petit que 5%8i88, et l'objet de la 
réduction sera rempli par deux transformations seulement. Si au 
'Contraire F^'' est >tF«, » il faudra une troisième transformation 
pour réduire les fonctions Ef^ F^^ au cas ou l'amplitude est moindre 
que 5%8iSS. 

2\ Si Tamplitude donnée ^ est moindre que «g ^ le nombre des 
transformations qui ne pouvait être plus grand que trois dans le 
premier cas, ne pourra surpasser deux dans celui-ci, et se réduira 
le plus souvent à un. 

De là on voit que la Table auxiliaire, réduite à cinq termes y 
conduira aux mêmes réductions que la table entière, calculée la- 
borieusement avec onze termes de plus. Mais ,^ tandis qu'une seule 
transformation, faite à l'aide du tableau entier, suffit pour réduire 
les fonctions F^ et £^ au cas où Tamplitude est moindre que 5%8i88^ 
il faudra quelquefois deux et même trois transformations semblables 
pour parvenir à la même réduction par le tableau partiel. Ces trans- 
formations, il est vrai, se font par de simples formules trigonomé* 
triques; mais c'est au calculateur à balancer les avantages et les 
inèonvéniens des deux procédés. 

' J'observerai au reste qu'il Êiudrait ajouter un sixième terme à 
la Table auxiliaire, si l'angle du module était plus grand que Si""; 
cette addition suffira jusqu'à 89'', et il est inutile d'aller plus loinJ 
Alors le nombre des transformations pourrait aller jusqu'à cinq, 
pour obtenir la réduction cherchée. 

$ XV. Sur la construction cTun système complet de Tables 

elliptiques. 

199. La méthode du § IV présente beaucoup d'avantages par 
la simplicité et l'élégance des formules qui servent à .construire 
chaque table particulière pour un module déterminé; on a vu que 
les calculs s'exécutent dans toute l'étendue de la table, en n'em- 
pruntant de la théorie des fonctions elliptiques qu'un seul élément 
qui se multiplie ensuite par des formules purement trigonométriques 
et rigoureusement exactes; cependant l'usage de ces tables serait 
commode dans l'interpolation, lorsqu'il s'agirait de trouver les 

z 



2^4 EXERCICES DE CALCUL INTÉGBAL. 

fonctions E et F qai répondent à des Talesrs données de Tamplî-- 
tade et dn module. 

Il pnratt beauconp pins conyenable, ponr cet obfet^ de coMlrnire 
des tables dans lesquelles l'amplitude et Tangle dn modulé croissent 
par des intervalles égaux et suffisamment petits^ de o^ à 90^ Oesl 
donc entre les deux métbodes proposées dans le § ill ^ qu'il Êiut 
choisir celle qu'on regardera comme la plus facile dans l'exécution , 
pour parvenir à un degré d'exactitude déterminé. 

La seconde de ces deux méthodes fait trouver directement la 
différence seconde de la fonction E, ainsi que celle de la fonction 
F; et par ces différences , vérifiées à de certains intervalles, on 
parvient à former la série entière des valeurs de E et de F, ainsi que 
nous l'avons fait voir avec beaucoup de détail , en calculant la table 
qui convient au module r=:sin45*. 

:sioo. L'avantage principal de cette seconde méthode consiste en 
ce que les auxiliaires qui servent à déterminer les différences se«- 
condes des fonctions, sont beaucoup plus petites, que celles 4fùi, 
dans la première méthode , seraient nécessaires pour donner im- 
médiatement les différences premières de ces mêmes fonctions ; 
le calcul doit donc en être beaucoup moins long; il exige on des 
tables moins étendues, ou des soins moins minutieux pour obtenir 
les parties proportionnelles , ce qui est une épargne de tems con- 
sidérable dans une longue suite d'opérations. Mais d'un autre côté, 
les erreurs sur les différences secondes se multiplient suivant la 
progression des nombres triangulaires, dans la détermination des 
fonctions principales; il devient donc nécessaire de calculer ces 
différences avec deux décimales de plus, ce qui fait perdre tout 
l'avantage qu'on pouvait en attendre; et si on n'augmente pas le 
nombre des décimales, il fiut vérifier les résultats de distance en 
distance, puis corriger les nombres internȎdiaires, suivant un mode 
4e répartition qui est plus ou moins arbitraire. 

Cet inconvénient qu'on a pu remarquer dans Part. 85, n'a pas 
lieu dans la première méthode, ainsi que nous nous en sommes 
assuré par un grand nombre d'essais , et cette raison suffit pour lui 
donner la préférence. Mais, comme on n'a pas de taUes usuelles 



CON5TRlTC?riON IffiS TABLES ELLIPTIQUES. a55 
qai passent dix décimales, il serait trop difficile de calculer les 
fonctions avec douae décimales, comme nous Tavons Êiit dans la 
table II, et il faut se borner à les calculer avec neuf décimales ^ 
ce qui au reste est plus que suffisant pour l'usage ordinaire. 

aoi. Voici donc le procédé auquel nous croyons devoir nous 
arrêter définitivement, non pour calculer dès à présent une série 
complète de tables elliptiques, ce qui serait une tâche au-dessus 
de nos forces, mais pour préparer les bases de ce grand travail, 
de manière qu'il puisse être exécuté par la suite avec toute l'éten- 
due nécessaire. 

Pour chacune des valeurs du module, depuis C7szsini% sln^*, 
sin3% jusqu'à c=sin75*, on formera la table particulière qui donne 
les valeurs des fonctions £ et F éorrespondanies aux différens de^ 
grés de Tamplitude, depuis 4»=o% i*, 2^.. .. jusqu'à ^zszgo"*. Ces 
calculs seront faits par la méthode du n"" 66, en ne donnant que dix 
décimales aux auxiliaires /? ou P, d'où l'on déduit les différences 
premières /E ou cTF, et celles-ci devront être réduites à neuf dé- 
cimales. Si l'on porte dans ces calculs l'attention nécessaire, les 
erreurs sur le neuvième chiffre décimal de la fonction, se compen- 
seront pour la très-grande partie, de sorte qu'on pourrait parvenir 
à l'amplitude 90% c'est-à-dire à la fonction complète , dont la valeur 
est connue d'avance par la table I, sans commettre une erreur de 
plus de deux ou trois unités sur le dernier chiffre décimal. Cepen-*^ 
dant, pour plus de sûreté, il sera bon de calculer, par la méthode 
directe et rigoureuse , les fonctions E et F qui répondent à Tam-» 
pUtude de 4^*; eu cas de différence dans les résultats, on corrigera 
les nombres de la table par un moyen préparé dans le cours de 
l'opération, et que nous indiquerons ci-après. 

Il conviendra, comme nous l'avons dit, de pousser le calcul d^a 
ces tables particulières jusqu'au module csssinyâ*; on pourrait 
peut-être aller plus loin , sur-tout pour la fonction E q^i n'est pas 
sujette à d'aussi grandes inégalités que la fonction F; mais, comme 
rinterpolation deviendrait peu exacte pour les amplitudes de 70 à 
90*, nous avons pensé qu'il était convenable de ne pas étendre les 
tables au-delà du module sin 75*. 



^ EXERaCES DE CALCUL INTÉGRAL. 

Par une raison contraire^ on pourrait ne les commencer qu'aa 
module siniS""; car au-dessous de ce module, les fonctions E et 
F sont représentées avec assez d'exactitude par les séries du § VU, 
qui d'ailleurs ont Tavantage de se prêter facilement à tous les calculs 
analytiques. 

La réunion de toutes les tables particulières dont nous venons dé- 
parier, soit qu'elles commencent au module sini*, soit qu'elles nre 
^ commencent qu'au module sin i5% formera la table IX, que nous 
nous empresserons de publier, aussitôt que le travail assez consi-- 
dérable qu'elle exige aura pu être acbevé. Au dédsiut d'une table 
plus étendue, dans laquelle l'angle du module et l'amplitude croî- 
traient par des intervalles beaucoup plus petits qu'un degré, la 
table IX sera fort utile pour appliquer la théorie des fonctions ellip- 
tiques, en donnant les moyens d'évaluer ces fonctions, pour les 
modules qui n'excèdent pas les limites de la table, par un calcul 
assez facile, lorsqu'on ne voudra pas obtenir plus de six ou sept 
décimales exactes. 

. ao2. Voici, d'après la méthode que nous proposons, le détail des 
procédés à suivre pour construire l'une des tables particulières qui 

doivent composer la table IX. Soit et l'arc d'un degré, ou a=:-^, 

soit 01=19+7^ et v^(i — c*sin*a»)=A(â»); si on prend l'auxiliaire 
^=aAtf , on aura en général, pour construire la table des fonc-^ 
tions E, la formule 

on calculera donc pour les valeurs successives f=o% i%2% 5^,4^ etc.,' 
les valeurs correspondantes de l'auxiliaire p ; on observera de plus 
que la valeur de;?, pour ^ = — 1% serait la même que pour^=o*; 
on placera donc deux fois cette première valeur de py l'une sur la 
ligne de 9=0, l'autre sur la ligne supérieure, ce qui sera nécessaire 
pour former cette ligne où Ton doit trouver la différence cTy?* qui 
entre dans>la première valeur de cTE, celle qui répond à Ç'so. 

A mesure qu'on aura calculé une valeur de;?, cette valeur servira 
à ajouter un terme de plus aux colojines des différences dans les 
lignes supérieures. Au commencement de la table et même jusqu'à 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. ^5/ 
des termes assez éloignés tels que 9=4^'' ou 5o% il suffira de prendre 
les deux premiers lermes de la valeur de /E y savoir: ^^Esszfh-^^^^^ } 
car nous supposons constamment que les valeurs de p sont calculées 
avec dix décimales y et qu'on en conserve neuf seulement dans les 
valeurs de «TE. 

Lorsque par le progrès de l'opération ^ on reconnaîtra que le 
troisième terme — - -^^ J'^p'^ peut influer sur la dernière décimale 
de J^E^ il faudra tenir compte de ce terme. Mais alors on devra 
ajouter un terme de plus k la colonne des p^ ce terme qui répond 
à^+a étant nécessaire pour avoir la difFérence J^p^ qui entre 
dans la valeur de J^E. Jamais on n'aura besoin de calculer un terme 
de pïus de la formule. 

Les mêmes procédés s'appliquent au calcul des fonctions F y avec 

cette seule différence^ que l'auxiliaire P a pour valeur £- ; ainsi le lo« 

garîthme connu de Aâ> servira à calculer à la fois les deux auxiliaires 

p = «Ââ» y P = ^. II £iut observer seulement que les différences 

croissant plus rapidement dans la table des fonctions F ^ il faudra 
beaucoup plus tôt faire entrer le troisième terme delà formule dans 
la valeur de cTF. 

En formant la colonne des différences cTE et cTF^ réduite k neuf 
décimales y il sera bon de faire une marque particulière aux termes 
dont la dernière décimale n'est exacte qu'à f ou au moins 7^ d'unité 
près. Cette marque sera utile pour faire sur la table les légères cor- 
rections qui seraient indiquées par la différence qu'on pourra trou- 
ver entre les fonctions données par la table pour les amplitudes de 
45* et go% et celles qui auront été calculées d'avance par la mé- 
diode directe. 

2o5. U ne reste plus qu^à faire voir comment on doit calculer 
le logarithme* de £kûû. Au commencement de la table et jusqu'à une 
limite assez éloignée, faites sinA s=csînâ»; appelez a l'angle qui, 
dans la table à dix décimales ^ approche le plus de A ,. et soit 1» 
différence /sin A — /sina=:r; vous aurez avec une exactitude 8u£» 
fisante /cosA^ ou 

log A s= log cos â — r tang* a. 



L 



/ 



^58 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 

et Yim YOÎt que U coirtcûon r Ung* a n'a pas besoin d'être cakvlée 
arec beaucoup de précision , tant que l'angle a sera d'un petit nombre 
de degrés. 

Lorsque l'angle a approcbera de 4^% on pourra faire plas exac- 
tement log A = / cos a — R , logR=log(rtong*a)-|-r+rlang'fl. 

Si l'on a^ait /sin A=/sina— -r^ il faudrait £aire log A=^cosa4*R 9 
log RsŒ log (rtang* a) — r — r tang* a. 

Lorsque l'angle a sera plus grand que 4^% 1^ correction R deve- 
nant plus grande que r, les erreurs se multiplieraient par la formule 
précédente, et il faut lui en substituer une autre. Chi mettra alors 

la valeur de A sous celte forme, à=sb\/fi -^ — ^~')> ^^ faisant 

UngA=:^-^^, on aura Ass— — . Soit a l'angle de la table qui 

approche le plus de l'angle A dont on connaît la tangente^ et soit 
itang A = /tanga<4*^> ou ^^^^ 

Itos A = /cos a — r sin* â (i 4" 1^ <^o^* ^) j 

ou si l'on fait /cosAssZcosa-— R, on aura 

iR==/(rsin*a)H-r— rsin'fl, ensuite logAslog -f- R. 

Cette formule, dont le calcul est aussi facile qull est possible, ne 
laisse rien k désirer^ et pourrait même servir dans toute l'étendue 
de la table sans exception; mais le calcul de la première est plus 
simple, tant que c sin co est <C sin 45^ 
Si Ton avait /tangAs=/tanga— r, la formule deviendrait 

logRssslog(rsîn'ii) — r-j-rsin^n, logAslogT — ^'— R- 

Connaissant A pour une valeur déterminée de a», ou connaîtra à 

la fois les deux auxiliaires pssm^^ Pss^^ l'une pour la table des 

fonctions E, l'autre pour celle des fonctions F. Ces auxiliaires de- 
vront être placées chacune sur la même ligne que la valeur de ^ , 
d'où elles sont déduites, en faisant ûi=(p + ft^i ^^ y joindra leurs 
différences successives, continuées jusqu'à l'ordre où les différences 
de l'ordre suivant seraient négligeables ou fort inégales. On en dé- 



CONSTRUCTION DES TABLES ELUPTIQtJËS. 26g 

daira ensuite les valeurs de «TE et de ^F, suivant les formules que 
nous avons rapportées. 

Calcul détaillé de la Table particulière pour le module csKsinGS"** 

204. Nous prenons pour exemple un module un peu grand, parce 
que les calculs deviennent plus difficiles vers la fin de la table, à 
raison de la grande inégalité des différences ; on verra cependant 
que les résultats n'en sont pas moins sûrs, en prenant les précau- 
tions convenables. Du reste, nous entrons dans tous les détails 
nécessaires pour qu'on puisse facilement saisir la méthode^ et l'apr 
laquer à tout autre module. 

f =5 o% m ^ss o*i. 

e 9>94988 08840 7 00e « »»999»S 69358 

BÎn#. • • • • • 7j94o84 18696 8 IL — 6a3 

«nA 7»8907a "7437 5 A. 9«9^98 €8716 

«in a 7188969 04944 «•• • t 6t^4^97 73676 

rzss io3 90493 5 p 8»&4i86 4a3»i 

P tg94it^ 0496& 

r 7,01378 46 

tang'o. .... 5,77940 71 p . . = 0,01745 37649 



3^79319 17 
-4- io3 aa 



P^ = 0,01745 38fl0i 



R a,794aa Sj 

Bans ce cas et dans le cas suivant , on aurait pu &ire plus sim- 
plement le calcul de A par la formule log A = 7 log (i — - c* sia* m) 
=s — .^me* sin* €»; ensuite €0 devenant un peu plus grand, on aurait 

ies formules plus approchées r:ssà^ sin* m, log A = — R, ^t 

log R s=s log (jrnr) + 7 mrj mais nous avons préféré de suivre tour- 
jouiCS la même marche. 

c 9»9498& 08840 7 r ^,. 6^07670 73 coso..... 9»99988 19043 

siit«.... 8,4^791 90153 9 tan^a.... 6,73559 73 £ •— 64s^ 

8^36779 98994 6 R. A^8ia3o 46 ù 9j99988 18394 

sin a... 8,36768 o58ii • 8,24187 73676 

r 3s li 9S183 6 p tss 0,01744 85446 p 8,^4175 93070 

P sa 0,01745 80418 P.»..« 8,34199 5538i»« 



a6o EXERCICES DE CALCUL INTEGRAL. 

c 9,94988 08840 7 r «. 5^89956 33 cosa 9^99967 16309 

Bvnm.... 8,63967 96616 1 tangua.... 7>i7993 63 R -f- ^^oi 



8,58966 04456 8 R 3,07949 96 A 91999S7 17510 

jBin a... 8,68963 98006 m 8,04187 73676 

r = — 7 93548 a p = 0,01744 01069 p 8,a4i64 91186 

P = 0,01746 64891 P 8,a4afto 56166. 

'Cette Taleur de P , auxiliaire de la fonction F , jointe à la valeur 
correspondante J^'F' = 4^3389 donne pour ^=2% la différence 
J^F = P H- î^ J^'P* = 1 746 66655, où il faut remarquer que le re- 
tranchement du dernier chiffre laisse une incertitude d une demi-* 
unité sur la neuvième décimale de J^F. C'est ce qu'on a exprimé 
dans la table par le signe -f* mis à la suite de la valeur choisie 

«TF se 17466665+. On aurait pu également prendre •• 

cTFss 1746 6666 — . Nous verrons ci-après l'usage de cette no- 
tation , pour corriger les petites erreurs qui peuvent résulter du 
progrès de l'opération. 

^ = 5% âi = 5* f 

c 9i94988 08840 7 cosa 9^99935 601 13 tangua.... 7,47^76 807 

«in*».... 8,78667 62787 7 R + 5461 r. 6,a6453 993 

8,73555 6i6a8 4 ù 9,99935 66674 R 3,73730 800 

•in a..* i8,73674 00461 a « 8,34187 73676 

r = — 18 388a3 p 8,341 a3 39260 p = 174a 74633 

P 8,a4a5a 0810a P =: 1747 9170a 

^ = 4% a» = 4' T. 

c 9^94988 08840 7 cosa 9199893 6368a tangua.... 7,69110 io3 

•iutf.... 8,89464 33984 I R — i83i r. *.. 6,67167 Sqo 

8,84463 41834 8 A 9199893 61861 R 3,36377 493 

wn a... 8,84448 68865 • 8,34187 73676 

rzsi 3 73970 p 8,34081 35537 p = 1741 06936 

P.. 8,34394 ii8a5 P = 1749 6097» 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. a6i 

c^-..^; 9.94988 08840 7 C08C 9,99840 98748 tajig» c... 7,866a6 8io 

>in».... 8,98167 a87i5 4 R -f 6627 r S.gSSoS o5i 

8,93145 37556 1 A 9,99841 05375 R 3,8ai3i 86i 

Bin a... 8,93i54 39a3a # 8,24187 73676 

r == T- 9 01676 p 8^a4oa8 79051 p = 1788 953a4 

P 8,34346 683oi P == 1751 73864. 

(P = 6% « = 6^ i. 

A* 5i94988 08840 7 costf...... 9,99777 95564 tang'«.... 8,01190 777 

$\a0.... 9,o5585 87565 7 R — 647 r 4,799^5 157 

9,00373 96404 4 A 9^99777 949^7 R 3,*8in5 934 

j^i a... 9,00373 34434 M 8,34187 73S76 

r = «1980 p ,.. «,33965 68593 p = 1736 4383a 

P 8/^4409 78759 P r= 1754 3758U 

iO 994988 08840 7 coafl....... 9,99704 36309 tang*fl.... 8,13696 406 

«i'..- 9*^^569 76687 5 R — 7a5o r 5,73337 849 



9,66557 85538 A 9>997o4 39069 R.. 3,86o34 355 

ima,... g,o6553 56633 « 8,34187 73676 

/ =5 * 5 38906 p 8,33893 03735 p = 1733 48574 

P V- 8,34483 44617 P x= 1767 35368. 

f = 8% « = 8* ^ 

fi 9*94988 08840 7 cx)sa 9,99630 17398 tangua.... 8,a466a 419 

•jn i>,.. fl, 16970 30867 8 R... — ii3i8 T...., 5,80709 916 

9^11958 39708 5 A 9,99630 06080 r tangua.. 4,05373 335 

aina.... 9,11951 88 353 « 8,34187 73676 r..... 6 414 

rr? 6 4i356 p 8,33807 79756 rtang*g.. . i.i5 



p = 1730 13697 

f =x 1760 66813. 



p...; 8,1^4567 67596 R,, ,. 4,05378 8Pa 



aa 



s&i EXJBRQCES DE CALCUL INTÉGRAL; 

(p = 9% « = 9* \. 

c 9>94988 08840 7 CCS a 9>S96fl5 34/14 tangfa...« 8^34437 G^S' 

sln #... g,ai7Go gpaaBg 4 ^ — io?4S r.««. ........ 5,68373 796 

9,16749 oii3o A ,. 9>995a5 34069 4,03710 49r 

sma.... 9,16744 194^4 ** 8,34187 73676 r «••«... 4 S16 

r= 4 81646 p 8,33713 97745 rtang'g.^ 106' 

P 8,34661» 49607 R,«% 4i037i5 4i5 

p = 1736 55368 
P= 1764 5i34b, 

f = ro% m = 10*. ^ 

^— «••• 9>94é88 08840 7 CCS a 9>994i9 836o3 tangua...» 8,4^61 loo^ 

SB «... 9,86o63 30434 S &••••« '*— 9736 r...«*.* 5,00393 i6if 

9,3to5i 39375 A, 9>sr94>9 80876 rtang'a.. 7^43653 364 

aina.... 9,31060 386oo «k •... 8,34187 75676 r. «..• 1 007* 

r =» r^6^ p 8,33607 5465a ^«««•<^- <^7^ 

P.- - 8,34767 99800 R.., 3,43554 39»: 



p = 1733 16776 
P = 1768 80334. 



çr S5 1 1% 0» = 1 1"" - 



ï> 



^ •• 9.94988 08840 7 cota: 9,995o3 58866 t«ng»ir...* «,5i5o9 43è 

»» «'— 9,99965 55093 r R + iS3g5 r^ 5,67066 1% 

9,34953 61934 A 9i99393 74iai 4,18376570 

«pa.,. 9^24968 3o383 m. 8,94187 73676 r^...,»...., — 4 684 

r = — 4 68448 p 8,93491 477^^ rtang-a.: — iS^ 

P 8,34883 99555 R 4,i837o 753 

p = 1717 5713» 

P = 1773 53578^ 

^ 9*9^88 08840 7 co«a 9*99176 96100 Xaa^gtu^ 8,68693 348" 

ain#»>>> 9»33533 67606 1 R. «.. + 6iô5 r. 5,13107 04& 

' 9>»853i 76347 À 9^99177 oi3o5 S;7a799 393 

ûxid.... 9,38633 0^498 «. 8,34187 73676 r. ^..•. — 1 339 

r = — X 39i5i p. 8,33364 7488i ^^«»g'«- — 5*- 



■■» f 



p = 1713 56667 
P = 1778 71860. 



>*• ' - 8,35oio 73471 R., », 3,70797 9fio 



ELUPTiQUES. a65 



f sss iS% » a&8 i5 



o I 



c. 9,94.988 ô88<o 7 cosA 9>99o39 S4410 tangue.... 8,65536 307 

•in #•»• 9,36818 5â534 t &••« •>• + 49^ r..M»..M.t» 5>o3499 7^3 



9,3i8o6 61375 A. 9>99o39 S93ia 3,69036 o3o 

aina^.. 9,31807 69767 « ^,fk4i9j 73676 r...... -— 1 084 

r = II t 08S99 p 8,a5afl7 32988* ''^anj^a.. — 49 

9 8,«5i48 14364 R 3,69034 897 

p = 1707 i563S 
P = 1784 3557a. 



f sss i5% m Œ ï5* f 



^. •;::.:; 9,94^988 08840 7 coaa 9198891 76119 t«B|^a..r. 8,71901 a58 

mm.... 91398S9 96431 3 R — 89706 r.M«....—. 6,75376 838 

9,34848 c6fl6a A 9>9889i 454i3 4>47fi78 096 

^a..;.-9,3484a 38oao le €,a4i87 73676 r. 5 67a 

T = 5 67a4a p. 8,a3o79 19089 ^^^^<^'^' ^97 

P...M..OO 8,sfia96 a8aC3 R 4,47384 o65 

p = 1701 3431a 
P = 1790 45a59. 

^•. «•••.• 9194988 08840 7 coea 9»9873a 67864 tan|*^«.. 8,77890 a6a 

4m#.... 9,49689 88a4o a R. — 1678 r... 44»907 9^7 

■ Il I . I ■■ ' ■ 

.9,37677 97081 A... ..«.M. 9f9873a 66376 3,19798 ±27 

4În«.... 9,37677 70834 * 8,»4i87 73676 r............ a6a 

/= a6a47 p ^.^. 8,42920 a99&a ''«a^êT^- 16 

Pm 8,a5455 17400 R 3,19798 5o5 

p = 1695 iaq94 
P = 1797 oi5i6. 

f «p f6% « ap 16* f 



,<?...:.«;. 9,94988 08840 7 003 a 9»9856a 944^6 taojfo.... 8,835i6 911 

4in#.... 9,45334 18046 3 a ~ 6^47 r...M.«M.. 4i9^9^Q 47 ^ 

9,4o3aa a6887 A. .. .;.... 9,9856a 88478 3,77427 384 

«ina...* 9>4o3ai 39970 a 8,24187 73676 r.i .«•• 86§ 

r = 86917 p 8^2760 6215T ^^•^**- 1* 

P.M...M... î8^a5624 86198 R.,M 3,774a8 3ia 

p = 1688 6200a 

y =;s i8o4 Q4979* 



a64 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 

ç = 17% dû = 17^ \. 

c 9,94988 08840 7 cos a g,9838a 28o58 tang*a.... 8,8884a 65o 

9În0.... 9,47814 18041 a R + io34o .r. 5.12609 89» 

g,4a8oa a688a A 9,9838a 383g8 4,01 45a 54a 

sîn a..i 9,42803 G0572 « 8,24187 73676 r : — 1 33^ 

r = — 1 336go p 8,22570 lao"^ rtang^a.. — ^o3 

P..^ 8>258o5 35278 ^. .•..«.... 4)^i45i loa: 



p = r68i 5i67f^ 
P= i8u 56336. 



^ = 18% » == i8* |: 



c. 9,94988 08840 7 cos^ 9>98i9i iiÇo3 tang*^ a..;; 8,93887 07g* 

dini».... 9,5oi47 64453 6 R .\. — gSSS r« 5,o323o 037 

9,45i35 73294 3 A 9,98191 02245 3,97117 116 

5ina.... 9,45134 65573 « ,• 8,24187 73676 r.«.......M. 1 077 

r= 1 07721 p 8,22378 75921 r tangua.. gS 

P..* 8,25gg6 7i43i R..^ 3;g7ii8 siiS^ 

p = 1674^ 12388 
P=: 181g 563ig. 

e......; g,g4g88 08840 7 ces a: g>g7g88 8oaio tang'a.... 8,g8696 769 

rini».... 9,52349 52365 4 K 4*4g ^« 4>^3o93 61» 

9,4733761406 A 9,97988 76061 3,61790381 

•ma.... 9,47337 i8656 « ». 8,24187 73676 r. •.... 4a7 

r= 42750 p, 8,22176 49737 rULu^.a.. j^ 

P.-. •* 8,26198 97616 R 3,61790 849? 

p = i665 34520 
P = 1828 05712. 



c g,g4g88 08840 7 ces a g>g7775 g2588 tang* «.*:.' 9,0328a 549F 

flin#..., g,54432 52958 9 R ^. — 3686o r. 5,53369 277 

g,494ao 61794 6 ù, «.... g;g7775 55728 4;^665i 826 

sina.... g,4g4J7 aoo57 ............ 8,24-187 73676 r....;..o.«. 5 4^7 

r= 3 41737 6 p 8,2i9€3 29404 rtaxi^ a.. ^^^ 

P....rr 8,2641a 17948 R....;...... 4i5665â 61 B 

p r= i658 18484 
P = 1837 0534e. 



CONSTRUCTION DES TABLÉS ELLIPTIQUES. a65 

€' Sf>94988 08840 7 coà a 9,97551 75669 tang» a... 9,07681 071 

sm i>... 9,56407 54536 fl R — 5866 6 r... 5,5io48 455 

9,5i595 63i66 9 i^ 9>9755i 3699"3 4,587129 73? 

«îna..*. 9,51592 3 9Qia m 8,34187 73676 r. 3 a^^^ 

f = 313954 9 p........... 8,31759 10669 ''*^^^- 586 

P — 8/J6656 566«'5 B 4,58733 35» 

p = 1649 64717 
P = 1846 56104. 

ç sas aa*, ûi ac ^3* !• 

Cw...... 9,94988 08840 7 C08 a 9,97316 17704 taDg»c.,,. 9,11911 416 

«m».... 9,58385 9 6606 8 R. r.. — 3336 r, 4,33843 886 

9,53373 05446 5 A 9,97316 15478 3,34755 So3 

ftîna-.. 9,53371 88535 « 8,34187 73676 16^ 

r =5 16931 5 p 8,3i5o3 89154 rtapg^g.. aa 

Pr« r 8^6871 68198 R... 3,34755 49& 

p t:a 1640 73679 

P = i856 68930^ 



*.. 9>M9^^ 08840 7 cosfl : 9t970% 863o6 taogfa.... 9,^16976 441 

flbi^/.. 9,60069 96819 9 R.... -f 589 r..... 5,45oi5 968 

9,55o58 o566o 6 A 9^97069 86696 3,68990 399 

aima... 9,55o58 o8353 «r. 8,34187 73676 r. — 369 

r:=z'Z A693 4 p 8,31367 60371 ''^g*^- ~ 4 

P..^. 8^7117 86981 R 3,68990 laS' 

p =3 i63i 4585a 
P = 1867 14780. 



c. 9,s49^^ 08840 7 cos a 9>968i3 79369 tan^ a,.^ 9>i9^9i 76g' 

fin 0... 9,61773 69686 8 R — 55396 r 5,53544 909 

9,56760784375 A 9,9681346073 4,53336 678 

lin a... 9,66768 6783a «r. 8,34187 78676 r.. a io6 

r= a 10696 5 p........... 8,31000 19749 ''♦^'^^«••^ 333 



ife-iiB« 



p r= 1631 81747 
P = 1878 34734. 



P S^jiji 37603 R, 4,6aa39 117 



i 



m «XERCÎCES DE CALCUL INTÉGRAio 

,r 9)949^ 08840 7 ces a 9^96644 06799 tangua.... g^sSfiSa B45 

8in#.... 9,63398 435oa 6 R. •,.....- ~ i78a3 r. 5,oi4i4 78» 



9,58386 5îa343 3 A.... 9,96643 88976 4ia5o97 637 

3ina... 9,58385 49o3fl « ,. 8,24187 73676 r. 1 o35 

r = 1 o33ii 3 p , 8,ao73i 6s65fi '"^^n^'^- '7»^ 

P..... 8,37643 84700 », ..- 4,a5oa8 838* 

p = 1611 81898 
P= 1889 89846. 

,r ;. 9,94988 08840 7 ces a 9,965164 453o4 tangua-.; 9,fl7549 ^4 

Wf.... 9,64953 74374 o R. r- 3458a r. 5,a6533 845 

9,59940 83ai4 7 A.... 9,96364 10733 4,5388a 91.7 

jînA.... 9^^9938 98994 « V- 8,34187 73676 r 1 849 

r =^ A 84a3p 7 p 8,3o45i -84398 rtang^fl... 346 

P •.. 8,37933 63954 R..., 4,63885 195 

p = 1601 4^S£4 
p= 190a 11393^ 



jo 9^94988 08840 7 cosa 9^9^97^ 959^7 'tangua..... 9,5091a 4a^ 

^mm.... 9,66440 55998 o R... -+- io663 r 4,71876 i5a 

9,61438648387 A.. 9,9597306650 4,03788 576 

ftin a... 9,614^9 17170 m ,•.. 8,34187 .73676 r — 633 

r = ^ -^ Ç3331 5 p «,3oï«o 8o3o6 r\An%\a.. — >Py 

^. 8,a83i4 67046 R.,.. 4,03787 a4Ç 

p zs 1690 77334 
P = 1914 90367, 

f 5= 28% Ce es aô* J. 

c........ 9,94988 08840 7 ces fl...... 9,96670 41639 tau^c,... 9,54^0 ^3 

ain #... 9,67866 39015 4 R + 80590 r $,j39o3 765 

9,63854 37866 1 A. 9,96670 72039 4i48374 448 

sin a... 9,63855 75589 »... 8,34187 73€76 r.... — 1 S77 

r = — 1 377339 p 8,19868 457^ rtan^«.. — go4 

p........... 8,î)85i7 01647 R... ., 4.48^72 ff 

p = 1679 7'63o 
P=: 1938 38o3o. 



CÔNStRtJCÎÏDrï BES TABLES ELLIlrt'IQtJES. '067; 

e. ..."•• 9,9498* «Sft^o 7 «Mdt 9,95356 77180 twig*«.„. 9,îf?73a &id 

en»».. 9,^53 88a36 6 11 + a5»88 1 5.o«38& lU 

^^^•^m^^^^^^mm^^^^ÊimÊmÊ^m^'^K^ ^mm^mmimmmmmmim^^mÊÊl^m-^m^mim ^^'^mmm^^mmma^^m^m^^mm' 

9,64aai 9^077 3 A 9,96357 oaSoS 4>4oii7 694 

«no.... 9,64aa3 oa7a5 #. .....>...♦ 8,a4i8ir 78676 r...> — r o56 

r = II i o$64â 7 /» 8,1954475984 •*»*»«•«•• - ^5a.. 

V.>........^ 8,a883o 7i368 R-. ......... 4,40119 00a 

^ = i568 36665' 

P = 194a 36897. ... 

«•• ••-• 9>9<98* 08840 7 co« a 9,95q3i s6585 tangua..*. 9,41006 j3f 

m 0... 9i7o546 8874S 5 IL. .-..*.•.. ^ S&jo r.. 4,i5iao oo5 

9,6&534 97586 a A. ......... 9,95o3ii 92946 5,5Su5 74a 

À a^. 9,65534 834a5 •. 8,fl4t87 7367S r... .• 24a 

r= v4i6i 2^ p.....^.... 8,19219 666a 1 '^*»^^- .^^ . 

P,*.,.*.,..% 8/19155 80731 R.MW.....^ 3,66ii5 9ao> 
p = i556 67038 
P= 1956 85a4ii. 

e... 9>9<988 08846 7 coso...,». 9,94695 9^567 U;B^a.^^ §M^97 4^^ 

mm...: 9,71808 Six>i7 9 R..^.;.».'.^ --* 54906 r.k».«« 6^29044 555' 

9,66796 59868 6 à V 9,94695 3j56i 4,73a4i 977 

•ua... 9 »66^94- 64674 tf..^. .*.••» 8,34^87 73676 f.*^ u. 1' s6^s 

r=: 1 96184 6 p 8,18881 i3s37 ^^^-___^. 

P *....^ 8,a949a S^iiS R ; 4,75244 469^ 

p == i544 65439 
P = 1972 07493. 



é. »«•/••. g>g4988 08840 7 coaa^ 9^94^47 46>i4S tangua.... 9,473i4-Oûà' 

ib>.».« 9,73oai 65a4û o R...'..»."* «^ 818a f...^..^...,. 4)439^^ 791" 



9,68009740807 A..... 9)94347 37963 S>9ia86 799 

mm.... 9,68009 4656a m 8,94187 ^3676 r.....^%;..u a7& 

r ;^5l87 p 8:ii5irTr^ .tang.«..___fo 

^« f>«.^\»«.«' 8^S984o SS^iS R*«bt.M«..% 3;9ia87 i56 
p = i53a 33698 
P= 1987 94137. 



\ 



û68 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 

<p = 33% 6» == 33* j. 

c 9*949^^ 08840 7 cos a 9>93987 53iii tang'a...^ 9,5e38Q 963 

«in«.... 9,74188 94971 3 R «+31086 r .4,9887640a 



*^ 



9,69177 o38ia A 9,93987 84197 4*49357 365 

sin a... 9,69178 oiaSS # 8,24187 73S7S r. r- 974 

r = - ^^446^ p S^bl^S^ rtanë^a.. -3ii^ 

P........... 8,3o*99 89479 R. 4i49a56 080 

p = i5i9 63274 
f = floo4 4^717^ 

<p = 54% €0 = 54^ i. 



C. 9,949^^ 08640 7 003 a 9>936i7 28891 tangua...; 9,53364 oaj 

•m«.... 9,7531a 80269 o R ir- 54^80 r 5,20097 546 

9,7o3oo 89109 7 A 9,93616 74611 4y7^46i 573 

«in a... 9,70299 30264 « 8,24187 73676 r. ;.•. 1 588 

r == r58845 7 p 8,17804 48287 r tangua.. ^45 

P 8,3o57o 99065 R 4,73463 704 

p = i5o6 76289 
Ps 2021 66832. 

/p c= 55% (ê = 55* !• 

^••••••f 9,94988 08840 7 coaa 9,93234 22i52 tang*a..~.^. 9,56297 653 

9m. 0,.. 9,76395 4o365 5 R — 16227 r 4*^47^4 79$ 

9,7i383 49306 2 A 9^93234 05925 4»3io22 449 

lîna... 9,7i383 04820 •... 8,24187 73676 r. 444 

r= 4^Î6l p .„.. 8,17421 79601 rtan^a.. i6a 

P.* 8,30953 67751 R 4|3i023 o5^ 

p = 1493 54379 
P = 2o39 56i36. 

(p s= 56% a = 56« f 

c. ..77... 9,94988 08640 7 cos a 9,92839 4^S7i tangua..*.. 9,69176 585 

«in#.... 9,77438 76973 3 R 4- 33632 r 4,93499 3o6 



■•i^ 



9,72426 84814 à 9^92839 753o3 4,52675 891 

ma... 9,72427 70912 5 8,24187 73676 r — 86i 

r = '^ 8609g p 8,17027 48^77 rtan^^c. - ^36 

P, 8,3i347 983^3 R 4,82674 694 

p = 1480 04493 

P a 2o58 i633/(. 



CONSTRUCTION" DES TABLES ELLIPTIQUES. 369 

(p = 57% m == 5r T- 

c.;.;..,. 9194988 08840 7 coaa 9,9^4 134^7' tangua.... 9>6i995 816 

sin-».-. 9,78444 71378 3 R — 5flQ55 r. 4,885Gsi 69a 

9,7343a 80119 A. 9,90433 80434 4,5o558 5o8 

sin^a... 9,7343a o3a7a « 8,34187 73676 r. 768 

76847 p 8,i66ai 54110 '•^ang^a.. ^^Q 

. P 8,31753 93a4a B 4,5o559 696 






p = 1466 37494 
P= ao77 49183. 



ç = 58% (0 =3 58* i. 



c. ..:.... 9,94988 08840 7 cos a 9,93016 55343 tang*iz... 9^^777 877 ' 

ain*.... 9,79414 95670 7 R 4-64390 r. 5,i6o39B 3a8 ' 

9,744o3 04511 4 ^ 9,93016 19633 4980816 ao5 

sina.... 9,7^04 49*83 • 8,34187 73676 r. — 1 447 

r = II 1 44671 6 p 8,i63o3 93309 ^^^t^- ~ ^^3 

P 8,33171 54oi0 R 4,80814 ii5 

p =3 1453 343i3 
P = 3097 56489. 

<p a 59% ûi = 59* i. 

c.,^ 9,94988 08840 7 COS a 9,91586.34168 tangua...» 9,67608 o4o ' 

«iiiji^. • 9,8o35i o5a53 1 R... + 57771' r. 5,o8664 533 

5,75339 14093 8 A. 9,9i586 91939 4>76i73 563 

sm a... 9,75340 36174 « 8,34187 73676 r.... — 1 331 

r = ^^^^ 1 aaoSoa p 8,1677465615 ^^t^-* ~ ^8 

Ç. 8,33600 81737 R 4,76170 764 

P = 1437 95919 ^ 
P = 3118 40100. 

^ =: 40% Cè ^s 4o* î. 

c..^.«... 9,94988 08840 7 CO& a 9*9114^ 49*^5 tangT^M.* 9,70191 oiS ^ 

•in«.... 9,81354 44^60 S R -« 61936 r 5,oi354 933 ' 

9,76343 53ooi A 9>9»»45 97»^9 4*7^544 935 

sîna.... 9,76341 49833 m, 8,34187 73676 r. • 1 o3ii 

r = 1 o3i6g p 8,1 5333 709^ rtang^a.. ^19 

. P.. 8,33o4i 76447 R 4,71546 486 



p = 1433 43330 
P = 3140 01908. 



bi 



- — ^ 



^o EXERaCES DE CALCUL INTÉGRAL. 

^ sa 4i% «> ^ 4'* i' 

c 9»94988 08840 7/cdiriî 9i9<^9ft 9^** ttog^n*... 9,7û844 go5 

nnm.^.. 9,Sâisi6 457^7 5 R*«..rr..t. 4- 44^88 r. •„.. 4>9i7^ ^ 

9,77114 54558 a A. 9,90693 3S354 4,846519 47» 

•ba.... 9,77115 373fl3 #. ,..r. 8^0418773676 r .•..• — 8fi» 

raaii; 821764 8 p 8,14881 ioo3o '■**»tf«- ~ <^ 

Pm.^.«...* 8^33494 373fla R...r. 4,646a8 âov 

p s 1408 67564 
P = ai 6a 43834. 

f =â 4^% Al sa 4^ T-^ 

c 9194988 08840 7 eo8 a. 9,9oaa8 5i388 tan^a,... 9,76457 996' 

tin*.... 9^8^968 33460 4 R. + 59879 f. 5,oaa7i fl4S 

9,77966 4a3oi 1 A. 9>9c'^ ^^^7 4^777^3 ^7^ 

•in a... 9>77957 47^70 «» r.,r 8>&4iS7 73676 r ^.••. *— 1 064 

r::^^ 1 o5368 9 p 8,i44i6 84943 ^^tyg'g.. — 699 

P,... r 8,S3i9&8 6fl4o9 R.... 4.77727 5iff 

p = 1393 69741 
P rs di8& 67830. 

^ssr45% •i=a4»^i. 

c..«M^. 9*94988 08840 7 coi a....^ 9^89753 A6476 tmi^a.».. 9/780S9 099 
«b«..«. 9^83781 aao36 4 R« ».«..... -^ a8i r a,66847 gta 

9178769 30877 1 A *• 9>89753 fiSi95 R....«..«^- fi|448^ <>o$ 

•ina«^. 9^78769 3o4ii •. 8,34187 73676 

r s 466 I p. 8,»394o 98871 

P ^..*. 8,34434 4848t 

p ae 1S78 £0989 

P = aao9 75868. 

ç=a:44% 01 s» 44* T- 

c.««..w. 9,94988 08840 7 eosa 9,89365 43791 tàùf^a.^.. 9,80678 88r 

êins.... 9,84566 i8oo3 3 R +39010 r...» 4,78541536^ 

9>795B4 a6844 A ..•.. 9,89365 8a8o8 4,69130 407 

«P g'*' . 9>79554 87866 «1 8,3418773676 r..^ —610 

r^— 6101a p 8,13453 56479 ''^^ff'^' ~^ 

P..M,*..*.. 8^91 90875 R«M. , 4»59ii9 407 

p à i363 13489 

P =s aa34 ^93^7» 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES, aj 

r 

< 9194988 08840 7 co«a 9,88766 6auo tao^a...« 9,8309a x8o 

«in •... 9,853a4 ao538 a R- + a8a77 r 4,6ao5i i86 

9,8o3ia 33378 9 t 9,88766 50387 4,45143 366 

%\m a... g,8o3ia 71115 « 8,04187 73676 r..« — 417 

r =» 'Z 47736 I ;> 8,18954 640^ rtaDg^a.. — a8g 

P. 8,354ao 83a89 R 4^i4a 666 

p = i347 55471 
P = aa6o 51987. 



aux valeurs de Ef et F^ pour l'amplitode 9 sss 45% on 
voit qu'en comparant ces valeurs avec ceOes que donne la table VIII^ 
Faccord est parfait sur la fonction F ^ et la différence est seulement 
d'une unité décimale du dernier ordre sur la fonction E. Cette 
différence peut facilement être corrigée ^ en diminuant d'une unité 
du dernier chiffre , Tune des différences premières , peu éloignée 
de 45^9 marquée du signe — . Nous choisirions de préférence la 
différence qui répond à So^'y et pour laquelle nous prendrions 
x556 6570. On pourrait aussi j pour faire remonter moins haut la 
correction I rappliquer à la différence qui répond à 4^% où se 
trouve un semblable signe — ^ et réduire ainsi la différence 1408 6665 
à 1408 6664» ^^ qui diminuera les nombres E d'une unité dans 
le dernier chiffre^* depuis ^=s4^* jusqu'à f =45*. Mais avant 
d'effectuer cette correction ^ on peut continuer le calcul de la table 
jusqu'à la fin ^ pour £dre tontes les rectifications à la fois. 

Nous remarquerons au reste que c'est par une sorte de hasard 
que le calcul de la tabla s'est rencontré a\issi exactement avec le 
résultat tiré des formules générales. Gela prouve seulement que les 
légères erreurs» qui 9 à chaque opération, affectent ou peuvent affec- 
ter le dernier chiffre » se sont compensées; dans d'autres cas, la 
compensation n'aura pas lien aussi exactement; mais en opérant 
avec l'attention nécessaire, il y aura rarement des erreurs de plus 
de deux ou trois unités sur le dernier chiffre , et dans tous les cas , 
cette erreur sera fiicile \ corrijger par les moyens que nous avpns 
déjà indiqués. 



I 

i 



aya EXEROCES DE CALCUL INTÉGRAL; 

f = 46% • = 46'i. 

c. .••.••. <);94988 08840 7 CCS a 9,88a56 76934 tang'a.... g,85574 49^ 

«in #... 9i86o56 aaoGg g R •— flo84a r 4^46318 5oo 



9^81044 Sogio 6 L g^88a56 56oga 4>3289a 998 

sina,... g>8io44 01 858 « 8,a4>S7 73676 r. agi 

r= ^^5^6 p 8,ia444 39768 '•*a°^«- __i°l 

P.. 8,35931 J7584 R 4,31893 497 

p r= i33i 8iai6 

P =3 11387 ^011. 

<p = 47% « s= 47* |. 

c g>949SS 08840 7 ces a,....r g987736 84196 tan^a.... 9,88038 rga 

Ânm.... 9,86763 08843 a R — g4o55 r. 5,09307 797 

9,81761 17683 9 A 9,87734 90141 4.97335 989 

ib a... 9,81749 93783 #.,.• 8,34187 73676 r. • i 33y 

r= 1 33901 g . p 8,iigaa 63817 r tangue.. g4o 

P.«...^.^. 8,3645a 83535 R 4,g7338 168 

p = i3i5 gioSg 

P =3 33i4 87931. 

-- ^ = 48% «• = 48* |. 

c. ...... g,94988 08840 7 C08 a 9,87301 go5gg tang*a.... g,9o463 954 

nn #... g,87445 61434 a R + 14491 r 4,36667 3o5 

g,83433 70364 g A,..,. g,87303 o5ogo 4>iSi^^ '^9 

«ba.... 9,83433 88333 m 8,34187 73676 r..« *— 181 

T^'^ 18068 1 p 8, 11 38g 78766 rtangTc. — i45 

P 8,36g85 68686 R^ 4,16110 833 

p = uigg 86388 
P = 3343 4563o. 

c ;.. g,94988 08840 7 C08 Q g,86658 63g 1 5 tang*a.,.. 9,92866 g 19 

«in«.... 9,88104 55i53 7 R — 467/1 r. 4,74139 660 

g,83og3 63g94 4 A... g,86658 16144 4,G6gg6 679 

amfl....g,83og3 08876 • 8,3418773676 r...» 55i 

r= 551184 p 8.io8i5 8Q83'r^^*°g'^" ^^^ 

P 8,375ag 67633 R 4>66gg7 698 

p = 1383 68653 
P = aS/a g8gi5« 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. sjS 

ç = 5o% cà == 5o* i. 

t d>94988 08840 7 CCS a 9^86104 ii838 tang»a.... 9,952147 58o 

Bm0,... 9,88740 Go554 9 H — 70437 r 4,89530 981 

9,83728 G9395 6 A 9,86io3 41401 4.84778 5Gi 

•îna... 9,83727 90816 « 8,24187 73676 r. 78$ 

r= 785796 p .\ 8,iofl.9i i5o77 ''^^g*^- 704 

P 8,38084 3227$ R........... 4,84780 o5t 

p = 1267 39359 

P := a4o3 495oâ. 

p = 5i% €Ê = 5i* i. 

c 9*94988 08840 7 cosa...... 9,85538 02266 tang^tf..,. £[,97607 828 

Mn#.... 9,89354 43700 9 R — 38628 r 4,48070 528 

9,84342 52541 6 A... 9,85538 02266 4,45678"356 

«in a... 9,8434a 22293 m 8,24187 73676 r 3ô2 

r = 30248 6 p 8,09725 75947 rtatnffa.. a i6 

P 8,38649 71410 R..... 4,45678 944 

«p = i25i 00082 

P = 2434 98977. 

c 9>94988 08840 7 ces a ^ 9,84963 23386 tangua.... 9,99941 ô45 

8iA«.... 9,89946 66546 1 R — 99600 r r. 4,99882 930 



9.84934 75386 8 A 9.8496a 23786 4,998a3 976 

tin a... 9,84933 75656 « 8,24187 73676 r. 997 

r == 99730 8 p 8,091499746a rxaxi^a.. 9 9^ 

P 8,39225 49890 R. 4,998a5 968 

p = 1234 52459 

P = 2467 48766- 

Passé ce terme ^ Tangle atmiliaire a détiendrait pliis grand qw 
45% et alors la correction R serait plus grande que r; c'est pourquoi 
i) convient de calculer A par la seconde formule. On observera en 
même tems que les différences quatrièmes cT^P commencent à de- 
venir assez grandes poor qu'il soit convenable d y avoir égard dans 
le calcul de d'E^ et surtout dans celui de J^F. Mais pour cela, 
il faut que la série des auxiliaires P soit avaiicée d'un terme de 
plus que la quantité Ë ou F qu'on peut déterminer par la dilTé^ 
rence /£ on J^F. 



;i74 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 

Au reste , pour rendre aussi simple qu'il est possible le calcul de la 
différence J^F , on voit par la formule crF=P-f-5Î; J'^'P^—^jh^^^f 
qu'il faut prendre, au lieu de erT% la différence seconde corrigée 
i^*P*— r^^J^^P*^; et alors en appelant cette différence J^^P^'c, on 
aura crF = P+^«f*P*C5 il en est de même de cTE. On fera d'ail- 
leurs attention au signe que cT^P''* doit prendre par rapport à ^^P"". 
Les différences qui vont en augmentant, sont toujours supposées 
positives 9 les autres sont négatives. Ainsi, dans la table construite 
pour la fonction F ^ les cT^P allant en augmentant les ^P sont po- 
sitifs par rapport aux J^*P; mais les J^^P allant en diminuant (au 
moins jusqu'à un certain terme), les ^P sont négatives^ ce qui 
rendra /'P — -^ J^P*^ plus grand que /•P*. 

(p = 55% » = 55* i. 

taogO.. 0,39383 4^isa a b 9»657o4 67648 5 8ia*a... 9,76101 047 

cos»... 9>77438 75373 a cosa 9,81338 39030 r 3,79081 978 

0,0673a 17165 4 9,84376 38638 5 / 3,55i8a 036 

tanga.. 0,06733 33333 R — 3563 r — 6a 



r = — 6177 6 A 9,84376 35o65 



K + 36 



« 8,34187 73676 R 3,55i8i 999 

p = 1317 98301 p 8,o8564 08741 

P=s 35oi 00098 P... 8,39811 386ii 

<p = 54% a = 54* ^. 

tangS.. 0,39383 4^195^ a b 9i657o4 67648 5 sin'a... 9,76306 694 

cofltf... 9,76395 4^365 5 ces a 9181933 33689 r 5»o6a38 ooa 

0,05678 81557 7 9,83781 34957 5 / 4,81444 596 

4angA.. o>o5679 97004 R-*« *- 66339 r, — 1 i$4 

- / + 65i> 



r = — 1 15446 3 A 9,83780 69738 



8,34187 73676 B 4>Si444 094 



p rs 1301 39091 p 8,07968 43404 

P SI a535 53968 P 8,40407 03948 

La série des auxiliaires étant ainsi avancée d'un terme de plus, 
on peut maintenant calculer la différence cTF ou /E qui sert à 
ajouter un nouveau terme à la colonne des fonctions. 
Ainsi ^ i\ pour avoir le /F qui répond à ^=^53% j'observe que 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. ijS 

relatÎTement à la différence cr*P=ioi545y on a <r^P«*=r— 244, 

ce qui donne la différence corrigée J^'P*c=:ioi545+t^«^44 
c=ioi56o» et ensuite /F = P + î^; <r»P*c = 3467 52998, valeur 
qui, en supprimant la dernière décimale, se réduit à ^467 53oo, 
ce qui donne pour 55% F = 1,04896 1980, 

a\ Dans la table des fonctions E , on a pour f=s5a% J^y ■ ■ 6655 
et J>-s=B+75, ce qui donne J^'/?V=— -6640, J^Es=:;>+^ J^^/j'V 
s: ia34 5ai8a, qui se réduit à 13S4 5ai8. 

f = 55% m = 55» i. 

tangl. OiS^aSS 41199 a b 9>657o4 67648 5 tin* a 9,74^48 801 

coê0... 9»753ia 80969 sic a... 0^17469 96647 r..... 5>&668o 818 

o>o45g6 221461 a ^ **" ' ^^'^^ / S>oo999 619 

taoga.. 0,04594 366i6 A 9t83i75 66362 r. + 1 848 

r =3 '■ 1 84845 a ^ 8,94187 73676 / — 1 o fla 

p. 8^07363 40037 R..« 5^00930 445 

p = 1184 76988 P 8y4iûia o73i5 

P = S1571 1 io44« 

9 «s 56% m :sn 56r i. 



tafigt*. o>a9a83 4>i9^^ ^ '•• 9>657o4 67648 5 tixi^o...... 9,73flSi 8a8 

coÊm,.. 9i74i88 94971 a séca... 0,16857 67900 r............ 5,09041 i85 

0,0347a 3^163 4 * ~ ^^^^^ ' / 4i8aa73 oi3 

taaga.. o»o3473 69307 A «.. 9,8a56i 69063 r — 1 a3i 

r = II r^^"T - 8,04187 73676 / 4- 665 

p.« 8,06749 4^739 R. 4i8afl7ii 44? 

p = 1168 i3833 P 8,4i6a6 Q46i3 

P =zs a6o7 7170a. 

f s» 57% û> sas 57* !• 

tangS.. 0,89983 41199 9 ^ • 9»657o4 67648 5 #iVii..,«.« 9,7fli4o 466 

coB é..* 9,73oai 6594o séc o... o,i6a34 3i690 r..*..«%*.... 4*73698 738 

o,093o5 06439 a * + ^^ / 4,45839 143 

taaga.. o,o93o4 5i858 A 9,81939 9800a r + Bjfi 

r = 645^ •• 8,a4i87 73676 / -^87 

p 8,06197 01678 R 4,45839 402 

p = iiSi 5i65i P 8,4aa48 45674 

P = a645 35869. 



*76 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 

9 = 58*, ûù = 58* f 

tangfl.. 0,09283 ^i\%i a b 9,66704 G7648 5 sin^a 9»7^^4 ©77 

€09 #... 9,71808 51017 9 séca... o,i56o3 73479 r- 5,o6oi6 54i 

0,01091 92210 1 ^ "^^ ^ /.M.» 4*7^9%^ 618 

ta^ga.. 0,01090 77351 A 9,8i3o9 00000 r -f- 1 i49 

j. -. "1 14869 1 * 8,24187 73676 / — 589 

p 8,06496 73676 R 4>7G99^ 17^ 

P = ii34 92554 P 8,42878 7367G 



P= 2684 o3ooi. 



<p = 59% ûi t= 59- ^ 



tangS.. 0,29263 4119^ ^ &........ 9,66704 67648 5 Au* a 9,69728 fl3a 

C08 iv... 9,70646 88746 5 séca..i 0,14967 J^^i^ r 6,09989 911 

9,99830 «9937 7 ^ ~ ^"^^ L f' 4,797'8 «43 

tanga.. 9,99831 658oi A 9,80671 49^74 ^ "~ ^ ^^9 

r — — 1 26863 3 * 8,24187 78676 / + 627 

p....... 8,04869 22860 R 4*797*7 5i> 

p = 1118 38745 P 8,435i6 24602 

P = 2723 71994- 

9 = 60% Cà =3 60® T* 

tangS.. 0,29283 4**9^ ^ ^ 9166704 67648 5 sin^o. 9;68389 126 

C08 #... 9,69233 88236 séca,.. 0,14322 86363 r 4>i3>99 ^94 

9,98617 29428 8 ^ "" ^^9^ ^ / 3,8o588 420 

tanga.. 9,98617 4^672 A 9,80027 47606 r — « i3d 

r = i;^ ,3243 2 • 8,24187 73676 / _+ G£ 

p........ 8,04216 ai28ft R ,. 3,8p588 352 

p 3= 1101 92623 P. ...... 8«44^6<^ 26070 

P = 2764 4' 096. 

tangd.. 0,29283 4*19^ ^ ^ 9>6^7o4 67648 5 iiin^a 9,66960 440 

xx» #»... 9,67866 29016 4 séca... 0,13671 86770 r 6,41206 685 

9i97U9 7oao7 6 ^ + ^ ^^^^ ^ / 5,o8866"^ 

tangfl.. 9,97*47 0775a A 9*79377 7604a r + a 6a6 

r = a 63455 6 ••• 8,24187 73676 f^ ,... — 1 a26 

p. . ..... 8,o3565 49718 R 5,08867 424 

p = 1086 56a85 P.;!..... 8,44809 97634 

f = a8o6 07816, 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES, a;?? 

tSDgO.. 0,3938? 41193 3 ^ d>65704 67648 5 sin^a 9,66409 869 . 

cosM... 9,6644° 55998 a séc a... o,i3oi8 i8i5a r. 4«9349o 83t 

9,957a3 97190 21 * ^^^^^ ' / 4,68900 690 

tango.. 9,957^3 11109 A 91787^3 24^16 6 r. -f- 861 

r= SS^iTT • 8,a4i87 75676 / ^ -588 

p 8,02910 98292 6 R 4^68901 i63 

p s=vio69 3a527 P. 8^45464 49069 4 



P =s 2848 688i3. 



(p == 65% e» = 65*» i, 



tangS.. 0^29283 4^19^. ^ ^ 9165704 67648 5 sln^a 9>6375o 671 

cos #... 9,64962 74374 o séc a... Oji2359 79^51 r..... 6,03287 732 

9,94236 16666 2 ^ ___^^iil. / 4,67058 3o3 

tango.. 9,94235 07702 A 9,78064 93596 r. + i 079 

r = 1 07864 2 • 8,24.87 7S676 / - 468 

p 8,o3a53 67371 R 4>67o38 914. 

p = io53 a385o P 8,46iaa 80081 

■ P= 3893 19791. 

p = 64% • s= 64» i. 

tangS.. 0,29283 41192 2 b 9,66704 67648 5 sin'a 9161963 688 

cos^... 9^63398.45502 6 séc a... 0,11698 70216 r 6,i3o62 610 

9,92681 84694 8 ^ ___i^i. ^ 4,75016 198 

tajDga.. 9,92680 49636 A 9f774o5 94>i9 6 r + 1 56i 

r= 1 35069 8 • 8,2418773676 / — 563 

p 8,01691 67796 6 R 4>75oi6 986 

p = io37 32962 P 8,46783 79666 4 

P = 2936 55376. 

<p = 65% 6» = 65* i. 

tangO.. 0,29283 4119a 2 b,4 g>657o4 67648 6 sin^a 9,6oo38 902 

cos#... 9,61772 69686 8 séc a... o,iio36 91646 r 4>4i452 142 

9,91066 10779 ^ ~ '"^^^^ ^ r" 4,01471 044 

tanga.. 9,91066 36740 A 9,76741 48960 r. — 260 

,. = Z flBgg, « 8,24187 75676 / + iû5 

p 8,00929 22626 R 4^01470 887 

p t= 1021 62677 P 8,47446 24726 

P = 2981 6898g. 

ce 



fi =* 66% « sa: 66^ f , 

tad|g;4^.. OyitgraS 4iid^ ' ^' S^J^^T^ 676148 5 4in*^a..ik... 9,579514 58^ 

coï '... 9,60089 96&(<7 jf sétf A... o,fo3^ iafi83 r..».^..^. 5,473^ 5o2 

g;B93t3 38o«» t *• "•"• ia833^ ^ S,o&34a 067 

tangcr.. 9,89350 i^3i /It * ^ffSa^ gSiCS 3 r. ...».„». «^ a 971 

r =* — r^ârr - «-^'«y 7567s / -i i.» 

j>. 8,ooa6& 66841 3^ R 5>o5a43 91a 

p = 1006 i5gi6 I^. 8^S»o8 Soè-ho y 

P= 3ofl7 5371 8, 



tangl. û>flgd83 4^igi^ » 5. 9^66704 67648 S^ ^^<x.««*.. 91B5707 8W 

cosm... 9,58283 966o5r 9 sec a... 0/397111 86689 r. 4.7545o laS 

9,87667 37798 * ^^^^ / 4,3ri58 009 

tarigtf.. 9,87666 80978 A 9,754'7 748ÎÏ& ô r.. •.*...•.•. + 56* 

r= 5€8ao " *• 8,fl4t87 73S76 ^ - ao5 

p 7>99^o5 48604 5 R 4,3ii58 37a 

P — 990 95709 P 8,48769 98847 b 

P = 3073 97184. 



tangl. 0,992^ 4l^<)3 ^ ^ 9i6¥7o4 67648^ !^ tin^ tf.^^.. 9',99972i' 879 

Gofl#... 9,â64o7 543aS 1 séc a,.. 0,0905s 06734 f 4>?4^9i oto 

^^88690 95B18 3 ^ "" ^^^'^ ^ /. 4,1174» ^ 

tan^a. 9,86691 Soyôa à 9,74769 6556€ r. #.. — » 5Bd 

,. — :r 55i83 7 •• 8,94'87 7567^ / + ^^ 

f^- -». 7>98947 a9»4a R «.. 4>a7453 697 

p = 976 06193 P. 8,494^ 1811a 

P = 3iao 91407* 



tanf^l. 0,99283 4^igfi a b 9,^6704 67648 5 8fai'a...».r 9,606^6 6<A 

cot#.*» 9y5443a 63963 9 Bée a... o,o84oû 6ar848 r. ^>^9ff7^ &8<> 

9,8371^94146 1 * + ^^^^ ^ /....^ 4,90698 i85 

tanga.. 9,88713 43'ii5 A 9,74106 iiô34 ^ + ^ S'O' 

r = a5io3oV • 8,94187 73g7S ^ - «oS 

p 7»98a93 84710 R 4»9o599 890 

p = 961 47606 P 8,60081 6a64» 

P=: 3i68 aa68i. 



CONSTRUCTION DÈS TABUE8 ELMPTIQUES. i79 

tâiig4.. OydjaSS 4>^9tt 3 -^ 9>657q4 67648 5 sin^o 8>477B7 6m 

CM«*.. 9,Sa549 5fi565 4 séca... 0,077^ ^4976 r.«..«....M. 4»4504d 46^ 

9^16311.937576 '^ ~ ^^^^^ ^ y. 433007 o63 

^^g^- 9,4i633 64960 A. 9973459 3ia43 r. ....«•..«• — 719 

r = yifloa 4 • - ^,a4r87 72676 / + ai4 

p » 7'97647 ^9^8 R 4i33oo6 B65 

p =5 947 a6a8a P. ....^ 8,5o7aS 4a424 

P = 3ai5 36455. 

9^7^, ® » 7i^ J. 

tangS.. o.agsSS 4^1^ a fr 9166704 67.648 5 aia* a...... <),446a5 91? 

cos #..« 9,Soi47 &4453 6 aëca.- ^^o^iiS 9^970 r, ,.««. 5,,S3736 5oo 

9,79431 o5645 8 ^ + ^^76g ^ /._ 4^36a 118 

<«Bga*- 91794^^88493 A 997a8$^i jso68j 6 n.^...,»..,»* .+ a J75 

r= a 1745a 8 • 6,34187 75676 y ~ 608 

p....^.. 7,97006,94357 6 R 4f78363 985 

p =3 933 4465i P.^.^.. 8;5ta6S 5a9e4 4 

P = 3a63 36a36. 



tapgS.. o,09Ei83 4i^9A a &«» 8»^5704 67648 5 8Îa^aMM.. .9,4i^i5 199^ 

€ot«... 9,47814 48041 1 ^n... 'C,c£489.Q6S<io n.—** 4^96896 507 

9.77097 59aS3 ^ + -^^^^^ ^ / 4,58111 6^ 

tBDgo.* 9,77096 66i3o A.«...- .3,70193 ^8ai.9 r. ••.••. + 93i 

r = g3xc33 3 -• M ^?i><^87 72676 r" ■- ^4^ 

p 7>9638i 71.895 R. 4Ï38iia389 

p = 930 o6aao P.-.*.,. è^ig^jS 75457 

P = 33io 835o6. 

'^ CK -73% 6» »: 75- i. 



UmgS.. 0,89083 4^190 a fr. 9^^5704 67648 5 aiii'a...... 9»37485 ^155 

oo8«... 9,45334 18046 a sioa... e^ft76 4^077 ''* 4>74653 989 

3,74617 59a38 4 ^ ~ '^^^ ^ î' 4#i^*38 444 

*WB^« 9^74618 i5oa7 A .......19^71679 96701 r............ — 558 

r = .I^ 55778 "ë *• -8,8418773676 y + i3a 

p.. ....... 7,95767 70377 R 4«iAi38 018 

p= 90714568 P Aîrt6.<3)7 76975 

P = 3357 97685. 



aSo EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL, 

9 = 74% « = 74' i- 

tangO.. 0,99^83 4^19^^^ * 9fi^7^4 67G48 5 sîn^c 9,33388 85S 

co8#... 9,43689 88a4o a séca,.. 0,06376 41736 r 6,38908 5a4 

9.71973 3943a 4 ^ + ^^^^ ^ r' 4,7^397 379 

tanga.. 9,71970 84478 A. 9>7098i ôaasB r + 3 460 

r = a 44954 4 - 8,a4.87 75676 r' - ^^» 

p 7*95169 35qo4 R 473399 3oir 

p = 894 733a8 P 8,53ao6 11448 



P = 3404 56i3o. 



f = 75% (à = 75* T. 



tangfl.. o.a.q'ïSS 4119» a b 9,65704 67648 5 «n»o 9>^9Ss^ ojr 

cos •... 9,39^59 <»643t 3 sée a... 0,04696 86938 r...« 8,46664 5a3- 

9,69143 376.3 5 ^ - ^^9^ / 3,75557 6i5 

fanga.. 9,69143 4o54a A. 9,7040» 53oi7 r — à» 

, ,^=r ^^ST - «'''^■^7 73676 r' + 6 

p 7,94589 36695 R 3,75557 59a 

p= 88386168 P 8,53786 30659 

P = 3450 Z^i^. , 

f = 76% « = 76» i. 

tangfl.. 0,39383 4119» a 6 9,65704676486 8in»a..... 9,33933 348 

co» •... 9,368i8 5a 534 i aéca.... 0,04137 16398 r. 5,49956 9a » 

9.66101 93736 3 ^ ±if!^ / 4.73880 176 

tanga.. 9,66098 7781a û 9.6984» 3785a 5 r. + 3 i5y 

„ c > ^ «. 8,34187 73676 r...- "^ 548 

p 7,94o3o ii5a8 5 R 4,7388a 787 

p = 871 56775 P 8,54345 358a3 5 

P = 3^5 o5i53. 

f = 77% « = 77 M- 

tangfl.. 0,39383 41193 3 i 9.65704 67648 5 rin» a....: 9,1843$ 1% 

coi«... 9,33533 67606 I tic a... o,o36oi 86194 r. 5.4aoo8 5o> 

^3817 08698 3 ^ ___ii'ÎI!_l /. 4.60433 691 

tanga.. 9,62814 456ao A 9,69306 94o5& r. + a 63» 

r = r^3^ - ^''^'^ 73676 / - 4o3 

p 7,93494 67731 R 4.60435 930 

p s 860 88834 P 8,54880 7963» 

P s: 3538 40844. 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES, aôi 

Ung».. o,a9a83 4iiga a b 9,68704 67648 5 8În»a, 9,ia5io gSS 

cosi»... 9,39965 53093 1 aéca... o,o3o93 3588i n 4>oa7i9 870 

9,59248 94a85 3 * + ^^'^^ / 3,i5o36 8a5 

tanga.. 9,69348 85639 A 9,68798 04943 r. + 106 

r= 106463 • 8,34187 73676 / — 14 



^^IMB 



P 7.9^*985 78619 B 3,i5o3o 917 

p = 85o 8595a P 8,55389 68733 

P= 358o 11414. 

9 = 79% ^ = 79' T- 

tangfl.. 0,39383 41193 3 b 9>657o4 67648 5 siVa 9,06468 i58 

cot«... 9,36063 30434 4 aéca... o,oa6i4 06193 r. 6,16063 874 

9,55346 71636 6 ^ T-i^ffli / 4i^"53r^ 

tanga.. 9,66348 i3o85 A 9,68818 66797 r. — i 4,5 

r = H I 41458 4 • 8,34187 73676 / + 160 

P 7>9a5o6 30473 R.... 4>ao539 777 

p = 841 61730 P 8,66869 16879 

P = 3619 86938. 

f = 80% t» == 8o* |. 

tang»;. 0,39383 41193 a b 9,66704 67648 5 aîn'a 8,97749 84» 

coa#.... 9,31760 93289 4 «éca... 0,03166 38944 r 6,48066 737 

9,5io44 33481 6 ^ + ^^7»^ 5 ^ 4,46816 679 

tanga.. 9,61041 3io38 A 9,67871 363i3 n -f. 3 oaS 

r= 3 03459 6 • 8,34187 73676 f" — 387 

P 7»92o59 08989 R 4y<68i9 3i7 

p = 83a 89633 P 8,663i6 38363 



P = 3657 33737. 



<p ss 81% câ = 8i* f 



tang 9.. 0,39383 41193 a b 9,66704676486 aîna, 8,8900a o3a 

cos#... 9,16970 30867 7 séca... 0,01764 70354 r 6^33177 aSr 

9.46.5?5 63059 9 » ILJÎ^^l / 4>aii79 289 

taogd.. 9,46a55 71844 A 9^67459 ai6i8 r. — a 098 

r = — a 09784 1 • 8,34187 73676 / + i63 

P 7>9ï646 96394 R 4,31177 364 

p = 835 03960 P 8,66738 5ao58 

P = 369a 1999c. 



N 



/• 



^2 ICX!EIU3CfiS DE CAZiCUL dSTÉOaAi:. ' 

isauigA^ o;9ga83 4ii'9'B ^ &«««..«^. 9J^57o4 £764^ 5 na^ii. S^ySgSi lOiS 

008 «... .9414569 76687 d «écii..,. x),oa56o 36847 r. »«*-^ B>43o9i 090 

9^&3 47&79 4 ^ _Zlif^_ ^- 4^ao4sn^ 

ta&ga.. 9,4o855 87598 û. *9;67g»4 87884 5 r — s €9^ 

y «« 21 a 60718 6 * S>o4i87 75676 /•.^.•..... + 166 



p.^ 7>97a73 '^iBSo 5 ,R 4>93o39 ^74 

p r= 817 94887 P. .*.r.. fi^Î7ioa 85791 5 

P = 37^4 i6âi3. 

^ = «6% » = «5* ^ 

liiugB.. o,3ga83 4119a a ft 9i^7Q4 €7648 5 sin^o S»67a36 1117 

eos'«... 9^05385 8756S 7 «éc €x... OjOi 046 05407 r 5,6ooi4 949 

9,34669 d87B5 9 ^ + '^9^*4 a ^z 4,392253 076 

canga.. -9,34665 11743 A '9,66750 -90669 7 r. + 4 ^7^ 

r = 4 1701a 9 " 8i>4i87 78676 r".^ — J96 

p 7;90938 66345 7 R 4j39^B7 o5o 

p= 81168334 P «,57436610063 

P = 375a 90958. 

càngtf.. 0,892)83 41193 a i 3)65704 €7648 5 wi^a. B;B8367 dSj 

CCS #... '8*98157 08715 4 «fcc... Di 00755 'Cl 040 r. 5,2B63o*68« 

9;a744o -69907 6 ^ + '^^'^ ^ ^ 5,«6997 719 

ouigtt.. ng,a7488 63984 ù 9;B6469 76101 5 r a|-.fia6^ 

r = o 16933 6 * 8,3418778676 r'....^.*.. — 74 

P 73*47 49777 5 R 5,86999 814 

p = 806 a5975 P '8,67737 97574 5 

P = 3778 15488. 

tans «..0,39383 '4^90 2 h 9.6S704 6761^ 5 sin^^o. 8,5640? ^Sà 

eos'0... 8^9464 33984 o téca.... 0^06608 74168 r 5^76770 888 

9**8747 741 76 a * '^^^ ^ / 4,13387 44^ 

tafiga.. 9,1874a 1764 À 9,fi6ar3 56078 r. 4- 67214 

r :=: 5 7a4ia a " 8, «4 187 78676 /••••.• — _i33 

p 7>9o4oi ^8749 R «« 4,iaa43 i3i 

p= 80170188 P. '8,57974 .i«6c3 

P = 8799 63483. 



GONSTRUUTiOrf DES TABLES EIXimQlJES. 3$S 

^ ss 86", et œ 96» i. 

«MgSi.. o^aSS 41199 a i....... 9,65704 ^7648 5 sin'o..^. S.iBogB 984 

c»«i... 8,78&67 53787 7 léca... o^ooSog 6o3g7 r...., 5,8a3a?75a 

S,o78Bcx 93979 9 ^ ~ »^' ^ î'-. 3,97419 73e 

tan^g.. 9>o7657 Sggiy A. •..,,. 9,66014 i86a3 7 r...« — 6 655 

. r =: — 6 65637 1 * - g>a4ig7 73g7g i'. + 94 

P •• 7»9oaoi 93399 7 R ^ 3s974i3 174 

p = 798 o3ooa P 8,58173 55o5a 3 

P = 3817 11739. 

<p =: 87% « = 87» |. 

tangS.. 0,39283 4119a a b 9,68704 67648 5 ain^a 7,86161 Soo 

coa#... 8,63967 95616 1 séca.., o,ooi58 47^4^ t 6,0880a a38 

8,93a5i 36808 3 ^ + ^9^7^ i' 3,94963 538 

tanga.. 8,93339 12139 A 9,65863 a37oa r. -f- la 347 

r = ,a 34679 3 - 8,34187 73676 / ~ 89 

P 7i9o<^5<> 97378 R 3,94975 696 

p = 795 36110 P 8,58334 49974 

p = 383o 40766. 

^ = 88% « = 88* ^. 

tangS.. 0,39383 4^193 ^ ^ 9>657o4 67648 5 sin^a 7,43066 00a 

co8#... 8,41791 90153 9 séca... 0,00057 36469 r. &>9979& 778 

8,71075 3i346 1 ^ ~" '^"^^ / 3;4i848 7!^ 

tanga.. 8,71086 a6586 A 9,66761 91497 r. — 9 oSa 

r = ^ 9 96339 9 * 8,34187 73676 / + ag- 

P 7.89949 66173 R 3,4i838 854 

p = 793 40789 P 8,584a5 8ai79 



P ss 3839 35454. 



^ = 89% û. = 89»i. 



tangS.. 0,39383 ^iiQi a b 9,66704 67648 5 sm*a 6,46665 674 

ces «... 7,94084 18696 & Bée a... 0,00006 36036 r. 6,4533a 491 

8,33367 59789 ^ + ^^^^ / 3,91998 i65 

tauga.. 8,33339 19746 A 9,66711 04606 8 r. -f- a8 400 

r= a8 40043 • 8,34187 73676 / — 8 

p 7,89898781838 R a-gaoae 65/ 

p s 79a 47910 P 8,58476 69169 a 

P ss 3843 85439. 



■ 

1 



aô4 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 

!io5. Ici se termine le calcul des auxiliaires p et P; car pour, 
^ = 90% on aurait cozsz^''^^ et les auxiliaires seraient les mêmes 
que pour ctfzsSg'*^^ ou pour 9=89% De même pour ^=91% les 
auxiliaires seront les mêmes que pour ^ =88"*; de sorte qu'à 90"*, la 
différence i'p ou cTP est la même au signe près que pour 88"*; oa 
a donc toutes les données nécessaires pour terminer les deux séries 
des fonctions E et F, et compléter le tableau ci-joint^ qui contient 
le résultat de tous les calculs précédons. 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 



a85 



"" 



9- 

Beg. 

o 
1 

3 

3 

4 



E. 



/£. 



ip. 



iy. 



i^p 



. 



5 
6 

i 



lO 

II 
la 
i3 

il 
i5 

i6 
i8 

21. 

ao 
ai 
aa 
a3 

il 

a5 

a6 

a8 

gf) 
3o 
3i 
3a 

35 
36 

37 
38 

J^ 
4o 

4> 

4a 
43 



o.ooooo oooo 
0.01745 0689 
0.03490 oqBo 
o.oSâS^ o388 
0.06970 8166 



0.08717 8584 
0.10456 7943 
0.13193 ao5i 
o.i3Qa6 6735 
0.1 5656 7832 



1745 

1744 
1743 
174a 

1736 
1733 

1730 
1706 



d589 

9950 
7278 
0418 



9358 

4109 

4684 

io< 

33] 



0.17383 1197 
0.19105 3703 
o.aoSaa 8^46 
o.âfl535 3744 
0.24^3 5i4o 



o.a5943 84o5 
o.fi7638 9539 
0.39327 4575 
0.3 1008 9580 
o.3a683 o658 



0.34349 3û5i 
0.36007 564a 
0.37667 1968 

0-39397 9173 
0.40939 3607 



o.4a55i i633 
0.4416a 9676 

0.45764 4ai8 
0.47355 1800 
0.48934 9oa3 



1733 
1717 
171a 
1707 
1701 



i5o6 + 
5543 

5498 
1396 

3a65 — 



169! 
i68J 



|5 
18 
1681 
1674 
1666 



1134 
5o36 

5oo5 
1078 
3393 



1745 
1745 
1744 

^7U 

1743 

1741 



1736 
1733 
1730 
1736 



37649 

8^44^ 
01069 
74533 
06936 



95334 

4a833 
48574 
13697 
35368 



1733 16776 
1717 57103 
1713 56667 
1707 i6635 
1701 3431a 



i658 

1649 
1640 

i63i 
i6ai 



1691 
63i6 + 
7315 — 

4434 
8036 



o.5o5o3 
o. 63069 

o.636o4 
o.55i36 
o. 56666 



3553 

?538 
8671 
5475 



o.58i63 
0.69666 
o.6ii36 
0.63603 
o.64o55 



3981 
8So3 
8638 
1378 
36o4 



1611 8043 
1601 454^ 
1690 7683 

1670 7333 

i568 353o 



i566 

«544 
i533 

i5o6 



6671 

64'4 
3i33 

6804 
7606 



1088 53003 

1681 5i67< 
1674 1338* 
1666 34530 



1668 18484 

1649 64717 
1640 75679 
i63i 46853 
1631 81747 



1611 81898^ 
1601 46864 
1690 77334 
1679 73630 
i568 36665 



0.65493 
0.66016 
o. 68335 
0.69719 
0.71097 
0.73460 



3095 
733o 
3Qq6 
0883 

5899 
7071 



63a i 
o336 
a64o 
3336 

437 949^ 



i4q3 
1480 
1466 
1463 

li07 



i4a3 
1408 
1393 
i3^8 
i363 

1.347 



4336 
6666 
6887 
6017 
1 173 

5475 



+ 



i556 67038 
1644 65439 
i533 3a59'8 
i5iQ 60374 
i50D 76369 



1/^3 54379 
1480 04493 
1466 37494 
i45a 343i3 

'437 959*9 



1433 43330 
1408 67664 
1393 69741 
1878 60909 
i363 13489 
i347 55471 



00000 

43303 

84387 

1 36637 

1 68606 

a 10603 



3 63493 
3 943*58 

3 36877 
377339 

4 18693 



4 59644 

5 00465 

6 41Ô33 
6 8i333 
6 3i3i8 



660093 

7 OO033 

7 39251 



8 53767 

8 91038 

9 «7837 
9 64105 

9 99849 



10 36o54 

10 69630 

11 oû6i4 
11 36966 
11 69637 



13 01599 
13 33841 

13 633a4 

13 93016 

i3 31880 



i3 49887 
i3 76908 
14 o3i8i 
14 38394 
14 63699 



14 76766 
14 97833 
i5 18763 
i5 3!^5oo 
i5 67018 
i5 74366 



43303 
43184 

43140 
43079 

41996 
41890 



41766 
41619 
41453 
41363 
41063 



40831 
40667 
40391 

39995 
39674 



39331 
38968 
38577 
38i68 
37731 



37371 

3678 

3637 




35 



34596 
3984 
33341 
33673 
31973 



31343 
3o^83 
39691 
388ÎS5 
38007 



37111 
36183 
3631 3 
34306 
33167 



33067 
30939 

19748 
18618 

17237 
16903 




Tr38 
1181 
i33o 
1381 
i336 
i388 




J9 



36 



EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 



o.ooooo 
0.01745 
o.o34qi 
o.o5a37 
0.06985 



0000 

aoi4 
8879 
8aa6 



0.08735 
0.10487 

0.1294^ 
0.13998 

0.15759 



0.17553 
0.19393 
o.aiob6 
0.33845 
o. 34639 



4501 
1966 

4904 
7631 

4454 



.977a 
7980 

3535 



0.36419 
0.38316 
o.3oo3i 
o.3i833 
o. 33653 



9369 

97'7 
•4*4 
6350 

3o88 



0.35480 
0.37317 
0.39163 
0.41030 
0.43887 



3869 
3617 

9444 

5557 

7360 



0.44765 

o. 46655 
o. 48558 
0.00473 
0.63 401 

o.5i 

0.51 

0.58373 

0.60360 

0.63365 



99^2 
9181 
o55o 
9833 
3875 



5731 
4507 
5535 
5tti3 
0166 



0.64386 
0.66336 
o. 68384 
0.70463 
0*73559 



4B 



0,74678 
0.76818 
0.78980 
o. 81166 
0.85576 
0.8&610 



7738" 
3o47 

4983 

OBI 3 

6»79 



l^F. 



5996 

8318 

6665 + 

9347 
6375 



7465 
3938 
3717 
«833 
53i8 



8308 
5545 
7375 

3749 
47^Q 



797 
804 

811 



0348 

58§^ 
5836 
0781 



Ô7W 
5837 

6ii3 

1703 
370a 



^ 



3O01 



8786 
1018 

9688 4- 
^953 

697^ — 



o5i5 
1040 
5765 
3898 
0843 
Saoa 



3o3q 
3o58 
3077 
3097 
3118 



^925 
1936 

5939 — 

5967 

4!ï36 



3l40 

3163 
3i85 
3309 
3334 
3360 



0635 
4735 
7133 

794B 
7359 

5574- 



/p. 



/«p. i^?. i^¥. 



38soi 
S8301 
80418 

64891 
Q1703 

6^73 



73864 
97581 
35368 
665 13 
51S40 



80334 
55578 
71860 
55673 
45a59 



797 
804 

811 



05346 

66to4 
689^0 
14780 

M7^4 



956 



8p46 

II3Û3 
90367 

98o3o 
36897 



85943 
07493 
94»37 



3039 
3o58 
3077 
9097 
3118 



56i36 
16334 
49183 
56489 
40100 



9140 
3163 
9i85 
3309 



01 908 
43834 
67830 
79868 



00000 
43317 

84473 
1 b68ii 
I 69370 
9 11 



9 54717 
9 97787 
341144 
5 84898 

4 98884 



473354 
6 iSâSfi 

5 63719 

6 09687 
6 66957 



7 03465 
7 6i3r 

il 

9 60768 
o 09816 
o 55860 



9 91446 
a 7895r6 
5 57763 
B 07867 
£59345 

5 9995 1 

5 86644 

6 69680 

7 901l5 

7 89304 



8 60198 

9 33840 

90 07306 

90 836 I 1 

91 61808 



9i) 4*9^S 
^3 93*996 
34 o8câ8 
94 04069 



9934 ^99^7 ^S 83060 

4960 51987 96 79034 I 9189 



49917 
49966 
4a338 
43469 
43633 

J(389S 



436a 

44o56 

44470 



45575 
46570 
47906 



47894 
48636 

494»o 
5o94i 

61194 



^9058 
63o44 

54084 
66178 
56594 



ôTÔao 
68788 
60104 
61478 
63906 



"84^ 
65936 
67535 
69189 

70894 



796§! 



89070 

84049 

86031 
88001 



5ô9 

646 

6S6 
688 



487 



44 



ao 



^^ 



CONSTRUCTION DES TABLES ELUPTIQUES. 



iE. 



P- 



/p. 



/•p. ^p. l^. 



o.jojf/So 7071 
0.73808 5&((6 
0.76140 0601 
0.76455 (fi4^ 

0.77755 8â3o 



o«79<^9 ^47 
o.8o3o6 8^41 

0.81557 8^14 

0.8^793 41 3a 

0.84010 395» 

0.85s 11 78a.q 
o.863q6 5&sâ 

0.875^4 ^910 
0.8871b flo88 
0.89851 i365 



0.90969 5*71 
o.gaoTi 4565 
0.93167 0046 
o.g4sia6 356i 
0.90^79 60Q0 

0.96316 940a 
0.97338 576» 
o. 98344 7470 
0.99335 7165 
i.oo3i> 78^1 



1.01373 a753 
i.oaaao 559$ 
1 .03164 0171 
1.04074 oq88 
1.04981 



1.05876 oo»3 
1.067W .qo7i 
1.07630 5oo4 
1.08491 4i5» 
1 . 0934^ 5o39 

i.)oi83 85ia 
i.i>oi6 778a 
1.11841 841^ 
1.13^59 ^1 
1. 13471 54a& 

1. 14377 8385 
1. 16079 6771 

1 . 16877 644a 
1.16679 944^ 
1 . 17466 3906 
1 . 18368 9083 



5475475 
38i 8o55 
3i5 (>o45 + 
s^a 8584 
fM 6817 



aéj 3894 

a6o ^<i73 



334 
317 
sot 



§97 

531 



8 




184 7654 + 
16S i387 
161 6178 

>34 9^77 + 
118 3906 



101 9394 
o85 56»! — 
33j6 -t- 




037 




oai S3SS 
006 1703 

970 q656 + 

961 4913 — 



347 5547^ 
33i 8iai6 
3i5 91069 
999 86388 
3§3 68653 



367 39359 
361 00083 
334 6345^ 
317 98301 

301 39091 




184 76< 
168 v' 
i5i 61661 

i54 9a554 
118 38745 



101 93633 
08S 56385 
069 33637 
o65 3385o 
o37 83963 



Hl *79f 

9334645 

930 0817 

5" 07 1667 
94 7568 



860 
85q 
841 



133 

835 

817 
811 

806 



8858 — 
6933 + 

5473 + 



9^77 
0694 
98518 
7184 
3968 



801 

79» 
796 

795 
79» 



7388 
0677 
3993 

4464 
6178 



031 6'3677 
oq6 16916 

99f> 95709 
976 06193 

961 47605 



947 
933 
990 

907 
894 



36383 
44661 
06330 
14668 
73338 



88a 
871 
860 
85q 
841 



86168 
66776 
888a4 
86963 
61730 



83a 
8a5 
817 
811 
806 



801 

79? 
79| 
793 

79a 



89633 

03(>6o 

94887 

68334 
36375 



70183 
o3oo9 
36110 

40789 

479 «o 
479*0 



! 



74355 
90,67 
04671 
17736 
39393 



î '9^77 
6 47633 

6 54368 

6 69110* 

6 63103 



6 63i55 
6 63183 
6 69097 
6 53809 
6 46333 




8346 
6636 
4853 

+10! 



6 36338 
6 33768 
6 08677 
6 90888 
5 70385 



3o85 

7687 
9984 



5 46761 

6 30307 
4 90616 
4 57688 
4 3>3a 3 



1^80 
i5o8i 

17789 
9o6o3 

33634 



3 8i63i 
3 3843i 
a 91663 
3 413^0 
1 87100 



1 39393 
o 67061 
o 03073 
34333 
63107 



7 86663 
7 08073 
6 36553 
5 4a359 
4 55793 



3 
I 



67181 
76893 
o53ûi 
33879 
o 
93879 



, 36554 

«969» 
33998 

36366 

396<^ 



388 



08 




710 
783 
869 
S4» 



aiia 



33^ 
ft4â6 



3601 
3708 
aai4 




31 



43aoo 

46779 
6o4ra 

64080 

67767 



^1^ 

3937 

3357 

35^ 



61443 
66079 
6865o 
7!aii6 

7544< 



78690 
81630 

84194 
86667 

88611 



357!^ 

36» 
3668 
3687 
3676 



3637 
3571 
3466 
3339 
3i46 



90289 
91671 
92442 
93879 
92873 



aoSo 
3674 

3^3 

9o44 
1678 



1983 
871 

437 



387 



61 

65 
7a 



8a 



99 
loa 



10 

10 

107 



IQO 
100 

81 

7» 



»9- 
3& 



10& 

i3& 
i83 
S16 



aS6 
3oi 

396 



411 



mm 



i 



a8d 



EXERaCES DE CALCUL INTÉGRAL. 



P-' 



F. 



/F. 



P. 



ip. 



/•p. 



i^. 



/♦p. 



45 
46 



49 



0.85610 
0.87871 
0.90108 
0.32473 
0.94817 



5o 
5i 
5a 
53 

54 



56 

57 
58 

59 



830a 
3776 
656o 

5744 
0706 



0.97190 
0-99593 

1.030S8 

1.04496 

I .o69()7 



100a 
6364 
6680 
1980 
3417 



»o 
6t 
6a 
63 

?4 



65 
66 
67 
68 

69 



i.og53s 8a43 
1 . iaio3 9779 

1» 14711 7381 
1.17357 1397 
i.aoo4i ai322 



1.33764 973q 
i.aSbaq 4'^.5b 
i.a8335 543i 
i.3ii84 2687 
1 .34076 6019 



70 
76 



1.37013 088a 
1.39994 8073 
1 43o'ia 3598 
1 .4&096 35a4 
1.49317 a8ao 

i.5a585 5 18a 
1.55601 a853 
1.58864 64a5 
i.6ai75 4638 
1.65553 4iy5 



J3, 
80 

81 

8a 

83 



85 

86 

«7 
88 

89 
90 



i.68q37 g45a 
1.73088 a4ao 
1 .75883 337a 
1.79431 5769 
1 . 83 ooi 6 094 

iT 8663711738" 
1.90378 5930 
1.93070 6716 

— J.97B94 6qq7 

84 I 3.0^447 4633 



3.o5335 4613 
3.09034 0394 
3.13841 0719 
3.16^73 0984 
3 . 305 I 1 3675 

a.a4354 9341 



3360 
3387 
33i4 
3343 
3873 



5574 
3784 

9184 
4961 

0^97 



3403 
3435 
3467 
35oi 
3535 



536a 
o3i6 
53oo 
0437 
5836 



3571 
3607 
3645 
3684 
3733 



i536 
7603 
4016 
0735 
7617 




3i 
3848 
3893 
3936 



45i 
7a56 

3333 

5863 



3981 
3037 
3073 

3l30 

3i68 



i 



191 
535 

3363 



33i5 
3363 
33io 
3357 
3404 



7671 
3573 
83 13 
9537 
5377 



3450 

3494 
3tô8 

358o 

3619 



3968 
9.q53 
3397 
o335 

7644 



3657 
3693 
3734 
3753 
3777 



3193 
0786 
0381 
7636 

9979 



3795 
38i6 

383o 

3839 

384^ 



468a — 

8a65 
1691 
6666 + 



I 



3360 51987 
3387 ^oii 
33i4 87931 
3343 4563o 
3373 98915 



3403 
3434 
3467 
35oi 
3535 



49503 

48766 
00098 
539S8 



3671 
3607 
3645 

3684 
3733 



11044 
71703 

35869 

o3ooi 
7 «994 



3764 
3806 
3848 
3803 
3936 



3981 
3037 
5073 

3l30 

3i68 



41096 
07816 
688i3 
19791 

55576 



68989 
53718 

97'84 
aa68i 



3ai5 
3a63 
33io 
3357 
3404 



76455 
36336 
885o6 
07685 
56iao 



3450 
3495 

ms 

358o 
36i9 



34137 
o5i53 
40844 
11414 
86938 



3657 
3693 
3734 
3753 
3778 



33737 

«.9996 
i63i3 

90968 

■ 5488 



38i7 
383o 
38^ 
3843 



63483 
11739 
4o76fe 
35454 
85439 



36 73034 



3 



39 5331 
3o 5o587 



3i 49475 

il PÛ^ 

33 5i533 

34 5386o 

35 57086 



91896 

9558i 

97302 

98888 



36 6o658 

37 64167 

38 67133 
59 68993 
40 69103 



4i 66730 
43 60997 

43 50978 

44 35585 

45 i36i3 



oo5i4 
01543 
03538 

o3336 

03S73 



o35oc 
o3q6& 
01861 

OOIOO 

97618 



45 837a 

46 4446 

46 94^23 

47 3*374 

47 53774 



94^77 
89981 

84607 

78038 

70116 



47 59781 
47 47^7^ 

45 78017 



44 

43 
41 

37 



7ioi5 
06693 
70670 

745 '4 
46809 



60737 

49757I 
37051 

d35oo 
+ 6007 



i883 
1807 
1716 
i586 
i4a6 

1339 
986 

544 
1104 

1752 
3341 

6679 
7913 

9379 



76 

i3o 
160 

2SL 

a44 

387 

353 

481 

56o 
648 

II 
j55_ 

078 
3o5- 
333 

IDOl 



— I35ll 
33091 

55744 

80418 

1 0700a 



1 
1 
1 
3 
3 



35333 

65 133 

96056 
37705 

59556 



34 

3i 
38 

35 
31 



87353 
96333 

7474^ 

34530 

47995 






8 

-4 



48346 
3903 

9468 

49978 
o 

49975 



3 91030 
3 31478 
3 5o3i5 
3 76535 

g 99749 



4 19309 

4 34349 
444713 
4 49975 
49975 



10980 
137061 
1455 1 
16493 
i85i8 



3«58o 
33653 

36684 

38331 



736 

845 

94a 

3035 
3063 

3073 
3031 
1910 

1478 



29799 
30994 

3i&49 



ii35 

715 

+ ao3 



3i85i — 577 
3i474 ioa6 
1711 

3io6 

3754 
4530 

4776 
Bios 
536a 



3o448 
28737 
36330 
33314 

946< 



i5ii[o 

]o3d4 

5363 

o 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. aS^ 

On voit par le dernier résultat que la fonction complète F' n'est 

en erreur que d'une unité du dernier chiffre , et cette erreur se 

corrigera immédiatement en prenant 384' 6667 pour le /F qui 

répond k 8g% changement indiqué par la valeur 5843 6666 -f-« 

A regard de la fonction complète E'^ on voit que le dernier 
chiffre est trop petit de deux unités ; on a déjà vu qu'à 45% le der-* 
Bier chiffre de la fonction est trop grand d'une unité. Ces deux 
légères erreurs se corrigeront fort simplement en retranchant du 
dernier chiffre des fonctions E une unité de Si"" à 5i% les laissant 
comme elles sont de 5a^ à 58"^ ajoutant une unité de 5g à 6^*" et 
deux de 63 à go''. 

Les fonctions E et F étant ainsi corrigées, on y joindra leurs 
différences successives jusqu'au quatrième ordre , et on aura la table 
particulière pour le module sin63% telle qu'on la trouve parmi 
celles qui composent la table IX. 

3o6. Il est bon de prévenir ceux qui voudraient exécuter de sem- 
blables calculs pour d'autres modules , que lorsque quelqu'erreur 
se glisse dans le calcul des auxiliaires P , on la reconnaît facilement 
par les irrégularités que présenté alors la colonne des différences 
quatrièmes J^^P y ou même l'une des colonnes précédentes^ si Ter- 
reur est considérable. 

En effets si au lieu de la véritable valeur P=:m, on a trouvé 
P=:m+e^ l'erreur +^ affecte la différence «T^P, et les différences 
précédentes du même ordre ou de la même colonne, de manière 
qu'en remontant de J^F à J'^V'^y les nombres de la colonne qui 
devraient être /^m, cT^m*, J^m**, <r^in*»*% J'^mT^, sont respective- 
ment ^^m + e, cT^m*— 4e, cr^/n-4-6e,/^m*^— 4^, J^w— •+e(*). 
Lorsqu^on rencontrera donc des inégalités semblables qui sup- 
posent e=i^ on e>i,il sera facile de voir quelle doit être 
la. valeur de e pour rétablir la marche ordinaire des différences, 
elf à compter de quel terme il Êiut appliquer, en remontant dans 
la colonne, les corrections — e, +4^r — 6e,-t-4^j """^î ^^ terme 

(^ Dans la colonne des différences cinquièmes , les erreurs snccessives dues 
k la même cause, seraient en remontant — e, +Be, -— loe^-^ioe, — 5e^ 
4*e, et ainsi-dans les antres colonnes j solvant les coeffidens des puissance» 
dn binôme* 



^90 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 

«era celui oh la râleur de P est âative^ et auquel il faut appliquer 
la correction — * e. Cette pratique , avec laquelle on se £imtliarisera 
aisément I est utile ou même indispensable ^ pour construire arec 
succès une table quelconque de quantités dont les difKârencee suc- 
cessives décroissent d'un ordre à nn autre ^ jusqali ce qu'elles 
puissent être négfigées. 

^207. Apres avoir construit la table IX ^ qui sera composée de 
75 tablas parUcylièrea pQur tous les angles du module de i"" à j5\ 
(q\\ 4e 61 seulement 9 si op ne la commence qu'à l'angle de iS"*)^ 
on aura déjà les moyens de réduire aux règles ordinairea d'inter-* 
polalion, \ak dé(ernpiination de toute foncticui E au F dontIen\o- 
di^le. na sy.r passe pas sin 75"*. ]\Iais l'interpolation d'une pareille 
suitç de, t^les danç lQS<;^velle% l'amplitude et Vangle du module 
croissent progressivement d'un degr^ 9^ exigera d'assez longs calculs ^ 
si l'on veut avoir égard à toutes les différences influentes, ou ne 
donnera qu'un petit nombre de décimales exactes^ si l'on ne lient 
compte que èes différences premières et secondes» Pour avoir des 
tables usuelles plus commodes , il feudra fiiîre croître l^amplitud» 
et F^ngle du module par des intervalles notablement pins petite 
qu'un degré; cependant si ces intervalles devenaient troppelitay 
le volume de la table générale augmenterait d'aune manière incom^ 
mode y et l'exécution en deviendrait extrêmement laborieuse. 

Nous pensons que pour tenir un juste miKeu^ il eoDvienAra da 
fixer h un quart de degré l'intervalle confiant par lequel on fera, 
croître l'amplitude et l'angle du module. Ckaque table particulière 
étant calculée pour les degrés successifs de Famplitude^ il fiiudr» 
insérer trois mojens entre deux termes consécufifs, afin de réduire 
les intervalles à un quart de àeçré , et nous donnevoms ci^i^èa lea 
féf mules nécessaires pottr cette interpolation. On aura donc ainsi 
j6 iMes calculées pour les quarts de degré de himplitude, et 
pour tous les degrés de l'angle dn module, depuis i^jusqq'à jS\ 

ao8. Il resterait à interpoler semblablement les résultats donnés 
par ces isikifia pow un laeaae degré d amplitude^ 4e xQ^wre à 
insérer Iroîa moyens entre denx lennes consécatifii. Celte opératioa 
se ferait par les mêmes formules que dans le premier cas; maiS' 
les résultats n'en pourraient pas être aussi exacts^ p9rce que 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES, ùqï 

Térrevr d'une ou d« de«x ODi4és Stur le neirrièiiie chiffrb^ qu'on 
ne pe«t guère éviier dans le calcul de chaque iboctioii £ ou F ^ 
se rencontrera souTent en sens opposé , dans deux fonctions con-^ 
sécutiyes coiMspondantes à diUërens olDéfiles, ce qui nuira à TexaC"* 
titude des calculs d'interpolation* Il nous semble donc préférable , 
quoique plus long, de calculer directliûedt chaque table particu- 
lière pour tous les angles du tnodnle , de quart en quart de degrés 
Ou aura aiûsi 3oo tables indépendantes entr'eUes, et pourvues cha-* 
cune d'un semblable degré d'exactitude; ces tables calculées pour 
tous les degrés d'amplitude , devront être ensuite interpolées pour 
tous les quarts de degréé 

Le système des Soo tables particulières dont nous parlons, pourra 
4tfe inéuni dans tm volume in-4* de gfossèur médiocre , si toutefois 
4in se contente des sin!iple^ fonctions, sans y ajouter leurs diffé* 
Teticé*« Eti supposant que chaque page soit composée de luiit 
çèlonnês, de soixante termes cbàCtine, uû degré occupera 6 pages ^ 
ti lés 75 degrés en Oûeuperent 4S0 ; mais alors il j aurait 63. chififrea 
sur chaque ligne horizontale, Ct qui est peut-être trop considérable. 
La disposition sera moins Coiftmodd avec six colOttnes par page , 
et le nond>re des pfeg^ sei^it porté à 600, mais Texécution typo- 
graphique en serait plus fiicile. 

Pour qu'on ait une idée plus précise de ia gTMde table dont 
nous venons d'indiquer la construction , «ous {oignons ici une pa|^ 
entière de cette même tabl6, calculée avec toute l'exactitude qu'on 
peut désirer, dans l'hypothèse que le noiîibre d^S pages est de 
45o; pour les angles du module 54% ^4*^, ^4^1 9 ^4'*i* On a fait 
directement les calculs pour tous les degrés d'amplitude de 4^ à 60*; 
ensuite lel îéstillats ont ^ interpolés pour chaque quart de degré 
par les formules que nous allans rapporter. 

209. Suit A fine foactiofla de la variable a, et iTA, /*A> /^A, ètù.f 
les différences successives dé Cette fonction ^ lOrsqutt là vAfiable # 
augmente ctalinuéllettieot d'une unité. Soit A 4^7 ce qtt« d«viMt 
la fonction A^ loi^que a se change ena^»:,0U aura 

j = a:(J^A + ^ (<r*A + ^ (cT^A + etc. , 

chaque parenthèse enveloppant tout ce qui 6uit# 



2Q^ EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 

Soient maintenant y, y, 7"*, le» Talenrs que prend jr lorsqu'on 
£ût raccesnTement 0:=^, 0:=^, x=b|, et soit pour abréger 

on aura en se bornant aux «4 y 

, 3 , 5.7 3.7.11 

,. a. a . fl.a.6 a. a. 6. 10 _ , 

m fr 3.1 , 3.1.5 3.1.5.Q _ 

/'"= 5*' - — *• -♦- X3- *• - -0:4 **' 

mais en appelant dA , ^*A ^ ^ A ^ ^^A , les nouvelles différenceis 
de la fonction A, dans la suite A, A+y, A+y, A^y\ A+J^A^ 
qui répond aux variables a^a^^^ ^+i> ^+49 ^+i> ^1^ ^ura 

^A=y, ^•A=y— y, ^A=y— sy+sy, i^A=M— 4r'? 

+6/' — 4y; donc les diflFérences dk^ d^Ay etc., peuvent être dé*, 
terminées directement par les formules 

ifA = At — 
^A = 
iTA = 
d^A = 

et pour la fiurilité du calcul^ on pourra prendre Tordre suivant 

d^A c= «49 

d^A = «s — I <»4> 

J*A = a, — «, + J « 4 *— a^Ay 

JA s= «I — - «« + a^s — 5«4 — ï ^'A. 

Connaissant ainsi les quantités A, JA, d^A^ d*Ay d^Ay on formera 
de U manière accoutumée les quatre termes de la colonne des 
fonctions y depuis A jusqu'à A + ^A^ et ce dernier terme déjà 
connu, donnera une première vérification de Topération; ensuite 
la liaison des nouvelles différences avec celles des précédens ré** 
aultalSy sera une seconde preuve de Tes^actilude des calculs. 



1 

• 


«. 


+ 


!«, 


"^*J 


2Z 
' s 


«4» 




«. 




5«s 


+ 


JLZ 

4 

1 


«4» 
«4» 
,*4» 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. agî 



394 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 

1210. Pour montrer maîntenàtit ITusage de la lable à douLlè entrée 
dont nous donnons ici une portion , supposons qu'on veuille dé« 
terminer la fonclioD £ <pit répond aux deux ëlémens ^zs^^Q^ifi'y 
6 = 54^12'; il £aiudra prendre pour terme de eonaparaison dans 
la table préc»,. le nombre A=:o^785î32 566^ qui répond aux valeurs 
ff =5 4^'' 3o'^ 6z=:54^ Pour une différence ^^:^i5f qna nous prea-^ 

drons pour unité, la difTérenee J^A ou., jr* = ^46 7^4$ 

ainsi pour 10^^ elle est a proportion + ^Si t5oS« 

De même pour la différence J^O = 1 5'^ 
dans l'angle du module, la différence J'A 

ou T^=; — 4<6i 56; donc pour i^elle est -«-• 53 agaS 

ces deux corrections réunies, en font une 

de + 197 8578 

laquelle ajoutée au nombre A =: o, 78553 566^ 

donne pour la fonction cherchée E = o, 78750 4^4^* 

Dans ce calcul nous n'aTOiis eu égard qu'aux différences du pre* 
mier ordre ^ ainsi le résultat ne peut être exact que dans les cinq 
premières figures. 

an. Pour obtenir un plus grand degré d'^approximation , sup- 
posons que A est la valeur de la fonction <4/(^, 6), lorsque f =« t 
el6=z€, on aura, en se bornant aux termes du second ordre^la 
formule 

où il £ittt supposer qae les différences ^(p, «TO, sont e'gales i Via- 
teryalle de iS' pris pour unité; alors on voit que ig t Iwt^ représentent 
lea différences première et seconde de A, en faisant varier Tarn-* 
plitude 9 de i5', qu'il en est de même ^e jj7 ^> par rapport 




à la ^nrriadble 9^ etqu'enfia fat diflGereaoe wooude j^^ mt prîst Wl 
disant i^rier saccessivemenl et 9. 

De Ik^Q Toit qp» ptfuf trouver la fonction 4(*4-J^* €4-y}> 
qui répond anx variables ^sza-f-x^ 6=7^-1-^, il faut supposer 
que étant constant^ on prend la variation de 4 P^^ rapport k ^ , 
savoir : 

ensuite que 9 étant constant , oe prend la variation de •>(/ par rap-^ 
port à 6, savoir ^ 

qu'enfin à ces deax variations râuBtts ^+7^ ml ajoute le terme 

wa 

jr;^ • j-^ = r, et Ton aura la fonction cherchée 

//A 

«quanta la dMtfifBoe ^r-^ ^ «31e m Uwrve par Hm m^ycM liés ifwtt» 

teoBMDS o0Dsécut]& de la nMe qui ^ à partir i(k A <l dam te 9e»s 

de Vaccroissemenl des variables , forment un quarré, savoir : ^ * ^ , 
oùron a 

car on aura de même 

•h. 

donc 

^ = (B- ^ AO - (B - A). 

ai a. Dans fexemple fn^posé on « ' 

A -SB 7855a 56& A' = 78490 g5o6 

"B as 78679 a9«6 B' = 78857 0S47 

B ~ A ss S46 7*54 fi» — A' =5 ""546*0847 
B' — A' ss .546 084 1 

64i5. 



donc j7^c= — 64i3. Dans ce mémo cas^ il s'agit de trouyer la 
valeur de la fonction '^(cl+x, €+jr), lorsque 0;=: j^s=g,et 
-^ = |. Or, dans la colonne verticale où (p varie seule, on a 



i5' 



^ = 5467254, ë^ = — 7783, 



ce qui donne 

;'=K^ + ^-^) = ^3i 3367.5. 

Dans la ligne horizontale où 6 varie seule, on a 

j^ = — 4i6i56, 35r=779; 
donc 

^ =^ (^ +^ ^) = - 55 ^987.=; 

enfin le terme r= xy . j-jg = -g (— 64i5) = — 5420. 5; deU r^ 

suite la correction totale ^-f*^4*r= 197 SgGo 

A =s 0,76532 5602 

donc la fonction chercbëe E = 0,78730 1622 

la première valeur trouvée était 0,78730 4^4^ > ^^^ ^^^ ^^^^ pi*^" 
mières décimales seules étaient exactes. 

21 5. Le dernier calcul laisse encore les deux dernières décî-* 
maies douteuses ; car, pour les déterminer avec certitude, il &udrail 
avoir égard aux différences du troisième ordre contenues dans la 
formule générale 



1/ , i» I N A » 'A , x.ap— i /•A . jc.x^i^ap— a i^A 




CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 297 
Soit /7 raccroîssement de A dû à la variable ^^ q Taccroissement 

d& à la variable 8; enfin soit r la quantité xjr (j^ + — ^ • 1^7^ 

T" •35Ï5*)^ ^° ^^^* A' + y + '' po^ïf Faccroîssement total de 
la fonction A ^ ce qui donnera 

Les quantités ;^ et ^ se trouvent par les règles ordinaires relatives à 
une seule variable; ainsi tout se réduit à trouver la valeur de r. 

Or la partie principale xy . j-rv est déjà connue; pour avoir les 

deux autres termes contenant les difierences icnai i^JS*' î^ forme ^ 
à compter de A ^ le quarré de trois termes 

A, A , A , 

B, B', B", 

C, C, C", 

-fèa-^A. donc 

/»A __ /-B /«A 

3^ — JST — Tgï- î 
on aura pareillement 

/»A __ /«A' ^ /«A 

Appliquant les nombres donnés par la table , on tronre 

^A _^ /-A Q. 

779 j^ = — 77W, 

788 -^y S=5 — 7845, 

a — 65, 

et de Ik résulte 



V 



3F =77y 3^ 

>B ^ «« /«A' 

/«A _ /^A 






\ 



398 EXS&QIŒ3 D£ CAhCUL INTÉGEAL. 

d'ailleaps |iar les différeoccs rebUvfii à (p^ svnie : 

3^ = -346 ;a54, 7^ ^ — 778a, -3^ = — 9, 
biittotive 

de même paries différences relatives à â^ savoir; 

H — "" 4roî56, ^:g;r = 779^ 755" = ^^^ 
titt trouve 

de là résulte 

J^ 4- f + r = 197 5966 

A = 0,78532 5662 

et enfin la fonction cberchée. •.••••••••• E = O178730 1628 

jpor la préctsdente iéterminfttion £ sâ= 0,78750 i'&2 

ladiffereaci» ti^est qne de six unités décimales du neuvième ordre. 
Ainsi on voit qu'il suffira presque toujours de Vcm teaar «ox letmCfS 
du second ordre , dont le calcul «st d'aiUeurs très-facile. 

2i4* Supposons pout stetond etem^ qu'on a £r=sin54*4'i^% 

* ■ 

et tang^=:-^, ou ^ = 52* 52' 48" 95776. Il s'agît de trouver la 

valeur correspondante de la Tonetîon F« 

Pour cela^ il faut prendre dans la labk le lerme fui v^pood^OK 
valeurs ^ ssSi^i^ 6 =±54% savoir : 

A = 1^0^609 So^6? 

ensuite pour l'iiAei^laïUaB ott ^ràra 

Œ^ «= o,rô77«.84. 



CONSTRUCTION INES TAWLES ELLIPTIQUES. Sg^ 
savoir : 

H ^ f^ 49*^> -^ = 789, j^ = — 58, 
on trouTe 

de même prenant les différences de A par rapport à.^, savoir: 

/A ^A /'A 

j^ ^ 569 6674, j^ = »54o^, j^ =: 65, 

on trouve 

//A , x—i //«A , a>-n /"A -. o._ _ 

^JA 

enfin on trouve par la table j-^ s= i :2749i ce V^ donne. •<••••• 

WA ^ • « 

^=^-J^ — ^70-K 



Ajoutant tontes ces:p«urlies.^ on^ p^q^^r ^b laj 4^g6 

A z^ ijm6oq 5e7<3 

donc la fonction cherchée. •••••• F = 1,067^6 9872. 

La valeur supposée de (p est celle qui donne F(p=:^F'c; or, si 
par la table I , on cherche la. fonction complète F' qui répond à 
Tangle du module 54^*4' 12*' y on trouvera logF's=o,3o43i SgSoS 40; 
delà 

■ 

F* = 2,01473 973» f 
Fç s=s 1,00786 9865 5; 

on voit donc que le résultat trouvé par interpolation , n'est en erreur 
qœ de 6^ unités décimales du neuvième ordVê, et cette' différence 
serait pent-étre. encore atténuée par les termes dta troisième ordiré 
que nouft n'avona pas compris dans la valeur^ de p. 

216. Pour avoir dans le même cas la valeur de E, nous prendrons 
dans la table ^ celle qui répond aux données <p=:5a'^ 5q'^ 6?=54* j 
cette valeur est 

A = 0,85986 4^19; 

en a en ménie temps les différences par rapport à. ^ 

^ 3w 534 ?q54>. j^ îw^ 7*i*» 



5oo EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL, 

d'où l'on tire 

Les différences par rapport k sont 

j;j. = — 5a 655o, ^ = 878, 
et oh en déduit 

enfin on trouve encore par la table -j^ = — 74^5, ce qui donne 

De là résulte ^4-^ + '"= 48 0090 3 

quantité qui étant ajoutée au terme. ... A = 0,83986 ^^ig 



donne la fonction cherchée. E^=: o,84o34 4^^^ >- 

Parla table I, on trouve log E' s= 0,10294 38410 83, de là 

E' = 1,26748 50570 
^i — * = 0,41 5ao 55868 

1,68068 86338 
E^ = 0,84034 43119; 

ainsi on voit que la valeur de E^, trouvée, par le calcul précédent, 
et en ne tenant compte que des différences du second ordre , n'est 
en erreur que de deux ou trois unités décimales du neuvième ordre. 

21 6. Pour faciliter la construction de la grande table dont nous 
venons d'indiquer Tusagei ou seulement celle de la table IX qui 
n'est calculée que pour' les degrés entiers , il est nécessaire de 
copnaltre d'avance, pour chaque module déterminé, les valeurs 
des fonctions complètes ¥'c^ E'c?, et celles des fonctions F^, £^, 
dont Tamplitude est de 4^** C'est principalement pour cet objet 
que nous avons construit la table YIII, où l'on trouvera les va- 
leurs de ces fonctions, calculées jusqu'à douze décimales pour tous 
les angles du module de degré en degré, depuis o"" jusqu'à go*. 

Cette table dpnpeca immédiatement les résultats dont on a be- 



CONSTRUCTIOPr DES TABLES ELLIPTIQUES, goi 
-soin et avec plus de précisioa qu'il n'est nécessaire ^ pour le calcid 
'de la table IX; elle servira de complément à la table l, qui ne 
^onne que les logarithmes des fonctions complètes ; elle donnera 
également, par une interpolation fiicile^ les fonctions qui répondent 
à une amplitude de 4^'" pour chaque quart de degré de Tangle du 
^odule. Quant aux fonctions complètes, leur interpolation n^ 
pourra être faite avec le même succès par la table Y III y que pour 
des angles du module plus petits que 4^*; car au-delà de cette 
limite, les différences successives décroissent si lentement, surtout 
dans la fonction F , qu'il &udrait les pousser beaucoup au-delà du 
sixième ordre, pour avoir un résultat suffisamment exact. Dans 
' ce cas y il sera plus simple de faire usage de la table I , qui procède 
par des intervalles d'un dixième de degré seulement, et dont l'in- 
terpolation est beaucoup plus facile j connaissant par cette table 
.les logarithmes des fonctions F'c, E'c, il ne restera plus qu'à cher- 
,cher le nombre correspondant, ce qu'on pourra £dre le plus souvent 
par les tables ordinaires à dix décimales. 

217. Nous croyons devoir placer ici quelques remarques sur la 
formule qui sert à exprimer la fonction E^ dans la méthode des 
modules croissans, et sur les moyens de simplifier le calcul de cette 
'fonction dans le cas particulier de 9=: 4^*- 

La formule qu'il s'agit de réduire à une forme plus simple est 
celle-ci: 

Soit ^•— '^=», ^•^ — ^• = »% ^••^ — ^••s=s»~, etc.; on aura 
la suite d'équations tang û> = & tang ^ , lang £»* = b^ tang ^*,, 
tang a>'* = b^^ tang ç**, etc.; or, la . valeur ç** = ^ -f- « , donne 

sin9*=sin^cos«-f*sinû>cos^=(i-}-6)sinf cos«=-7^ • sin^cosâi; 

on aura semblablement sîn ^^* = -7-^ sin 9* cos ôù^ , sin ^*H 

'«=.77^-5^0 *ÎQ ^'** cos a>**; donc on peut mettre la formule précédente 
sous cette forme 



Sod EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 

On yoh qae la Mita contenae dans cette expression est devenue en- 
tièremeat rationnelle , et que chaque terme se déduit du précédent 
«ti moyen des multiplicateurs successifs jc^co8eê% ^c^^^cos^^ 
\ e**^cos â»*^, etc. y qui sont tons de la même forme et qui déoroissent 
avec une grande rapidité. 

Si Ton ûiisait r= c cos â^, /^ = e* cos a>*, r^ s= c** cos â^**, etc. p 

ensuite 

P = |r+5n^ + i rr^f^^ + etc. , 

on aurait £^==:LF^+P^$in?i formule dont Fanalogie avec celle 
de Tart. iSg, mérite d'être remarquée. 

Au reste les angles a^ ai% â>*% etc. ^ ne sont autre chose que les 
différences premières des angles ç>, (p*^ ç"^, etc.^ et ils finissent par 
croître comme ceux«-ci en raison double. 

31 8. Voyons maintenant ce qui résulte de la supposition 9= 4^\ 
Alors les équations sin(2^-«^'*)=c^sin^^^ tangâ»*=s6*tang^*'^ 

donnent tang^^'s-^^ tangâ)*=:-3, et de celle-ci on déduit encore 

sinû»^:=6% cosâ»''ss=c''. Ainsi on aura à la fois cot^^=:c% et cose»*=<^. 
La première donne la valeur de 9* et la seconde celle de «>''; on 
connaîtra ainsi 9*"* = ^* -f* ^''* Dans les cas où c* est suffisamment 
petit^ il conviendra de calculer ^ par la suite 

X ^ ^ ^« = c* (i — J c** 4- f c-^ — ^ c*« 4- etc.) , 

ou pour abréger 

i*-r = (0-W+(3)-C4) + etc.,- 

et on aura en même tems 

1 ^ - «• ==<,) + i (a) + i^ (5) 4. i^ (4) + etc. 

> Soit 2 la somme des seconds membres de ces équations; on aura , 
en les ajoutant, '7f-—ç'^=«, ou ç^ = ^ — z. 

Connaissant ainsi ^* et f % il sera facile d'avoir ^* par f équar 
tion tang û»'''* = b^ tang ^"^ , ou par la série équivalents 

f^ ^ 2^"^ — c^r sin af • + 1 «•••• sin 4p** -^ etc., 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. S65 

dont il suffit de câlcvder les trois premiers termes ; on aura de même 
^•••* = aç**** — c**** sin a^***. Il résulte de ces deux équations , où 
l'on peut supposer ' c**^ -=» ({ c^^y : 

^^•••^ = 7r — «4-î ^^^«în a;s(x — i <?^cos a»); 

et comme ^ désigne la limite des quantités ^^ ^ f ^ , etc., laquelle 
peut être censée égale au cinquième lerme^ on aura 

* =s J [-ar — i j5-f- i c*«« sin az(i — | c*** cos aa^)]; 

ainsi z étant déjà connu, il suffira d'ajouter à ^tt— -js la petite cor- 
rectiorii 7C*'*sinaz(i — |c*'^cosaz), et de diviser le tout par 4 9 
pour aToir la valeur de 9^ au moyen de laquelle on trouve.» • • • « « 

«*" 
Connaissant F^, on connaîtra la partie LF^ qui entre dans la 
valeur de E^; quant à la seconde partie Pc sin f^ elle se trouvera 
d'une manière très-simple par la formule 

OÙ il faut observer que le premier terme t^V^c*b~(i — b), se 
trouvera immédiatement par la table de sinus naturels à i5 déci-* 
males^ comprise dans la Tr^. briu ^ si toutefois l'angle du module ft 
s'exprime exactemeiàt en degrés et centièmes de degré. 

a 19. Pour vérifier cette valeur de Vc sin ^, il hxxl^ dans la formule 
générale Pcsîn^=îc ^/^•sin^*( i -|-^c^cos^-(-^c*c**cos^co5(p**4-etc.) , 

substituer les valeurs cosa^*=c% sin^*2=: ^ 4!^ » ^^ V^ donne 
d'abord 

ensuite pour avoir l'expression des quantités cos»'*^ co&ùà^^j je re- 
prends les équations tange»^s:i^taog<^%^s^9*-:hû^% tangos"* f=2r« 



1 

564 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 

iKDea**ssb*^t»rtg^'^y j'en dédais successivemeiit , 

tang »•• =— ps^^p <*._6i » 

en conlinnanl celle analyse, on ironven 

/ 1 i** — tang*«^ 

tang i »- = lang «".y^^, cos »- = ^0.^^,00 , 

tang i »••••= tang»— .t/j55» «<>» • = Î=r+lii5^>s; 

ainsi a l'infini. On voit donc que dans le cas dont il s'agît, les quan- 
tités û>, cy% û)*% «•••, etc., se calculent facilement; savoir, la pre- 
mière au nfioyen de l'équation tangû) = A, la seconde au moyen 

de Tune des équations lang «• = ^, sîn »• s= 4% cos »• 5= c^, 
tang i (»•= tang C0 . \/î= /*> ^^^ suivantes au moyen des équa-, 
tions tangiû)-=tang(^*.y/^o=^?. tang >-= tang ûi- . y/^ , 
tang î»^*^= tang ûi^^Vt/js^f etc., ce qui offre des formules asses 

remarquables pour le cas où Ton a ç=45\ 

Maintenant qu'on connaît les valeurs de cos «•" et cos û>****, si on 
les substitue dans l'expression de Pc? sin^, et qu'on y substitue éga- 
lement les expressions connues de c** en c% et de d^ en £?••, on aura^ 
en développant ces quantités jusqu'à la dixième puissance de c*» in- 
clusivement, l'expression que nous avons rapportée du terme P<»în^^ 
laquelle est très-facile à calculer, et donne au moins la âécimaleff 
exactes tant que l'angle du module ne surpasse pas sin45*. 

C'est par ces formules qu'on a calculé les fonctions F(45*), E(45*) 
de la. table VIII, pour toutes les valeurs de l'angle du module de 
o*4 45* î au-delà de cette limite, on a fait usage de la mélBode 
des modules croissans, art- i58, laquelle ne présente, pour le cas 
de ^ = 45*, aucune formule remarquable > â ce n'est pour déter- 
tniner ^V l'équation sin 4^' ^ **• 



/ 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES- 5a5 

a20. II nous reste maintenant à parler de Tinterpolation de la 
table IX qui, an défaut d'une table plus étendue , pourra servir k 
évaluer, jusqu'à la précision de sept ou huit décimales y toute fonction 
E ou F dont le module n'excède pas sin75''. Nous avons déjà donne 
les formules nécessaires pour cet objet ^ dans les articles ai 1-21 5^ 
et nous les avons appliquées à divers exemples; mais la forme 
particulière de la table. IX ^ où se trouvent les différences succès^ 
sives des fonctions par rapport à l'amplitude p , contribuera à sim- 
plifier le calcul des coefficiens de ces formules , ainsi qu'on va le 
voir dans l'exemple qui suit. 

Soit proposé de trouver la fonction F(^y d), qui répond à l'arn** 
^litude ^=:54^4^% ^^ ^ l'angle du module Oc=6o^ i5^; on aura à 
substituer dans les formules les valeurs «=54% f=6o% ^=f » 
/=:^, lesquelles supposent J^^=:J^6=i''. Mais d'abord il faut 
tirer de la table IX les résultats suivans, relatifs aux angles du 
module 60% 61% 6a% 65% et dans lesquels A représente la fonction 
F(54% fl). 



a. 


A. 


M. 


/•A 

V 


/»A 


60» 
61 

6a 
63 


1,06018 3905 
1,06346 3a34 
1,06672 8358 
1,06997 34» 7 


a4&i 14^5 
a485 77a5 
a5io 6001 
a535 58a6 


3o 6593 
5a a436 
33 8814 
35 5710 


743a 

.8329 

9301 

10356 



Dans la première ligne de ce petit tableau , on trouve immédia- 
tement pour 8=60% les coefficiens dus à la seule variation de 9« 

/A /"A ^A 

savoir, j- = 11461 i455, j-jr=:5o 6595,^-3= 745:»; pour avoir 

ceux qui sont dus à la variation de 6^ et aux variations simultanées 
de 6 et de ^ ^ il âiut prendre les différences des termes dans chaque 
colonne. 

Par les différences prises dans la colonne . des A ^ on trouve 
pour d = Qoi^y les coefficiens 

j^ = 52^ oSag, j^ zss ^ i5 2o5 , j^ = — 586q* 



So6 



EXERCICES DE CALCUL INTEGRAL. 



Par les différences prises dans la colonne intitulée îjr » on aura égale- 
ment pour e;=6o% 



7^ 






1986} 



^A 



enfin par la colonne snitante on aura j-^ ss i5 843* 

Les coefficiens ainsi trourés pour le cas de 6 = 60% suflSsent 
pour calculer les difierens termes de la formule générale d'inter- 
polation jusqu'au troisième ordre inclusivement. 

Si Ton se borne aux termes du premier ordre , on aura 

^A /A 

F = A+^.^+i. jfî= i>07946 i56S5. Ajoutant les termes du 

second ordre, savoir —^ . j^+J^.^^ — ^ . j^= 188617 , 
on aura plus exactement F = 1^07948 o^nS^. Enfin les termes dn 
troisième orare ,,g . -^ — -j^ . ^^-^ — ^ir? • J^^^tt?- -j^y *^* 

quels te réduisent à — 54i i , donnent pour dernier résultat. • • . • 
F =£ I9O7947 98841 » valeur qui ne peut guère être fautive que dan^ 
la huitième décimale; elle acquerrait une plus grande exactitnde 
encore, si on tenait compte des termes du quatrième ordre. 

221. Pour calculer semblablement la £3nclion E, on tirera de 
la table IX les résultats suivans : 



9. 



60* 
61 
6a 
65 



A. 



0,84640 8589 

0,84437 0775 
0,84316 8d57 
0,84010 5953 






1257 7225 

1225 4604 

i2i5 S430 

I20I 3897 






i5 3287 
i5 6gi7 
16 iSSg 
16 6ao3 






•+■ 145 

-f. 67 

-- i5 

— 104 



et en opérant comme dans le cas précédent, on aura pour 6 ss 60% 
les coefficiens suivans : 



CONSTRUCTION DES TABLES ELUPTIQtJES. Sof 

^ = "37 7225, j^ c= — i5 2287, j^a» «45, 



jf = — 2i5 7616, jjT sa 5 5ioo, ^sk5o9i, 

/•A /^A 



— 4^5o; 



Babstituant ensnite ces yalenrs dans la fommla générale , on tara 
l'.en se bornant anx termes du premier ordre, E=30^855i5 69058; 
â"*. en tenant compte des termes du second ordre, £3=0^85514 4^^ 
S*", enfin engtenant compte des termes du 3* ordre, E=so,855i4 5o8oi. 

222. Pour vérifier ces résultats par la méthode des modules crois* 
sans , on commencera par former Téchelle des modules qui convient 
à Tàngle 2:260*1 5^; elle est la méme^ aux dénominations près^ 
que celle qui convient au complément 9=^9*4^^ ^^ ^^ "^ trouvera 
comme il suit : 

c 9>9386t 91884 8 b 9)69567 iao43 9 

</ 9,99891 64980 4 ^' 8>^849 ^^M^ ^ 

4f' 9^99999 96621 o V 7^09601 5^844 4 

K o,o3oi4 84858 3 b"' 5,58997 09154 6, 

Faisant ensuite 4>=s54*4^^ ^^ trouvera par les formules connues 

^ =49'5/7",556664, • 
^"=49.5a.2, 556394, 
<pf'' zss 49«53.a ,261216; 



3o6o8, H=logl 
d'après Téquatioi 



il eu résulte 45*+2^'"=s69-56'i' 

s= 0,45737 1402 1, et calculant H 

on aura 

logF^=o,o352i 45573 3, F(p=i,07947 98929. 

Ëofia pour calculer E^ , on a Téquatlon E^ = LT^ -f- Pc sin p , dans 
kqaelle L' = i 4*(i + J A' + i b'b") , P = P'. 2c« sin <p' — c sin f , 
P* sa ^ — I , logFs»— 2logr"=s— 2log(«"co5û>")sao,<K>ooo \Qàl&^ 3j 



So8 EXERaCES DE CALCUL INTÉGJIAL. 

il en résulte les valeurs suivantes : 

P'.3c»suif' = 1,4^656 07198 4 LT^.,= OjiSySg iSgSa 6 
csinÇ) 0^70900 72300 5 Pcsiu^.. 0,71755 34897 9 

PcsÎQ^ = 0,71755 34897 9 E^....=: o,855i4 5o83o 5. 

On voit donc que la valeur de F(p, trouvée par l'interpolation de la 
table IX, n'est en erreur que d'environ une unité décimale du hui- 
tième ordre, et que celle de E^ n'est en erreur que de trois unités 
décimales du neuvième ordre. Le résultat de l'interpolation serait 
un peu plus exact encore , si on avait égard aux termes du qua- 
trième ordre; mais un si petit avantage ne vaut guère la peine 
qu'on prendrait pour l'obtenir, et il parait convenable de s'en tenir, 
comme nous l'avons fait , aux termes du troisième ordre , même à 
ceux du second, si on veut se contenter de six décimales. 

IVons ne dissimulerons pas qu'il y a des cas où l'interpolation 
de la table IX pourrait ne pas donner des résultats aussi exacts que 
dans l'exemple précédent; ce sont ceux où l'amplitude excéderait 
70*; car alors, les différences des fonctions, sur-tout celles de 
la fonction F, décroissent si lentement qu'il faudrait, dans la 
formule, tenir compte des termes du quatrième ordre, ou même 
de deux du cinquième, pour que l'erreur n'eût lieu que dans la 
huitième décimale. Mais cet inconvénient est inhérent à la nature 
des choses, et on pourra toujours l'éviter, soit par les formules de 
bissection, soit par les formules des fonctions complémentaires, 
en ramenant la détermination des fonctions proposées E et F à celle 
de deux autres fonctions dont l'amplitude sera beaucoup plus petite. 

§ XVI. Des cas où Pon voudrait pousser F approximation 
au-delà de quatorze décimales dans le calcul des /onctions 
EetF. 

, 335. Le nombre de quatorze décimales dans les logarithmes, ou 
celui de quatorze chiffres significatifs dans les nombres, est la li- 
taiite que nous n'avons pas pu passer jusqu'à présent dans le calcul 
4es fonctions E et F , parce que les tables trigonomélriques les plus 
étendues , ne comportent pas un plus grand degré de précision. S'il 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. Zog 
devenait donc nécessaire dans qnelqnes cas de pousser plus loin 
l'approximation^ on pourrait toujours Étire usage des formules gé- 
nérales ^ qui sont susceptibles d'un degré d'exactitude indéfini; mais 
il faudrait recourir à des moyens particuliers, pour déterminer avec 
la précision nécessaire les élémens qui entrent dans ces formules. 

Soit proposé, par exemple, de calculer avec vingt décimales les 
logarithmes des fonctions complètes F'c^ E^c, qui répondent aa 
module c=sin45^ Il faudra, pour cet effet, évaluer jusqu'à vingt 
décimales les logarithmes des modules c, c*, c**, £?••% c*~*, c***% et 
ceux de leurs complémens i, i*, i**, *••% i*^*; ce nombre de termes 
suffit, quand même on voudrait pousser la précision jusqu'à vingt* 
huit décimales. 

D'abord puisque c=i=: v/^, on a immédiatement 

le ^=z Ib z=: 9^84948 5ooai 68009 40^ ^9 ^^^î. 

en second lieu , on a c* = J^-^ = , ainsi il faut calculer le 

logarithme de v^:i+i avec vingt décimales au moins. Pour cela, 
j^observe qu'en faisant (i+V^a)'^=p-(-y V^3> on aura/?*~2^^=(— «1)% 
ei p+q{^2z=zp^ \/(p^zpi)} d'un autre côté 

or en faisant n=ii5y on a ;? = 275807 = 7.31. 4ij 7= i95o35y 
;,• — 2^*=:— 1; donc i51og(i + v/2)=loga;7+i.^.~i^,^. 

Par la table connue qui donne jusqu'à 25 décimales ou plus les 
logarithmes des nombres de i à 1 100^ on trouve logap, auquel il 

' suffi td^a jouter la correction t-; facile à calculer^ ce qui donnera Ie$ 

résultats suivans : 

log 2/7 =5 5,74i63 52800 665i8 87976 87 

P; H- 1427 29502 20 

i51og (1+ v^2).... = 5,74i65 52800 67946 17479 07 

/(i 4-^/2) = 0,58277 56855 57865 07851 958 

al(irh\/^) ..• = 0,76555 15706 75726 i5665 876 

le" = 9,25444 86295 24275 84556 Ï24; 



Sio 



INTÉGRAL. 



cnsoite par U valent J" = ^ = ^^ , on tronvera 

tt^ = 9,9955i 1809a 4aii5 4>569 78. 
Il Uni maintenant caknler tT ^ b^, ce qui ce fera par Ica fiw- 
imilea, ft-s= j^, (Ts^^—j^; ainsi lont se réduit a trouver 
log(i+**); or, nne valeur approchée de *• étant a ss j— , on co»- 
naît par les tables le logarithme de a et celui de i-f-« = — -, ce 
qui permettra de calculer log(i-f-^*) comme il snit: 

i...... 9,99351 1809a 4aii3 41569 78 i+a.... 0,39779 8oai8 12926 15600789 

« 9,99351 18198 4o386 0839a 38 (0 — 5a 59553 6i64i 094 

r s 106 98373 G68afl 60 801 65 5337a 5^59 696 

(3) 4" 3a33 708 

lk=la^, /=-^, R=aK(i— iMrO, <i+ft^)=o,fl9779 8oi65 5337a 57192 4o3 

' i-H»' e^ 9,113444 86093 ^4^73 <4g8g "4 

/(i+A)=/(i+a)— R, 8,93665 06127 70901 27143 721 

|/ft*.- 9,99675 59046 2io56 70784 «90 ^•^ .==7>*735o 12255 4»8<» 54^87 442 

a o,3oi02 99956 6 3981 19521 5 74 2 o,3oio2 99966 6^81 19521 ^4 

0,29778 59002T5037 9o3o6 fl«4 ic^ 7i573a7 i^^g» TT»»* ^4766 06» 

i+t* 0^9779 801 65 53372 57192 4ô3 5,14454 ^4597 55642 6^532 i36 

— 00^ ' >T oca 'Z'z g Qg ' *"*• 9»999q8 78837 3i665 33ii3 861 

lb^= 9999998 78837 3i665 33ii3 861 ^'^^^-^ ^ ^ • - 

p. .....•• 5,14455 45760 23977 36418 275* 

a:a4. Ces premiers termes étant connus ^ on pourra calculer les 
modules suivans c***, i**% par les formules ordinaires p = ^'^^ - , 
Psswip*— fm;?*, &•••=/;?—?, /*•••=— ^P; i^oici ce calcul ; 

mp...... 84507 i5i64 «66 p •. 5,14455 45760 «Î977 S64iS 275 

imp^... 2 466 P — 84507 i5i52 400 

P s= &(5o7 i5i52 400 ic»»*.... = 5,14455 45753 39470 21265 875 

^•••.... = — 422^ 57676 200 

on obtient «isutte très-DstcileBMat les ^nodules ,4f^^ ^**'*, tHNBme 
il siût: 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 5i i 

ic^..w 4,8435a 458oa 76489 01744 5u 

9^68704 gi6o5 50978 03489 osa 
i:b^ 4aa53 57876 100 

p 9,68704 91605 93a3t 6io65 aaa P*— • 9>374o9 83» 

p — io3 "*— • 9.63778 43i 

/c*^.... == 9,68704 91605 93a3i 61065 115 (*) p.... 9,01188 a63 
Uf^^.... =3 — o5i. 

On voit qtt^en s'en tenant k tingt décimales ^ il n'est pas nécessaire 
de prolonger la série des modules aa-delà de c^^f et i"^""* ; car log b*^ 
n'est que d'une demi^onité décimale du vingt^unième ordre. Ce- 
pendant le calcul étant amené à ce point, on peut sans peine avoir 
deux décioiales de plus^ en prenant la valeur suivante de /c*^"^. 



c^ 9,68704 91605 93a3i 6io65 1 19 

o,3oioa 99966 63981 19631 374 

i,386oi 91649 «9a5o 4i543 745 

8,779o3 831198 585oo 83087 ^ 
illM o5i . 

hf*^...sn 8,77flo3 88098 585oo 88087 541. 

2a5. D'après ces élémens^ le calcul deK=v/(j . 6*i-i*-A****V et 

celui de FVsB- .K« donnent les résultats suivans : 

a 

log R =s 0,07000 73453 81767 88434 o38 

Jr 0,19611 98770 3oi6a 66913 753 

/F'c ». = o,a68ia 7aaa4 11910 54347 791* 

Maintenant pour avoir la valeur de E'c=LF'c, il faut calculer le 
coefficient L par la formule L = p; (i — jc^c'^ — ^c••c••c••• 
— .ie'*c*^c*-c**^). Pour cela, soit rr=2ic*»c** [i -f-i^— (i +ï^*0] ; 
on aura d'abord L= r^j (i — r); soit ensuite r'=sic***(i -+- j à*^) 

(^ Nous rappeUerons ici un usage qui est commode à suivre dans le cal'* 
cul des {raetioos très-petites. La caractéristique 9 place le premier chiffre d*uii 
nombre au premier rang des décimales » la caractéristique 9 le place au onzième 

rang, la caractéristique 9 au yingt-unième, ^t ainsi de suite. 



5ia EXERaCES DE CALCUL 

s=|V-/(i4.c^«)=ic^»y^g^, on aura r s= i c~ (<?•)• (i + O ; 

d'où logr=log5C**-(-3logc»-(-/wr'— îOTr'» + T""^'j ▼oici le 
calcul : 

i <*•.... ^,57337 laaqS 77831 34766 |é^.... 4fij^i 458oa 76489 

c«* 8,4688g 73586 48547 6867a i/j_ .g- 

(1) . . .+ Soago 67083 5444 V 4^" * 

(a). . .— 10563 3939 / 4,8435a 46803 860S 

(3). . .+ 49^ m 9,63778 43ii3 oo54 

r....... 6,o4u7 16176 83889 a34o (,) 4,48i3o 88916 8669 

i»' 4,54*49 45846 

(a). . . • . • 9,oa38o 3476 
1/ 4>6g745 5a 

(3) 3,89123 7 

D'après cette Talear de logr^ il faut calculer Iog(i-— r) par la 
suite — 77ir(i +7^+ etc.), dont cinq termes suffisent; on obtiendra 
ainsi : 

logCi — r).. . . = — 0,00004 77606 96768 98769 6a 
log T^ 9,86a46 i3836 8378a 67099 76 



log L.. . . . = 9,86a4i 363a9 88oi3 6833o i5 

/F'c = o,a68ia 7aaa4 1 1910 64347 79 

/E*c. ••.«.... = o,i3o64 o8563 999a4 ia677 9^* 

âa6. Cette yaleur de E'c peut être vërifiée comme dans Fart. 28 
tarrequationE'==iF'(i4.A), dans kquelle As=j^; en voici le 
calcul : 

KP'.. 0,34013 46677 93668 43781 8a^ _ 865 _a758 

A.... 9,66986 543aa o633i 67^18 171 ® " ISp' *"*^ ~ 1893' 

« 9,66986 54935 01017 46903 483 , r 

^ ^ /A = la-^r, r = -•t— . 

r =3 fiia 94685 89686 3ia *+« 

/(i+A) = /(i+a)-R, 

Le terme a/ se calculera plus fiicilement sans le secours des lo-^ 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 5i5 

QûiH 

garilhmes par la yaleur -q— • sss — >-g r, et on aura ^ 



ar^ =: 19a 34040 5556 1 2031, 
l'antre partie ^MoK^ calculée parles log. = qSii:! 85i 

donc R = 192 :24oS9 4^448 Syi 

/(i+fl) == 0,16544 36478 76054 20298 574 

/(i+A) = 0,16544 56286 51994 77850 2o5 
Ij^rc = 9>9^7Q9 7^^67 47929 54826 417 

tE'c = o,i5o54 o8555 99924 12676 62 

Ces deux résultats ne diffèrent entr'eux que d'une unité décimale 
du vingtième ordre ; le dernier est celui qui doit être le plus exact. 
Quant à la yaleur de F'c, on peut la vérifier aussi par les formules 

F'c=KMH, H=:3!îlog^^= 0,68218 81769 20920 67575 6. 

Or, en faisant azsz-^ ' ^\^ z= 0,68218 81762 5, H^sa+x, on 
aura x=: 0,00000 00006 70920 67575 6, et en appliquant les for- 
mules /(a-|-j:r) = /a-f-R, ^^=^^\j^'^i'~9 on aura les ré*- 
sultats suivans : 

a 9>83390 41879 o3568 08145 556 x. ...... ofiaéGy 1 1744 aSSgi 

R + 4 271Q1 3668o o55 m 9,63778 43ii3 ooSS/ 

H. ... . . 9,83390 4i883 30689 448a5 611 i 0,16609 58iao 9648* 

M o,36fltti 56886 99463 21087 7* ^ 



^ °>o7^oo 73455 8Z757 88434 o38 m* ^^3^55 ,^^^3 ^^^ 

IF'c s 0^26812 72234 11910 54347 36 



ft 



a 
2^ .• —a i356i 



K « o^63o55 12976 0680 • 

On voit que celte valeur ne diffère de celle qu'on a trouvée ci- 
dessus que de quatre unités décimales du vingt-unième ordre , ce 
qui confirme pleinement tous ces calculs. 

227. Connaissant ainsi les fonctions complètes, ai on propose 
de déterminer avec un pareil degré d'exactitude les fonctions Ep, 
F9, pour une amplitude donnée 9, le calcul présentera de plus 



Si4 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 

grandes difficaltës, parce que Ic( tables connves des log-riansnt 
partent pas quatorze décimales^ au lieu que les logarithmes des 
nombre! jusqu'à i loo ^ sont donnes avec un beaucoup plus grand 
nombre dtf décimales par la labUi de Shatpj et se irouTeuf dans 
plttsieurS autres recueils, ce qui permet de Mppléer aux limites 
des tables ^ en employant des réductions et des artifices de calcul , 
tels que ceux dont nous ayons donné des exemples. Voici au reste 
qiielle serait la marche qu^on pourrait suivre, si on entreprenait de 
setxiblableS Calculs. 

Supposons qu'étant donne la Taleuf de Py on veut déterminer 
avec vingt décimales exactes, la fonction Vp ou son logarithme; il 
faudra commencer par chercher , avec une semblable précision f la 
valeur de tang 9 ou celle de son logarithme; c'est ce qu'on trouvera 
par les méthodes connues dans la théorie des fonctions angulaires. 
Ensuite il fatidra procéder au calcul des angles croissans ^ % p"^^ 
p*^*j etc. y ou à celui des angles décroissins ^', ^% p"'^ etc., selon 
que le module sera plus ou moins près de Tunité. 

Dans le premier cas, pour déterminer p^ par te moyen de ^, on 
ne doit plus employer réquatioû succincte tang (^^^f')s3 étangs, 
qui suppose l'usage des tables de sinus; mais il faudra déterminer 
simplement la valeur numérique de tang p"" par la formule 

Oti aura soin cependant de noter la valeur approchée de f% en degrés 
et minutes seulement, afin de ne pas confondre le véritable arc p* 
dont oti a besoin, àVec les autres arcs qui peuvent avoir la même 
tangente; on se rappellera, pour cet effet; qu'en vertu de l'équation 
sin(a9—- 9'')sB^sin^% la valeur de â^— •^^ doit toujours être 
contenue entre les limites ^ et — 0% O"* étant le plus petit angle qui 
4 pour sinds c""* 

On «onnatl déjà/ tang ^, on connaît /(i +5) £±!/^^^^; ainsi pour 

avoir /tang^% il faut faire ^ tang* 9 = A » et du logarithme connu 
de A, dédtiire celui de i — A, ce qtii se fait par les formulés dont 

notis avôus donné beaucoup d'exemples. 
U est tisible maiintetiaât qu'tm semblable calcul servira à déduire 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. St5 
p^ àe^ €i ainsi de mile. Oo cooAioiiera donc le calcul des ampli- 
tudes croissantes ^'^ ^""^^ p"^, etc. , jusqu'à h limite où «n terme 
ne diffère plus sensiblement du double dji précédent; cette limite 
aura lieu lorsque le b correspondant au dernier f , pourra être pris 
pour l'unité; dans l'exemple précédent^ c'était b'^''. Ainsi lorsqu'oa 
Toudra avoir Tingt décimales exactes, et que c ne surpassera pas 
sin 4^% il ne faudra pas prolonger le calcul de la suite p% ^""^ etc.^ 
au-delà du quatrième terme ^""^^ ; et pour dés modules auKiessous 
de sin 36% il suffirait d'aller jusqu'à f"***. 

Connaissant tangf)^^*, et sachant toujours d'avance à très-peu près 
combien l'arc ^^ contient de degrés et de minutes, il restera à trou- 
ver l'arc lui-même ^"^ qui répond à celle tan^nie ; e'est ce qu'on 
trouvera par les méthodes quiont servi à trouver tang p par le moyen 
de p. 

L'angle p"^^ étant connn et réduit en parties du rayon ^ on fei4 
4fr=ï^ f)**"^, et on aura la fonction cherchée F^s^Kfl^' 

L'application de la même formule répétée quatre fais consécutives^ 
suffira doue pour obtenir vingt décimales exactes; on en obtiendrait 
le double avec on terme de plus, mais alors il faudrait calculer aussi 
avec quarante décimales , les logarithmes des niodiiles et eèux des 
différentes tangentes^ ce qui serait un travail presqu'insurmontabl^. 

a28. La même méthode peut être suivie, qnand même l'angle du 
ooodule s'élèverait jusqu'à 70 ou jS*; mais^ passé cette limite^ U 
est préfénd>le de suivre la méthode des modules croissais. 

Ayant donc calci^ les termes de Téchelle des modides d'où se 
déduisent les fonctions complètes V*c^ E'c, on procédera au calcul 
des amplitudes décroissantes p\ p'y etc., de la manière suivante* . 

Il ÊMit d'abord tirer la valeur de tang^' de l'équation ••••• • 

^»8 * = ^i-ytff/ ^ H««Ue donne 

col f r=: ^4^ cot ♦ + ^^^(i^i^y cot^ <> 4-*']; 

et comme on a i -^f- b'zss^J^ s=s -^«, la valeur de lapgi^ {Munsa 
être mu spu< cette fiMome 

tanff(D'— i!^- ^^^°g^ 



5i6 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 

mais lorsque b sera très-petit, on pourra substituer à cette formule 
la suite fort conyergeute 

On déduira semblablement taug^^' de tang^^, tang^''* de tang^"^ etc.; 
d'ailleurs on voit que la suite ^\ (p", ^% etc., va toujours en dimi- 
nuant jusqu'à une limite qu'elle ne tarde pas à atteindre sensiblement. 
Appelant donc O le dernier terme de la suite <Py <p\ (p"...y on aura* 
en logarithmes hyperboliques F^=:Klogtang(45''-^^<fr), ou en 
logarithmes vulgaires^ 

F?=IOtf/lang(45'+i*)==KMlog[tang«+y(i+tang**)]. 

2129. Pour avoir dans le même cas la valeur de la fonction E^, il 
faut recourir aux formules de l'art. 1 5g qui peuvent donner tel 
degré d'approximation qu'on voudra. Si on se borne à vingt déci- 
males , le quarré de V"' sera toujours négligeable , même en sup- 
posant l'angle du module peu au-dessus de 45""; on pourra donc 

supposer c'"'= i , et faisant P= ^7^^ — ^ _ i ^ on aura E^=LT^ 

^-f-Pcsin^. Dans beaucoup de cas, on pourra Êiîre c'"=:i, alors 

on aurait simplement P = ^7^ — i. Quant aux valeurs de cose»', 

cos cJ\ C0scà'"y par lesquelles on a r^ = c'coseù\ r" s= c" cos û>" ; 
r"^ =1 c"' cos cù"' y elles se calculeront sans connaître les valeurs en de^ 
grés des angles û>, par les formules tangû>'=i'lang(p', tang»'t=:i''iang^", 
tangû>'''=î'"lang(p'", ainsi on aura directement 

i^^sr ,t___ // — ^ jn c* 

23o. Si on renonce au calcul par logarithmes qui devient très- 
pénible, lorsqu'on leur donne plus de quatorze décimales, on pourra 
néanmoins par le calcul arithmétique ordinaire, parvenir à tel degré 
d'exactitude qu'on voudra dans la détermination des fonctions E et 
F. Mais il y a un choix de formules à faire pour rendre le calcul 
le moins long qu'il est possible, dans l'hypothèse d'un degré d'ap- 
pro^îmation déterminé. 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. 517 
' S'il est question d'abord de calculer les fonctions complètes I^'c^ 
FJcy on ponrra recourir aux séries de l'art. 4^, i p.^ lesquelles 
peuvent donner un degré d'exactitude indéfini. Mais les premières 
( P^S* ^ ) "^ ^^^^ bonnes à employer que lorsque le module ne 
surpasse pas sin i5% et les secondes (pag. 68) que lorsque le mo- 
dule est plus grand que sin yS*; dans tous les autres cas^ ces séries 
sont trop peu convergentes, et on parviendra plus facilement aux ré- 
sultats cherchés par le calcul des difiërens termes de l'échelle des 
modules.' Ce calcul pourra toujours se faire par les opérations ordi- 
naires de TArithmétique. 

a5i. En effet étant donné la valeur numérique du module c, on 
en déduira d'abord son complément £=: ^(i — >c*); on aura ensuite 

les deux termes c% A', par les formules (fs= ^-^ > ^* = "xî > ^®* deux 

termes c*% 4*% par les formules c"^ = -x"gs j *** = T^s > ®^ ^^^^^ ^® 

suite. Lorsqu'on sera parvenu à un c très-petit, le suivant désigné 
par c^y et son complément i% se calculeront plus fiicilement par les 
suites convergentes 

)a dernière résulte du développement, de la formole 

Il faudra prolonger le calcul des modules à^, c**, c^^, etc., jusqu'à 
un terme dont le quarré soit négligeable; soit ce terme c^'\ la série 
des complémens sera de même terminée à £^"^^ ou plutôt à i^!!Z^\ car 
dans ce cas, on pourrait supposer ^"^= i. 

Cela posé, la fonction complète F'c se calculera assez facilement 
par la formule 

hh 



3i8 EJŒRCICES DE CALCUL INTÉGRAL* 

quant s la iDDCtkm ccMBaplcte EV^ eHe ne parait pas pooYOÎr être 
^calculée plua simpicment que par la formule 

E'«^*K'-7-T 8 Tff ^^')'' 

on obtiendra de cette manière tel deg^ë d^exactîtnde qu'on voudra, 
par le calcul de deux séries compoaéea du moindre nombre de termes 
possible. 

ftSa. Supposons mamtenanit cfu^ui yeuille déteranner les fonctions 
Ftp^ £^ qui répondent à une amplitude donnée; il faudra d*abord 
déduire Ç^ de ^ au mojen de la formule 

cotf s=i(cot<p~taiig<^)-^ic*(cotç + tangf), 

dont le ealcttl est asse^ fecile, pourvu qu W connaisse à la fois cot p 
et tang(p; il &ndra par la même raison déduire tangÇ'' de cot^% 
et on calculera semblablement rangle^"*^ par la formule 

cot ?•• ;= ï (cot ^* — tang ç*) + 7 c**» (cot (p* -+- tang (?♦). 

On continuera ainsi jusqu'à ce qu'on parvienne au terme ^"^ de mêoM. 
rang que c^'^^ et dans chacunde ces calculs, on aura soin de noter, 
comme il a été dit art. 325, kr yateur approchée de l'arc dont on 
a calculé la cotangente. Connaissant donc le nombre total de degrés 
contenus dans le dernier terme Ç}^"\ la valeur exacte de cet a):c 
pourra être déduite de sa tangente connue avec toute la précision 
nécessaire. Réduisant ensuite cet arc en parties du rayon, et faisant 

«ss^^, on aura F^=;i&«, 

Il reste à calculer £9, ce qu'on fera par l'équatton Ef ssLFf^ 
+ Pc sân 9 ^ dans laquelle on a 

^ — ^ "~ 7 ~ '4 g- — e te. ^ 



,0^00 



P = - cos cû + — cos cà cos »• + —g— cos œ cos cà* cos «^ -f- etc.; 

d'ailleurs les angles (», »% »•% etc., se déduisent des angles ^, p\ 
ç'% etc., par les formules tangû)=£tang9, tang a^issi* tang (p% 
tanga>**ss:^teng^, etcj et comme on connaît tangç, tang^, etc.. 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. Stg 
oh aura imoiëdialoawiift 



C . * C* 



Cette méthode, que nous employons ordinaîreroent depuis 0=0 jus- 
qu'à sin 45% peut être étendue beaucoup plus loin, jusqu'à c=:sin 61*, 
parce que dans cette dernière limite les séries n'ont qu'un terme de 
plus que pour la limite c=sin45*. Mais depuis c=:sin8i% jusqu^à 
cz=i I , la seconde méthode mérite la préférence , à raison du moindre 
nombre de termes dont les séries sont composées j et le Calcul «devra 
être fait comme il suit 

233. On formera d'abord la série des modules croissans c^ c\-c'',... 
et celle de leurs complémens b^ Vy è".... par les mênies formules 
que dans l'art. 129, ayant soin seoleraent d'échanger entr'elies les 
lettres & et c, aimi «qae les signes ^ et '. La s«ite è^ è'^ b"^.. étant 
donc prolongée jusipi'à «n terme £^^ dont le quarré soit négligeable^ 
relativement au ^egré d'approximation qu'on a en vne^ on «nra en 

logarithmes hyperboliques F'c= — log T53, ou en logarithmes vul- 
gûres, 1"^=--,- Ic^ ^j , -d'aillears le coefficient R a pour ydeor 

K s= (i JfV) (i 4- *") (i 4- i'"). . . . .(i + WS)^ 
on calculera en même . tems la fonction E'c par les formules 



E'c s= LT'c 4- i. 



Dans cette méthode^ il reste à calculer le logarithme de^^, avec 

le degré de précision requis. 

Si ensuite il s'agit de calculer les fonctions F^^E^^ qui répondent 
à une amplitude donnée ^ on suivra les formules de l'art. naS^ les- 
quelles ne sont guère susceptibles d'être simplifiées , si ce n'est la 
formule principale qu^il convient de mettre sous la forme 

col ?' = i±^ cot ^-H V^[^(^)Wf + JQ; 



Sao EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 

elle servira à dédaire cot^' de cotf ; on déduira de même cot^'' 
de cotip'y et ainsi de suite. 

234. Eu terminant ces recberches, nous croyons devoir faire 
observer que par la simple méthode de bissection qui n'exige que 
des extractions de racine quarrée , on peut calculer jusqu'à tel 
nombre de décimales qu'on voudra ^ les fonctions F et E correspon- 
dantes à des valeurs données du module et de l'amplitude. 

Remarquons d'abord que pour la bissection des simples arcs de 
cercle^ on a les formules 

sini^ = i /(i + sin ^) — f {/(i ~ sîn ^), 
. cos i(p = i \/(i -f sin (p) + i /(i — sin (p); 

ainsi le sinus et le cosiims de lare 7^ se déduisent à la fois de la 
valeur donnée de sin p. Partant donc d*un sinus connu tel que sin45% 
sin3o% ou en général sinet^ on peut^ par des bissections contî-* 
nuelles, parvenir au sinus d'un arc très-petit arc œy qui sera sen-^ 
siblement égal à Tare; et de cet arô ou de ce sinus, on déduira 
la valeur de l'arc proposé a= 2"û) , n étant le nombre des bissections. 

On procédera d'une manière semblable pour déterminer par des 
bissections continuelles, la fonction Fa dont l'amplitude est donnée. 
Soit en général Fp un terme quelconque de la bissection et F^' 
le terme suivant, ensorte qu'on ait F^' = ^F9^ on déduira ^' de 
^ par la formule 

or on peut mettre /(i.^-^ A(p) sous la forme i {/(i +€?sin<p) 
+ r l/(ï — ^ sin ^) ; ainsi on aura en généra] , pour déduire ç' de 
f 2 la formule très-simple 

V^(.i +cain ^) + V/(i — c sin (p)* 

Cette formule servira h continuer aussi loin qu'on voudra la suite 
des bissections; lorsqu'on sera parvenu à une valeur très*petile de 
sinç, celle du terme suivant sin^' se trouvera plus facilement par 
la formule 

\ 4*" 4,o.o.io 4.6^. ,14 / 



/ 



CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES. Sai 
on aurait en même temps 

enfin si Ton fait les calculs par logarithmes , on préférera les formules 
suivantes dont la loi n'est pas moins simple , 

» . / f - , . mc*8În*^/ , 3 c*sm*^ , 3.5 c^sîn^^, 3.5.7 c^^rfp , , \ 
l.in*'=/amif +— ^(^1+^ . ~— +4:6 ' "T" +4^8 * "T" +'''•> 

,. . „, . X , msîn»^/ ,3 8În*^ ,3.5 sîn^, 3.5.7 "n«^ . ^ \, 

Supposons qu'après un nombre n de bisseclions , on parvienne à un 
arc très-petit où qui sera la dernière des valeurs de ^; alors en sup« 
* posant seulement û)' négligeable ^ on aura avec une exactitude suf- 
fisante 

E« = û> — 5 a» + — (4 — . Sc^û)* J 

connaissant Fâ) 9 on en déduira immédiatement F«=a'Fû^, n étant 
le nombre des bisseclions. Quant à la valeur de Est , elle se déduira 
de toutes les équations de la forme E^=2E^' — c^sin^^sin^', et 
on aura en général Y^tt = 3"E^ — c*Z , Z étant la somme des n 
termes sin* ^ sin ^' + 3 sin* (p' sin ^" + 4 sin* cp" sin ^'" -{- etc. , formés 
avec toutes les valeurs de ^^ en parlant de la première « jusqu'à la 
dernière c». 

Nous n'insisterons pas davantage sur cette méthode, parce que 
malgré sa simplicité apparente et l'élégance des formules, la lon- 
gueur des calculs qu'elle exige, la rendrait presqu'impraticable, dans 
les cas où Ton voudrait obtenir une très-grande approximation. 



Les tables suivantes sont une continuation des tables données ci- 
dessus, pages ia5 — 171. 

La table VI donne avec quatorze décimales, l'échelle logarithmique 

des modules décroissans Cy c% o** , de leurs complémens &^ 

&% b^ ^ et du nombre K^ pour tous les angles du module 



5a2 EXERCICES DE CALCUL E^TÉGRAL. 

de dixième en dixième de degré, depuis 9zs=o'' jusqu'à 0= i5% et 
de demi-degré <en demi-degré , depuis 0=:i5* jusqu'à 0=:45^; 
cette même table donne aussi ^ par un simple changement de déno- 
minations ^ récfaeUe logarithmique des modules croissons c, c\ d\.. ^ 
de leurs complémens h\ h\ V"^.. et du nombre K^ pour tous ks 
angles du module de demi-degré en demi-degré, depuis 0=4^* 
jusqu'à ^=75% et de dixième «n dixième de «degré, depuis 4=^75'' 
jusqu'à 0=90% aiusi qu'en l'a expliqué dans la note de la page 197. 

La table YII donne la valeur de ^ qui satis&it à Téqurniton 
F^s=iVF'^; ^^^t^ valeur est calculée jusqu'à la septième décimale 
des secondes, pour tous les angles du module de dixième en dixième 
de degré , depuis = 0% jusqu'à 6=45''. 

La table YIII donne, avec douze décimales, les valeurs des fouet- 
tions E et F dont l'amplitude est de Ifi^''^ et celles des fonctions 
complètes E' et F', pour tous les angles du module de degré en 
degré, depuis O^so"* jusqu'à S.= 90% 



TABLE Vie 



$25 



o«i 



Log c, c*, c' 



0.3 



0.4 



7.84333 383 10 8flo4 
5.o858i 8a543 5o8o 

9.56957 65 174 o586 



.0.57.94084 ^8596 

5.^7964 011647 8638 

9.96733 o5385 a5 48 



0.6 



0.7 



0.8 



1.0 



i.i 



i.a 



1.3 



1.4 



Logi, 4^ K. 



3.88169 49643 43a6 

7.i6i3q 99375 5869 

0.37.54390 64819 9673 
4.48375 56171 4014 

8.36545 13439 5453 



9-99999 93385 3i34 
9-99999 99999 99^7 
0.00000 o33o7 3, 



7-71899 66379 0379 

4 •83593 93377 01 34 
9.06981 84840 849 



8. 03003 o68o3 ^566 9.99997 61867 ^^'4 



5.43800 5i833 9180 



0.37395 03734 i885 0.00001 19065 6585 



0.77371 76678 3359 



0.98.19610 30173 3857 
5.79019 76336 3414 
0.97833 53547 6665 



8.s4i85 55i84 3389 
5.88171 67931 8966 
1.16137 35963 io83 



8.38334 33731 q884 
5.96450 67939 6630 
1.53695 35984 4836 

8.53103 68636 9478 
6.04008 8987a 4>o4 
1.47811 7q857 6586 



8.35578 34565 4371 
6.10961 871330194 
i^ 1717 74 3 68 733 3 

8.38796 31864 7860 
6.17099 4o3a6 4584 
1.7459a 80788 oa55 



9-99999 73541 ai3 
9-99999 99999 97991 
0.00000 13339 383 



9-99999 40467 5789 
9-99999 99999 8981 
0.00000 35^766 1696 



9-99998 94164 3087 

9-99999 99999 ^77^ 
0.00000 53917 7345 

9.99998 3463o 6^04 

9-99999 99999 ai 32 

0.00000 83684 1964 



9-99999 99998 3679 



8.08696 46035 6878 
5.57190 1637Û 5900 
0.54174 3a64o 9343 

8.14495 3a43i 66899.99995 76646 5174 
5.68788 88393 33349.99999 99994 841 3 



9-99996 7587a 4584 
9-99999 999.96 9769 
o. 00001 6306a 3589 



0.0C003 11 674 163c 

9.99994 64188 Su5^ 

9.99999 .59991 7367 

0.00003 67901 5565 



9 99.993 38498 0933 
9-99.999 .99987 4o53 
o.oooo3 5cy/44 6566 



9.99991 99574 i5(i8 
9-99.999 99981 56o8 

0.00004 00203 7030 



9 99990 4741 5 9708 
9-99999 99.973 8836 
0.00004 76378 9559 



9.99988 8ao33 6069 

9-99999 99964 035 
o.oooo5 58970 709 



9-99987 o33q3 0569 
9-99999 9995 1 6117 
0.00006 48379 9774 



e. 



1.6 



1-7 



1.8 



a.o 



a.] 



3.3 



Log c, c», c««. 



8.41791 001 53 8883 
6.33093 68740 7374 

1.86679 37631 9439 



8.44694 09034 8361 
6.a8999 11670 3o3c 

1.9779a a33o9 8799 



8.47036 25656 5069 
6.34366 63ii3 5n8 

3.o83fl5 36418 5562 

8.49707 84317 6493 
6.39331 11967 5308 

3.i8a56 34164 oiai 



8.52b55 13689 376 
6.43928 16476 5378 

a. 37660 5i3oi 9747 



8.543S1 91 638 9609 
6.48384 39373 3734 
3.36563 59 003 843 7 

8.56399 94331 3685 
6.63633 06767 863c 
3 .45040 11867 4539 



3.3 



a.4 



75 



3.6 



3.8 



8.58419 33363 7860 

6. 56664 683i6 663a 
3.56ia3 37013 aoo5 



8.60348 86684 a838 
6.60636 70667 6839 
2.60847 4 '754 6919 



8.63196 16999 6684 

6.64334 4^431 9540 
3 68342 85348 iS9a5 



8.63967 9.5616 1^93 
6.67771 26824 o5o2 



.b7 
.76 



2.75336 52337 o638 



8.66670 16644 6738 
6.71179 06086 6404 
2.82153 io833 8867 



8.67508 o383o 4776 
6.74458 30397 9904 
9.88710 6i353 463 1 



8.68886 35314 4837 
6.77618 36943 4682 
3.95o3o 74748 3i58 



Log b, &•, K. 



9-99985 

99999 

00007 



11636 a3ai 
99936 a3i3 

44204 9996 



99983 06439 9636 
99999 999 «7 4465 
00008 46748 3420 



9.9980 

99999 
00009 



88076 997c 

99894 787^ 
55909 3949 



99978 

99999 

00010 



66490 0069 
99867 7669 

71688 8746 



99976 11661 6773 
99999 99835 821 3 

000 U 94087 1330 



99973 

99.999 

0001 3 



53589 31 58 
•99798 4335 

33 104 6039 



99970 

99999 
00014 



82271 

754 
741 



3490 
9736 
B(i8 



9.9967 

99999 
00016 



97706 

99704 
00999 



3303 

8465 
a63a 



99964 

99999 
00017 



.9996» 

99999 
eooi9 



9989a 
99647 
49877 



3947 

3949 

5ooi 



9.9958 
99999 

00030 



88827 

99581 
06377 

64610 
99607 
67498 



7660 

9359 
0906 

6027 
7669 
6371 



99955 

99993 
00033 



96938 

99434 
36249 



658' 
116! 
7284 



99951 

999.99 
00024 



761 10 
99330 
11610 



i6i5 
a38i 
o383 



99948 
99.999 

00035 



13033 
99326 
9ODOI 



86p 
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3.07021 i56i8 



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6.86463 oo58o 
3.12720 0241a 



8.74680 )54i2 4a85 
6.89233 06227 7270 
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6.94490 76161 
3.28776 62093 

5.97345 04373 



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99933 48934 3378 

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99999 98107 8460 

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00040 55069 6428 



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99909 58197 7636 
99999 97636 6047 
99999 99999 9998 
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99999 97370 ^444 
99999 99999 9998 
00047 77991 7351 



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99999 97083 0798 

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99999 96770 8579 
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8.86439 06183 7696 
7.10760 53107 9616 
3.61S30 67867 0074 

6.63435 55831 5556 



4.3 



4.5 



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5. 66610 61813 1316 
6.70816 05710 9638 



8.87495 80616 3674 
7.14903 94759 8908 
3.69601 93880 0096 

6.78997 87846 8003 



4.6 



4.7 



4.8 



4-9 



5.0 



5.1 



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7.16903 71113 9396 
3-73599 4704a bio5 
6.86993 94170 7416 

8.89464 33984 0645 
7.18866 64a53 6360 
5,77607 33736 4983 

6.94808 67539 7175 

8.90416 85433 5i83 
.30767 71 385 7783 
.81039 486o5 0644 

7.03453 97096 85oo 



8.91548 8o55o 6718 
7-^a657 77131 7400 

3.86069 60489 3003 

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7.34468 54545 Î&068 
3.88751 15474 7188 

7.17366 5i o56 1693 

8,93164 5q353 4785 
7.36361 65360 36869 
3.93517 57865 0638 

7.34438 76816 8376 

8.94039 6oo83 3oi8 



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7.51466 64887 3444 



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7.39740 88S43 9054 
0.99376 86714 7883 

7.58545 71616 3989 



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9-93999 99999 997* 
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8.17866 81671 9633 

9.05385 87663 75ia4 
7.60845 -37360 0960 
4.41484 97164 368i 

8.33768 944 1 5 4718 

9.06046 04969 6796 
7.53174 38110 6743 
4.44143 00809 6647 

8.38080 00706 0664 



9.06696 19416 5oo9r9 
7.53488 40166 96649 
4.46761 98919 56 16 

8.3831 6 47911 8438 10 

9.078^ 6a58o 0133 
7.54778 20609 8336 

4 49340 86169 8124 

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7.5604k 356^5 4988 
4.61880 00061 9743 

8.43560 00910 6996 



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7.58539 39953 6730 
4.66869 10768 49l3 

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99999 9870 
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99999 99999 9853 
00189 93306 6835 



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99999 99999 9884 
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99999 745o6 6699 
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99999 
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71816 

99999 

70119 



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99999 
3 1356 



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99999 
00166 



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67833 

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3885 
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00171 

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66977 

99999 
78663 



9631 
6608 
9667 

1S79 



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64043 

99999 
64786 



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3710 
9698 

9010 



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TABLE VI. 



7° 4 



7.5 



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7.02136 

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8^67939 



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67697 3334 
73a55 7666 

46698 aqSa 



7.6 



9.11569 
7.633o5 
4*66406 

8.72606 



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9.99636 

9-99999 
9-99999 
0.00181 



76842 
62025 

99999 
42691 



1255 
5376 
9585 

6863 



7-7 



9. 12 141 
7.64469 
4.68713 

8.77221 



56687 261 1 
7649 0210 
15459 8844 

5 1006 5552 

6665 1 o3ii 
67841 6902 
7803 i 9992 

66160 7702 



9.99626 

9-. 99999 
9-99999 
0.00186 



9.12706 
7.66698 

4-7099» 
8.81776 



7.8 



9.^13262 
7^66722 
4.73239 

8 . 86273 



7'B 



9.13812 
7.67832 
4.75469 

8.90713 



8.0 



8.1 



8.2 



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8.4 



00229 4778 
4856 1 24.56 
41726 865o 

83 640 6076 

^^828 4226 
'68691 1756 
84173 2622 

68433 2881 



85661 

599^4 
99999 
37i3i 



7928 
7é66 
9538 

4733 



9 -996» 6 

9-99999 
9-99999 
0.00191 



81022 
67737 

99999 
38367 



7900 
7988 
9486 

4787 



76112 0066 
66291 2372 
8oo33 2778 

601 63 3461 



9.99606 

9-99999 
9>99999 
0.00196 



62918 
55462 

99999 
46271 



8892 
2284 

94^9 
64ii 



9-99596 
9-99999 
19-99999 
o . 0020 I 



3 1343 
63096 

99999 
60876 



7755 
6937 
9367 

9270 



9.99686 

9-99999 
9-99999 
o . 00206 



86291 
6o635 

99999 
82172 



0479 
7767 

9299 
3294 



9.14355 
7.68928 
4.77662 

8.96098 

971489? 
7.70011 
4.79817 

8.994a8 



53o39 9954 
74672 fe648 
01101 6436 

02390 0862 



9.16430 
7.71080 
4.81966 

9 . 03706 



47902 8000 

31017 6696 
16696 6921 

334 78 1902 

76354 3i83 
67935 6814 
93286 7974 
86660 4098 



54442 7966 
17436 o638 
96123 7949 

90334 4145 



9.16943 
7.72137 
4.84068 

9-07931 

9.16459 9763g 8479 
7.73181 io43o 6122 
4.86166 84099 0766 

9.12107 68284 9881 



9 -.99^75 
9 • 99999 
9-99999 
0.00212 



27754 
48080 

99999 
10162 



2188 
o3i2 

9224 

8674 



9.99664 

9-99999 

9-99999 
0.00217 



9-99553 

9-99999 
9-99999 
0.00222 



66726 
46426 

.99999 
44849^ 

70201 
43671 

99999 
86234 



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9143 

6887 

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0966 
9064 

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9-99999 
9-99999 
0.00228 



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39812 

99999 
34319 



S. 



8»5 



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7.74212 
4.88220 

9.16334 



8.7 



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9-99999 



0.00233 



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36848 

99999 
89107 



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9.17972 64511 3oo2 
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4.93276 ëo43o 4211 
9.24346 20947 7148 



8.9 



9'0 



9.18466 12248 8016 
7.77236 99118 6564 
4^94368 74444 3316 
9.28351 48976 35o3 



Logi, *%*•<», K. 



9.99620 

9-99.999 
9-99999 
0^00239 



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33776 

99999 
60600 



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8708 

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9-99999 
9-99999 
0.00245 



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9-99999 37393 q83o 
9-999.99 99999 8478 
0.00260 çl^joy 7690 



9.99486 73324 6234 
9-99999 33879 4781 
9-999.99 99999 8332 
0.00266 75327 5440 



9.18961 94706 2655 
7.78222 57163 q366 
4.96259 64068 6184 

9.52275 08234 1598 



9-99473 9^024 5307 
9-99999 30545 6099 
9 -.99999 99999 8i74 
0.00262 6366o 4483 



9.19433 244i3 6701 

7.79106 83o22 3974J9. 99999 16689 6938 



4.98188 J^QJ^i 52191^.99999 99999 8002 
9.36170 98969 96400.00268 68709 3716 



9.19909 13491 ii37 
7.80160 60930 6418 
5.00116 09038 9666 

9.40026 18164 8600 



9.2'9.3o379 75667 9681 
7.81 iiS 94550 iS566 
5.02022 79747 7043 
9.45839 69682 5672 



9.3 



9^4 



9-5 



9.20845 16264 0201 
7.82067 06904 0762 
5.03909 06954 041 5 
9.4761a 15966 0629 



9.2i5o5 62255 35i6 

5.82990 17604 9o56 
.06776 34608 775a 

9.61544 69104 55oi 




9.21760 92289 4481 
.85015 60690 iSio 
.0762a 04988 8784 

9.65o58 10064 7867 



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9.99461 99270 65p8 
16 



9-99449 9>955 6296 
9-99999 »a9o8 6117 
9-99999 99999 7817 
o.ooa74 60476 4330 



9.99457 71071 6a54 
9-99.999 08999 8ia7 
9-999.99 99999 76^7 
0.00280 68965 9745 



9 . 99436 566 1 1 .3076 
9-99.999 04960 3ii6 
9-99999 99999 74oo 
0.0038684174 5720 



9.99412 88666 £566 
9-99999 00787 1878 
9-99999 99999 7 «67 
0.00295 06110 0244 



9-99400 26930 4597 
9-99998 96477 4870 
9 '99939 99999 6915 
o . 00399 34775 5594 



\ 



TABLE VI. 



S27 



9. 



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7 
5 

9 



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9 

5 
9 



9 

7 

5 

9 



9-9 



9 

7 
5 

9 



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10.1 



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7 
5 

9 



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9 

7 
5 

9 



10.4 



9 

7 

9 



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9 

7 
5 

9 



9 

7 
5 



10.6 



9 
7 
5 

9 



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80970 
79828 

58744 



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7324 
5345 

1854 



23534 
8751a 
14821 

69436 



93904 
99^15 
30704 
41495 



8089 
4626 
1724 

4949 



33967 
88*390 
16575 

72945 



o23oo 
35646 
98603 

97^94 



1167 
3536 
7963 

7787 



34394 
89359 
i83i5 

76430 



7 "94» 
07901 

48307 
96703 



4393 
7040 
7643 

7536 



34818 

90**9 
3oo34 
79863 



11389 
33699 

o4o53 
08194 



35337 

9097» 
31737 

83369 



^83 
1043 
8559 

9746 



38948 
37S54 

99077 
98343 



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9086 
1385 



25653 33684 896c 
91815 o83o3 3768 
33435 65653 6116 

86645 31393 5833 



36063 
92650 
25097 

89988 



30434 
90116 
35i34 
7o336 



4538 
48s8 
3i8o 

0463 



36470 

36753 
93300 



29808 

885i 

3794 
75983 



B799 
9934 
^974 
8596 



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51694 
930*38 

99999 
70166 



330^ 
3196 
6645 

83i8 



9-99374 
9-99998 

9-99999 
o.oo3i3 



63850 
87436 

99999 



«494 
3637 

6353 



13393 9343 



9 -99361 
9-99998 
9-99999 
o.co3i8 



60390 
83698 

99999 
61154 



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8587 
6040 

1481 



9-99^48 
9-99998 
9-99999 
o.oo335 



44306 
77813 

99999 
16753 



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61 38 

5703 

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9-99998 

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o.oo33i 



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9-99998 

9-99999 
o . oo338 



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99999 
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71333 
67581 

99999 
48174 



699a 

4996 
5341 

1673 



3548 
4953 

1339 



9.99308 
9-99998 
9-99999 

0.00345 



14236 
63339 

99999 
3^001 



9-99294 
9-99998 
9-99999 
o.oo35a 



9.99380 

9-99998 

9-99999 
o.oo358 



43563 
56717 

99999 
0657 7 



3771 
982a 
4537 

5394 

485S 
1484 
4091 

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69333 
5io39 

99999 
95903 



3o57 
585 1 
36i3 

3304 



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9-99998 
9-99999 
o.oo365 



61337 
46193 

99999 
91983 



1331 

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0103 

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9.99363 
9-99998 

9-99999 
0.00373 



49558" 

39177 
99999 

94819 



1387 

030 

355 

0739 



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10.8 



10.9 



11 .0 



11.1 



11.2 



11.0 



11.4 



11.5 



11.6 



11.7 



Log c, c*, c**», c®«*». 



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7.94399 
5.38394 

9.96683 



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03731 

07530 



0310 
9508 

7093 

94*9 



9.37373 
7.95111 
5.30019 

9 99833 



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33530 



4560 

483a 
5197 

6260 



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9- 
7-96917 

5.3i63o 



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38408 



1067 
0354 
9435 

o.o3o54 76905 5393 



9.38069 
7. 9671 5 
5.33226 

0.06247 



88449 
37876 
62609 

35io5 



6041 
8660 
oi63 

7660 



9.38448 
7.97606 

5 •34808 



03891 
331^3 
59988 



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9490 

3110 



0.09411 20064 2211 



9 . 38833 
7.98390 
6.86376 

0.13547 



60393 
37903 
66606 

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001 1 
3468 
9667 
7933 



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9 
9 



9.39213 
.99067 
.37930 

0.1 5655 



67220 
34661 
77434 
54967 



0829 
3o3o 
9583 

8837 



9 •29691 
7-99837 
5.39471 

0.18736 



39473 
6563o 
46885 

93858 



3537 
3890 
3785 

8146 



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5.40998 

0.31791 



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0774 
0367 

3088 



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5.43613 

0.34830 



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36116 

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99999 
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99998 

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99998 
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99997 
999.99 
00434 



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99998 

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3370 
8769 
7544 

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99997 
99999 
00431 



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99999 
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TABLE VI. 



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5.46980 
0.33754 



74760 6010 
88983 4048 
34373 baoa 
68633 6683 



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5.48444 
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04333 0174 
73758 36o8 
47605 4644 



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5.498; 
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33109 9784 



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0.43469 



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5.53766 
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9-99999 



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5^59744^ 
0.59383 



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0.00470 



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99997 9786 
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99997 8381 
5oo5o 8133 



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9-99997 

9-99999 
0.00494 



95970 4593 
16735 5393 

99997 6905 
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97545 6378 

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9 99996 

9-99999 
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36338 0877 



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9 99996 

9-99999 
0.00537 



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77389 0958 

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74806 4189 



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9-99996 

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5.65i37 i636i 
0.70068 33814 



i3.3 



.36183 17414 5733 
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5.66460 13716 7693 
0.73714 a55a4 8988 



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375 



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0.63010 78430 



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5.63461 4^4i9 
0.64716 90190 



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5.638o4 33334 
0.67403 64560 



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9-99999 99996 1454 
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4133 
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017019-99996 
00369.99399 

6a6i 0.00070 



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.13987 61399 
5.67773 36344 
0.75340 73581 



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43949 

7097 
0637 



9.36818 5a534 1441 
8.14639 3765i 1454 
5.69077 oi55é 1148 
0.77948 o33o4 1775 



0.37133 o4t66 
8.15386 41900 
5.70871 33938 
o.8o536 4^969 



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5. 7 1656 14365 
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0.86687 79106 



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4994 



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0.00579 



11543 
10788 

99995 
49630 



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6599 
4007 



9-98819 

9-99995 

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0.00588 



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98749 
39995 
36oia 



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99995 0771 
39348 4543 



9.98783 
9-99995 



i5i57 7460 
73818 4414 

99994 77^5 
13a 7340 



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9-99995 

9-99,999 
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60937 3431 !| 

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TABLE VI. 



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18453 
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19689 

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62173 
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08277 



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7247 

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3969 



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00696 



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27673 
55242 



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4086 
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20908 

81616 

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39365 
47623 
95343 



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21611 
82823 

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00666 
82920 
60766 
01627 



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1694 
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23496 

48286 

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024a 

8763 

8761 



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22706 
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10221 



86949 
66617 

5iq44 
02585 



6970 
4124 
0086 
7283 



41016 
23298 
86396 
12687 



74674 
17700 
70476 
41048 



5557 
2o38 
0719 
4704 



4» «99 
23685 

14958 



623o5 
82060 
16697 
33993 



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1624 
2969 



9 
9 

9 

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99995 

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00662 



41186 
06396 

9999^ 
32601 



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99994 

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08276 
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2634 
3921 

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4096 



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99994 

99999 
00690 



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46870 



4281 
1898 
1940 

9779 



99994 

99999 
00700 



16913 
31174 

99990 
07626 



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99994 

99999 
00709 



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16143 

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4836 
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595.9 
3287 



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16.5 



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17.6 



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18.5 



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0093 
4760 



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64988 

99988 
5i63i 



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8438 
3q38 
9610 



98494 
99993 
99999 
00749 



37781 
47666 

99987 
64886 



0967 
8247 



IQ.5 



20.0 



20 5 



49689 88240 2170 
26767 8i3o4 6266 
93337 07713 4354 
26468 16029 5682 



9.98391 

9-99993 

9-99999 
00800 



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29660 60671 
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8.57730 45360 63839.99968 97773 9861 

6.55a85 33408 9905 9.99999 997^3 0044 
a .5o565 853Si 7150001636 19445 6393 

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9-99999 99666 87 . 
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6.5339a 73936 9663 
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0.59187 80116 66689.96403 60837 0645 



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3,66aa6 64713 59600.01780 07636 8oo3 



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3.73914 53367 8839 



3.60931 33993 40369.96073 01635 3937 
8.65494 90336 61649.99956 6393s 7418 
6.70838 16671 90419.99999 09433 3463 
s. 81460 33997 18330.01941 30370 3477 



6.74533 36763 1008J9. 99999 093 
3.88840 6s38s 7084I0. 03034 695 



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36" o 



36.5 



|8 

7-473a< 
4.34446 
S. 08686 



.0 



.5 



18.0 



39.0 



39.5 



0.0 



Log c, c% <^,c^,c* 



Log6,i*,6^i*^,K. 



9.76031 

9.oa355 

7-44747 
4.29389 

7.9837a 



86853 q6o6 
8aia 
8406 
63ia 



30770 
45817 
08771 

17639 



75973 
10496 

oq836 

38969 

78005 



iâ 



13 



9-77946 
9.04Q03 

.49875 
4.39645 

8.18884 



3ôâ4? 
Q7330 
09960 
01698 

o3d84 



^60719. 90517 87036 658i 

7^844 9oa5 
00801 0179 

99999 9894 
85309 6768 



4886 
83io 
343a 

4174 



€401 
616a 
8433 
9660 

6658 



9-78444 
9.o6i5o 

7.63396 

4.44&86 
8.38967 



71378 

35395 

37493 

79319 

58736 



9 •7*934 

9.073§4 
7.54889 

4.49674 
8.38940 



69 



. 794ï4 
9.08618 

7.67356 

4* 54606 

8.48807 



197^ 
07045 

6o366 
48019 

96136 



3486 
9460 
33oi 

4019 



73553 7174 
33338 0801 
77333 4991 

54553 7453 



9.79887 
9.0983Q 
.69796 
4.69388 

5.68670 



78o38 

74097 
98161 

3o486 
6io58 



5449 
7768 

8471 
8706 

4961 



9.8o36i 
9.11037 
7.63313 
4.64319 

8.68333 



06353 
76546 
63709 
656i3 
3i3i4 



1336 
i656 

9003 
7114 



9.88740 
9.99636 

'99999 
•99999 
0.06447 
9 . 80806 74967 53^ 9.88436 
9.13313 17064 06309.99616 
7.64603 96333 01639.99999 
4.69003 96076 69909.99999 

8.77798 70339 970610.06594 



9071 
997i 

9-99999 
9-99999 
0.04480 



764468597 
0171a 0397 
83960 7607 

99999 9916 
34108 4677 



9-99741 

9-99999 
9-99999 
0.04611 



9.90334 
9-997^6 

9-99999 
9-99999 
0.04745 



9 8994^ 
9.99709 
9-99999 

9-99999 
o. 04881 

9.89663 
9 -9969a 
9-99999 
9-99999 
0.06019 



86164 9S34 
11403 7345 
78409 41^3 
99999 9866 
61836 895^ 



66546 o8io 
74669 5o47 
76761 6474I 
99999 983i 
41887 4^71 



9.99674 

9.99999 

99999 

0.06169 

9.89060 
9.99655 

333S9 
99999 
o.o53o3 



31441 3054 
69Î13 9611 
73001 33q8 

99999 97871 
55386 3871 

4S75S^«847l 

63Q13 731 41 
69539 3381 

99999 97331 
94370 5740J 



81939 
66904 

99999 
60949 



60664 

i3354 
61893 

99999 
67396 



7936 
3791 

^1 

6i5i 

9376 
o5^8 

4641 
9683 

7767 



3q665 
535o3 
67466 

99999 
86647 



635 1 

9095 
0496 

9479 
1860 



SSa 



TABLE VI. 



9. 



40.5 



Loge, c«,c* V^c*^***** 



4i*o 



9 



.81354 
9.13386 
7.6G971 

4.75737 



44>6o 
3i688 
69355 
8Ga4a 

8.87069 73673 



"3778 
3376 

49^4 
8465 

4783 



Logi,i^i»^,4*^,K. 



0. 



41.5 



9.81694 
9.14547 
7.69316 
4.78437 

^' 96649 



39168 
5^393 
54361 
61664 

33415 



3335 
3333 
3o33 

5009 

8036 



9.88104 55i53 6993l43**o 

3414 



9-99593 

9-99999 
9-99999 
0.06744 



99^*7 
53554 

99999 
483o9 



7391 
9353 

i533 



43.0 



43.5 



9.83136 
9-»B697 
7.71639 
4.83073 

9-05939 



45717 
i5i47 

30311 
99333 

98753 



4779 

73io 
8164 
7571 

334q 



9.83551 

9.16835 
7.73940 
4.87675 

Sm5i44 
9.83968 
9.17963 

7.76330 
4.93335 

9.34365 



08961 

48483 
33718 

33931 

66939 



7436 
655s 
i465 
3387 

3309 



9-87777 
9-9957» 
9 -.99999 
9-99999 
0.06896 



98639 

46799 
47144 
99999 

47667 



Log C, C*'iC^,€f^,C^^^. 



9.83378 333o3 
9.1Q079 5o6io 
7.78480 60816 

4.96766 03335 

9.33306 04733 



366643.5 
1117 

465o 

9166 

1*99 



9.87445 

9-99547 
9-99999 
9-99999 
o.o6o5o 



61434 
93636 
41177 

99999 
86139 



i85d 

»i99 
3970 

9004 
1161 



Losb,l^,b^,b^;K. 



60549.86413 
91809-99470 



io65 
8876 

6836 




33460 
83836 
59644 
93014 

84116 



36i8 
3888 
3119 
464Ô 
7805 



9,87107 
9.99633 

9-99.999 
9-99999 
0.06307 



34681 
S3536 
34601 

99999 
66378 



435 1 

.9414 
5386 

8769 
4559 



44- o 



9.83781 33o36 4307 
9.30185 77319 4458 
7.80730 98334 5844 
5. 01 336 ^6903 3o56 

9.43367718933616 



9-99999 
9-99999 
0.06638 



74638 
79377 
19393 

99999 
63016 



44.5 



9.84177 13733 
9.31381 91133 
7.83943 3iiai 
5.o5b79 61 333 

9.61 i53 33734 



9.86066 
9.99443 

9-99999 
9-99999 
0.06693 



33069 
77664 
io63i 

99999 
83o63 



3069 
3034, 
6934 
8983 

7989 



9.86763 

9-99497 
9 -.99999 
9-99999 
o.o6366 



08843 
63836 
37360 

99999 
90676 



1734I45.0 
o5ûi 

3865 

8481 

56oi 



9.84566 i8oo3 
9.33368 18919 
7.86145 17115 
5, ,10086 43880 

9.59964 87848 



9.84948 50031 

9.33444 863q3 

.87330 13355 

.14455 45769 
9.68704 91606 



3841 

3354 
9060 

1779 
6801 
3437 
4180 

3947 
9334 



9.86693 
9 -99413 

9-99999 
9-99999 
0.06869 



40900 
53340 
oioo5 

99999 
56673 



9.85334 
9-99383 

9-99998 

9-99999 
0.07038 



30538 
0168a 
90435 

999.99 
86789 



9.84948 

9-99051 

9-99998 

99999 
0,07300 



771a 



5ooai 
18093 
78837 

99999 
73453 



TABLE Vn. 



S5S 



o^ooooo oo 

0,09708 08 
0.S1843 aS 
o. 5883a 65 
0,60676 89 



0.87374 66 
i.iSgaT 60 
i.55a35 70 
1.96595 09 
a. 4^718 10 



.6 



a. 93693 i5 
S.495a4 65 
4* 10a j 3 08 

4.76758 93 
5,4616a 75 



9 



6.ai4a5 la 
7.01546 66 
7.865a8 01 
8.76369 90 
g.7io73 07 



10.70638 3o 
11.7S066 4* 
la. 84358 a9 
13.98514 81 

iS. 17536 93 



Diff.I. 



a4a7 
7a8i 

iai35 

i& 

ai 

a6698 



3i553 
364o8 
4ia63 

50975 



oa|4864 04 
la 
4854 ai 
39 4854 35 
74 4854 53 
37 4864 76 



o34855 01 
485S 3a 

4855 65 

4856 04 
4856 45 



5o 



4856 93 



5583i 

60688 434867 4a 

65546 

70403 

75a6a 3714859 16 



8oiai 
84981 
89841 

92565 



6.414^ 
17.70181 96 

19.03806 94 

90.4^^1 71 
ai .86 6 67 4i 

a3.33^o5 aa 
44.87016 38 
36.4000a 16 
a8. 07863 86 
19 .7560a 83 

9. o.3i.48aao 4j 
»S.a57i8 ao 
35.08097 5o 
36.95359 8 
.38 



.9î>ôôo 07 
.87606 88 



40.84540 II 
4s«8646i ai 
44*93371 86 
4704973 7^ 
j^.ai568 67 



.044^8 
.ogagi 

.14166 

•i9oaa 

;a3888 



la 



.a8766 3i 14868 68 
.33604 99 4869 
J^ 77(4870 

.48a57 
•53iii 



.57585 
.6a86i 
.67738 
.7a6i7 



4869 83 

4860 53 

4861 a8 
486a 06 
486a 89 

4863^^' 
874864 
6a 4865 6c 

4866 69 

4867 6b 



il 



487a 
4873 36 



164874 6a 
78 4870 9^ 

704877 a7 

644800 09 



34881 67 
4883 07 

4864 641 
4866 aa 



•77497 
.8a379 

.87a6a 

.93147 

.97033 a34887 87 



a.oioai 
a.^OfO 
a. 11701 
a.ifô94 

a. 31489 



66489 



104889 65 
"1 a5 

4893 01 

4894 8a 
734896 66 



m. 



86 



90 

95 6.7 



9 



o'49'ai568 
0.61 .43068 
53.69444 
56.00730 
.58.36915 
0.7800a 

3. 33595' 
6.74893 
8,30701 
10.91419 
3.57049 



16.37556 
19.03I059 
31.83441 

34.68746 

37.68976 



^ 



3o.54i3i 
33.54316 
36.69933 

39.69184 
4^.84073 



Diff. I. 



a.ar 
a.36i 
a.3ia84 
a.36i85 
a. 41 087 
a > 4599a 



33 



3.60898 
3.66807 
3.60717 
a.6563o 
3.70645 



3.76465 

3.8o383 

3.863o4 

3.903 

3.9616 



U. 



734896 66 
394898 53 
53 4900 46 
38 4903 4^ 
80 4904 4 
490647 

4908 67 
4910 7c 
4913 85 
4916 c8 

49'7 3? 



3.00086 
S,o5oi6 
3.09961 
3.14888 
3.19837 



4919 6'. 

4931 9 
83 493^ ^ 
154930 j( 
91 14999 3 



S5.93o46 
69.33659 



43 3.34769^84944 87 
10} 3.39714 554947 64 

.i8495<^44 
63 4963 38 

914566 16 



47 



43 



t68 



i«7 



9 



«.7731 

6.36747 

a.8iaa8 

13.40671 

17.06080 

ao. 74466 
34.48804 
88.38136 
3a.ia4«6 
.56.01706 

^•95970 



ol»7oi 
66.33936 



3.34663 
3.3^613 
3.44566 

.495«a 
3.64481 
3.69443 
3.64408 
3.69376 



144931 7c 

49343^ 

) 4936 86 

0114939 5c 

5i 4^^ '7 



m. 



0.43171 

4' 06410 

8.96668 

13.39918 

»7-^9>93 



84 



3.74347 
3.7933a 

3.84399 
3.89380 

3.94364 



3.99361 
4.04343 
4.09336 
4.14334 
4*19335 

4.34339 

4-39< 

4.349! 

4.3937! 

4-44394 



0749B9 IC 

1749Ç3 07 
344966 07 

3i 4968 i3 
444971 3:! 

67 4974 3? 
04 4977 55 
69498078 

37 4984 o5 
43 4987 36 
78 4990 73 

5» 4994 12 
634997 56 
155001 06 

336004 68 



i5 



83 5qo8 
98 5oi r 
77501 5 
306019 16 
366o33 Ss 



«54 



TABLE Vn. 



0. 



9'o 
9- 

9-3 

9-4 
90 

9-6 

9.8 

9-9 
o.c 



9' 
9' 
9 
9 
9 
9 



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9. 4. 4.38*é3a 34 



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9. 4.45.38338 04 
9. 4*5o. 73551 54 
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9. 5. 1-59497 3a 
9. 5. 7.10138 80 
9. 5.13.65873 43 
9. 5.18^.36753 74 
9. 5.33.93714 6a 



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6.ii.o5536 19 
6.17.17835 47 
6.33.353o6.83 



9. 6.39.57955 55 
9. 6.35. 85*787 ot 
9. 6.43.18806 63 
9. 6.48.67019 85 
9. 6.55.00433 18 



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7. 1.49049 18 

7. 8.03876 44 

7.i4.6i9'9 63 
7.31.36184 43 
7.37.96676 60 



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4.54343 

4.59374 
4.64408 

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4.89640 76 

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6084 53 



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5.35333 5o 
6.40431 56 
5.45534 33 



5.5o63i 54 
5.55743 56 
5.60860 33 
6.66981 88 
5.71108 37 



6.76339 
5.81375 
5.86616 
5.91663 
5.96814 



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6.07103 
6.13399 

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6.33648 



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7.34.70401 94 
7.4* .5o366 3o 
7.48.35575 58 
7.55.36035 71 
8. 3.31763 71 



8. q. 33733 61 

8.16.38081 53 
8.a3.4o5o6 60 
8.30.67311 o3 
8.37.79404 07 



8.45.06791 01 

8.63.39478 31 

8.59.7747a 07 

9- 7-ao773 o5 
9. i4«694o564 



9.33.33358 41 
9.39.83643 97 
9.37.47268 98 
9.45.173^0 16 
9.63.93604 35 



O. 0.73348 10 

o. 8.09398 56 
0.16.60733 58 
0.34.47537 11 
0.33.49719 19 



0.40.67306 91 

0.48.70394 4^ 

0.56.88691 86 
• 5.13606 53 
.i3.4i74a 71 



.31.76410 76 
.3o. 16617 08 
.38.63069 14 

.47-i3o74 45 
.55.69640 69 



3. 4-3i476 19 
3.13.98886 94 
3.31 .71780 58 
3.3o.5ot66 90 
3.39.34063 76 



3.48.33446 07 

3.67.18354 79 
3. 6.18786 9"5 
3.16.34760 '63 
3.34.36353 96 



Diff. L 



6.74735 

6.79964 
6.86309 

6.90460 

6.96717 

7 > 00979 



00 
90 



7.06348 

7.11634 
7.16806 
7.33oq3 

7.37386 



62239 

5260 

6366 

6363 
5369 



7.33687 
7-37993 

7.43306 
7.48636 
7.53963 



53o6 
53i3 
.q8|53i9 
5336 
5333 



7.69886 
7.64635 

7-69571 
7.75334 

7.80683 



7786060 46 5373 

7-9i4a4 

7.96804 
8.03193 
8.07686 



8.13988^ 

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8.338i3 
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8.34668 



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536387 
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8.40106 
8.46663 
8. 61006 
8.56466 
8.61934 



8.67410 

8.73894 
8.783)}6 

8.83885 

8.89393 



8.94908 
9.00433 
9.06963 
9.ii5o3 
9.17061 




6339 
5346 
5353 
535q 
6366 



6408 
5416 
6433 
5430 
6438 



5445 
6453 
5460 
5468 
5476 



6483 

5491 

6499 
6607 

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5633 
563i 
5539 

5547 
5566 



11 




TABLE Vtt 



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9.i4«io«77i54 3a 



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9.14.39.7353 
9.14.30.38703 87 
9.14.48*90439 88 
9.0] 9. 14. 58. 57000 1 



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31.3 
31.3 

31.4 

31.5 



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9.18.37.93714 46 

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9.15.67.80566 75 
9.16. 7.87545 99 
9.i6.i8.ooa3i 44 
9.16.38.18603 07 
9.16.38.43698 11 



9.16.48.73618 06 
9.16.69.08071 67 

9-^7' 9-^368 47 
9.17.19.96418 o< 
9.17.2(0.49330 o 



9.17.41.07814 i5 
9.17.51.73180 18 



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9.18.13.183 

9.18.34.000 



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31.8 

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9.18.45.81086 7a 
9.18.56.80353 14 
9.19. 7.85470 7a 
9.19.18. 96451 76 



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33. a 

33.3 

33.4 

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9.19.41.3604a 74 
9.19.53.64673 6a 
9.ao. 3.99808 8a 
9.30.15.39658 97 



"p.i^o. 36. 86034 79 
9.80.38.38347 04 
9.80.49*96606 56 
9*81. i.oo8a4 87 
9.8i.i3.3ioii ]4 



Diff.L 



9,17051 18 
9.83607 39 
9.88171 70 
9.33744 49 
9.39336 70 
9.44915.40 



n. 



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9.56130 5o 
9.61736 oi 
9.67060 a5 
9.78998 a8 



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5564 

6678 

558i 

5689 

5598 

5g5§" 

56i5 

56a4 

6633 

5641 



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9.84a86 

9 •89.545 
9.96614 

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0.70157 70 
0.75959 45 
0.81771 07 
0.8709a 7 



99 



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9.81.85.07178 39 
9.31.36.89336 63 
9. 81. 48. 77497 56 
g. 83. 0.71678 a6 
9.88.18.71878 07 



57'4 



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133.8 
914133.9 
93al34.o 



937134. 1 
933I34.3 
940I34.3 

"]34.4 
^34.5 



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5) 



0.93434 
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1.10981 
1.1 6853 



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58 



045873 
865883 



1.33737 
1 . 3863o 
1.34535 
1.40450 
1.46375 



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88 

30 

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1.58369 
1.64317 
1.70186 
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9.88.30.90308 
9.88.49.08706 
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9.a3.i3.63649 



39 

70 
63 
61 
33 



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9.33.38.43940 
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9.34* 3.46700 
9.34.16.07795 



61 

83 
38 



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6094 60 

6106 44 



9.84.88.75039 
9.84.4^ -4845^ 
9. 84*54. 38041 

9.96. 7.i3883 
9.86.80.06808 



18.488^17 
18.549^7 
-^ 13.61089 
33 18.67844 

81 18. 73411 
04 ^^•79690 

3o 18.85781 
95 18.91986 
43 18.98801 



9.a5.33«o4oio 3& 13.04^30 

^ oa 13.1007a 

39 i3. 16986 

13 13.33193 

o3 13.39474 

o3 13.35767 



9.85.46.0844^ 
9.86.69.10113 

9.86.18.36040 
9. a6. 36.6933 4 



9.86.38.88708 
9.86.68.84475 
9.37. 6.66548 
9.87.19.14040 
9.97.39.09665 



9.97.46.30736 
9.37.59.98166 
9.90.13.71960 
9.a8.87.5ai5o 
9.88.41 .38746 



9.38.55.3i74ç 

9.39.33.37040 
9.39.37.40375 
9.89.61.68170 



86 

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55 

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36 
65 

48 
83 



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79 13.54784 
77 10.01070 



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80 

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56i3.738oa 65 6386 ao 
81 i3. 80188 85 6399 85 
06 i3. 86588 706413 56 
76 1 3.93003 a6 6497 36 



o9 13.99499 69 
64 i4.oi587o 86 
6014.19396 06 
66 14.18796 39 
88 14.95878 71 



9.30. 6.93449*69 
9.3o.ao.85aa5 9a 

9.30.34.63514 17 
9*3o.49.o83a8 74 

9.31. 3.69684 jo[i4*579io 



14.31776 
14.38988 
14.44814 
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6i3o 33 
6149 
61&4 
6166 75 



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6191 
6905 6 
6916 34 
688896 

6941 60 
6a64 36 
6967 18 
6a8o 09 
6893 07 

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633a 40 
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6359 19 



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465 
476 



TAÔLE Vtt. 



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9.31.18.17594 83 
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^.3i.47-53i4i 11 
g. Sa. s.SûBoG 34 
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9.54. tt 
9.34.1* 
9.51.53 
9^4^ 



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-301166 65 
.73763 55 

.35039 33 



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9.S5.51 



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.87^30 78 
.19598 83 

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39.3 
39.3 



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9.36.^.74765 
9.56.55.80763 66 
9.57.11.9S677 10 
9.37.38.15533 36 



39.6 

39.7 
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9.38.53.63^ 
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9.59.35.47990 7a 
9.59.40. 
9.59.57. 
9.40.1 



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13914 73 

06937 31 
9704605 



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9.40.47.98674 70 
9.41* 5.10330 
9.41.38. 
9.41^ 



9.41.56. 
9.43.14. 

3.4^.51. 
^.43.40. 

9.45. :6, 



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6.61800 1^7055 13 

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6.75934 007088 49 
6.85bi3 497106 5"5 
6.90118 847134 5o 
6.97343 14714a S7 
7.04585 5i 7160 55 
7.11546 067178 81 

7.18734 877197 31 

7.359311 087315 71 
17.53^57 797334 33 

7.40573 137355 o5 
7.47635 177371 8 
7.54897 047390 8 
7.63187 877509 89 

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44.36.14060 

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45.13.34161 
45.50.55371 
45.48.84048 

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68 

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53. So. 



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55. 5o. 
53. 5o, 
54.11. 



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57435 
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54*53. 

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55.55. 



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56.35. 
56.56. 

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98348 



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11854 
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5333^ 



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78913 79 8198 31 3463 

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88373 
^ 8397 

8333 



3o57 
3074 
8084 

«0971 

31 11 



95 33o9 



36b335 

3968 
3578 

3436 



TABLE Vn. 



537 



36.1 
36.9 
36.3 

36.4 
36.5 

557? 
36.7 
36.8 
36. g 
37.0 

37.1 
37.3 
37.3 

37.4 
37.5 

37.6 
37.8 



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9.5o.ai.i6685 
9. 58. 4a. 53507 
9.59. 3.98701 
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35 

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38 

97 
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10. o.3o. 63735 

10. 0.53.5117s 

10. i.i4.47'4^ 
1.36.5167Q 



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10. 



38.3 
38.3 
38.4 
38.5 



38.6 
38.7 
58.8 
38.9 

09-0 



39.1 
39.3 
39.3 

II 

39.8 
399 



10. 1.58.64793 
10. a.K0.865i6 
10. 3. ip. 16875 
10. 3. 5.55897 



61 

3i 

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53 



10. 3.a8.o36ii 
10. 3. 5o. 6004a 
10. 4'i3.a5aao 



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85 
55 

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8347 
8373 

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o5 
65 

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10. 5.44*7395a 
10. 6. 7.83a8i 
10. 6.3i.oi5a7 
10. 6.54.a87i8 






10. 7.17.64883 

10. 7.4^ «10051 
10. 8. 4*64^53 
10. 8.ao.a75i6 
10. 8.51.99873 



aa.5643i 
aa.65i27 
aa. 73901 
aa. 83753 
aa.9i583 

a3. 0044a 
a3.oo3aQ 
a3. i8a45 
.37100 
a3.36i64 

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93 

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68 
61 
6a 
86 



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85oa 

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61 

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79 



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79 
50 



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18 

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34 



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8916 

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35 a 
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37 40 
43 40 



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3691 
3606 



3633 

363 

365 



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36884 



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7384 



3756 4 



3771 



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93 

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a4 
69 



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0.7 
40.8 
40.9 
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10. 9.^.71983 
10.10. 0.71798 
io.io.a7.8o8a6 
10.10.51. 99099 



oa 

84 
11 

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i5 
II 



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40. a 
40.3 

40.41 
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10.11.16.36648 

io.ii.4o.635o4 
10. la. 5.00608 

10.13.39.60361 

10. 13. 54» 30337 



10. i3. 19.04636 
10. i3.ip. 88491 
10.14. 8.81854 
10.14.33.84748 
10.14*58.97306 



€7 
33 

33 

08 

39 

46 
81 

69 



33.63363 
33-73356 
33.81478 

33.90631 

33.99814 
34*09038 
34. 18373 
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35.70541 5 



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35.90175 14 
36.00043 96 

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36,39871 54 
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36.70118 55 



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0.34*36.60091 

0.35. 4*03079 
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0.35.59.37349 



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38.36430 53 



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TABLE IX. 



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16783 

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34906 



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34176 
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TABLE IX. 




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53 
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56 

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78 

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o.8oa65 14559 
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0.83775 80410 
0.85531 13335 
0.87366 46360 



0.89011 79185 

0.90757 131 10 

0.93003 45o36 

o -94347 77961 
.96993 10886 



o.83o3a oaSSa 
0.83778 09707 
o. 85533 87544 
0.87369 35840 



0.89014 84693 
0.90760 338oo 
0.93505 83458 



0.83040 36801 
0.83786 17530 
0.8553a 10106 
0.87378 04531 

o 89034 00765 



0.90' 
0.9a! 



'69 98035 



0.83063 50671 
0.83799 13671 
0.85545 80839 



0.83069 63573 
o. 838 17 37777 
0.85564 99383 



0.87393 5313710.87313 78357 



0.8903Q 3764^ 
0.9078b 07049 
0.93533 90614 



0.97738 45811 
0.9948S 76736 
.01339 0966a 
.0397^ 4^587 
.04719 76613 

.06465 08437 
.o8aio 4>36a 
.09955 74388 
. 11701 07313 
.13446 401 38 

.i5iQi 73063 
.16937 06988 
.18683 Z8qi4 
.ao4a7 71839 
.33173 04764 



98687 
.94361 3356i|o. 94^63 0033410.94370 781 
.96996 84106 o . 9D008 08747 0.96036 697 



0.9774a 35087 



0-99487 864970 -99500 16786 



.a3qi8 37689 
.35663 70614 
.37409 03540 
.39164 36465 
.30899 69390 



.33646 033i6 
.34390 35a4o 
.36i35 68166 
.37881 01091 
.39636 $4016 



.4^371 66941 
.43116 99066 
.4486a 33793 
.4^*607 66717 
.48353 98643 



.60098 31667 
.61843 64493 
.53588 97418 
. 55334 3o343 
.67079 63368 



.ôîa33 383 
.03978 90684 
. 04734 43346 



.06469 96308 
.0831$ 49765 
.09961 00607 
.11706 57834 
. 13453 13407 



.16197 67345 
•16943 33638 
.18688 78345 
.30434 34184 
.33179 90434 



.35035 46981 
.35671 o38i5 
.37416 60931 
.39163 18388 
.30907 76899 



0.97764 08906 



1.01346 34363 
1.03993 3460Q 
1.04708 4649^ 



1.06484 59901 
1.08330 70061 
» -09976 91671 

1.10469 39361 



[9 

»3 



0,97773 65366 
0.99630 64637 
1.01367 67836 

i.o3oi4 74774 
1.04761 86433 



0.89060 64661 
0.90808 58a46 
o.9a566 69063 
0.94304 67018 
0.96063 83064 



1.16316 5o36o 
1.16961 73740 
i. 18707 96457 
1.30454 a 1466 
1 .33300 47716 



.33663 33743 
.34398 91006 
.36144 60069 
.37890 08634 
.59635 67161 



1.33946 76160 
I . 36693 03749 
1.37439 33430 
t. 391 85 64160 
1.30931 96853 



1 .06608 99696 
1.08366 17616 
1 . iooo3 388o6 
1.11760 63483 
1^13^7 91466 



1.16345 33636 
1.16993 66937 
1.18739 04339 
1.30487 34439 

1.33334 77460 



.4i38i 36937 
.43136 84867 
.44873 43936 
.46618 o3oq5 
48363 63361 



.60109 A1708 

.61854 8ll30 
.536oo 40680 
.55346 00073 
.57091 69681 



1.33678 3848 

1.344^4 6199 
1.36170 06013 

1 .37017 oiSqc 

1 .59663 67161 



1.41410 03569 
i.43i56 40661 
i.44qoa 78045 



1.3398a 33 163 
1.36739 7143» 
1.37477 33173 

1.39334 76355 
1 .30973 3o556 



0.97801 04108 

0-99549 33067 
i .01397 68811 

1 .o3o46 iia6i 

1.04794 60390 



83333 
o.Saogi 64086 
o.838io Sqofio 
0.86680 653 ta 
0.8735$ 83796 



0.89088 11746 
0.90837 63093 
0.93687 o374a 
0.94336 665o4 
0.96086 4o5oi 



1.06643 16770 
1.08391 77671 
1.10040 45661 
1.11789 19663 
1 . 13557 99446 



1.16386 86041 
1.17035 76177 
1.18784 73677 
i.ao533 74367 
1.33383 81037 



0.97836 36431 
0.99686 aiia5 
i.bi536 37478 
i.o3o86 443 16 
1.04836 71455 



1.06687 08698 
1.08337 55838 
1.10088 13655 
i.ii838 78916 
1 . 13589 54377 



1.33719 87951 
1.3^67 47313 
1 .5b3i5 08609 
1.3796a 71409 
1 .59710 5587 



1.41458 01780 
1.43306 68976 
1.44965 57536 
1.46640 160891.46701 06688 
1.48396 54^ 19} 1.48448 76933 



1 .60141 
1. 61888 



^3973 
Il 883 



1.60196 47884 
1.61944 19438 



1.55654 70988,1.65691 9>4^o 
i.5558i io3b5i. 66439 65684 
1.67137 49534 1.67187 56io5 



1 .a4o3i 93491 
1.36781 08548 
1 37530 38990 
1.89379 53605 
i.5io38 83170 

1.53778 14468 
1.34537 60368 
1.36376 8935 
i.38o36 5 144^ 
I .59776 76549 



1.15540 58784 
1 «17091 51870 
1 . I 8843 55359 
1.30693 43963 
1 . 33344 60386 



1.34096 853 10 
1.35847 17448 
1.37608 56448 
1.39360 01985 
i.5iioi 53717 



i.4i5a6 358o4 
1 .45374 75566 
1.46034 s6585 
i .46775 79010 
1.48633 34187 



1.6037a 90660 
i.6ao33 48171 
1.53773 oS4^4 
1.55531 66377 
1.67371 34350 



1.53855 11306 
1.54604 74554 
1.56556 43669 
1.S8108 16611 
1.59869 93845 



1.41611 74179 
1.45565 59138 
1 .451 16 475o3 
1.46867 585o6 
1.48619 51743 



1.60571 37311 

1.63 133 34308 

1.53876 aa6a8 

1.66637 31764 

1.67379 ai3o9 



TABLE IX. 



349 



E(5*). 



I 

a 
3 

4 
5 



5 

9 



11 

i3 
14 

18. 

'9 



0.00000 
0.01745 
0.03490 
o.o5a55 
0.06981 
o.oSjraS 



00000 
3a858 
653ia 
96060 

56aa 



E(6^). 



0.10471 
o.iaai7 
0.1396a 
0.15707 
0.1745a 



83o45 
07458 
Û9073 

oa35 



ai 
aa 
a3 



36 

•9 

So 



3:1 

3a 
33 
34 
35 



36 

37 
38 

39 
40^ 

!i 

43 

44 
46 



0.19197 

o.fl094a 
o.aa687 
o.a443a 
Q.a6i77 



73343 

P^ 

01007 
78438 
69787 



o.a79aa 
0.39667 
o.3i4ia 
o.33i56 
0.34901 



55550 
34781 
0774a 
70900 
§3933 



0.00000 
0.01745 
o.o34qo 
o.oSaâS 
0.06981 
0.08736 



ur)- 



000000.00000 00000 

33793 

64798 



3a83Q 
65076 
96163 
a55ii 
5a543 



o. 10471 
0.13316 
0.1396a 
0.15707 
0.1745a 



76684 
97366 
14033 
36093 
33019 



0.19197 
o.30Q4a 
0.33087 

o.3i43i 
0.30176 



34a53 
39353 
17483 

98417 
7i536 



0.01745 
o.o34qo 
o.o5335 
0.06981 
0.08736 



E(8*). 



E(9*)' 



0.00000 
0.01745 
o.o54qo 



00000 
33753 

,^S4477 
9533410 -05335 s4^44 

30737 
43304 



a3386 
48aoo 



0.10471 
o.i3ai6 
o. 13961 
ô. 15707 
0.17451 



o. 36645 845a6|o. 36643 
0.38300 a8376 
0.40134 64184 
0.41878 91667 
o.436a3 10547 



0.45367 
0.47111 
0.48855 
0.00598 
0.53343 



ao§59 

ai449 
13971 

94895 

67000 



0.54086 
G. 55830 
0.57570 
0.59316 
.61059 



0.63803 
0.64545 
0.66388 
o.68o3i 

0-69774 



0.71516 
0.73369 
0.76001 
0.76743 
0.78485 



39077 
80939 
33073 
63336 
73361 

83601 
8o8a5 
67913 
43760 
08376 

^379 
o3oo9 
33ii3 
61667 



0.37931 
0.39665 
o.3i4io 
o.33i64 
0.34899 



3633a 

93307 

38973 

7585 

0348s 



o. 38387 
0.401 3i 

0.41874 
0.43618 



18409 
a3i94 
i6iio 

6607 



0.45363 
0.47106 
0.48848 

0.60693 
0.63335 



33608 
65583 

9507.9 
10766 

13031 



0.54077 

0.55830 

.67663 

0.69306 
0.61047 



99447 

71858 
09393 

7i499 
98361 



0.63700 09340 
.6455» 04573 

46^^ 
93531 



o . 66373 
0.68016 
0.69766 



0.71408 
0.73309 
0.74980 

, 0.76731 

686190.78461 

mmSmmSSm 



a38i3 
37686 

79I83I0 



0.19196 

0.33686 

o. 34431 
0.36176 



69186 
8^469 
96379 
00854 
98438 



88384 
69655 

4i8a3 
04071 
66696 



0.06981 
0.08736 



0.1Û471 

o. 133l6 
0.13961 
0.16706 
0.17461 



60669 
7178*1 
76866 
71817 
68661 



0.00000 
0.01746 

O. 03490 
0.06356 
0.06981 
0.08736 



.00000 

3370< 

6411 i 

933^4 

17836 

37661 



0.3791^9 96006 
34333 



1.37019 
.39664 
o.3i4o8 
o.33i63 
0.34896 



39084 

Ê341 
761 



0.36640 
o. 38383 
0.40137 
0.41870 
o«436i3 



04639 
63347 
06337 
33o39 
43910 



0.37018 
0.39663 
o.3i4o6 
o.33i49 
0.34893 

.36636 
o. 38379 
0.40133 
0.41864 
0.43607 



0.45356 
0.47099 
0.48841 
. 5o584 
o . 6a336 

.54068 
0.66809 
0.67651 
0.69393 
0.61054 

0.63776 
0.64616 
0.66366 
0.67906 
0.69736 



35431 

I0103 
66447 
04009 

33356 



31078 




96768 
13367 



0.71476 
0.73316 
o . 74966 

0.76694 
.78453 



07669 
81404 

33339 

63a64 
7Q999 



66390 
19311 
69663 
77370 
73393 



0.19196 

0.30041 
0.33686 
0.34439 
0.36174 



353g3 
01081 
54767 
9661 5 
33407 



34640 
3io3o 
11013 
7363q 
18086 



0.10471 
0.13316 
0.13961 
0.16706 
o . I 745 1 



60814 
563i7 
63803 
39013 
18703 



E(io*). 



0.00000 
0.01746 
o.o34qo 
o.o53o5 
0.06981 
0.08736 



0.19195 

0.30Q4o 

0.33084 
0.344^8 
0.30173 



76641 

336l3 

66417 

73873 

71830 



0.10471 
0.13316 
o. 13961 
0.16706 
o. 17450 



00000 
33658 
6371 5 
91665 
14617 
3 137 7 

3996 

39097 
37130 

03482 
6364Î 



4355 1 
49363 
34435 
98368 
40345 



0.45349 
0.47001 
0.48833 

0.60674 
o.533i5 



5q686 

55739 
37879 
75613 
98073 



0.54066 

0.55' 

0.67! 

0.69378 

0.61018 




96036 
65866 

10130 
37350 
17146 



0.63767 

0.64497 
0.66306 

0.67974 

0.69713 



79135 
13975 

i836o 
96018 
43713 



0.71461 
0.73189 

0.70664 

0.784P1 40879JP. 78364 



6 1338 
60430 
10169 
4o338 



0.37916 
0.39660 
o.3i4o3 
0.33146 
0.34889 

o. 3663a 
o. 38374 
0.40117 
0.41868 
0.43600 



63118 
13649 
63317 
7C053 
64813 

36684 
81378 
01308 
04338 

89487 



0.45341 
0.47083 
0.48833 
o.5o564 
o.6a3o4 



96133 

03333 

80394 

363*84 

40677 



0.64044 

0.66783 

0.67633 
0.69261 
0.61000 



33496 

71400 

8669a 

67813 

14^45 



0.63738 

0.64476 
0.66313 
0.67960 
0.69687 



35.5 16 
01189 
40878 

10963 



o.7i4a3 4?8oô 0.7^39 
o.73i6q 

0.766 



'r 



33534 
89000 
07073 
87678 



0.19106 

O.aOQOQ 

0.33680 

o.a44v 
0.36171 



09101 
37341 

t% 
00390 

o4iac 



0.37014 
0.39667 

0;3l40O 
0.33143 
0.34886 



48961 
69440 
6430a 
3193 

71 35 



0,36637 
o. 38369 
0.40111 
0.41863 
o . 43693 



0.45333 
0.47073 
0.48813 
o.6o553 
0.63391 



81303 
60361 
07361 
ai 35a 
01101 

45597 

53799 
34734 
67471 

61135 



o.64o3o 
0.55768 
0.67506 
0.69343 
0.60980 




0.63716 
0,6445a 
0.66188 

0.69657 



488a3 
483o3 
03196 
13576 
78365 



o.73ia5 
0.74868 

0.76691 
0.78334 



9874Q 
71554 
09380 
8Ô871 
i633o 



m 



PP 



5So TABLE DC. 



> i 



TABLE IX. 



sâSâttsiiss 



«' 



5o 



£(&>). 



Jf^^ 0.78485 58S19 

4$ 0.80307 53990 
0.81969 37777 
0.83711 10001 
o. 8545a 70695 



o.88a35 67703 

0.9067S 84167 

0.93417 99359 

94169 05414 

96899 96439 

56 0.97640 78666 



5i 
5â 
63 

54 o 
56 



E(6*). 



0.78461 791830.78433 79390,0.78401 40870 o.7<364 8767810.78304 i8o3o 
0.80000 0*63670.80170 44711 o<8oi38 it7890<8oo99 307860.80066 c53i8 
0.81940 668730. 81910 9i037o. 81874 53o68o.8i833 364070.81787 4814 
o. 83680 707300.83649 oiSioo. 88610 647670.83667 046060. 836i8 4470! 

ry5o.8B3oo 35i88 0.853^8 q638i 



0.85433 679900.86 



5 
6 



61 
6fl 
63 

64 
65_ 

66 

Î7 
68 

69 

Zî. 

7» 
72 

76 

78 

80 

81 
80 
83 

84 
85 

86 

.87 
.88 

89 

90 



1.06343 3i.o3o 

1.08083 61453 

I .09833 63066 

ii.ii 663 63369 

1i.i35q3 6534*0 

.1504? 



E(7^)- 



E (8*). 



0.87194 199080.87160 48703 0. 87105 076860.87081 99§o5 



o56a4|o. 85346 4607: 

i8o5 0^87033 09008 0.86979 00106 



0.99381 ^^99300. 99306 610470.99003 64600 
1.01103 10710 
1.00860 61066 
1.04603 01170 



0.88000 i3oi3âr8886o 671030.88817 034010.88766 869^910.88708 69107 
0.90641 609740.90600 043960.90663 i8oi3or9o498 060600.90437 73954 
0.93380 9375^0. 9o32^^ 106400.90086 838ii 0.93009 896490.93166 4>73i 
0.94130 084430.94074 i3o38o. 94001 OÏ076 0.93061 370190.93894 06933 
0.96869 08069 0.96810 84800 0.96755 3o io8 0.96090 487 00 0.96600 460^3 

0.97697 $34oo|o. 976^7 350^00.97489 * 1^38 0.97433 06187 0.9734J 806^8 



1.01076 1443^ *-*oioio 73i 

1.03813 63004 L.037^ OfO 

1.04661 764s^'»»o449' 39805 



0.99000 64836 



1.06089 86671 
1.08007 80660 
1.09766 61674 
i.ii5o3 0Q078 
i.i3o4o 80711 

1.14978 06340 

1.16716 54547 

1.18453 71707 

.00180 77094 

.01906 71673 

"13553 553o4 

004971.06400 08640 

,07019 964461.07136 90148 



00 
1.16783 13076 
1.18000 79084 
1.0006A 07^0 
1.00001 87808 



fos6 77674 
_/o6o 067S 
1.09697 16909 
1.11430 08717 



1 .06036 
1.07 



1.03741 30706 

1.06480 6649 

1 

1.0^69 T7900I 1.08873 4ISSÔA 

1 .SooQo 34006 1. 30609 91696 



1.50437 447061.30346 08606 
1.34176 49766 1.34080 67603 
i.36oi5 497141.35818 79348 

.37664 449^1 1 -37664 94301 

39393 35839 1 .39091 00966 



1.16635 78607 
r. 18370 or643 

1.00104 08904 
i.oi838 01060 



1.00963 9I0 



f.o«)^8 Qfc63 1.00613 




Ê(9^). 



È(io°), 



7090911.00803 37060 

474381.00639 36387 

1.04401 04596! t. 04340 876701.04366 047 > 9 

1.06071 95àd7 1 . 06980 33834 



4.06164 13^04 

]982 
1.09618 339^ 



1.07886 349 
9618 33û 
i.rii35o 06847 



1 . i3i66 80674 i . i3o8i 67330 

35Sr 



1 .4ii3o 33766 1 .41007 06900 
i .43871 o6o83 1 .43763 03704 
1.44609 86311 1.44498 96877 
1 .46348 6353o 1 .46334 86oo3 
1.48087 38484 1.47970 71660 

.49706 5439 



1.33671 78606 
1 .â53o6 41988 
1.07088 91986 
1.08773 090 
i .3o5o5 645 

.3o338 68398 
1.33971 71660 
1.86704 64786 
1.87437 48645 
89170 04000 



1.14810 83oi8 
1.16648 90614 
1.18374 74816 
1.30005 38353 
1.31786 81983 

1.03466 06488 



.110^7 09787 
0986 14181 



0.99^53 66764I0. 99076 76987 
1.00883 789 



1.07800 710781.07706 01608 
i,oo53o 166301.09439 71706 

i.iii53 84377 
1. 10877 6^j^i' 



.06196 roo74 
t. 06906 01 368 
1.08666 73418 
i.8o385 09696 



1.14710 69784 
1.16480 97403 
1.18166 97980 
1.19898 73390 
1 .01600 0144 6 
73534^4688 



1,^1 00638 
i63s4 06378 
18046 78664 
1.19769 18638 
1.31491 37863 



1.38313 o6o58 
1 . 34934 665o3 



1.36073 48116 
1.36798 37699 
i.385o3 863041.38876 
1.80349 34733 



1.49836 iiSoo 
1.61664 80698 
i.633o3 5o65o 
i.65o4o 01898 
1.66780 90740 



1.5 1440 34804 
1.53178 13468 
1 .54918 90966 
1.66649 67878 



1.40900 91608 
1.40686 '60145 
1.44368 06406 
1.46100 66164 
1.47880 99166 



1.80114 71088 
1.8884398504 
1.86673 111869 
1.87800 ]5i33 
1 .89081 06333 



1.49666 8Q33I 

1.01307 70104 
L.53o3o 10604 
1.64760 43616 
1 . 56494 7363o i . 66396 3339 



1.81074 4i4io 
1.33699 46886 
i .35434 3i83o 
1.87149 01986 



1.40760 87186 
1.43488 58847 
1.44^17 33349 
1.46045 78646 
1.47674 387 61 

1.49403 73584 
1. 61181 14471 

1.63869 ^^^44 
1.54687 8773; 



1.57149 0190* 
1.88873 6791: 



1,40698 00990 
1.43833 33410 

1.44046 5'?43i 
1.45770 65336 
» -47494 69377 



1.30655 7q37< 
1.38876 7631e 
1.3009748871 

1.81817 97334 



.33538 34335 
1.35358 80793 
1.86078 18406 
1 .58697 88560 



1.40417 43774 
1.43136 83584 
1.43856 aq544. 
1.45576 35336: 
1.47394 8i3i5, 



i.49oi« 66876 
1.60943 69138 
1.63666 47437 
1 .54390 Soogq 
i.69i'i4 174S3 



i .49013 ^39107 
1.60733 3o5 10 j 
1 .63451 07040; 
i'.64<6q 90317; 
i. 65888^71966^: 



559 



TABLE IX. 



5i 
5a 
53 

54 
55 



56 
58 



6i 

63 

63 

64 
65 



66 

fi 

70 



7* 
75 



78 
78 

80 



8i 
8a 
83 
84 
85 



86 
87 
88 

89 
9<? 



F (5'»). 



78694 
8o34a 
Sâogi 
83840 
8Ô58Q 
87338. 



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8aaa3 
64986 
5q36o 
653ia 
82795 



89088 
90837 
92587 
94336 
96086 



11746 
62092 
03742 
66694 
4o53 



99586 
01 336 
o3o86 
04836 



06687 
08337 
10088 
ii838 
13589 



254^1 

21I23|o 
27478 
44316 
71455 

'ogeôs 

5583^ 
12655 
78916 

54377 



15340 
17091 
18842 
20693 
22344 



38784 

3187 

33359 

42963 

6o385 



24095 
26847 
27698 
293S0 
3iioi 



853i 

1744' 
56448 

01985 

53717 



32853 
34604 
36356 
38 108 
39869 



11296 

74364 
42669 
i55ii 
92845 



41611 
43363 
45n5 
46867 
48619 



74^7 
6912 

473o2 

383o6 

31743 



60371 
5a 123 
53876 
55627 

67379 



27211 
-24308 
22628 
111764 
ai 309 



. FC6«). 



78617 
8o368 
82118 
83869 
86619 
87370 



97426 

17448I 

5434^ 
07702 

78021 
64894 



89121 

90872 

92624 

94376 
96127 



683i3 
88170 
24338 
76670 
46000 



97^79 
99631 

01 383 

o3i35 

04888 



201 38 
28881 
44001 
74267 
19382 



06640 
08393 
10146 
1^899 
i3662 



79098 
53104 
4io83 
42700 
57604 



16406 
17169 
1891a 
ao666 
a24ao 



8543o 

78a93 
4a5i8 
18037 



a4i74 
a5Qa8 
2768a 
a9436 
31190 



0440 
0117 
07873 
a4oi5 
49^ 'o 



S2Q44 

34609 

36453 
38208 
39962 



82654 

24l32 

73019 
28783 

90877 



41717 
4347a 
45aa7 
46981 
48736 



68766 
3 1860 
09636 
91482 
76866 



60491 
62246 
54001 
56766 

57 



11 



65 166 
55829 
48261 

41874 
56078 



F (7^), 



78646 
8o3q8 
8ai5o 
83902. 
86665 
87408 



89161 

9^3Â^ 
92668 

94421 
,96175 



15563 
ii6o5 

3o5i4 
72269 

06779 
2398 6 

3375Ô 
66961 
20416 
96935 
95a65 



97930 

99^84 
01439 

63i94 

04949 



16180 

66393 

i85û8 

0146 

04628 



06704 
.08469 

10210 
11971 
13727 



16483 

1 723û 
18996 
20762 
22609 



27 

70 

31997 
i23o7 

10766 

"26874 

6010 

oogal 

75762 
67031 



2X266 

aooaS 
37780 
39^38 
31395 



63i3o 
63436 
87310 

34094 
73i\5 



33o53 
34811 
36568 
38336 
40084 



■^586 

06 103 
86646 
77690 
77193 



41843 

43600 

.45369 

47117 
.48875 



84700 
99353 
30879 
47000 
78438 



60634 
533q2 
541 &0 
55qoq 
67667 



13873 
52638 
93619 
à63i3 
79816 



F(8«). 



78678 
,80432 
82186 
83941 
86696 
87451 



64447 

63668 

?38i7 
1866 
40708 
69363 



89307 
90963 
93718 

94476 
96351 



07367 
84840 

9i459 
20960 

91068 



97988 

99746 
oi5o3 

03361 
06019 



83440 
03717 
5i5o3 
s6363 
37835 



06777 
.08536 

1034 
130! 

]38i3 



16673 
17333 
19093 

30853 

33613 



554ao 
08687 
86773 
80385 



65358 
37381 
3ii56 
45945 
80984 



34373 
36104 
37894 
39666 
.3i4i7 



^78' 

34940 
36701 
38463 
40335 



35480 
08618 
99660 
07446 
31393 



.41987 

43749 
465ii 

47^74 
49036 



70497 
33838 

90474 

69460 

63723 



6o5i5 

70617 

8908 

1490! 

47033 



60708 
62661 
64333 
66086 
67848 



84436 
a6o66 
70870 
17793 
66777 



F (9^). 



78716 
80471 

83338 
83986 
86743 
87600 



43861 

73443 
40000 

69781 O 



89358 
91017 
13776 

J4535 
96396 



88386 

4406 

3685 

663i8 

33097 



,98066 

99816 
01676 
03337 
06098 



06860 

,08633 

io385 

13 147 
15910 



33778 
70903 

43974 

49447 
89735 



63ao5l 
60190 
06079 
76819 

749^0 



16674 

17457 
19301 
30966 
33739 



05454 
6o565 
45530 
568i5 
94065 



a4494 
36369 

38034 

39789 

3i565 



66067 

4t789 
60166 

8oio5 

3o48o 



,55531 
55o86 
56863 
58619 
,4o385 



Q0147 
87033 

i3o6i 
47948 



431&1 
.43918 
45685 
4746a 
49318 



96049 
56093 

26709 

o6838 

94306 



60985 
5375a 
54519 
,66387 
68054 



89738 
89913 

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51870 90370 



.35697 57690 
,37537 53613 
,39378 39413 
,41319 88383 
,43069 15436 



, 53705 453o3 
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06980 689330.06980 63180 
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33084 743060.33077 63481 
34817 535960,34809 a6334 



36549 o63o8o.3653q 60473 
38370 370640.38368 3o4oi 
40008 106930. 39996 60387 
41735 633360.41731 34966 
43461 46861 0.43446 48847 



45i85 899080.45167 96933 



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63067 .593 1 4 0.S 3040 85680 

53783 80833 0.53753 84869 
66498 366400.66466 41745 
67310 933960.67175 03636 
5803 1 779700.58883 64093 
6o63o 7744^0.60688 33903 



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0.39606 16609^ 
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0.36530 68976 
o. 38356 $3781 
0.3998a 633i3 
0.41706 64608 
0.43438 90891 

0.45149 36583 



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o. 48684 64896 
0.60399 37399 

0.53013 09087 



0.53733 76460 
0,56431 03363 
p. 671 37 75438 

0.68843 01338 
0.60644 06133 



0.63343 8681 610 

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36619 3396 
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39069 30968 
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^^55 




.98000 
•99603 
•3i9o5 
.3a8o6 
.34406 



68437 
61169 
991 




.36oo4 
.%r6o9 

•39»99 
.40796 

.49399 



9 

6ip5Ô 
5356o 
66619 
i3o5'8 

O9390 



•45987 
.45589 

.-#'77 

■m 



43798 
46773 

^?^ 
75388 

9i364 



E(96*)* 



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78011 
80679 

89990 

83886 
86Ç39 



87189" 
8883*6 
90480 
99199 
93760 



10886 
9583o 
55498 

997'4 
59067 
34919 



96959 
36597 
67040 

'97f7 
97119 



963q7 
97o3o 
98661 
00989 
01914 



09060 
37743 
07686 
16757 

66163 



03537 
06168 
06776 
08391 

0006 



63444 
19479 

,8444 
86877 

936o9 



34759I 



06496 
80691 
56889 



9840 

91930 

99836 

94439 

9D096 



97618 
99910 

30799 
393iS8 

35976 



49667 

73976 

36099 
4o466 



96860 
11946 
96783 
58891 
09876 



36669 
37)48 
38739 
4o3i6 
41900 



68617 
14869 
88557 

89764 
98646 



43483 
46066 

46647 
48999 

4811 



1&466 
60618 
74990 
66989 
49Û84 



y 



TABLE IX. 



f- 



0.79398 
0.81197 
0.82099 
0.84803 
0.86608 
0.88416 



o.9oaa5 
0.9^037 
0.93860 
0.96666 
o- 9748a 



F(ao*). 



843§S 

4993» 
ii3ii 

68531 

ai388 



0.9930a 
.01193 
.03945 

.04770 
06626 



69437 
11986 

7666 

9^97 
Ô45âB 
00670 
81648 

45 
891 



708416 
. i.oa66 
.iao86 
. 13930 
. 16764 



3' 

69700 
0176a 
96664 



.17691 

•>94a9 
,31369 

33ll0 

a495a 



50343 
58473 

16471 
19544 
6a685^ 



96796 
38641 
30487 
3a355 
34i83 



40680 
48117 

79390 
98706 

90096 



^o33 

.37884 
3q735 
.4*1688 

4344* 



67418 
94571 
845o< 
31907 
67761 



46996 
47100 

60861 

59717 

54574 

66430 

58388 
60145 
63009 



67306 
93873 
47388] 
33690 

44B3 
03699 

90616 
00863 
96180 

68991 



P(91*). 



79484 

.81990 
83o97 
84907 
86719 
88633 



80799 

10704 
67385 
91166 
091 36 

00174 



90349 
99167 

93987 
96810 

97635 



14860 
45468 
01067 
5o369 
91879 



9946a 
01990 

o3i9i 

04964 

06789 



08636 

io465 
i93o6 

i4»4a 
16993 



93984 
90199 
89668 
89379 



^7839 
19687 

91637 

93388 

96941 



97005^ 

98061 

3o8o8 

.33667 

34597 



86360 
77o36 
67668 
94307 
79398 

97555 

8696 
0067 
8679I 
69906 



o36o6 
81890 
9869S 
47076 
90889 



36388 
3895o 
4oii5 



,45707 

47574 

4944* 
5i3o9 

53177 

5504g" 
.66916 

58684 
6o653 
69693 



Î3i38 
16766 
94606 
39384 

93985 

98960 

48493 

64004 

37475 

60801 

96796 
94306 

477^5 
88008 
36678 



F(99«). 



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83300 
86016 
86834 
88665 



4^198 
69806 

16668 

ia993 

49399 
95406 



90478 
993o3 

j4i3i 

9596a 

97794 



40936 

te 

16719 
79046 



99^^ 
01467 

.o33o6 

o5i48 

0699 9 



75316 
09396 

5744a 
37004 
40617 



o8858 
0686 
9537 



61806 
97988 

98361 
53466 



8101 

9959 
31819 

9368\ 
36645 



06996 
48566 



69968 



97411 
99970 
3ii46 
.33017 
34888 



9067 

39047 
97604 
09806 
61689 



36761 
38635 
.40610 
49387 
44a64 



45749 
48091 

4990» 
61781 

58663 

56644 
574ao 

69308 

61190 

63079 



45a47 
53oo3 

7684 
0860! 

39906 



63336 

66934 
45i65 
88o33 
86496 

3i43o 
i3634 
93846 
53753 
91016 



F (93"). 



487 
833o7 

86139 

86966 

88783 



94330 

97998 

30170 

8969; 

0699: 

931 55 



90613 
99446 
94a89 
.96190 

9796 i 



17 
►77 

33460 

60801 

66096 



.99806 
.01661 
03409 
o535o 
07904 



09060 
10918 

«779 
0607 



17396 
94198 
89703 
90963 
43i39 

37645 
69708 

34877 
98370 

45069 



8374 
90944 

99110 

934 
36i 



79693 
96964 
169 
>99 
74517 



97749 
99691 

3i5oi 
33384 

.35368 



04718 
i33o6 
93680 

34964 

33031 



37163 
.39040 
4OO88 
43817 
44708 



75464 

56665 
66773 

96719 
37341 



46699 

484sa 

5o385 

5a! 

B4\ 

'SêSSs" 

61755 
63631 



78889 

1304^ 

36936 
i3653 
63161 

69396 
03999 
76664 
70179 
74093 



F(940- 



08496 

83418 795§5 
85948 96490 
87080 67677 
88916 99165 



90754 199940.90900 
99606 999860 
94439 969680 
96986 09698 
98135 77343 



,99988 97608 
01843 67835 
.03701 65i6i 
06669 46396 
07436 97636 



09303 16107 
1*1160 q43s4 
i3o33 3o477 
1^906 i8385 
16783 69490 



18661 96869 
9o54a 35909 
99496 70861 
94311 96793 
96198 96666 

98088 69766 
99080 41063 

31874 01904 
33769 4i63o 
35666 63o89 



37666 
39466 
41367 
.43970 
46174 



96691 
69633 
9i36o 
99763 
46633 



60893 

.63801 

64710 

66619 

68639 

60439 

63349 
64360 



8361' 
1977! 

65oo3 
30893 

64o33 

56679 
93988 

41437 



F(95*). 



7987O' 61407 
81700 08386 
83534 50748 
85371 36559 
87911 90489 
89064 38793 



il 



64371 
06696 

6i835| 

3i45i 

13786] 



.00179 
09044 
.03919 
.06783 
.07657 



o3664 

01484I 

o3991 
06431 

o4ao5| 



09533 
ii4i3 
i33q6 
i5i8i 



96361 
7385i 
34811 

596531 
io65 



18060 
9o853 
99749 
94647 
96548 



63993 
84a87 

64914 
88160 

45993 



98451 
.3o356 
39963 
34179 
36o83 



41093 

48694 



37996 
39910 

.41896 
43744 

45663 



47583 

53340 
5 5973 

57197" 
69199 

61048 

69073 

64899 



99759J 
671 1' 
69049I 

17604 
019961 

98li 



58446 

"^40441 
89311 

176341 
78535 
59185 



TABLE IX. ses 



M« TABLE DE. 



TABLE IX. 



867 



f' 



S 



5i 

53 

53 

U 

56 
5 

I 



E (a5«). 



0.77047 10886 
0.78911 fl583o 
.ào&7d 554fl8 
o.Saaao 097141^ 
0.83886 59067 
0.85559 34319 



0.87180 fl6a5a 
o. 88836 36597 
0.90480 67040 
0.99133 19717 
0.93760 97113 

0.95397 09060 

0.90661 07686 

1.00989 '^^ 
1.01914 66160 



61 

6a 
63 
64 
65 

66 
67 
68 

69 

Zi 
71 

73 
74 



E («6*). 



0.77147 38658 
0.78805 30894 
.80459 Q^a3 
.Saut 60734 
0.83760 18694 
O.854o5 69547 



0.87C4S 14418 
0.88687 54810 
o.9o3a3 93607 
0.91057 00075 



1.91097 0007s 
. ^3587 69867 




76 



l 



O 

83 

83 

84 
85 



1.03537 63444 
i.o5i58 ift47^ 
1.06776 18444 
1.08391 86877 
1 .loooS 33603 



0.95315 1 
0.96899 6 
0.98461 35194 
1.00080 18303 
1.01696 33388 



1.11616 34759 
i.i3385 36780 
1.14833 06436 
1.16436 80601 
1.18039 56883 



1.19640 4^5Sy 
1.31^^4^573 
1.33^1^73976 
1 . 34433 06003 

I ; 36036 404^5 



i.o33o9 53607 
1.04920 14101 
1.06998 13460 
1.08133 53634 
09786 438^3 



Ef37-). 



.77044 66863 
.78695 96371 
.80343 q3o84 
0.81088 59643 
0.83639 90603 
0.86367 96881 



0.86903 70371 
0.88*534 16733 
0.90163 34945 
0.91787 3o4o3 
0^93409 04903 



1 . 1 i336 80835 
i.t3o34 90436 
1.14530 76943 
1.16134 93955 



0.96037 61 658 
0.96643 04984 
0.98355 368o5 
0.99864 63643 
1.01470 89633 

1 .03074 19960 
1.0^674 60365 
1.00373 16639 
1.07866 96134 
1.09459 03794 



1.37618 96860 
1.39310 11346 
1.30799 96783 
1.33388 58831 
1.53976 09876 



86 

89 
90 



1.35563 68617 



1.30893 46346 
1 . 33477 ^3963 
1.34061 6i4o3 
1.35643 67845 



E(38'). 



0.76939 06898 

0.78585 63317 

.80934 64145 
0.81863 o8553 
0.83496 96760 
0.86136 39616 



0.86763 08009 
0.88376 33870 
0.89096 00173 
0.91613 3d43Q 
0.93336 18696 



0.9^834 69071 
0.90440 61689 
0.98043 30734 
0.99643 70883 
1.01338 87506 



1.11048 4Ç649 
1.13635 34166 
1.14319 73i3i 
i.i58oi 71733 
1 . 17716 74544 1 .17381 38446 

1.19306 09388 1 . 1 8968 83081 

i.3o534 11755 
1.33107 36885 
1.33678 67173 
1.36348 13696 



i.o383i 85665 
1.0/421 71633 
1.00008 61909 
1.07693 33333 
1.09173 33810 



1.37333 93764 
1.38803 7687 
i.3638o 170Q3 
i.3iq66 36633 
i.5553i 14661 

i.35io4 91603 



1.37148 148631.36677 683i5 
1.38733 885671.38349 66486 
1.40016 807641.39830 64o3i 
1 .41900 38646 1.41391 04947 



1.10761 38369 
1.13336 67683 
i.i38q9 19165 
1.16409 31768 
1.170 36 74475 



E(39*). 



0.76830 66636 
0.78468 33780 
.80103 17338 
0.81733 30007 
0.83358 41067 
0.84980 81380 

0.86699 41788 
0.88314 34364 
0.89835 30966 
0.91433 64477 
0.93086 3790 4 



0.94686.34830 
0.96383 69800 
0.97836 8^869 

0.99414 5q483 
i. 01000 8563^ 

.03583 7033Q 



E (80^). 



0.76719 60867 
.78360 10779 
1.79076 66910 
1.81699 06978 
0.88317 40189 
0.84881 66379 

0.86441 86466 
0.88048 03480 
0.89660 i655q 
0.91348 81448 
0.93843 60401 



1.04161 69645 
1.06787 40706 
1.07809 90680 
1.08879 27373 



0.94433 77181 
0.96019 16069 
0.97601 .71810 
0.99180 49714 
1 .00766 65 55o 

.03836 .9559? 



ï7ï86oi 86778 
1.30164 68467 
1.31736 39664 
1.33388 80806 
1.34840 33636 



1 . 10445 68618 
1.13008 98379 
1.18669 40301 
1.16197 08774 
1.16683 0874s 



1.08894 76610 
1 .06469 06863 
1.07019 91061 
1.08677 40408 



iT^ή 16455 
1.46066 60618 
1.46647 74230 
1 .48399 06989 
1.49811 49384 



1 .43060 8o383 
1.44580 38639 
1.46009 3865 I 
1.47668 16068 
1.49386 87111 



I. 36816 88893 
1.38881 90046 
1.3994643376 
1 .81609 54018 
1.88071 354 14 

1.84681 93 
1.36191 

1.39807 66606 
1.40864 63418 



1.36394 96146 
1.37947 83654 



1 . 18334 60361 
1. 19784 4381 5 
i.3i333 00367 

1.33877 80818 
1.34430 46974 

1.36061 60681 




1.42420 97108 

^ 82806 



X.43 
1.46^3 81694 

1.47087 66018 

1.48643 68087 



»• 29499 o86û5 
i.3ro48 71060 
,3 3696 96736 



1.97000 88768 
1.39088 38^07 
1.80674 08693 
1.83108 86018 



1. 10181 63690 
I .11683 66719 
1.18330 63569 
1.14776 59611 
1.16817 68698 

:1 . 17857 00458 
1.19898 66806 
1.30937 77771 
1.33459 4^883 

33988 85833 
1.36616 07414 



1 .34143 99984 
t. 36689 72078 
1.87384 46714 
1.88778 3q58o 
1.40831 85681 

1.41868 71640 
1.43406 56679 
tMs47 03og|iS 
1.46488 2idoo 
1 .48039 36638 



1.88641 3^014 
1.3517s 80015 
1.86708 35545 
1.88283 86398 
'1.89761 63094 



1.37041 34600 
1.38564 60678 
1. 80086 99309 
1 .81606 o4o5o 



1.41889 46011 
1.43816 848ii| 
1 . 44?jP 79960 
r. 45870 46556 



1.88194 19381 
1.84641 19313 
1.36 156 98366 
1.87671 71408 
1.89186 68934 



1.40698 68707 
1.43311 08256 
1.48738 01743 
1 .46384 69689 
1.47896 98873 1. 46746 3309? 



M« TABLE IX. 



TABLE DC. 



567 



i 



46 



5o 

5i 

5a 

53 

5 

5 

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5 

63 

64 
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66 
67 
68 

70 

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7a 

73 
74 



E (a5«). 



0.77347 10886 
0.78011 flB83o 
.80573 55438 
o.8aa3o 09714 
0.83886 59067 
o. 85539 54319 

0.87180 3635a o . 87048 
0.88836 365970.88687 
0.90480 67040 
0.9313a 19717 
0.93766 97113 



0.95397 oao6o 
0.97000 37743 
0.98661 07686 
1.00389 167" 
1.01914 6616 



E (a6*). 



0.77147 
.78805 
.00459 
0.83111 
0.83760 
Q.854o5 



38658 
30894 

.34923 
60734 
18694 

69547 



0.77044 66863 

0.78695 96371 

0.80343 q3q84 

0734I0. 81988 59643 

98603 



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.83639 9009s 

0.85367 96881 



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54810 

0.91957 00070 

69857 



.90333 

^91957 

1^3587 



1.03537 ^444 
i.o5i58 ia479 
1.06776 18444 
1.08391 86877 
1 .iooo5 336o3 



1.11616 34759 
1.1 3335 36789 

1.14833 06436 
1.16436 80601 

1.18039 56883 



0.95315 
0.96839 
0.98461 
1.00080 
1.01696 



II 

35194 
1830 

3338 



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1.04990 
i.o65a8 
i.o8i33 
1.09736 



76 



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9 

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1.19640 4^567 
1.31^^45573 
1.33^1^73976 
1.3443a 06003 
1.36036 404^5 



1.11336 
1 . 13934 
].i453o 
1.16134 

| i. 17710 



59607 

13460 
536a4 
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89835 
<j84a6 
76943 
03055 

74344 



Eea7«). 



1.86903 70371 

O. 88534 15733 
0.90163 34945 
0.91787 3o4o3 
0^95409 04903 



0.95037 61 658 
0.96643 04984 
0.98355 368o5 
0.99864 63643 
1 .01470 89633 

i.o3o74 19960 
1.0^674 60365 
1.00373 16539 
1.07806 95134 
1.09459 03794 
1.11048 4664 



E(980. 



0.76939 06898 

0.78683 63317 

0.80334 64143 
0.81863 o8553 
0.83496 96760 
0.86136 39616 

0.86753 08009 
0.88376 33870 
0.89096 00173 
0.91613 36430 
0.9 3336 18696 

0.9^834 59071 
0.96440 61689 
0.98043 30734 
0.9964a 70883 
.OI338 87306 



83 
83 

84 
86 

W\ 

89 

90 



1.37618 96860 
1.39310 11345 
1.30709 96783 
1.33388 68831 
1.33976 09876 

1.35563 58617 
1.37148 14863 
1.38733 8855^ 
t.4o3i6 80764 
1 .41900 38646 



•19306 
1.30893 
1 . 33477 
1.34061 
1.36643 



^388 
46346 
33963 
01403 
67845 



1.37333 
1.38803 
i.3o38o 
i.3iq66 
i.3353i 



93764 
76871 

3655s 
14561 



i30ô5 3416 
i.i4ai9 73i3i 
i.i58oi 71733 
1.17381 38446 



1.18968 83081 
i.3o534 11755 
1.33107 36886 
1.33678 67173 
1.36348 13696 



I.03831 85565 
1.04491 71633 
1.00008 61909 
1.07693 33333 
1.09173 33810 



E(a9-). 



0.76830 
0.78468 
0.8010a 
0.81733 
o. 83358 
0. 84980 



0.86699 
0.88314 
o . 89835 
0.9143a 
o.93o36 



0.94636 
0.96933 
0.97836 

o.994»4 
i. 01000 



66636 
33780 
17338 
30007 
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34364 
30966 

64477 
^7904 



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69300 
3B869 

35633 



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0.76719 
0.78360 
0.79976 
0.81699 
o. 83317 
o.8483i 



53867 
16779 
66910 
06973 
40189 
66379 



0.86441 
0.88048 
0.89660 
0.91348 
0.93843 



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16669 
31448 

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0.94433 
0.96019 
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1 .00766 



1 . 03583 

1.0^161 
1.06737 
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1.00879 



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1.46066 60&18 
I .46647 74930 
1 .48339 66989 
1 .49811 49384 



i.35io4 
1.36677 
1.38349 
1 . 39890 
1.41391 



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683 1 5 
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04947 



1.36816 83393 
1.38381 90046 
1.93946 43376 
1.01509 54018 
1.33071 ^414 



1.10761 38369 

1.13336 6768^ 

1.13839 19166 
1.15469 31768 
1.17030 74476 

1.18601 86778 

1.30164 68467 
1.31736 39664 
1.33383 80806 

1.34840 33636 




1.46099 

1.47668 
1.49336 



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87111 



1 .34631 93793 
». 36191 43656 

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i.3g3o7 66606 

1.40864 63413 



1.36394 36146 
1 . 37947 83654 
1.39499 o36û5 
i.3ro48 71060 
33 696 96736 



1 . 10445 
1.13008 
1. 13669 
1.16137 
1.16683 



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69645 
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680 
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40301 
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16059 
71810 

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1.03894 76610 
1 .06459 06863 
1.07019 91061 
1.08677 40408 



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1 . i333o 63369 
1 .14776 69611 
1.1 63 17 68698 



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I . 19784 
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1.33877 
i. 34490 

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1.43976 89806 
1.46639 31694 
1.47087 56oi3 
1.48649 68037 



1.34143 93934 
t. 36689 79073 
1.37334 46714 
1.38778 3q58o 
i.4o33i 3563 I 

1.41863 71640 
1.43406 66679 
1.44947 03096 

1.46488 91 000 

1 .48099 36638 



I . 37000 
1.39038 
1.30674 
1.39108 



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46974 

83758 
98307 
08693 
36oi8 



1.19393 663o6 
1.30937 77771 
1.33459 46833 
1 . 33988 85833 



1.33641 
1.3517s 
1.36703 
i . 38333 
1 .39761 



1.41383 
1.43816 
1.44343 
r. 46870 

1 .47396 



94014 
86016 

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1.355 16 07414 
1.37041 34000 
1.38564 60673 
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i.3i6o5 84060] 



1.33Ï94 19381 
1.34641 13313 
i.36i56 9o356 
1.37671 71408! 
1.39186 63334 



1.40698 68797 
1.49911 o39o6 
1.43793 01743 
1.45334 69689, 

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1. 2^1591 01 io4 
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37841 
63434 



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6^639 

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66559 

68675 



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64396 
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F (3i*). 



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08383 

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18457 
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53340 



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00668 

70377 

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96434 
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F (3a*). 



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86359 
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90167 



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86337 

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F(33*). 



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0663a 
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0.3 1033 3936 
0.33730 1798 
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0.48033 0071 
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0.01740 6353 
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14108 3331 

16431 6366 



18773 4347 
aii33 7370 
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ao3a5 7979 



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35683 8590 
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40676 8546 



43199 
45739 
48395 

60867 
53454 



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49161 
5431 

4369! 
6188 



56o56 
58673 
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63943 
66596 



4783 

6096 
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69360 

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74617 

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93558 



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0. 93807 3869 
0.3^83 0807 
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0.38145 680T 
0.39935 1573 

0.31730 3o4o 

0.33531 1618 



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0.37153 1861 



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0.13990 8493 
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0.17608 4481 

0.19373 0708 
o.aio% 36o3 
0.33810 6568 
0.34586 3o3o 
o. 36366 6430 



0.00000 oooo 0.00000 oooo 

0.01745 3858 0.01745 3873 

0. 03401 1107 0.034qi 1335 

0.05307 5 141 o.o5d37 5540 

0.06984 9357 0.06985 o3o4 



0.13991 6197 
0*15749 a5a3 
0.17509 958 7 






0.38153 0333 

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0.3^6904935 
0.36871 8137 

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0.1048X 1948 0.10484 5i55 
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0.43686 7195 
0.44^0,436 6 

0.46333 5o35 



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43 



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0.69346 4&33 

0.713S3 1358 
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0.75^43 80a 1 

0.77368 5l33 

0.79808 3636 
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0.48108 8038 
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0.61043 5i8q 
0.53831 

0.55780 

0.67640 5033 
0.69661 6981 

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0.43668 86a8 
0.44506 6983 

0.46360 0660 



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0.39960 S71 
0.81748 833 
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0.86863 



0.48936 3668 

0.60009 1448 

0.61009 7098 

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0.77403 6185 
0.79453 85 11 

0.01619 l330 
0.83600 336 



0.55780 7160 
0.67695 9816 
0.69633 4793 
0.61660 7681 
o. 68611 149 6 

0.65474 0679 
0.67449 9063 
0.69439 0681 

0.71441 9861 
0.73458 9699 



0.87181 8460 
0.89006 6994 
0.40889 6815 
0.49680 8897 
6.44680 61 79 

0.46889 975s 
0.28967 9474 

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0.08734 0843 



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33709 8366 
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37698 8069 
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4oo83 43i5 
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45841 5375 
47441 3319 
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0.44580 11 3a 



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48383 3479 
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0.56166 03671 
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0.60036 0357 1 
0.63083 0831 
0.64084 9439I 



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0.70194 5399I 
0.73366 8309 
0.7^58^^0707 



0.76^68 9439 
0.78600 1170 
0.80763 3783 
0.83936 1373I 
0.85133 3748 



TABLE IX. 






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53 

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TABLE IXé 




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46 

47 
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53 

53 

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29023 2057 
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0.06986 3995 

0.08736 44 i6 
0.10488 91^ 

0.19944 9919 
0.14609 8499 
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0.19303 5981 
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TABLE IX. 



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1 .03577 9^68 
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1.07637 3614 
1 .103 33 0767 



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1,30970 o853 
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1.36603 8745 
1 . 39490 36o3 
1 .334a^ 9318 
1.35408 833 
1.38443 33 



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0.93070 
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1 .44668 0353 

1.47860 4585 
1 51107 4^^^ 
1 . 54409 D763 



1.37137 5o59 
1 .30065 0116 
1.33043 5449 
1.36074 5367 
1 *39159 3844 



F(6r). 



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0.88541 
0.90885 
0,93363 
0.95671 
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1.05666 4589 
1 «08361 1983 
1 . 10897 3397 



1.13676 069 
1.16390 3374 
1 . 19068 3o84 
1.31884 Q049 
1,34760 6441 



1.67767 7616 
1.61183 0773 
1.64653 7998 
1.68179 8648 
1.71763 9353 



1.76401 3710 

«•79094 «976 
1 . 83840 

1.86637 
1.904 83 6739 



1.43390 4373 
1.45430 9793 
1^760 8096 
1 .03063 3304 
1.66435 9733 



.58860 flS6] 



1.63363 



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1.69537 358. 
1.78316 5i6i 




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1.88533 35io 

1. 93603 6093 



1 .96536 8703 

3.00690 3101 
3.04716 7808 

3.08876 3i63 
3.18070 o5i5 



1 . 37667 1716 
i.3o636 1443 
1.33669 3308 
1.36738 o5i8 
1 .30874 3669 

1.43069 4549 
1.^35 i5& 
1.40643 8397 
1.53033 8376 

1.66469 4l3() 

1.69080 63oi 
1.^558 3701 
1.67303 3816 
1.70016 73q3 
1.74696 7987 



F(68*). 



0.86373 

0.88600 

0.91000 

0.93 

0.95 

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1.00834 
1.03371 
1.06047 
1 .o8S65 
1.11336 



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1.16684 1413 
1 . 19484 3365 
1 .33332 43i3 
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1.38191 

1 .31303 

1 .34370 



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388^ 
4801 
i58 




F(69*). 



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0.91336 
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1 .61068 6030 
i,o3634 8939 
1.06333 
1 .08863 
i. u549 3369 



1.14381 5831 
1.1706a 4180 
1.19893 6af98 

1.33777 3088 
1.35716 1186 




1.3870g 
1.31763 3863 
1.3X876 7766 

1. 38003 otSi 
1.41393 5583 



1.78643 1601 
1.834S7 069a 
1.86436 3703 
1 .90470 3590 
1 . j4583 7919 



8.17396 7558 
8.31646 7819 
a. 35817 1384 
a.Soibo 5177 
a. 34390 47a4| 



1.98746 8^o3 
3.03966 0648 
3.07*334 4oi3 
3.11660 i6so 
8.16907 0634 



iTTiÔQo 7766 
1.64763 9889 
1.68501 5461 
i.7a3i3 i3o7 
1 .76199 0864 



i.8ot^ 3556 
1.84190 4305 
1.8830O 3781 

1.934783041 
1.9673S 3367 



3.30399 8i3o 
8.34730 8653 
8.3oi63 S^66 
3. 3363 r 4474 
3.38087 0191 



a.oio38 1817 
3.o5ii3 4838 
«09846 7470 
8.14333 
3.18865 



1.44601 7967 

> -47979 o36i 
1.61438 6834 
lé 54061 3693 
1.60549 ««09 



1.63334 3333 

1.66078 1708 
1.69813 1864 
1.73737 854s 
1 .77734 3603 
i.8i8o3 434Ô 
1.86964 bjÇSï 
1.90306 8006 
1 .94538 7683 
1.98938 3444 




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3.38045 6787 
3.33677 6186 
3.37336: 5 140 
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43365 



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50417 
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3933 



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05903 



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33070 



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4343 

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TABLÉ IX; 



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0.40746 6767 
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a. 70067 
3.76806 



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6137 



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3960 

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91779 8149 



97913 0760 

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40687 3961 
43377 a58g 



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TABLE IX. 



p. E(85-). E(88*). E(87*). 



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1 
1 
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80930 
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98863 
99198 
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1 



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71956 8a68 
75i38 4301 
74317 7464 
75474 4468 
^608 1698 



77718 5704 
78806 Sua 
79868 0616 
80906 4988 
81930 8071 



!îâ°9 1787 

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84810 9177 

86735 IK>80 

86609 407' 




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89108 8109 

89888 q4o8 

90689 9173 



91864 3149 
93060 7149 

93369 ^35 
g^i ^76 



94664 6804 
0S119 3370 
96644 855 1 
96141 4090 
96608 745 1 



97oi» 7» 

97854 1619^ 
98185 %{89 
98603 86^ 



98753 4865 
99o5a a\M 
99383 018b 

99481 9019 
99661 9160 



99792 1898 
99905 0J77 
99986 0703 
ooq4o ]a85 
00076 1678 



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o 
o 
o 
o 



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71955 

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74514 
75470 
76604 



6781 
9800 

3703 
4835 
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444 



o 
o 
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o 



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6994 
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67 
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83 

85 



86 

89 

90 



TABLE IX. 




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o.go5i6 

0.93041 
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a. 57953 
a. 69109 
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a. 94868 



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63196 
67886 
73786 



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4715 

5749 
5139 

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7811 

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3ii85 
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9455 

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358o 



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00370 



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01010 665o 



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9601 
4785 
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38193 

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68177 
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3431 

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0801 

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16060 

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03399 
41633 



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3460 
0470 
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0.90697 
0.93163 
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0.98380 
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5488 
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6865 

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.09483 
.13417 
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1711 

34791 
7916 

4554 



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•91667 
.94916 
.98966 
.31696 



0691 
4818 
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.35940 
.38898 
.49678 
.46690 
.60645 



4817 
5969 

8333 
4a37 



.54854 

.6q939 




.78771 
.84973 
.90078 
.96995 
9.09768 



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9.09739 

9.17913 
9 . 90980 
9.S404O 
9.43694 




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0693 
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9.54909 

9.66o3o 
9.79491 
9.94870 
3.i3i3o 



0436 
6198 
9068 

G93q 

i339 



3:35467 35i9 
3. 64953 33&7 
4.04819 5419 
4.74134 8760 
Innni logarith. 



Observations sur la Table IX. 

255. Nous avions proposé dans Fart, aoi^ de former la Table IX 
d'une série de tables particulières pour tous les degrés des angles 
du module^ soit depuis 9=o* jusqu'à 8 = 75% soit seulement de- 
puis d=:i5* jusqu'à 81=75% dans lesquelles on aurait inséré les 
différences successives des fonctions E et F, par rapport à l'am- 
plitude (p ; nous avons reconnu ensuite que ces différences augmen- 
teraient sans beaucoup d'utilité le volume de la Table ^ puisque 
les calculs d'interpolation exigent qu'on ait lès différences des fonc- 
tions relatives à l'angle du module S^ aussi bien que celles qui sont 
relatives à l'amplitude ^^ et qu'il est impossible que la Table soit 
disposée de manière à contenir ces deux sortes de différences, 
au moins passé le premier ordre. Il nous a donc paru plus simple 
de n'insérer aucune différence dans la Table IX, et de l'assimiler 
entièrement, pour les intervalles d'un degré, au modèle de la 
page 293, calculé pour des intervalles d'un quart de degré seulement. 

Eu simplifiant ainsi la forme sous laquelle nous présentons la 
Table IX, nous avons pensé qu'il serait utile en même tems dé 
donner à cette Table toute l'étendue dont elle est susceptible , 
c'est-à-dire de la calculer pour tous les degrés de l'angle du mo- 
dule, depuis fl=o% jusqu'à 6=90*. Par ce moyen, étant donné 
l'amplitude ^ et l'angle du module 8 de toute fonction E ou F, 
on peut avoir immédiatement une valeur approximative de cette 
fonction, en la comparant aux fonctions données par la Table, et 
qui s'en rapprochent le plus dans les élémens p et 8. 

Le calcul d'interpolation sera très facile, si l'on ne lient compte 
que des premières différences, ce qui pourra suffire dans beaucoup 
de cas; mais, pour obtenir une plus grande approximation, il 
faudra avoir égard aux différences secondes, ou aux différences 
ultérieures, ainsi que nous l'avons fait voir dans les articles :iio 
et suivans. 

^36. Persuadé comme nous l'étions, de tous les avantages que pré- 
senterait, dans l'application des fonctions elliptiques, la Table IX 

rendue entièrement complète pour tous les degrés de l'amplitude <p 

• • • ♦ 



V 



4i8 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 

et de l'angle du module 6 ^ nous n'avons pas craint de nous livrer 
au surcroît de travail très long et très fastidieux qu'exigeait la cons- 
truction de la Table I depuis 0=75% jusqu'à G = 90^. Heureuse- 
ment que la méthode de l'art. 66, à laquelle nous avons donné le 
nom de méthode des ordonnées moyennes ^ est si bien appropriée à 
son objet, qu'il a suffi d'y apporter quelques légères modifications, 
pour la rendre applicable à ces grandes valeurs de l'angle du mo-* 
dule, et en tirer des résultats toujours exacts jusqu'à la neuvième 
décimale. 

Nous avons constamment calculé l'auxiliaire P avec dix déci* 
maies, tant pour la fonction F que pour la fonction E; nous avons 
eu égard aux signes des erreurs sur la dixième décimale , afin d'ob- 
tenir par leur fréquente opposition, une compensation presque 
parfaite sur la somme totale; enfin nous avons conservé, dans tout 
le courant du calcul , la dixième décimale dans les fonctions E et 
F^ et ce n'est qu'après tous les calculs Êiits et vérifiés que nous 
avons retranché la dixième décimale pour n'en insérer que neuf 
dans la Table. 

Tant que ne surpasse pas 80% le calcul des fonctions F peut se 
faire par la formule 

J^F == P +^^ (cT^P- — ^cl^P^O; 

mais les derniers termes, ceux qui répondent à des amplitudes 
voisines de go% ont besoin d'une correction très petite et facile à 
déterminer. Cette correction est due au terme suivant de la série , 

lequel est •+• r^g G) /^P*****, et la somme de tous les termes sem- 
blables est -f- -75 Q) (J^T*' — const.) , où la constante est une des 

valeurs précédentes de J'^P'^^ assez petite pour être négligée. 

Il suit de là qu'après avoir formé la série des valeurs de la fonc- 
tion F , par exemple , depuis 9=270% jusqu'à 9=90% il faut ajouter 
pour dernière correction, à chaque valeur de F, la quantité cor- 
respondante 

d\d ^^^ ou environ ^. ^ 
La différence J^P** est sur la même ligne que cT^P*** qui est entrée 



- '-.-j»^^ -^ - 



--1 



OBSERVATIONS SUR LA TABLE IX. 419 

dans le calcul de /F^ d'où Ton déduit F^sF+^F; ainsi cette 
correction se trouve très simplement en ajoutant une colonne des 
différences cinquièmes de Tauxiliaire^ vers les derniers termes de 
la Table et seulement à compter du point où la différence cin- 
quième conmience à approcher de 2&ij unités décimales du dixième 
ordre. 

Il est remarquable que pour le dernier terme de la Table F(go'') 
ou F*, la quantité cPP*% et par conséquent la correction qui en dé- 
pend, est nulle. Car en faisant 9=289*, 

les valeurs successives 87%88%89%90*,gi%ga' , 

répondent terme à terme aux auxiliaires.» P*%P% P, P', P", P"'; 
or, on a en général cT^P** = P'^ — 5P" + ioP'~ ioP + 5P'— P*% 
et en particulier, lorsque 9 = 89% on a P'=P, P"=;P% P'"c;=P'*j 
donc cT^P** = o. 

dSy. Ce que nous venons de dire du calcul des fonctions F s'ap- 
plique au calcul des fonctions E, d*autant mieux que la correction 
due aux cinquièmes différences de l'auxiliaire, n'est pas sensible pour 
les fonctions £, tant que ne surpasse pas 80*. En effet, les diffé- 
rences de l'auxiliaire sont beaucoup plus petites , vers la fin de la 
table ( la seule sujette à difficulté ) pour les fonctions E que pour 
les fonctions. F \ et tandis que la méthode générale ne peut guère 
s'appliquer sans modification, autre que la correction dont nous 
avons parlé, que jusqu'à 0=: 80'', pour le calcul des fonctions F; 
cette même méthode pourrait s'appliquer, avec une semblable cor- 
rection, jusqu'à 87** ou 88* pour le calcul des fonctions Ë. 

Passé le terme = 8o% nous avons fait le calcul des derniers 
termes de chaque table particulière, en procédant par des intervalles 
d'un demi-degré seulement, et le nombre de ces termes a été 
augmenté progressivement, à mesure que 6 est devenu plus grand;' 
de sorte que pour = 88% on a commencé depuis ^=60*. Cet 
expédient réussit complètement et dans toute l'étendue de la Table, 
pour le calcul des fonctions E; mais il devient encore insuffisant 
pour le calcul des deruières valeurs de la fonction F ; savoir , de 
celles dont l'amplitude approche beaucoup de 90*. H ne reste pour 
celles-ci d'autre ressource que de les calculer directement par les 
formules générales d'approximation; c'est ce qu'on a fait pour 



420 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAli. 

fi = 86% 87* et 88% depuis ç = 85 , jusqu'à <p = 8q\ Il n'y a eu 
aucun nouveau calcul à faire pour les angles du module 89* et 90% 
puisque les résultats sont déjà connus par la Table du n* gS, pour 
le premier de ces angles , et par les Tables III et IV pour le der- 
nier. Ainsi à l'exception du petit nombre de termes qu'il a fallu 
calculer direclement pour la fonction F seulement^ tous les résul- 
tats contenus dans la Table IX ont été déduits de la méthode des 
ordonnées moyennes (*), dont l'usage ne saurait être trop recom- 
mandé dans les calculs de quadrature qui exigent un grand degré 
de précision. 

238. Ayant expliqué comment les difficultés de calcul ont été 
vaincues dans la construction de la seconde partie de la Table^ pour 
les angles du module plus grands que 4^*^ ^^ surtout pour ceux 
qui approchent de go** ; il ne nous reste que peu de choses à dire 
sur le calcul de la première partie de la Table ^ depuis d=;0% 
jusqu'à 6 = 4S''. Dans celle-ci, l'application de la méthode générale 
s'est faite sans aucune modification , dans toute l'étendue de chaque 
table particulière, même pour les valeurs de l'amplitude ^, très 
rapprochées de 90"*. On est d'ailleurs parvenu à abréger notablement 
les calculs pour les petites valeurs deâ, en déterminant l'auxiliaire 
de chaque fonction par une série très convergente. Pour cet effet ^ 
soit sin"" 6 sin* û) = r^ l'auxiliaire pour la fonction F sera 

P=a(i — r)"*=a+-ar+^ar*+i-^^a/^-f-etc. 

Le premier terme de cette suite a= -^ =0,01745 329252; si l'on 
désigne les termes suivans par (1), (2), (3), etc., en sorte qu'on ait 

P=:«4.(,)4.(a) + (3) + (4), 

ces termes se déduiront facilement les uns des autres, et on aura 
en même tems Tauxiliaire pour la fonction E , savoir : 

;, = «(, -.r)^ = «-.(,)-X(2)_.(5)_|(4); 

(*) On peut remarquer que cette méthode se rapproche beaucoup de celle 
que noua aidons donnée dans le tom. I, p. 3i 1 ; Fobjet n'est cependant pas le même : 
la première sert à trouver la suite des valeurs de fudf ', dans la seconde on n& 
cherche qu'une seule valeur de cette intégrale. 



OBSERVATIONS SUR LA TABLE IX. 421 

cr, sans passer le terme (4)9 on obtiendra, par ces suites^ dix 
décimales exactes, pour toutes les valeurs de ^, si 6 n'est que de 
quelques degrés^ et pour un nombre plus ou moins grand de va*, 
leurs de ^ , lorsque d sera plus grand. 

iiSg. Ces calculs étant faits constamment avec dix décimales, le 
résultat des 4^ premières opérations, qui donne les fonctions E et 
F pour l^amplitude ^z=45% s'est toujours trouvé d*accord avec la 
Table VIII, soit exactement, soit à la différence d'un très-petit 
nombre d'unités décimales du 10* ordre, nombre qui est allé rare- 
ment jusqu'à 4 et qui n a pas le plus souvent passé 2 ( on ne parle 
pas ici des grandes erreurs qui sont presque inévitables dans de si 
longs calculs , et que l'on découvre immédiatement par la com- 
paraison avec la Table VIII ). Pour faire disparaître cette différence , 
voici le moyen qu'on a employé : supposons qu'il y ait trois unités 
décimales du 10* ordre à ajouter à la fonction trouvée par le calcul , 
pour la faire coïncider avec le résultat de la Table VIII ; il faudra 
examiner la dernière série des différences ( c'est ordinairement la 
quatrième)^ et noter les endroits où elles sont le plus irrégulières. 
On choisira trois de ces endroits, et on verra quelles sont les dif- 
férences correspondantes du i^^ ordre qui, étant augmentées cha- 
cune d'une unité, rendraient plus uniforme la dernière série des 
différences. Un peu d'exercice suffit pour apercevoir d'un coup- 
d'ceil celles des différences premières qui satisfont le mieux à cette 
condition. Corrigeant donc la série des fonctions , d'après celle des 
différences premières , on aura une nouvelle série de 4^ nombres 
dont les différences marcheront d'une manière plus régulière, et 
dont le dernier terme s'accordera entièrement avec le résultat exact 
contenu dans la Table VIII. La même marche et le même mode 
de correction ont été également employés dans le calcul de la se- 
conde partie de la Table, depuis ^=45'' jusqu'à (p=:90^ 

:24o. L'expérience nous ayant ainsi dirigé dans le calcul des dif- 
férentes Tables particulières qui ont servi à composer la Table IX, 
nous avons pensé que tous les résultats devaient être exacts, à une 
ou deux unités près du dernier chiffre décimal. C'est pourquoi nous 
avons conservé dix décimales dans toute l'étendue de la première 



I 



422 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL, 

partie de la Table IX , depuis G = o, jusqu'à 6 = 45^ On aurait pu 
conserver la dixième décimale bien loin encore au-delà de cette 
limite; mais les calculs de la seconde partie étaient déjà faits ^ dans 
le dessein d'obtenir neuf décimales exactes seulement^ et d'ailleurs 
les grandes variations qu'éprouvent les fonctions E et F, lorsque 
l'amplitude et l'angle du module s'approchent tous les deux de 90% 
ne permettent pas de prétendre à l'exactitude de la dixième déci- 
male dans leur détermination ^ à moins de calculer les auxiliaires 
avec une ou deux décimales de plus^ ce qui aurait augmenté con* 
sidérablement la longueur et la difficulté du travail. 

Ayant donc pris toutes les précautions pour assurer l'exactitude de 
nos calculs , nous croyons pouvoir présentep la Table IX aux Géo- 
mètres, comme le résultat d'un travail très pénible qui mérite toute 
leur confiance. Cette Table servira à faciliter l'application de la théo- 
rie des fonctions elliptiques, qui est le but principal que nous nous 
sommes proposé dans cet Ouvrage. 

Addition au %ÏL 

:i4i* On a déjà vu que les deux formules trouvées dans le § II , 
fournissent deux méthodes différentes pour former une Table des 
valeurs de Tintégrale U=/mJ^; ces deux méthodes ont chacune 
leurs avantages particuliers, mais en général nous avons jugé que 
la préférence devait être accordée à la première, que nous avons 
nommée Méthode des ordonnées moyennes j et que nous avons adoptée 
pour la construction de la Table IX. 

Nous remarquerons ici que la seconde de ces méthodes peut avoir 
une application particulière et fort utile; sll s'agit en effet de cons- 
truire une Table des valeurs de la fonction U, d'après la seule coa* 

JaTT 

naissance du coefficient différentiel du second ordre -j-^ =: 2^, en 

sorte qu'on ait U=JJud^^, le problème se résoudra immédiate-- 
ment par la formule 

J^-U- = Q + ri cT-Q* ~ ,^ cT^- + ^ôVr^ ^T^Q- - etc. , 

où Ton a Q=:flt*a. 
L'usage de cette formule suppose que Ton connaît à Torigine de 



ADDITION AU § H. 42Z 

rinlégrale les valeurs de U et de cTU; ces deax données suflSront 
pour calculer la série entière des valeurs de U; et si Ton a besoin 

dans cet intervalle , de Tun des coefficiens différentiels j- , on le 
calculera par la formule ordinaire 

a^ = crU — icT^U + gcT^U— ij^U + etc. 

0^2. Si l'on proposait ultérieurement de former une Table des 

valeurs de la fonction U, en connaissant seulement le coefficient 

«PU 
différentiel du 5* ordre ^=zUj en sorte qu'on eût U s=:pud(p^^ 

u étant une simple fonction de 9^ la solution se déduirait aisé- 
ment de la même analyse que nous avons suivie dans Fart. 65. 
Soit pour cet effet u ce que devient la fonction donnée u^ lors<^ 
qu'on y met 9 + i ^ ; au lieu de f ^ on trouvera 

ttV = f^^V — if/^U- + k'J'^V^ — ^'V^U*^ + etc. , 

les coefficiens k^^f^', k!"^ etc., étant les mêmes qu'on déduirait de 
réquation identique 

Soit donc a'pssR; et de l'équation précédente on déduira 

la loi des coefficiens étant la même que donnerait le développement 
de (1 4. i Jf-g^x- + g^, a:»- etc.)'. 

Au moyen de la formule précédente y il suffit de connaître à 
l'origine de l'intégrale les valeurs de U^ ^U, J^XJ^on ce qui revient 
au même y les trois premiers termes de la série U , U'^ U'', et on 
formera la série entière des valeurs de l'intégrale Vzsipud^^. 

34s. Il résulte encore de la même analyse qu'étant donné le 
coefficient différentiel de quatrième ordre ^ = 21^ si l'on fait 
a^u := S ^ on aura la formule 

S*U- = s + J J^-S-- ^ <r*S" + ;^, /'S- - etc. , 



4^4 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL, 

au moyen de laquelle on pourra calculer la série entière des valeurs 
de l'intégrale U ^pud(p^y pourvu qu'on connaisse les quatre pre- 
miers termes de cette série U , U', U^', U'", ou ce qui revient au 
même 9 les quatre quantités U, J^U, S'^V ^ cT^U. 

On a vu dans les art. 72 et suivans comment les calculs doivent 
être disposés pour former graduellement la série des auxiliaires 
et celle des fonctions. Pour éviter a cet égard tout embarras^ voici 
comment on mettra en usage la dernière formule 

tT^U^* = S + ^ /*S* — etc. 

La valeur de S étant donnée en fonction de ^^ on pourra cal- 
culer préalablement^ avec telle étendue qu'on voudra, la suite des 
quantités S, tant dans le sens des variables croissantes (p^ (p+ot^ 
^ + 2a, etc., à partir de la première valeur de ^^ que dans le 
sens contraire (p — a, (p — aa, etc., s'il est nécessaire. Avec ces 
valeurs et leurs différences successives y prolongées jusqu'à ce 
qu'elles puissent être négligées, on formera autant de lignes qu'on 
voudra, telles que les suivantes: 

S% cTS*, er*S% cT^S*, cr^S% etc. 



(P + a 

^ -|- net 



s , eTS , cT'S , eT'S , cT^S , etc. 
S', eTS', J^'S', cT^S', /^S', etc. 
S'', /S", cT^S", cT^S", S^&\ etc. 



Cela posé , puisqu'on a en général 

«T^U = S"+ ^ «T'JS' -S*S + -r^-r, «r«S' — elc. 

(valeur qui se réduira le plus souvent aux trois premiers termes); 
on voit que pour chaque valeur de ^, la Table des quantités S 
donnera immédiatement la valeur de J^^U, laquelle jointe aux va- 
leurs connues de U, cTU, cT'U, cT^U, servira à former dans la 
ligne inférieure les termes U', <fU', cT^U', J^^U'. 

Calculant de même la valeur suivante de cT^U, qui est cT^U', on 
formera une nouvelle ligne U", cTU", ^f'U", «T^U", et ainsi jusqu'à 
la limite de la Table qu'on veut construire. 

On voit que pour être en état de calculer le terme S^V qui sert 
^ trouver U'% il suffira d'avoir avancé la série des S jusqu'au terme 



ADDITION AU S H- 4^5 

S*^'quî sert a trouver cT^S, en supposant du moins que la valeur de 
cT^U soit exprimée d'une manière suffisamment exacte par les trois 
premiers termes de la formule. Ainsi ^ dans les cas les plus ordi- 
naires ^ la série des S ne devra pas être prolongée au-delà de la 
valeur de (p, où doit se terminer la Table; dans ces mêmes cas 
où l'on n'a point égard au quatrième terme de la formule contenant 
J^^S% le calcul des quantités S ne devra être fait qu'à compter de la 
première valeur de ^ , puisque les quantités précédentes S^S*"", etc. 
ne seraient d'aucun usage. 

^44* I^ ^^ ^^^^ P^s inutile de réunir ici^ sous un même point 
de vue, les différentes formules que nous avons trouvées, pour 
former une Table des valeurs de l'intégrale U, lorsqu'on suppose, 
connu y en fonction de la seule variable <p , l'un des coef&ciens dif- 

lerentiels T-, ."^r) ^s"? 314Î voici ces formules ou nous avons 

constamment désigné par P l'auxiliaire qui doit être employée dans 
chaque cas. 

Soit i"". l'intégrale U=ijud^; on fera P = âC(^, i^ étant ce que 
devient la fonction donnée u, en mettant ^+|a a la place de (p^ 
ei on aura la formule 

if U = P + -^ J^*P- — F^ cT^P- + -^-o J^'P^'" — etc. ♦ 
• fl4 5760 ' s^'^ 

Soit 2*. l'intégrale TJ=:rJJ^<P*i on fera P = a*a, et l'on aura la 
formule 

cT^U* =P +— cT^P* L J^4p«* +2^ cTT*-* — etc. 

' la 34^ ' 60480 

Soit 3*. l'intégrale Uz=:pud(p\ on fera P = aV, p étant ce que 
devient 2^^ en mettant ^+s ^ ^u lieu de ç,'éi on aura 

S^U' = P + 5 cT-P^ — -^ cf ^P- + -^^ cTT-^* — etc. 

8 1920 ' 945. a 

Soit 4^ rintégrale U s=/^ttrf(p*, on fera P = ût^«, et l'on aura 

cT^U** = P + ^. J^*P- î- eT^P** 4- 7-4^-^, J^'P"*" — etc. 

' b 720 ' 4735. a*«» 

Il serait facile de prolonger à volonté la suite de ces formules^ 
en observant la loi qu'elles suivent et qu'on démontre généralement 

kkk 



426 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 

par l'analyse du n^ 65. Aiosi pour Viatégrale U=/^i^% on ferait 

l'auxiliaire "Pz^a^v, et ou aurait la formule 

cT^U^ = p + JL JN.po — ^ J^4pt»-|^ etc.; 

pour l'intégrale Vz=Pud^^, on ferait V^saL^u, et l'on aurait la 
formule 

^qjooo = P + 1 J^*p* ^ ^1^ /4p*o ^ etc. , 

ainsi des autres. 

Quant à la loi des coefficiens^ elle est la même que celle qui 
résulterait du développement de la puissance 

n désignant l'ordre de l'intégrale proposée U = /"udf^. 

:24^* U serait k désirer qu'on pÀt calculer par des procédés sem<* 
blables et avec des suites aussi convergentes , les valeurs successives 
d'une fonction U donnée par une équation différentielle du premier 

ordre ^sfbncL {V y f ), ou même par une équation différent 

tielle d'un ordre plus élevé. Ce problème est de la même nature 
que ceux qui concernent les intégrales simples ou multiples; mais 
sa résolution offre beaucoup |>lus de difficultés , et jusqu'à présent 
nous ne voyons d'autre moyen d'y parvenir que la formule de Taylor 

^^—* 3? + 7 --3^ + ^ -0^^ + 0:4 3^+ etc., 

qui sert à calculer la différence finie d'une fonction par le moyen 
des coefficiens différentiels successifs de cette fonction. 

Si Téquation est du premier ordre, le premier coefficient 3- sert 

donné en fonction de U et de ^ , et les sui vans -^^r» -^ % etc., s'en dé* 

duiront par la différentiatîon. On pourra donc , d'une valeur donnée 
de U correspondante à ^=e , déduire là valeur suivante V^JU-^J^JJ , 
correspondante à ^=e+a, et ainsi successivement. 

246. Si l'équation est différentielle du second ordre, alors £ii^ 
saut ^ =1/, le coefficient -^ sera une fonction donnée de u et 



- . y^ ' 



*• i: 



ADDITION AU § IL 4^7 

de f ; on en déduira par la différentiation les valeurs des coeffi* 
cîens suîvans gr^-, g-j-, etc., exprimées semblablement en fonctions 
de u et de (p. 

Connaissant donc les premières valeurs de U et de 1^ qui répondent 
par exemple à ^=ey on trouvera les valeurs suivantes de U et de 
u qui répondent à ^=:e + «, au moyen des formules 

<^" = *- 3^+a-3F^^O-3^ + ^»^-^ 

d'où l'on déduira U^saU+cTU^ u'ssu-^J'u. Par ces nouvelles 
valeurs de U et de u qui répondent à^ = e-Ha, on trouvera sem- 
blablement les valeurs suivantes qui répondent à Çse + ^^i et 
ainsi successivement jusqu'à la fin de la Table* Mais ces calculs 
qu'on doit faire ainsi pas à pas pour que le résultat en soit plus 
exact , sont très longs et très difficultueux. 

Il serait d'autant plus utile de perfectionner ces méthodes en ren- 
dant les suites plus convergentes^ que la réduction en Tables est la 
seule ressource qui reste pour évaluer les fonctions déterminées 
par des équations différentielles qu'on ne peut intégrer exactement ^ 
et peut-être n'y a-t-il pas d'autre moyen de résoudre les grandes 
difficultés que présente la théorie des perturbations des planètes , 
lorsque le développement en série ne peut pas avoir lieu ^ ou lors«- 
qu'il offrirait an trop grand nombre de termes qui ne pourraient 
être négligés. 



FIN. 



ItSammmSi 



TABLE DES MATIÈRES 

DU TOME m. 



§1. Du calcul des fonctions complètes V^CjE'Cj . pag. 5 

Propriétés remarquables de Téchelle des modules > d'où résultent des théorèmes 
analogues à ceux des art. jZ et suîy. de la première partie. 

Suivant Tun de ces théorèmes on peut trouver directement^ avec tant de dé- 
cimales qu*on voudra^ et par l'extraction du plus petit nombre possible de racines 
quarrées, le logarithme d'un nombre donnée io 

On détermine généralement combien il faut calculer de termes de l'échelle de» 
modules, pour obtenir 14 décimales eSsactes dans les logarithmes des fonction^ 
complètes F*c, E'c, F'i, E'&, la 

Formation de V échelle des modules. 1 5 

On donne les formules les plus simples pour avoir > jusqu'au degré d'approxi- 
mation fixé , les logarithmes des modules décroissans c, c% c^, etc. ^ et ceux de 
leurs complérfens i, 6®, 6°**, etc. 

Formule pour le calcul des quatre fonctions F'c, E*c> F*b^ E*b^ 16 

On rappelle ici les formules générales d'approximation, et l'on s'attache à leur 
donner la forme la plus simple pour le calcul logarithmique. Ces formules se 
simplifient progressivement à mesure que le module c est plus petit. 

Exemple pour le module c =sin45% qui est le plus grand de ceux auxquels les 
formules doivent être appliquées , a a 

Autre exemple pour le module c r= ^3 — 1 , qui donne lieu à des vérifications 
fondées sur les propriétés particulières de ce module, 37 

Troisième exemple qui présente de semblables vérifications^ 3i 

Construction et usage de la table des fonctions complètes j 34 

Formules d'interpolation dont on a fait usage pour la construction de la table 
où qui deviendraient nécessaires, si l'on voulait l'étendre à tous les centièmes de 
degré, 34— 4o 

Formules et exemples pour montrer l'usage de la table , 4^ — 49 



La seconde méthode^ fondée semblablement sur Tauxiliaire Q = m^^-j-^ i dé- 



TABLE DES MATIÈRES. 429 

t^ormules remarquables pour trouver directement les logarithmes des fonctions 
complètes F«i, E»i, lorsque le module b diffère très peu de l'unité, pag. 4i — 49 

§ II. Méthodes générales pour former une table des valeurs de 
f intégrale U =/ud^ , 5 1 

Au moyen d'un algorithme propre i abréger les calculs, et sur-tout à faire 
connaître la loi des résultats , on parvient à deux formules principales, qui four- 
nissent deux méthodes différentes pour construire une table des valeurs de Tintégrale 
U z=zfud^ , correspondantes aux valeurs successives ^ = o, «, â«, 3« , etc. , 5i — 5g 

La première formule détermine pour chaque valeur de ^ , la différence ^U, au 

moyen des valeurs successives de l'auxiliaire P = «t/, où v est ce que devient u, 

•n mettant ^-t- i«( au lieu de f. Cette première méthode, qu'on peut appeler 

Méthode des ordonnées moyennes, est d'une application extrêmement facile, à 

cause de la grande convergence de la série qui détermine ^U. 

ddu 

d<p' 
termine la différence seconde J^U^ par une suite encore très convergente. 

§ UL application des Méthodes précédentes aux fonctions ellip^ 
tiques E etVj 65 

On prend pour exemple la construction détaillée d'une table où l'on calcule 
jusqu'à douze décimales , les fonctions £ pour le module sin 45^ et pour tous les 
demi-degrés d'amplitude, 65 — 77 

Remarques sur les différentes méthodes qu'on pourrait employer pour construire 
un système complet de tables elliptiques , 78—83 

Table particulière pour le module c = sin 89% 84 

§ lY. ^utre méthode pour construire des tables des fonctions^ etEj 88 

Cette méthode repose sur une seule donnée, qu'on peut déterminer avec toute 
la précision nécessaire ; elle a l'avantage de réduire la construction de la table 
entière à des formules trigonométriques rigoureuses. Mais l'interpolation de cette 
table serait plus difficile dans les applications , que celle des tables ordinaires où 
l'amplitude croit d'une manière uniforme. 

§ V. Formules pour trouver des valeurs très approchées des fonctions 
E^j E(p , lorsque F amplitude (p ri excède pas une certaine limite^ 96 

On fait voir que certaines formules très simples peuvent représenter assez exac- 
tement les fonctions £ et F, tant que l'amplitude ç n'excède pas ao ou 3o*, sur-tout 
si l'angle du module n'est pas trop près de 90®; ces formules peuvent donc suppléer, 
dans une étendue assez considérable^ aux tables elliptiques dont l'interpolation 



45o TABLE DES MATIÈRES. 

sera toujours plus ou moins difficile^ connue celle de toutes les tables à double 
entrée. 

§ VI. Méthodes dii^enes pour calculer les valeurs approchées des 
fonctions Ecp^ F^, lorsque V angle ^ excède la limite supposée dans 
le § précédent j pag. io4 

On peut xamener tous les cas proposés â celui où l'amplitude est d*un petit 
nombre de degrés > soit par la bissection continuelle de la fonction Ff ^ soit par la 
multiplication de cette fonction; les calculs pour cet objet s*exécutent par des 
formules trigonométriques rigoureuses. On en donne différens exemples qui serrent 
à apprécier l'exactitude des résultats , i o4 — 1 1 a 

Ces applications doiment lieu de simplifier la formule générale qui exprime la 
fonction £f , dans tous les cas où le modula c diffère très peu de Tunité, poorru 
que Tamplitude 9 n* excède pas une certaine limite, 1 13 

Autres formules pour trouver les fonctions F^» Ef « lorsque b est très petite ou 
seulement lorsque b tang f est plus petit que Tunité » 1 iS 

S VIL Formules pour développer en séries les fonctions ^etV, 118 

On applique les formules de la V* paitie « art. i5a et suit. , au développement 
des fonctions F et E> ordonnées suivant les sinus des arcs multiplet ^,4P» ^f» etc. 

On fait voir dans différens exemples^ jusqu'à quel point les séries doivent étie 
prolongées , pour obtenir un degré d'exactitude déterminé. 

Lorsque le module devient trop grande on peut rendre les séries beaucoup plus 
convergentes et diminuer considérablement le nombre de leurs termes , en substi- 
tuant , par une transformation , la variable ^* à la variable f, 1 aa 

S VIII. Formules pour exprimer les /onctions JLetFen séries dé^ 
ueloppées suivant les puissances de c*, 176 

Ces séries sont données immédiatement par l'intégration^ mais elles ne peuvent 
guère être utile* que lorsque le module c ne passe pas une cerUine limite , au-delà 
de laquelle elles deviendront trop peu convergentes. 

On donne à cette occasion une table des intégrales Z'rs/d^ sin* ^, Z''=/d;psin<^, 
Z*=/dçsin'^, pour toutes les valeurs de f , de degré en degré, depuis f=o* 
jusqu'à ^ = 90*. 

S IX. Intégrales complètes des équations différentielles du second 
ordre ^ auxquelles satisfont les fonctions F et E, ï8o 

Ces équations différentielles, qui sont celles de l'art. 45, tome I, supposent le 



TABLE DES MATIERES. 43 1 

moclule c seiil variable. On prouve par cet exemple^ que l'usage des fonctions 
elliptiques n'est pas borné aux simples quadratures. 

011% Iw ^ ^^^A^^ ^ ta 

S X. DéifeloppemerU des quantités -^^^^ -jïjjr;; ^^ autres wmblahlesj 
suivant les puissances de tare cêj les nombres metn étant entiers^ p. ^83 

Après avoir rappelé les formules contenues dans les art. iGo et suiv. du tome , 
on donne une table complète des logarithmes des coefficiens HnetKn> calculés 
à i4 et i5 décimales , i85 

Aux quatre formules données dans l'art. 160, on en ajoute une cinquième qui 
sert à caJculer log coe •, et de là log sinj» et log tang «^ lorsque l'angle s est d'un 
petit nombre de degrés , ' 186 

La différentiation réitérée de ces diverses formules , conduit i ce résultat général , 

p 

crae toute quantité de la forme -r-- -— , dans laquelle P est une fonction ra- 

1 ^ sm'*« cos*# ^ 

tionnelle et entière de sinm et oos «» étant développée en série ^ suivant les 

puissances ascendantes' de l'arc «, on peut assigner un terme quelconque du 

développement au moyen des coefficiens H. et K.. Il en serait de même de Tin- 

tégrale / -^-^ — prise depuis « s= Oj en supposant seulement i-f- ^ positif. 

^ sin cos IV 

Pour compléter ce point d'analyse , on ajoute , sous deux formes différentes , 
l'expression générale de chacun des coefficiens H,,, K«. 

§ XI. Réduction de la formule qui sert à exprimer la fonction £9 
dans la méthode des modules croissais, igS 

La formule générale de l'art. idS étant d'une application fort difficile, on a 
tâché de la réduire i une forme plus simple» sans lui faire rien perdre de sa 
généralité. G*est à quoi l'on est parvenu au moyen d'une série qui se simplifie de 
plus en plus^ à mesure que le module se rapproche davantage de l'unité; on la 
présente ensuite dans les différens cas , sous la forme qui convient le mieux au 
calcul logarithmique. 

Exempte I. On calcule les fonctions E et F avec i4 décimales^ pour le module 
c = sin 8i* et l'amplitude f = 76**, 197 

Exemple IL Calcul semblable pour le module c = sin /fi^ et l'amplitude 
9 = 45% aca 

S XII. Méthode pour construire^ et après un module donné j une 
table composée d^un petit nombre de valeurs des fonction^ E et F, 
au moyen de laquelle on puisse déterminer facilement ces fonctions 
pour toute valeur donnée de t amplitude, 206 



432 TABLE DES MATIÈRES. 

Cette méthode est la même que celle du ^ lY; on l'applique au calcul.de la 
table particulière pour le module c = 8in45*, on montre ensuite l'usage de cette 

table. 

La table VI a été calculée pour faciliter l'usage de cette méthode; on y trouve, 
pour tous les degrés de l'angle du module depuis 4 = jusqu'à I z=, 45% la valeur 
de ^, qui satisfait à l'équation F^ = -^ F'c. 

§ XIV. Application de la méthode précédente au calcul de la table 
particulière pour le module c = sia 8 1*^ pag. na i 

On s'est proposé d'obtenir i4 décimales exactes dans tous les résultats que 
présente la table et dans les applications qu'on en a données. Ces calculs sont 
extrêmement pénibles, mais les nombreuses vérifications auxquelles ils ont été 
soumis ne permettent pas d^ douter qu'on ait atteint le degré de précision qu'on 
s'était proposé. Dans cet exemple , on trouvera réunis tous les moyens qui peuvent 
assurer l'exactitude des calculs où Ton emploie les grandes tables trigonométriques ; 
on y trouvera aussi , page ^46 , une formule d'interpolation qui peut être utile dans 
tous les cas où la série des différences n'est complète que dans un sens contraire 
à celui où Ton peut faire l'application de la formule ordinaire. 

§ XV. Sur la construction d'un système complet de tables ellip^ 
tiques^ a5S 

Ayant choisi de préférence la première des méthodes du $ II, celle que nous 
avons nommée méthode des ordonnées moyennes, on propose de calculer d'après 
cette méthode les tables particulières qui doivent composer la table IX. On rappelle 
les formules nécessaires pour cet objet, et on en fait l'application détaillée au 
calcul de la table particulière pour le module c = sin 63^. 

En supposant les calculs faits directement pour chaque degré de l'amplitude et 
de l'angle du module , on donne les moyens de construire une table plus étendue , 
dans laquelle ces deux variables croîtraient progressivement d'un quart de degré 
seulement. Exemple d'une portion de cette grande table, 2^3 

On donne , suivant une notation nouvelle et très commode, les formules générales 
d'interpolation qui doivent être employées pour toute table à double entrée , et on 
en fait l'application à divers exemples, pris dans la portion de table de la page 293. 
Ces mêmes formules s'appliquent à la table IX , et peuvent conduire à des^résul- 
tats aussi exacts , si l'on prolonge suffisamment la série des différences , 2294 — ^3oo 

Pour faciliter la construction de la table IX, on a cru devoir calculer la table VIII, 
qui donne les valeurs des fonctions E etF, exprimées avec douze décimales, pour 
tous les degrés de l'angle du module , et pour les deux amplitudes de 46 et 90^ 

Le calcul de cette table a donné lieu de simplifier de nouveau la formule qui 
«ertâ exprimer la fonction £9, dans la méthode des modules décroissans *, on e&t 



TABLE DES MATIÈRES. 435 

parvenu à une nouvelle formule , qui a beaucoup d'analogie avec celle qui a été 
trouvée dans le Ç XI^ pour le cas des modules croissans. On a remarqué ensuite 
que la supposition de f = 45**> conduit à de nouvelles formules qui simplifient 
beaucoup les calculs, au moins tant que l'angle I est plus petit que 45^ 

S XVI. Des cas ou ton voudrait pousser F approximation au-delà 
de 14 décimales j dans le calcul des fonctions E et V, pag. 3o8 

On donne d'abord pour exemple le calcul des fonctions complètes F^c, E'c, 
fait avec ao décimales, pour le module c = sin 45^« 

On donne ensuite les formules par lesquelles on pouitait obtenir un pareil 
degré d'exactitude , dans le calcul des fonctions £ et F pour une amplitude 
donnée p, Si 4 

L'usage des logarithmes ne pouvant guère avoir lieu au-delà de so décimales , 
si Ton veut obtenir un plus grand degré d'exactitude, il faudra recourir au calcul 
arithmétique ordinaire. Dans cette vue, ou dispose lés formules de manière â 
parvenir au degré d'approximation fixé par la voie la moins laborieuse qu'il est 
possible, 517-— 3ai 

TABLE I, contenant les logarithmes des fonctions complètes T^c, E*c, calculés 
pour tous les angles du module , de dixième en dixième de degré , depuis o* 
jusqu'à 90®, avec 14 décimales pour les i5 premiers et les i5 derniers degrés du 
quadrant, et lâ décimales pour tous les autres angleis de ï5 i 76°. 

On j a joint les différences premières , secondes , troisièmes et quatrièmes de 
ces logarithmes, terminés uniformément à la décimales. 

L'angle du module qui sert d'argument est désigné par I, laS 

TABLE n , contenant les valeurs des fonctions E et F calculées à 1 a décimales, 
pour toutes les amplitudes f de demi-degré en demi-degré , depub o^ jusqu'à go<*, 
l'angle du module étant de 45^. 

On y a joint la série des différences , prolongée jusqu'au cinquième ordre, 148 

TABLE m, contenant les sinus naturels à iS décimales et leurs logarithmes à 
14 décimales , pour tous les arcs de i5 en i5 minutes, depuis o^ jusqu'à 90% i56 

TABLE IV, contenant les valeurs de log tang (45* + i ^), pour tous les 
angles p de 3o en 3o minutes, depuis o* jusqu'à 90^, calculées à la décimales, 
avec cinq ordres de différences. 

Ces valeurs sont celles de la fonction Fç , lorsque l'angle du module est de 90^^, 1 Qo 

TABLE V. Contenant les logarithmes à 19 décimales pour tous les nombres 
impairs de 1 1 63 à 1 Soi , et pour tous les nombres premiers de i5oi à 10000. 

Cette table sert de supplément à la Table des logarithmes à ao décimales de 

/// 



454 TABLE DES MATIÈRES: 

Gardiner; elle est destinée à faciliter les calculs des nombres jasqa*à i5 figures 
eu plus^ ainsi qu*on en trouve beaucoup d'exemples dans cet Ouvrage^ pag. 164 

TABLE VI > contenant Téchelle logarithmique des modules^ calculée à 14 déci- 
males, pour tous les angles du module, de dixième en dixième de degré , depuis o? 
jusqu'à i5^'> et de demi-degré en demi-degré, depuis i5^ jusqu'à 45^* On y a 
joint en même tems le logarithme du coefficient K> qui sert à trouver la fonction 

complète F'c = - . K. 

Cette même table donne les modules croissans c, c\ c', etc. , et leurs complémens 
b , y, Vy etc. , de 4^^ à 90^ ; il suffit pour cela de prendre , au lieu de l'angle du 
module, son complément à go% et d'échanger entre elles les lettres c tt b, ainsi 
que les signes ^ et \ 3a3 

TABLE yil , où l'on trouve, pour tous les angles du module, de dixième en 
dixième de degré, depuis I = o jusqu'à I = 45% la valeur de Tamplitude ^, qui 
satisfait à l'équation Ff = ^ F'c. On y a joint les différences premières, secondes 
et troisièmes de l'angle f , 333 

TABLE Vin , contenant les valeurs des fonctions E et F, dont l'amplitude est 
de 45®, et celles des fonctions complètes E\ F', calculées avec la décimales, pour 
tous les angles du module de degré en degré , depuis o® jusqu'à go% 338 

TABLE IX, contenant la série complète des fonctions elliptiques E et F, pour 
tous les angles du module et pour toutes les amplitudes, de degré en degré , depuis 
o^ jusqu'à 90*. 

Ces fonctions sont calculées à dix décimales, depuis I = o^ jusqu'à 1=4^^ '» ^^ 
à neuf seulement , depuis I =: 46^ jusqu'à I = 90% 345 

Observations sur la table IX, 4^7 

Addition au J II, 4^a 



\ 



FIN DE LA TABLE. 



m4< 



tes 



Addition 



J^ous avons traité^ dans ce chapitre (tome I^ page 55g) ^ de l'inté- 
grale indëfiDie Y{ay 0^)= fdx( l -J ; mais nous n^avons pas con« 
sidéré spécialement le cas de a = o^ qui est celui delà transcendante 
-j- , dont plusieurs géomètres se sont occupés. Nous réparerons 

ici cette omission^ et nous ferons voir en même temps quels moyens 
il faut employer pour obtenir , avec tel degré d'approximation qu'on 
voudra, l'intégrale T(a, x)y dans le cas où x est très petit , pro- 
blème qui n'avait pas été résolu assez complètement dans l'art. 24 
du chapitre cité. Dans tous les autres cas , l'intégrale T(a^ x) 
pourra toujours se trouver £eicilement par l'interpolation d'une table 
calculée 9 d'après la valeur donnée de ^^ pour toutes les valeurs 
de X, de centième en centième 9 depuis a: = o jusqu'à x= 1 ; 
nous joignons ici deux tables de cette sorte, calculées à dix dé- 
cimales j l'une pour le cas de â= o , et l'autre pour celui de a = 7 , 
qui se présente le plus fréquemment dans les applications. Enfin 
nous terminerons ces recherches par des observations sur une équa- 
tion différentielle analogue à l'équation de Riccati^ dont on peut, 
dans certains cas p trouver l'intégrale complète au moyen des fonc- 
tions T(a, x). 

— y prise à compter 
/- 



de X = oj si l'on fait /- s= 2, ou x^=^er*j on aura la transformée 

%z=zf'-^ y qu'il &udra prendre depuis z = od jusqu'à 

zz=z l -. Substituant au lieu de 0*' sa valeur développée , et in- 
tégrant, on aura 

Z = — C — &+«— - . ~ H 5 .^ — etc.*....(a). 

■ a a ' a. 3 ^ ^ 

La condition pour déterminer la constante C , est que Z s'éva« 
nouisse lorsque z ss 00,; mais les quantités infinies que cette sup- 

mmm 



456 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 

position iQlroduh 9 ne permettent d'en tirer aucun résultat^ et il 
faut recourir à d'autres moyens. 

2. Considérons pour cet effet l'intégrale 

prise de même à compter de j:s:o; nous aurons y=: — Z(l— Jtr)-— Z^ 
et par conséquent , 



Il suffit de connaître la Taleur deV dans un cas particulier pour déter- 
miner la constante C f or si Fon fait xi^i , la quantité > se réduit 

à l'unité y de sorte qu'on aura dans ce casy=C. Mais par la for- 
mule du n"" 11^ Y' partie^ on a dans le même cas V=G; donc 
C sera le nombre connu dans la théorie des fonctions T^ dont la 
valeur est 

C = o.577âi 5664g oi532 86061 811209. 

3. Cela posé^ la formule (a) fera connakre l'intégrale Z par ime 
suite d'autant plus convergente , que x sera pins près de l'unité. 
Lorsqu^on fait x=:i, on a 2 = 0^ et par conséquent Z devient 
infini j mais cet infini n'est que logarithmique, car en fidsani 

ofscri •— 6?^ CÈ étant infiniment petit, on aura Z ss jC^^^C+j^ùê. 

A mesure que or diminue^ z ou /- augmente de plus en plus^ 

et la suite' contenue dans la formule (a) devient de moins en moins 
convergente; elle peut même devenir divergente dans, lea premiers 
termes , lorsqu'on veut déterminer l'intégrale Z pour une très petite 
valeur de x y mais elle finit toujours par être convergente aprèa 
un certain nombre de termes. Soit P le /»'^'"^ terne de la anile 

a — - . — h --» . -y — ' etc., et P' le terme suivant, oa aura en cé- 

^*"** ^'^^ (n+iY "^^ ^"" ^ convergence de la suite aura lieu au 
plus tard dès qu'on aura n=r ou >2« Par exemple^ ai l'oa m 



ADDITION A LA m« PARTIE. 437 

X := e'~"* = o« 0000454 9 ce qui do€uie zs=z 10^ la série sera con*- 
vergente au dixième terme^ oa même dès le neuvième^ puisqu'en 

faisant n:=zS, on a ^^47^== g"* Mais on voit en même temps 

qoe ia grandeur des termes qui précèdent le poini de conver^nce ^ 
et celle d'un «sez grarnd nomlire de termes suivans , rendent très 
difficile le calcul par la formule (a)^ de la fonction Z, pour une 
valeur de x aussi petite qu'on l'a supposée , et la difficulté aug- 
menterait toujours à mesure que x serait supposé plus petit» 

4« Pour obvier à cet inoonvénîent ^ on pouirait faire usage de 
la jcuétfaode des quadratures; on diviserait la valeur donnée de a: 
en on certain nombre de parties égales, et calculant les ordonnées 

^ = — pour tous les demi-intervalles ^et, |«, |«...;r— ^«^dans 

iescfoek x est divisé ; on eu déduîr&H ia Taleur de Z par la for* 
muie du a"" A^ UV partie. 

5. Mais on peut aussi , par d'autres formules , évher ces calculs 
de quadrature, qui sont toujours très longs, sur-tout dans le cas 
dont il s'agit y si Ton voulait obtenir un certain degré d'approxi- 
mation. Et d'abord la formule du n* 2^ donne, pour le cas de a=x>, 

7 î ^ £ j^ îî ^LË£ -L. î:Ë-^ «eic fc\ 

gj — --^-j-^-— _ -^-f ^5 ecc..,....^c;, 

formule qui sera d'autan! plus eonvergenle dans les piremiers termes, 
que z sera plus grand. Mais-comme le 9^"^ terme de cet teisàie est égal 

au précédent multiplié par , on voit que la suite deviendra 

divergenAe dès ^u'oa aura a-* i > ;&• Ainsi , dans le cas de z= 10, 
dont nous avons déjà pftdé, la raite sera divergente dès le douzième 
terme. 

6. Pour apprécier le degré d'exactitude que donnerait la ibrmule , 
dans le cas dont il s'agit , il faut observer que dans une suite telle 
que la précédente, qui doit is'arrèter aux termes à peu près égaux 
T-^T', la somme totale est connue, à une différence près de jT 
environ. En général, soit x = e~~? ou ;$ = /i, l'erreur sur la valeur 



458 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 

de Z aura pour limite € = ^ . =2_ x=:j.—.e ", ce qui donne 

en logarithmes vulgaires log € = — 2mn — i In^^^l^Tr^m étant le 
module 0.43429 9 etc. Il s^ensuit que la valeur de Z déduite de la 
formule {c) sera exacte jusqu'à la décimale de Tordre A:, si Ton a 
A = 3/7I/I + ^ ln^^\l {tt^ et par conséquent si — mn ou* • . . 

Iog^ = -i* + i/^. 

L'approximation obtenue par la formule (c) est donc de plus en 
plus grande 9 à mesure que z est plus grand ou a: plus petit; elle 
donne neuf décimales exactes pour la valeur z=io ou ar=o.ooo454; 
mais à mesure que x augmente, l'approximation diminue et devient 
bientôt insuffisante ^ comme on l'a vu dans le cas de ar=:o.or 
(art. a4, partie III). 

7. Il nous reste à démontrer une troisième formule dont l'ap- 
plication s'étend depuis les plus petites valeurs de x jusqu'à celles 
qui permettent d'employer avec avantage la formule (a). Cette troi-- 
sième formule qui s'exprime en fraction continue, est connue de<- 
puis long-temps des Analystes; mais ils ne se sont point occupés d'en 
rendre le calcul facile^ ni de fixer le degré de précision dont elle 
est susceptible 9 suivant le nombre de tertnes auquel on veuts'ar-' 
rêler. 

Considérons en général la fonction Z=r(a, x):=:f2^^dx^ 
dans laquelle nous supposerons a positif et plus petit que l'unité ^ 
ce que l'on peut toujours obtenir par la formule de réduction du n^ ^5; 
rintégrale Z étant prise à compter dexso, la quantité z*""'^ où 
a*-i est négatif 9 sera plus grande pour la dernière valeur de x 
que pour les valeurs précédentes ^ de sorte qu'on aura toujours 
Z=2""'xT9 T étant en général une quantité plus petite que l'unité, 
mais qui se réduit à l'uni lé lorsqu'on suppose x infiniment petit. Si l'on 
différencie cette équation et qu'on substitue les valeurs SL^ssz^'^^dxy 
dxss — xdz, on aura, pour déterminer T, l'équation différentielle 

g-(i-a)ï-T4.i=o, 
qu'il conviendra de mettre sous la forme suivante, en faisant zss^. 



.1^. 



/ 



ADDITION A LA ffl» PARTIE. 459 

8» Considérons plus généralement l'équation différentielle 

^+i+i4-ef-^=. w, 

dans laquelle « et C sont des coefficiens constansj si Ton fait 
i, s=: 1 H- ^ÇT'j on anra la transformée 

Le coefficient k étant arbitraire , on peut faire A:s=«/*-f-C; alors 
divisant tout par A:ÇT'% on aura 



Cette transformée est entièrement semblable à la proposée^ puis« 
qu'en faisant «'=i— «^ é'sz:«-}«^^ on peut la mettre sous 
la forme 

et on anra en même temps k=:C 

g. Il suit de là que, par des substitutions répétées, on obtien** 
dra des transformées successives en T', T'', T^'^, etc. , qui seront 
liées entre elles et dont les coefficiens seront déterminés par les 
équations suivantes : 

1 = 14. C'ÇT', «'=!—«, C' se a + ff, 

i = I + C'ZT'^ a!' = a, 6" = i + €, 

î^ = I 4- 5"'CT*% A'^ = et, Ç«^ = j 4- e, 

etc. etc. etc. 

On pourra donc exprimer la fonction T par cette fraction continue 

.T= i:(i-K-+C)<:(i-Ki+f){:(i+(i+*+«)<:(i+(a+f)^:(i+etc. . . (/), 






44o EXEROCES DE CALCUL INTÉGïlAL. 

où il faut remarquer, qae les déaommateurs des fractions compo- 
santes sont tous égaux à l'unité ^ et que les numérateurs forment 
la suite 

(«+0r, (i+^X, (i-|-«+€)C, (a+^K, (3+*+0Ç, etc., 
dont la loi est telle ^^ que les termes croissent alternalivement de 

Cette expression sera Tintégrale de l'équatioii «di^renitelle (e) , 
si toutefois la fonction cherchée T doit se réduire à Tunité lorsque 
Ç = o. 

10. Cette condition étant remplie dans Inéquation proposée (d)y 
il y aura lieu de lui appliquer la formule (f); c'est pourquoi 
faisant «==1-— ^s; ^=0^ on aura^ pcmr Tintégrale générale 
Zss/z**"'^, cette expression en fracdon continue , 

où Ton volt que les numérateurs des fractions Composantes forment 
la suite (i— «X, Ç, (2 — ^X, jÇ, (3 — «X, 3^^ (4 — «X. etc., 
dont les termes tnrorsseot alternatirement de iiÇ et de (i— -aX« 

11. Maintenant si Ton fait azssi^, <m aurt, pour le eu parti* 

— , cette •(roi^ième formule 

Z==< : (i+Ç : (i-K : O+2Ç: (1+3Ç: (i+3Ç : (t4-eic.. ..(A), 

où Ton voit que les numérateurs Ç, Ç*, aÇ", aÇ, 5J, 5Ç, 4C> e'<^*> 
croissent alter«atiyemenl de o et de ^. 

Il n'y aura lieu d'employer la formule (h) que pour de très pe- 
tites valeurs de x, qui laissent encore t^ assefe petit j car, par exemple, 

pour la valeur a? = ^s=:T).oi85, qtii donne 2'=;4 «t ?==?, ou 

pourra remployer indifféremment la fformtile (^a), €pii ne cesse pas 
dêlre convergente , ou la formule (h); le choix de l'une ou de 
Fautre dépend encore du degré d'approximation qu'on veut atteindre^ 
et qui s'obtiendra plus facilement, tant&t par une formule, tantôt 
par Tautre^ Pour mieux en juger, il faut faire voir queHe est la 
meilleure manière de calculer des fractions continues telles que la 



ADDITION A LA IIP PARTIE. 441 

formule (h)^ dans laquelle les numérateurs augmentent à Tinfîni , 
tandis que les dénominateurs restent égaux à Tunité. 

la. Soient Q^y q^ '^ ï^s trois fractions consécutives qui ré- 
sultent dû calcul de la fraction continue ^ exécuté suivant fes règles 

ordinaires eas'wrètant à la fcaetion compo8i^iile-iODaiura> d'après 
la loi connue 9 



P'=P+^P% Q'=Q-f-;*Q^; delà P'Q— PQ'=/ift(P^~PQ*), 

oa 

y p^_ ^( 









p p< 

Supposons la différence q ■— q. positive s=rR*; on voit que la diffé- 
rence suivante ^ — q sera négative; en Tappelant *^ R^ on aura . 

R=^°R* 

P' 

On parviendra donc à la valeur 7^ ,. en calculant par cette for- 
mule une suite de différences r, i^y /^'....R% R^ qui^ à partir 
du premier terme A de la série ^ s'appliqueroi>t alternativement 
en plus et en motns au résultat de tous tes teriûes [irécédens ; d'où 

Ton conclura 

P' 

^ss A— •r*4*^*^« •>• • .H^R**— R* 

Les signes des différences seront toujours alternatifs^ tant que les 
indices ft seront positifs, comme dans le cas proposé. On obtien- 
dra donc ainsi des résultats alternativement plus grands et plus 
petits que la valeur totale que Ton cherche , ce qui donnera à chaque 
instant une mesure du degré d'approximation auquel on est par- 
venu. Lorsqu'il ne manquera pln9 qu'une ou deux décimales pour 
obtenir le degré désiré , on pourra s'arrêter à la dernière différence 
calculée R , et suppléer aux différences suivantes R', R'', etc. , en con- 
sidérant la suite R% R, R', R'' comme une progression géomé- 
trique; dans cette hypothèse, faisant RsaR""^ on aura 



\ 



EXERCICES DE CALCUL INTÉGHAL. 



i 



44= 

R _R'-i-R"— etc. s= RCi — a + a' — etc.) = — ; — ; ainsi au lieu 

de la différence R on prendra ^ ■ Ponr pins d'exactitude , on 

pourrait avoir recours aux trois derniers termes R**, R% R, et 
faisant R**=a*»R**, R=fltR% on supposerait par analogie R'ssa'R, el 
Ton déduirait le rapport etf des deux rapports connus a% et, par 
réquation logée' = sloga—loga'^j ensuite, au lieu de R, on 

prendrait j-^^- 

i3. Pour calculer facilement les différences R et éviter en même 
temps rembarras des grands nombres auxquels conduirait néces- 
sairement, dans ces opérations , Faccroissement rapide des indices^^ 
voici comment il faudra procéder. 

Soit la fraction proposée Z=X l(i+fi :(i+Ati : (i+ffcâ*(*4*<*i 
:(i-4*etc. ; les premiers termes, calculés à la manière ordinaire, 
sont: 



X(i +/•,) 



X(i +^i +^) 



et la série formée par la différence des termes consécutifs com-> 
mence ainsi: 



1 --!--» 



X>^, 



etc. 



Pour la continuer indéfiniment, on prendra des auxiliaires 0, A, 
019 A| y 0«9 A,, etc., d'après la loi suivante, qui comprend celle des 
différences R, R., Rt, etc.. 



=/*, 

6. = /*A, 
etc^ 



A, 
K 



1 +6 

i+Û» 
1 

1 



etc. 



R 



XflA, 



R, = Rfl.A,, 

Râ ^ RA\> 
Rj = R«^^j> 



R4 = R9O4A4, 
etc. 



ADDITION A LA lU' PARTIE. 443 

Cela posé, la valeur de Z se calculera par la suite 

Z = X-.R + R,— R. + R, — R^ + etc, 

qu'on prolongera jusqu'à ce qu'on ait obtenu le degré d'exactitude 
désire- 

i4* Ces calculs, comme on voit, sont très faciles k faire par lo- 
garithmes; tonte prolixité et toutes opérations inutiles en sont écar- 
tées; il suffira de calculer les termes X, R, R., R., etc., avec 
une décimale de plus qu'on n*en veut avoir dans le résultat, et 
Ton prolongera là suite des différences jusqu'à ce qu'elles appar- 
tiennent à Tordre de décimales qu'on peut négliger, ou seulement 
jusqu'à ce qu'elles approchent de cet ordre, puisqu'on peut tenir 
compte des termes suivans par le moyen que nous avons indiqué. 

Il est bon d'observer, au sujet de ces calculs logarithmiques, 
que pour déduire chaque A du correspondant, par l'équation 

•^ = i + 9, on pourra faire usage des formules souvent mention- 

nées log 6=loga±d, df =1 -i-, logD =log(«J')=*=ï<^. d'o" 

résulte log(i + A) > ou -— log X = log (i + ^)=t D. On prend pour a 
le nombre de la table dont le logarithme approche le plus de log 0; il 
suffit que a ait au moins le tiers du nombre de chiffres significatifs 
avec lesquels R doit être déterminé; mais il faut que log(i -f* ^) soit 
aussi donné dans la table immédiatement et sans interpolation. 

1 5. Gomme on a en général R, = R,_, . - "^ , il est évident 

que les différences R, R,, R., etc., vont continuellement en di^ 
minuant, dès le commencement de la série, ce qui est une suite 
de ce que les indices /jt, sont supposés' tous positifs; ainsi à me- 
sure que la suite des différences est prolongée, l'approximaliou 
augmente de plus en plus , pourvu que les différens termes, à comp- 
ter du premier X, soient calculés jusqu'au nombre de décimales 
qu'on veut obtenir dans le résultat, ou même au-delà, pour obvier 
à l'accumulation des erreurs. 

La formule (A) est donc propre à déterminer l'intégrale Z pour 
les très petites valeurs de x^ sans être sujette aux ioconvéniens que 

nnn 



44 i EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 

présentent les forûmles (a) et (e) ^ la fpnemière en offiiant des larmes 
divergens dès le commeneemest de la série, et fort grands par 
rapport au résultat ctierché ; la seconde , en amenant assez pronip- 
tementunè di^^trgentetiiiiitiMÎte beaucoup rapproxioiatkm etlarend 
souvent insuffisante. Cette formule, cependant, est loin de conserver 
son avantage , lorsqu'on l'applique à des valeurs de x qui passent 
une certaine limite; car aa marc)ie se ralentit âe plus eiïplûS, à 
mesure que x augmente , et la formule (a) devient foi^ préférable, 
sur-tout si FoQ a betoin d'une grande approximatîoù. 

i6. Pou^ mieux apprécier la foimule (h)^ essayons de détermi- 
ner combien il fiiudi^ calculer de termes de cette formule, afin 

d'obtenir ta valent de ^ à'^et un tiOâd>re i de décimales , os de 

manière que l'erreur soit moindre quts lo"*'. 

On remarquera d'abord que le /i^"*' des numérateurs ^, ^, 2^, 
^C> 5Ç, ZÇ, etc., peut être représenté par ïC('* + sî'**ï'wr); or 
on a fl.= /*.A,«., ou fl.(i+fl.^O — )^.î *<>« *é(i+<U.) = 

7Ç(/i4-sm*-|i»r). t>ê la on voit que 8« a^otor limite (^^n)^^et 
qu'ainsi lorsque ^ devient un peu grand ^ on peut supposer 

Soit log R, 5= U« > l'équation R« = R.^ ,9« A» donnera IT» = tT.. » 

+ /^ = U_.-i = U._,-Y/(^)i d^oà l'on déduit la 

valeur approchée 

U, = consl. — iy^(JL). 

Ainsi , à ttiesure que n augmente ^ le legaritbne kyp. 4e R. ap- 
proche de plus en plus de la limite : const.—*ai/r-7^V'et son lo- 
garithme vulgaire ^ delà littïte:con8t.^^2;iii/^«^^. Si Ton veut 

dont que cfelte iittrîte soit -^1., oti aura nm^^^^tesconst. -4- i, 

ou à peu près »=iM'Çt% M étant le nottibtt ii.ïoiS, «c. Ou 
voit par conséquent que le nombre n augmente en Taisoti du neuîbre (f^ 
et aussi en raison du carré du nombre de décimales qu'on TCut 
obtenir. 



v.- 



ADDITION A LA m« PARTIE. 445 

Soit, par exemple, ^rs? o.oi , ce qui doni\Q 2= / iqo:^ aM, 

^ = -|^ ; on anra à peu près n ;= ^ Mï* ; dans ce niènie cas , 



'i 



m 



ir^sp — a: 0.00217 9 ^^^ ^ ^*^A ^AVt V^^ ^ $<>^^ détçrmipé 9vec 



90O 



dix décimales exactes, il ikudra faire i=s8, ce qni donnera 
n = 4M = 9.3; donc il suffira de g à 10 termes de la série des R, 
pour obtenir ce degré d'exactitude. Si Ton yeu( vipgt décimales 
exactes, il fiiudra faire lem 18, ce qui donnera i«=«;46«5î aiiisila 
série des R devrait Àlre prolongée jusqu'à 4^ ou 47 l^raiC9- 

Si l'on (àiixssao. i , Ç sera égal à m et l'on aura nv^^j^i^ ; dap$ ce 
même cas, a^ssbo.o434; doue, si Ton veut déterminer T* avec 
dix décimales exactes, il fiiudra faire 1:939^ et l'on aura (»;;=: 99, 
c*est-à-dire qu'il fieiudra calculer a2 ou nS termes de la 9ériç ^ et 
pour ravoir avec vingt décimales, il eu frudrait ealcuier plus de 
ïoo. La formule (a) exigerait apssi environ aa teroi^^ dan9 le pre-* 
mier cas, et seulement 5a dans le second» Nous aJQutçrons qu'à 
égal nombre de termes, l'usage de la formule (a) e#l préférable, 
parce que chaque terme se déduit très simpleipent du précédent. 

17. Pour faciliter le calcul des fonctions Z», dans tou9 les cas 
où X n'est pas tr^s petit, nous joignons ici une table des valeurs 
de la fonction V, calculée pour toutes les valeurs de or, de cen- 
tième en centième, depuis j:r^= 1 .00 jusqu'à jrsc o, U nous aurait 
été également facile de donner la table des fonctions Z, puisque 
la somme de ces deux fonctions est égale à la quantité — /(i — x)^ 
donnée immédiatement dans la table des logarithmes hyperbo- 
liques. Mais Finterpolation pour les valeurs de x peu différentes 
de l'unité serait d'un calcul difficile et peu exact dans la table des 
fonctions Z , tandis qu'elle est très &cile dans h table des fonc- 
tions V. D'ailleurs, connaissant V, on a immédiatement 

Le calcul de la table des fonctions V a été fait par la formule (£), 
ou par une formule équivalente (^), depuis arr=i.oo jusqu'à 



^'■^F»".'*'*»*^^*»^»»!»^'*""^"'^»^"*-^"'"*"! ' -" ■■•^ 



(*) La formule (i) développée^ e» fi|J4ant jr= 1 .^ u, preqd la f^rm^ 

V = C— AiU — A.W* — Ajtt'— A^u*— etc., 



446 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL: 

^ = 0.80. Pour les valeurs suivantes^ depuis 0:2=0 .80 jusqu'à 
xzszo.oGy nous avons préféré d'employer la méthode désordon- 
nées moyennes^ corrigée pour les dernières valeurs de x^ comme 
on Ta expliqué art. 256. Enfin les cinq derniers termes^ à compter 
devarsso.oSy ont été calculés parla formule (h) y qui donne la 
valeur de Z, d'où Ton tire celle de V. 

18. L'interpolation de la table des fonctions Y se fera à For- 
dinaire, par la série des différences ^ tant que x ne sera pas plus 
petit que o.io; il deviendra seulement nécessaire d'avoir égard 
aux différences du cinquième , ou. même du sixième ordre , lorsque 
X approchera de celte limite, et dans ce cas, il conviendrait d'em- 
ployer la série des différences dans l'ordre de x croissant. 

L'interpolation peut aussi se faire en général, par une formule 
dont l'application s'étend jusqu'à des valeurs assez petites de x. 

Soit a le nombre de la table qui approche le plus de la va-, 
leur donnée xz=:a — et; on connaît la valeur correspondante de 
V(a), et par conséquent celle de Z(a) ; il ne s'agit donc que d'avoir 
la différence ^ =Zi(a)— Z(ii— a). Pour cela soit xz=^e^% ce qui 

donne Z = / , soit ensuite a=5=e'^, a — a = e-*-^, ou 

b = l-y Cssl ; soit enfin z^=b'^ê^, on aura 

intégrale qui devra être prise depuis tf=:o jusqu'à ûi=Ç. Le pre- 
mier terme rfer^dcû donne |(i—- e-^, ou -j les autres étant 



•ùFona A,z=i, A.=^, As=^, A^=j^, M=i^, etc. 

On parviendrait directement à ce résultat par le développement de rezprestion 



J i-f.±u+}u»+itt3+etc. ' 



mais le peu de convergence de la suite des coeiEciens A| | A»; Ai, etc.^ et le défaut 
d'une loi simple qui permette de les continuer indéfiniment, rendent cette formule 
peu utile lorsque u n*est pas très petit , ou lorsqu'on veut obtenir une grande ap- 
proximation. 



i««^ 



ADDITION A LA IU« PARTIE. 447 

intégrés successivenient par le développement de er-*, on en tire 



(0 



_îlVi-_^-i-l ^— etc^ 



Celte formule pourra 8'appli<)aer depuis x= i jusqu'à a: = o.o5; 
mais au-dessous de cette limite, il sera plus simple de calculer di- 
rectement la fonction Z par la formule (h). 

19. L'usage de la table est borné h la valeur x=ii ^ qui rend la 
fonction Z infinie; passé jc =1 , la fonction Z redevient finie; elle 
diminue progressivement jusqu'à la valeur ar=s i.^SiSjy où elle est 
nulle; ensuite a: continuant à augmenter, la valeur de Z devient 
négative et augmente jusqu'à l'infini. D'ailleurs depuis x^^i jus- 
qu'à j: = 00 y cette fonction se déterminera avec tel degré d'exac- 
titude qu'on voudra y par la formule (à) y oix il faudra changer le 
signe de st (excepté dans le. terme h) y et faire 2=:logar, ce qui 
donnera 






7 -^^ C I 1 ** 1 zr 1 »» 



20. Imaginons une courbe dont l'ordonnée pour chaque ab- 
scisse X soit égale à la fonction Z; l'aire de cette courbe sera 



^ il 

X 

en désignant par Tj{x^) ce que devient la fonction Z ou Tj(x) y lors* 
qu'au lieu de x on met x*. Si dans cette équation on fait j?=: i «^-a^, 
0» étant infiniment petit ^ on aura x^=zi-^2(»yTj{x)=' — G — Uay 

Z(x*)= — C — /(2â>). Donc^ fZdxzzzh'y ainsi auoique l'or- 
donnée Z soit infinie lorsque x = i ^ Taire de la couroe pour cettQ 
même abscisse, n'en est pas moins égale à la quantité finie h. 



TABLE des vaUurs de tialdgraU V=/(7^ — -^). ,' 



ADDITION A LA III« PARTIE. 449 

!2i. Nous avooslTaile fort an loog des différeBS moyens d'éira- 
laer la fonction T{m^ x) dans le cas de as=o. Occupons-nous 

maintenant ducas a=:|, qui est celui de Tiiitégcale 7£=s:fiixfl^j^. 

Faisant à l'ordinaire Z-=2^ ou a:=e~~', on aura sous une 

«r 

autre forme Zs=/ — z ^dz&^y d*où Ton tire, en développant e"* 
et intégrant 

On sait d'ailleurs que F ^ = v^Tr ^ ainsi étant donné x et en 

même temps 2=:/-, on camtallra Vintégrale Z par une série 

d autant plus convei^ente. que z sera plus petit , c':eat^à-dire que 
or approchera plus de Ti^Ré. 

A mjesure que x deviendra plus petit, la série sera de moins 
en nu>iiis con ver^gente ; elle deviendra même divergente dans les 
premiers termes , dès qu'on aura z > 3^ ou ^ •< e^^ <C o • o5. Bans 
ce cas et dans ceux où x est encore beaucoup plus petit, la série, 
qui est divergente dans les premiers termes , fiait (tonjoars par être 
convergente, et même plus que toute progression |[éaaiétcique dé- 
croissante. Mais comme jl fimdraftti:idciilerun nomhrjexle'termes assez 
grand pour arriver au point de convergenoe (qu'ion peut toujours 
déterminer à priori) , et que ces termes ayant utte valeur absolue 
beaucoup plus grands que le résuhat qui doit provenir de la série 
totafle, il deviendrait néoessaiM -de <:alcaler chacun d'eux avec 
beaucoup de précision , puisque la plus grande partie -de leur va- 
leur doit être détruite;; on voit par toutes ces .raisons qvCil vaudra 
presque toujours mieux , dans /ie cas de x très jpetit , riyppUqùer la 
formule générale de l'art, ro 



^2. fraisant donc ^=7, et K^=-^9 ^^ ^™a la formule 

Z = «"• : (i+ç : (i+aÇ : (i+3Ç : (i+4? : (Hnitc. (/), 

où l'on doit renurquer que les numérateurs croissent continuelle- 
ment de Çy tandis que les dénominateurs sont tons égaux à l'unité. 



J 



\ 



/ 



45o EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 

Le calcul de cette formule devra se faire comme nous FaYons 
expliqué dans Tari. i3. Pour en donner un exemple^ soit a:;s=o.oii 

on aura j5=/ioo=2M, ^ = — =im=o. 10857 562 etc.; d'a- 
près ces valeurs, il faut calculer successivement les quantités 
X^ R, Ri^ R«j etc. par les formules de Tarlicle cité, savoir. 



■ 

Ô. = 3CA. , 
etc. 



A. = 

A. = 



1+6» 

I 

1 



X 

R 

R. 



xz 






XflA, 



î+îa* 



etc. 



R» = Rifl»\> 

Rj = RaO^Xs, 
etc. 



Voici les logarithmes de ces quantités, calculés à dix décimales , 
avec les valeurs qui en résultent progressivement pour la fonction 
Z = X — R + R, — R.+Rs— -etc. 



X... 7.66857 71678 a 
»^- • . 8.99095 97799 8 



R. .. 6.66933 69378 o 
S,Ai... 9.ai43o flaaSfl a 



R,... 5.87363 9i63o a 

ft^Aa. . . 9.33054 4869a O 



R«... 5.ao4i8 4o3aa a 
fljAj... 9.4o563 53590 5 

R3... 4-60983 oSgia 7 
64A4. . . 9.45956 8 5b o8 9 

.R4... 4-06938 875a i 6 
((5^5. . . 9.60081 70455 3 

R5. .. 3.57oao 60966 9 
dgAe. . . 9.55573 33oao 1 



• Re... 3.io3q5 93977 
fl^Ay. . . 9.66081 8 8838 

R,... a. 66476 3â8i6 
fliAg. . . 9. 5856 1 4^9 

Rs... a.a4836 827 
fljAg. . . 9.6p3i6 45 

P,.., i.85i53 a^ 



0... 9.0357a 4^199 8 
A. * . g.955a3 54600 o 

»,... 9.39108 97766 4 
A,... g.gaaSi a4495 8 

9»..* 9.43515 8oa4a 8 
9.89538 68449 a 
g.635i7 1166a a 
9.87346 5aoa8 3 

9.60716 06371 5 
*9.85a4o 88557 4 

9.666a8 44o4i 4 
9.85453 39393 9 

9,7i636 63993 7 
g. 81837 8ooa6 4 

67. .. 9.75719 35096 
A,.. . g.8o36a 16743 

Os-- 9-79368 840 

^•••- 9 79003 669 

6, . . • 9 . 83676 09 

^ •• 9-77741 36 



An* . • 

Os* • . 
A3 . • • 

A^, . . 

05* • • 
A5« • . 

o6« • • 
A^. • . 



X rs 0.00465 99060 a 
R — 45 §9908 6 

430 35i5i 6 
R,.... + 7 47548 1 

437 83690 7 
— 1 60030 6 

436 33676 1 



u^. • • • ^ 

Rj* • • • H 
R^. • . • "^ 
Rs» • • • -p 
Rc* • . • •— 

Jtlyt • • • ^* 

Rg* • • • ~* . 

Aa* • • • "^^ 

R,o^ «te. — 



4 0731 3 
633o7 3 

"7^fl 4 

5i664 9 
8717 1 

55383 o 

13704 

54111 6 
46a i 

545737 

^77 a 
54396^ 
71 o 
ao 8 



2 :s 0.00496 54447 



ADDITION A LA III* PARTIE. 45 1 

:xS: Ponr faciliter le calcul des fonctions Z^ nons avons construit 
la table ci-jointe^ où Ton remarque deux parties distinctes. 
Dans la première^ la fonction Z est calculée avec ses différences 

successives, pour toutes les valeurs da t s=z(liy^ de centième en 

centième, depuis /=:9 jusqu'à /ssto.So. Ces limites répondent 
aux valeurs x = i, 0:^=0.7788 etc.; ainsi la première partie de la 
table servira a calculer la fonction Z pour toutes les vdeurs de x 
comprises entre ces limites ; car d'ailleurs x étant donné on con* 

naît t=^(l^y. Cette première partie a été calculée par la for- 
mule {k). 

Dans la seconde partie on trouve la fonction Z calculée pour 
toutes les valeurs de x, de centième en centième 9 depuis j: =:=o.8o 
jusqu'à or s= 0.00; cette partie a été construite par la méthode des 
ordonnées moyennes , excepté les cinq ou six derniers termes , 
qui ont été calculés directement par la formule {l)y dont nous 
avons donné un exemple. 

34* S\ Ton compare les derniers nombres de la première partie 
de la table» avec les premiers de la seconde partie , lesquels ré- 
pondent à peu près aux mêmes valeurs de oir, on verra qu'en sup- 
posant même égaux les intervalles , qui sont moindres dans la 
première partie que dans la seconde , il y aurait un avantage mar- 
qué à se servir, pour l'interpolation , des nombres de la première 
partie, attendu que les différences successives diminuent bien plus 
rapidement dans ces nombres que dans ceux de la seconde partie. 
En général ^ quand 00 veut construire la table des valeurs d'une 
fonction, il importe de choisir convenablement V argument de cette 
table, c'est-à-*»dire la variable par laquelle la fonction doit être dé- 
terminée, pour que les différences décroissent de la manière la 
plua prompte » et qu'elles rendent ainsi l'interpolation plus facile. 
Car en substituant une variable à une autre, la marche des diffé- 
rences n'étant plus la même , on doit préférer celle qui sera la plus 
favorable aux interpolations. 

000 



, 1 

TABLE des valeurs de tintégrale '^=^fdx{l^^ * j la première partie depoit 



t. 



o.oo 

O.Ol 

o.oa 
o.o3 

0.04 
o.o5 



0.06 
0.07 
0.08 
0.09 
0.10 



O.ll 

0.1a 
o.i3 

o.i4 
o.i5 



0.16 

0.19 
o.ao 



m8 



o.ai 
o.aa 
o.aS 

o.â4 
0.25 



.77245 385oQ 
.76245 4S176 
•73245 91806 
.71247 184G1 
.69240 64972 
.6725 3 2*ai8 



Biff. L 



.6525q 76955 
.63268 21818 
.6127a 45299 
.59293 86722 
.57311 85223 

.55333 70725 
.53360 08913 

.51391 112»5 

.49427 24778 
.47468 87 444 
.45516 36732 
.43570 09814 

.41600 /p4s^ 
.39697 74183 
.57772 57890 



.55854 70192 
.53945 06216 
.32043 80622 
.3oi5i 27583 
■28267 80766 



X. 



0.80 
o 

o. 



.79 
1.78 



0.77